Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Рассмотрим теперь случай, когда Х,(хо) =0 для некоторого в. Множество Х(го) = (в: Х(хо) = О, в= в, ..., т) не пусто. Кроме того, выполнены предположения теоремы ЗЛ, при доказательстве которой было установлено, что К,(го) =(г= (х, у): в7> Ь;(х, хо), вшХ(го)) есть локальный шатер к п(а в точке го. Там же было показано, что ао(у*; го) пе пусто лшпь в случае, если у'о=О, вФХ(го), у'*>О, ввиХ(го), и прн этом состоит из векторов вида х* = ~'„уввх,', х; ~ дХв(х,). (4Л7) в=в В соответствии с теоревшй 4.3, условия которой выполнены согласно только что сказанному, найдутся такие векторы уо еи Ки (0), хо еи Км(х,) и число й > О, $4.
ОБЩИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 253 не равные все нулю одновременно, что х* — 1хо ее а" ( — У*' зо). (4Л8) Так как К~~ (0) = К (см. формулы (4Л6)), то условие уз ееКгу(0) не накладывает никаких ограничений на выбор вектора уо, и вектор — у* в соотношении (4Л8) можно заменить на у*: хо 1хо ~ а (у~) зо). Из этой формулы следует, что ао(у*; зо) Ф И. Откуда согласно (4.17) получаем, что уев = О, если 1;(хо) ~ О, у'о ~ О, если 1,(хо) = 0 и х" — ).хо = ~ у"х~, х; ~ д/о(хо), 1= 1, ..., и. Полагая уоо = )., получаем, что о у' х; = х ~ Ког(хо), '=о у'"1;(хо) =О, 1=1, ..., Бт.
3. Ограничения, задаваемые равенствами н неравенствами. Рассмотрим теперь задачу минимизации функции 1о(х) прк ограничениях ~,(х) (О, )ов1; ~;(х) =О, г'ов1; хонМ. (4Л9) Сформулируем предположения, при которых будет решаться поставленная задача. Пусть хо — точка минимума. Предполоягение 1. Функции 1(х), )ж(0) 01, допускают в точке хо верхнюю выпуклую аппроксимацию й(х, хо). Предположение 2. Функции 1;(х), )ои1, непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точ- Р ки хо, т. е. обладают непрерывными градиентами го (х). Предположение 3.
В точке хо существует выпуклый конус Кв(хо) касательных направлений к множеству ))1, обладающий следующим свойством. Пусть 1, = Ь)пКЯ(хо) — наименьшее линейное подпространство, содержащее Км(хо), а хо ш К т(хо), хо Ф О, 254 Гл. т. неОБхОдимые услОВия зкстгемума и е,шЬ, 1=1, ..., т;фиксированные векторы.
Обозначим через Хз линейное подпространство, содержащее хз и еь 1=1, ..., т, т. е. множество всех векторов х вида х = ух, + ~'„) 6;е;, где ( н 6, — действительные числа. Тогда существуют такие е1) О и ет) О, что: а) множество П = )х = х, + .~ 6)е): ) 64 )~(е„) = 1, ..., т )=1 содержится в К~(хо)' б) существует функция ~р(х), которая определена для всех достаточно малых хш Хс, непрерывно днфференцнруема в области определения и ф(х)=х+г(х), х,+$(х)шМ для х~ич и 6() <зт, где г(х) такова, что 1х!! ' Г(х) — О при х- О, хшХВ, а множество () определяется соотношением Ч = соей = х: х = у х, + ~~З~ б~ет, у~~О, ) 6))(е, .
ь т Ясно, что из трех предположений наиболее трудно проверяемым является предположение 3, однако оно необходимо для целого ряда задач. Заметим, что если Кя(хс) есть шатер множества М, лежащего в конечномерном пространстве К", то предположение 3 выполняется, как зто нетрудно усмотреть из определения 1.3 шатра, если вместо Кк(хс) рассмотреть г(К„(хс); последнее обстоятельство не влияет на окончательный результат.
Предположение 4. Г П йошй ( хз)) П Км(хз) Ф)3(. ш(оиг" Прежде чем сформулировать основную теорему, докажем предварительно несколько лемм. $ Е ОБЩИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 255 Лемма 4А. Пусть й(х), 1= 1, ..., и,— линейные функции, определенные на подпространстве Ь вЂ” Х. Тоеда либо существуют такие не все равные нулю числа аь что ~ аА(т) = О, и=т хее Ь,. (4.20) либо существуют такие векторы е~шЕ, у=1, ..., тп, что (4.21) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вектор-функцию Их) ~нК" с компонентами Цх). Пусть А =1К) — образ надпространства Ь при отображении (. Если А = К", то любой вектор у ш К" можно представить в виде у=((х), хшЬ.
В частности, если о,шК" — единичные орты К", т. е. для компонент у;, 1=1, ..., и, выполняется соотношение дт = би, то существуют такие векторы е1 я Ь, что 1 д, = 3(е,), Коли же А не совпадает со всем К", то А есть некоторое собствеппое подпространство пространства К™. Отсюда следует, что А лежит в некоторой гиперплоскостн <у, у*>=0, у~А, у*ФО. Учитывая, что у = Дх), х ~ Т, получаем ~~'., у'Ч;(х) = О, хе= Ь.
