Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Резюмируем полученный результат. Т е о р е м а ЗЛ. Пусть Хх(х), ( = 1,..., т,— непрерывные функции, допускающие верхние выпуклые аппроксимации Ь;(х, х). Пусть далее а(х)=(у~вК: у'>Ух), Х т, ...,(и). Тогда если 1(г) = Н: у'=фх), (= 1, ..., тп), П (пг й Ь;(., х) чь а, олпо то аь(у*; г) =(с1, когда у'"'Ф 0 для некоторого (ФХ(г) или у'ь(0 для некоторого (~иХ(г). Если гке у'в=О, (ФХ(г), и у'*~0, гюйг), то мнохсество аь(у*; г) состоит из элементов хь, представимых в виде (3.25). С л е д с т в и е.
Если выполнены условия предыдущей теоремы и, кроме того, ()ошЬ~( °, х) =Х, гю1(г), то формула (3.25) мохсет быть заменена формулой х*= ~, у"х(, х; е=дХ((х), (БНХ(г). М1(О В самом деле, в рассматриваемом случае (()ош Ь;( °, хИь = (Х) е = (0), ггг ГЛ. У. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА и поэтому вектор хв; в формуле (3.25) может быть только нулевым. Покая'ем теперь, что К (г) есть не только конус касательных направлений к 3(а в точке г, но и локальный шатер. Лемма 3.5. Если Ь(х, х) есть верхняя выпуклая аппроксимация ) в точке х, то существует такал (рунк«)ия т(х),!Я!-'т(х) — О при х ° О, что ~(х+ х) < ~(х)+ Ь(х, х) + т(х).
(3.26) Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Тогда найдется такая последовательность точек х«- О, что Г'(в+ х ) — Г'(х) — Ь(х«, х) И Положим Л« = Щ! и (3.27) х« х«0 $х« ~! Беэ ограничения общности можно считать, что х,о- хс, Щ! = 1, и что последовательность Л, монотонно убывает. Положим «р(Л«) = Л«(хп — хо) У(в+Л,хв+ е(Л«)) — У(х)(,(- ) Л« С другой стороны, нэ эамкнутости Ь(х, х) следует, что Пш (и( Ь (х«в, х) Ъ Ь (хю х). и доопределим «р(Л) для Л «и (Л«+«, Л«) линейной интерполяцией.
Тогда Л '«р(Л)- О, нбо хм — хв стремится к нулю. Заметим теперь, что / (х+ х«) — ) (х) И $ О. ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ 233 Позтому имеет место следующая цепочка неравенств: ( 1(х+хо) — 1(хо) ( хо -'(туг'))' (1пп зпр ' ' — Лш(п1Й(х;о, х),( 1 (х+ х;) — 1(хО $-~00 ~х;1 Й ( г" (х„х) — й (х„х) ( О. Этн функции выпуклы и принимают на относительно открытом в 1шК.(г) множестве конечные значения, ибо по определению <р,(г) < О, если гоиК.(г). По теореме П.1.4 ~ро(г) непрерывны в г(К,(г).
Выберем теперь е) О настолько малым, чтобы И = го+ (еВ,) О 1лпХ,(г) ЖК.(г) (3 28) где В. обозначает единичный шар в Я, и для гоеЯ выполнялись условия р (г)( — ф ° б = шш )уо — Ьо(хо х)1 (329) оо цо Положим Ч = сон й. Если теперь г он ч, то для некоторого т ~ О г = 1(го + и), 1и1 < е, и ое 1лпК,(г), т. е. Получаем противоречие. Лемма доказана. Т е о р е м а 3.2.
Пусть 11(х), о = 1, ..., т,— непрерывные функции. Тогда конус К,(г), определяемый у)ормулой (3.17), есть гладкий локальный шатер к й1 а в точке г. Доказательство. Пусть го=(хо, уо)оег1К(г). Рассмотрим функции <р<(г) = й,(х, х) — у', (он 1(г). 234 ГЛ. Ч. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Отсюда следует, что 7) = !Я Я+' (3.30) В силу леммы 3.5 и с учетом неравенства !!х!! < !!г!! получаем ~, (х + х) — (у' + у*) ~ ~; (х) + Ь; (х, х) + г (х) — (; (х)— — у' = г (х) + ~р; (г) = г (х) + )чр; (го + и) ~ < ь! — 7 — <!*!!(-~=~- — = - )< б — / г(е) ос!! б 2 (, !Гет !/е!! 2(!|го!!+е) Пусть е1) О выбрано настолько малым, что т т(е) б ~~~ <2!!!.
