Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 27
Текст из файла (страница 27)
..., Т, что ха*впав(хьюг', (хс хс+г))+ Лдхбо(хс 1) — Кр,Я), Ф = О, 1,..., Т вЂ” 1, д~уе (хв, $) = О, Кр, (хе) = (0), хт+ хе ен Лд„уо (хт Т) — Кот (хт) х* ее Км (хт). Заметим также, что фазовые ограничения могутбыть учтены другим способом. А именно, если все точки траектории должны принадлежать некоторому множеству Р, то можно переопределить многозначное отображение, введя новое отображение аз: (а(х), я~Р, ае(х) = Это приведет несколько к другим формулировкам результатов.
3. Примеры. Чтобы проиллюстрировать применение предыдущих теорем, рассмотрим некоторые модели, задаваемые конкретными многозначными отобраягениями. При этом во всех моделях будем считать, что множество М совпадает со всем пространством, а функции д(х, Г) непрерывно днфференцируемы. В этом случае д„у(х, Ф) = у, (х, Ф), $2е 180 ГЛ. ХУ. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Ф где у (х, 1) — градиент функции у(х, 1) по х, а Км(хт) =(0), так как конус К„,(хг) совпадает со всем пространством. Пример 6А. Пусть а(х) =Ах+У, где А — пХиматрица, а П вЂ” выпуклое множество в К", В рассматриваемом случае оптимизационная задача приобретает следующий вид: требуется выбрать управление и,ьв(7, 1 О, 1, ..., Т вЂ” 1, таким обрааом, чтобы траектория системы минимизировала функцию т 1= ь~з У(хо 1).
1=г - т Пусть (х,)с=ь — оптимальная траекторпя, а и, ы ы У вЂ” соответствующее управление, т. е. х,„1=Ах,+ио 1=0, 1... Т вЂ” 1. С огласно примеру 3.2 из главы 1П имеем а*(уь; г) = А*уз, если уз(соп(П вЂ” и,))ь, (6.34) Я, если У*ф)'соп(П вЂ” иь))ь, г = (х, Ах+ ио).
Будем считать, что а* Ф 8. Условие У*ж (соп(О' - из))ь эквивалентно томУ, что <и — ис, уь>~0, иыУ, т. е (и„уь) = (п1 ((и, уь): и еи П). (6.35) С учетом формул (6.34), (6.35) и того, чтоКм(хт)= (О) соотношения (6.27) — (6.29) могут быть переписаны в виде хь — — Аьх~+, + Хд,, (хо 1), ь ь (и„хс+т) = ш1п ((и, х~+г): и си П], 1=0, 1, ..., Т вЂ” 1, х' — 1,уь'(хт, Т), Из первого соотношения (6.36) следует, что 2, чь О. В самом деле, если Х О, то тогда х, = 0 при всех е е.молили экономической днпАмини $81 1, чего не должно быть согласно утверждению теоре-' мы 6.2.
Поэтому Х = 1. Итак, необходимыми и достаточными условиями оптимальности траектории в рассматриваемом случае являются условия (6.36) при 1=1. Пример 6,2. Пусть К=К", У=К", а(х) (у: ф(х, у) <0), где ф(г), г = (х, у), — выпуклая непрерывная функция и существует такая точка г„что ф(г~) (О. Оптимизационная задача приобретает следующий вид: найти последовательность х,ж К", 1 = О, 1, ..., Т, удовлетворяющую соотношениям ф(хо х+~) (О, 1=0, 1, „Т вЂ” 1, и минимизирующую функцию 7 = ~'.,у(хо 1). 4=о Согласно примеру 3.6 главы 111 а*(уе; г) = = (йх,',: у* = — )уе, (х~~, у~) ~ д,ф(г), й)0), (6.37) если ф(г) =.О.