~'>' У;(х+х) — (у'+у')<:О, гфТ(г), если !!х!! < (!г!! < е1 (в силу леммы 3.5 это возможно). Тогда для гои (е1В,) О() из предыдущего неравенства следует )';(х + х) — (у'+ у') < О, е ы 1(г), т. е. г + г = (х + х, у + у) ж уг а. Таким образом, построен конус ч, гошп9 (лил= = (впК.(г), () ыК.(г), и функция $(г) =г такие, что все условия определения $.3 выполнены. Это доказывает, что К,(г) — локальный шатер, причем гладкий, так как ф— тождественное, а значит, гладкое отображение. Приведем еще один пример вычисления сопряженного отображения. Теорема 3.3.
Пусть ) (г) обладает в точке го, ) (го) = О, вьтуклой верхней аппроксимацией Ь(г, го) и пусть Ь(г, го) непрерывна по г и существует такой вектор ги что Ь(гн го) <О. Тогда: $ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ 235 1) конус К.Ьо) =Ь: ЬЬ, го) '-0) есть гладкий локальный шатер, являющийся конусом касательных направлений к фа в точке го, где а задается соотношением у(а = Ь: У(г) <0), а(х) = (у: У(х, у) — = ((г) <0); 2) соответствующее К,Ьо) локально сопряженное отобраэсение может быть задано уюрмулой а*(у»; го) = (х»: ( — х», у*) ~в ( — соп д~(го) )), где д1(го) — субдиф4еренциал, соответствующий ЬЬ, го). Доказательство.
Очевидно, что конус К.(го) не пуст (г~ он К.Ьо)) и открыт (Ь(г, го) непрерывна по г). Поэтому К.(г) = 1пь К.(г). Пусть гоовК,(г). Выберем е) 0 настолько малым, что для всех г иэ окрестности й = го+ зВ„точки го выполняется неравенство Ь(г, г,)(+Ь(г„го)(О. Положим Д = сов ьг. По лемме 3.5 для г он Ч, т. е. для г, имеющих вид г = (Ьо+и), оио < е, с учетом неравенства (З.ЗО) получаем т(г + г)(~(г ) +Ь(г, г )+ г(г) = = уЬ(г,+ и, г,)+т(г)(у — 'Ь(г,, г,)+т(г)( ( Ь(оо го) т(о) ) ~~~ ~~~'(~~ "~~+')+ ~~')) ~' Если теперь е1 выбрано так, что ( о' о) + т(о) ~0 2 ( 11 оо 1 + о) для 6го (еи то согласно предыдущему неравенству (Ьо+ г) (О, г о=-(е1Вм)О ()1 азз гл, т. нвовходимык тсловвя экстввмтма т.
е. гз+г~в л1а для я~и (е~В.) 0 Ч. Отсюда следует, что К.Ьа) — локальный шатер к я1а в точке гз, а значит и конус касательных направлений. Перейдем к доказательству второй части теоремы. Так как й(г, гс) — непрерывная выпуклая функция, то замыкание конуса К.(г) легко вычислить но формуле К.(г,) =(г: й(г, го) < 0). (3.31) Действительно, если я(гз, ге) = О, то для 0 <Л<1 выполняется неравенство й(Лги+ (1 — Л)го, го) < < Лй(гь га) + (1 — Л)й(го, го) =ЛЬЬо, го) < О. Откуда следует, что Лгю+ (1 — Л)гз~вК.(г). Устремляя Л к нулю получаем, что гз есть предельная точка К,(г).
Вспомним теперь, что й (г, г,) = шах ((г, го): го еи д/(го)) Ф а где К = — сон д~(г ) = =- [ — ге: ге =таю у~О, г, ~ д((г,)). (3.33) Но соотношение (3.32) означает, что г г~ Ке. Таким образом, в силу формул (3.31), (3.32) г ~и К„(гз) тогда и только тогда, когда г ~в К", т. е. К.Ь,) =Ке. Покажем, что К вЂ” замкнутый конус.