Если же ф(г) (О, то, так как функция ф(г) непрерывна и 61а=(г: ф(г) (0), выполняются равенства К (г) = К" х К" и К,* (г) = (О). Поэтому (О, если уе = О, [Я, если уе ~ О. Формулы (6.37) и (6.38) можно объединить в одну формулу следующего вида: ае(уе; г) = =(Ххе: у*= — Хуе, (хе, у )~д,ф(г), Х)0, Ьр(г) = 0), Использование етой формулы и того факта, что Ф / Км(хт) =(0), позволЯет записать соотношениЯ (6.27)— 182 Гл. ш. ВыпуклОе ЛРОа'РАммиРОВАние '(6.29) в виде ха = )аохоа+)аух(ха ), о о / о о\ г- х,+а — — — )аауоа (хоа уоа) елдаар(ха ха+а) )а,ар (ха, х,+,) = О, )аа > О, а = О, 1,..., Т вЂ” 1, хт = 2,у' (х~, Т).
(6.39) Так как о о от \ в о )аахоа = ха — РФс(ха, Е)~ ) ауоа = — ха+о ( о Фх г )агхо )аауоа) ~ ) адаар \ха, ха+а) е = 1, 2, ..., Т вЂ” 1, (6.41) то соотношения (6.39) можно записать следующим образом: (ха — Лух(ха. 1), — ха+а) ен )адхар(ха ха+а) )ааар (ха. ха+а) = О. )аа -~ О (6.40) 2=0,1,...,Т вЂ” 1, 4=)у.'(х„т). - т Итак, для того чтобы траектория (ха(а о была оптимальной в рассматриваемой задаче, необходимо,что- бы нашлись такие числа 2, = О, 1, )а и векторы ха, что- бы выполнялись соотношейия (6.40). Пример 6.3.
Пусть К вЂ” К" ХК" — конус, я1а=К, а(х) =(у: (х, у) авК). Пусть, кроме того, М=К", у(х, а) =О, а=1, 2, ..., Т вЂ” 1. Таким образом, д„у(х, Е) = О, Км(х) = (0). В моделях зкономической динамики чаще всего рас- сматривается ситуация, соответствующая этому приме- ру, а сама модель носит название модели Иейлаана— Геа)ла.
Согласно примеру 3.8 главы ПУ в исследуемом случае а"(у*; е) =(х*: ( — х*, уо)ЫКо, (х, хо) =(у, у*)), 3 (х, У). С учетом формул (6.41) соотношения (6.27), (6.28) при- 6 6. МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 183 обретают следующий вид: ( Э Э Э Ф вЂ” х1, х,+,) ~ Ке (х1 х1) = х1+1 х1+1) 1=0,1,...,Т вЂ” 1, (6.42) х; = Лу„' ( „ т), Л = О, 1. Рассмотрим теперь частный случай — так называемую модель Неймана. Пусть имеется т технологических способов производства, причем использование у-го технологического способа производства с единичной интенсивностью ведет к производству вектора а, товаров, а;1в К", так что число различных производимых товаров равно и и при единичной интенсивности использования у-го технологического способа производится 1-го товара в количестве а;, 1 = 1,' ..., и.
Естественно считать, что а;Ъ О. При этом при единичной интенсивности использования у-го технологического способа расходуется вектор 611иИ" товаров. Если теперь в данный момент времеви имеется вектор х товаров, то интенсивностиЛ' каждого способа производства должны, очевидно, удовлетворять неравенству т' х> ~ Ь;Л), Л)Р=О. 1=1 При этом будет выпущен вектор у товаров, удовлетворяющий уравнению у= ~азЛЛ 1ет ' Взяв теперь в качестве столбцов матрицы ДФ векторы а, и аналогично обрааовав матрицу М, можно сказать, что определено некоторое многозначное отображение а(х), графиком которого является многогранный конус К ((х, у): х~МЛ, у=ФЛ, Л>0, Лжй"), где Л вЂ” вектор с компонентами Л1.
Иэ нашей интерпретации следуют неравенства ьэ > О, лб > О, т. е. Матрицы Ф и й( имеют неотрицательные коэффициенты. Так как для (х, у) 1и К х=л1Л+о, у=И, Л>0, и>0, ижК", 184 1'Л. 1У. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРА1'МИРОВАППЕ то нетрудно вычислить К*. Действительно, (х*, у*) жКе тогда и только тогда, когда <х, х*>+ <у, у*»0, (х, у) 1вК, <МЛ+ и, х*>+ <ФЛ, уе> ~ 0 для всех РЗ-0 и Л~ О. Переписав последнее неравенство в виде <и, х*>+ <Л, Мехе+.Мер*»0, О~О, Л>0, где Ме и,Ф* — транспонированные матрицы М П,Ф, получаем очевидным образом неравенства хе ~ О, Мехе + М'ау* > О.
Поэтому К* = Ихе, уе): М*хе + Фере ~ О, х* > 0). (6,43) Пусть в начальный момент имеется вектор товаров хо Тогда к моменту Т может быть произведено хг товаров, где х, получается иа цепочки включений х,+1жа(х,), Г=О, 4, ..., Т вЂ” Х. (6.44) Если в момент Т заданы цены товаров р'1, 1=1, ..., и, то общая стоимость товаров в момент Т будет определяться следующей формулой: ~~'., р"хт = (хт, р*>.
(6.45) Теперь можно рассмотреть задачу о выборе такого способа функционирования экономики, т. е. такой траектории, удовлетворяющей соотношениям (6.44), чтобы максимизировать <х„р>. Последнее эквивалентно минимизации функции Р(х~, Т) = — <хх, р~>, Мы приходим к задаче, рассмотренной выше, со специальным конусом К и функцией я(хю Т), и для характеристики оптимальной траектории можно использовать соотношения (6.42).
С учетом (6.43) эти соотношения з з. моднли экономичвскон динамики »8о могут быть записаны в следующем виде: — хс~ Ъ О, — М*хс +,за*хс+» Ъ О, (х„хс) = (хст, хсес)» »=0,1,...,Т вЂ” 1, (6.46) хт= — Лр*, Л=0,1. Рс ~~0, лс~рс — Ф Рс+» зО ч Ф (х» Рс ) = (хс+ы Рс+ъ) (6.47) »=0,1,...,Т вЂ” 1, Рт = Р*. Проделанные формальные преобразования приводят т к следующему выводу: траектория (х,) с е модели Неймана, удовлетворяющая соотношениям (6.44), тогда и только тогда максимизирует функцию конечного дохода (6.45), когда существуют такие векторы рс, что выполнены соотношения (6.47). Рассмотрим возможную экономическую интерпретацию полученного результата. Назовем векторы р» ценами в момент 1.
Это имеет смысл, поскольку рс лО. Пусть у — произвольный вектор из а(х,). Это означает, что у=ФЛ, х,~ЯЛ, Л~О. Основываясь на этих соотношениях и формулах (6.47), легко убедиться в справедливости следующей цепочки Заметим теперь, что если множества М, в теореме2.4 многогранные, то при ее доказательстве можно использовать теорему 1.4.14, из которой следует, что в формулировке теоремы 2.4 можно положить Л= 1. Так как теорема 6.2 целиком основывалась на теореме 2.4, то з случае многогранного отображения а в теореме 2.4 Л следует брать равным 1.
Поэтому Л=1мвформулах (6,46). ч» Положим теперь рс = — хс, » = О, 1,..., Т, и запишем, соотношения (6.46) в следующем виде: ч86 гл. ж. выпуклов пвогеаимнРОВАннк неравенств: (У Рс+~) =(ФЛ, Рс+~) =(Л Ф*рн~~)<~ ~ ((Лз Я'рс > = (ЯЛ, рс > ~ ~(а~ Рс ).
Но так как (лььы Р~+~) = (лп Рс ) то (х,.ь„Р;+Д = шах [(У Рс+д): У ~ а (х,)1. Из полученного соотношения следует важный вывод: для оптимальной траектории существуют такие цены,' что при выборе в момент $ интенсивностей технологических способов производства оптимальной траектории соответствует тот, который обеспечивает максимальный доход в ценах момента ь+ 1. Глава У НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В атой главе строятся необходимые условия экстремума для задач, в которых исходные данные задаются множествами и функциями, не обязательно являющимися выпуклыми, но в то же время и не совершенно произвольными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