Пусть у;г;-+г*, геФО, у~)0, г'; еи д~(гз). Таккак д)(гс) есть субдпффе- и д~(гз) дя(0, гз) — обычный субдифференциал выпуклой функции ЬЬ, гз). Тогда неравенство ЙЬ, ге) < 0 эквивалентно неравенству <г, ге> р: О...' 3~(г,). Последнее же эквивалентно неравенству <г, ге»0, гежК, (3.32) $3. ОтОБРАжения, локально сопРяженные 237 ренциал выпуклой непрерывной функции Й(г, га), то со- гласно теоремам П.3.2 и П.3.5 д1(го) есть выпуклое зам- кнутое ограниченное множество. Далее, л(г„г,) = шах[»',гм г,"): г,', ен д7(г,)) <О, »а о и поэтому ОФд)Ьо). Значит ЦгаЦ~)б)0 для всех г,*ен »яд)Ьэ). Так как д)(го) ограничено, то Цза Ц(».'» для всех га ~д)'(гр).
Заметим теперь, что для больших 1 выпол- няется неравенство 1 Ц ге Ц < у» Ц г»*. Ц < 2 Ц г* Ц. Поэтому — — (у»(2 —, 1 1»а1 1»а1 'КЦ И' — — («» <2 —. 1 1аа1 1»а1 2 А 6 Отсюда следует, что последовательность «, ограничена.
Без потери общности можно считать, что «»- «а, причем 0<а а <Ь 1 1»а1 Поэтому (7»х» ) га г » то Так как д)Ьа) — замкнутое множество, то из г» ы д) (г,) следует, что — =4 д)(,). тр Итак, ге = «ага» «э~О, га ~ д7'(га), что доказывает замкнутость множества К. Вспомним теперь, что согласно Ц 3 главы 1 для замкнутого конуса К справедливо тождество Кэе = К. Отсюда получаем (КаЬО)) (КаЬО)) = (К ) = К» 288 Гл. у. неОБхОдимые услОВия экстгемумА где использовано ранее доказанное соотношение К.(гз) = К'".
Итак, К" (гв) = — сопдХ(г ). Отсюда согласно определению 3.1 получаем ав(У*; гр) = (хв: ( — х*, Ув) ~и ( — соп дХЬс))), что завершает доказательство. Теорема 3.4. Пусть Х~(г), 1= 1, ..., т,— заданные функции и мпозозначное отобралсение а определяется формулами д(а=(г: 1;(г) <О, 1=1,, т), а(х) = (у: Х;(х, у) — Х<(г) (О, (= 1, ..., т). ХХолохсом для г я у1 а Х(г) = Й: Х;(г) = О, 1 = 1, ..., т). Тогда, если Х(г) = Ы, то К,(г) = л, К,* (г) = (0). Если зке Х(г) Ф ю, Й;(г, г), (~кХ(г), а верхние выпуклые аппроксимации для Х; в точке г непрерывны по г и существует такое г„ что Ь;(гн г) < О, ( ш Х(г), то конус К„(г) = (г: Ь;Ь, г) ( О, 11е Х(г)) является гладким локальным шатром для у1а в точке г и К," (г) = — ~ соп д Х; (г), ьвпо аь(ув; г) =(х*: ( — х*, ув)ее~ — ~ сопдХю(г))) ьндп зде дХ~(г) — субдифференциалы, соответствующие Хг;Ь, г).
Доказательство в основном повторяет доказательство теоремы 3.3 и поэтому мы его опустим. Заметим только„ что К,(г) = П КО ОНДЮ $3. ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОКАЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ 239 где К~=(г: й;(г, г) (0) (согласно доказанному выше)— открытые конусы. В силу предположения теоремы существует точка гь принадлежащая всем этим конусам. Поэтому в силу теоремы 1.3.2 выполняется равенство К (г)= ~ К;, оех(о что с учетом выражения для К~ '. К"; = (гв: г* ~ ( — соп ду'; (г))), следующего из доказательства предыдущей теоремы, завершает доказательство. Пусть теперь фиксированы многозначное отображение а и функция <р(г). Положим (3.34) 1 (х) = 1Е1(~р (х, у): у ~ а (х)), ач(х) = (у ~и а(х): <р(х, у) = ~(х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