с=т Полагая ол = у'*, приходим к соотношению (4.20). или,впокомпонентной записи, 1,(е;) =бе, так что соотношения (4.21) выполняются. При этом соотношение (4.20) возможно только прн нулевых аь так как т ~л~~ и(;(е;)=ав — — О, у=1,..., т. с=в ззз Гл. у, неОБхОдимые услОВия экстгемума Лемма 4.2. ХХусть выполнены предположения 2 и 3. Тогда либо ~2;~ а (х Г1(хо)) О ~~'„)аб) = 1 (4.22) 1О1 бо1 для всех х би Е, Х = 1шК„(хо), либо для всякого хоби ж К„(хо), хо чь О, удовлетворяющего условиям (хо (б(хо)) = О, б = 1, ..., Яб, (4.23) существует функция го(() би Х, определенная для всех достаточно малых ( ~ О и такал, что хо+ (хо+ то(Т) онлг 1;(хо+ (хо+ го(()) = О, б = 1, ..., Яб, ' и '( бго(() — «О при ( 1 О. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Согласно предыдущей лемме либо выполнено соотношение (4.22), либо найдутся такие векторы в1жЬ, убвХ, что (в1, 1;(хо)) = 611, 1, уе=Х. (4.24) Ясно, что необходимо рассмотреть только вторую возможность. Возьмем функцию бр(х), определенную на подпространстве Хс (см.
предположение 3), и составим систему уравнений уб(у, 6) =Хо(хо+ бр (ухо+ Х 61в1)) = О, 1 он Х. (4.25) 1е1 Здесь 6 — вектор с компонентами бь Согласно предположениям 2 и 3 функции уб((, 6) непрерывно дифференцпруемы при всех достаточно малых ц и б. Вычислим первые производные функций уб при (=О, 6=0. Для этого заметим, что в силу свойств функции бр(х) справедлива формула б;(0)= —,—., 0(б,б-Лб 1 ке1 / )г .:0,0=0 г (тго) б)б (0) 1 т (7 ) б = 1пп = 1пп ~хо+ 0 ) = хо (4.26) т- о т-о о А ОБЩИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 257 Аналогично получаем д ероз (0) = — ф( ух, + г 6гег~ = ег.
(4.27) г 1И1 / (т=о,о=о в силу условий (4.23). Аналогично получаем ео А (у, 6) = <оеб1'(0), 71 (хо)> = ~т=о,о=о = <е., 7; (хо)> = 60. (4.29) Если воспользоваться теперь замечанием к теореме $.1, то можно заключить, что для достаточно малых 7 опреде- лена непрерывная функция 6(7), причем такая, что вы- полняется соотношение 11ш — = 0 6 (7) о и удовлетворяются уравнения (4.25). В силу предположения 3 имеем ер(ухо+ Д 67(у) ег1 = ухо+ Д, 67(у) ет+ 1'И1 / 1е1 + г(ухо+ Д 6,(у) е-) = ухо+ г,(у), где го(у) = Х 61(у)01+ г(ухо+ Х 61(у) 01).
1И1 1Е1 Из свойств функций 6(7) и г(х) (онн стремятся к нул1о быстрее, чем 7 и х) следует, что г, (7) — — 0 т (4.30) $7 в.н. Иоееаочоыа Поэтому по правилу дифференцирования сложной функции имеем —,', 6,(у, 6) /, = < р,'(О), 7,'(,)> = = <хо Уе(хо)> = О, 1'~ Х, (4.28) 258 гл у неовходнмые условия экстРемума н при достаточно малых Т > 0 ух,-(- ~6;(у)е; = )аг — ~) 1а с Д, (4.31) в) (т) )аг так как ~~~ем Х~ 1. Согласно предположению 3 из включения (4.31) вытекает, что х, + ~р ~ух, + Д 6; (у) е;) ~ М, гаг при малом т, т.
е. хо+ (хо+ го(Т) ш М. (4.32) Учитывая, что система (4.25) может быть переписана в виде Х'(хг+ (хг+ гг(()) = О, (ж Х, (4.33) При этом у'* > 0 для (ьа (0) 0 Х и у'е = 0 для (ее Хг, где (( ее 1 Х1 (хр) ( 0) нз соотношений (4.32) и (ч.30) получаем все утверждения леммы. Теперь можно приступить к формулировке и доказательству основной теоремы. Теорема 4.4. Пуста для точки хг, являющейся точкой минимума функции 1г(х) при ограничениях (4.19), выполнены предполоасения 1 — 4. Тогда существуют такие числа у"", (~в(0) ОХ 01, что Уьв)г; (х, х ) + ~ У*'*(х, 1; (хг)) ) 0 (4.34) ~а(г)0г- 1яг для всех Км ( ;) П ( () ао Ь,( ,)~.
~ожг)0г- % 4. ОБЩИЕ НЕОБХОДНЬГЬГЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 259 'Доказательство. Если соотношение (4.22) выпол- няется, то утверждение теоремы выполняется тривиаль- ным образом. Достаточно для 1»и1 положить у'0 = аь взяв оя из соотношения (4.22), а все остальные уоо выбрать равны- ми нулю. Предположим теперь, что соотношение (4.22) не вы- полняется. Введем следующие обозначения: ,1- =(О)()(1-",10-), .1 = 1-01, К = К (х )Д(' П ЙошЬо(, х,)). ~ 1н(оягПусть Ь вЂ” число индексов в 1.
Определим множество Р следующим образом: уояР, Рай», тогда и только тогда, когда существует такой вектор х он К, что у о Ь~(х~ хо). 10- =1 ° у* =(х 7'0(хо))~ 1~1. Из выпуклости функций Ь; легко следует, что Р— вы- пуклое множество. В силу предположения 4 оно не пусто.
Рассмотрим множество ))Г=(уел В~: у'<О, 1я1, у'=О, (ы-:1) и покажем, что Р и )о' не пересекаются. Допустим противное, тогда найдутся вектор уо»ЯРО))( и вектор хожК, такие, что Ь;(х„х,)<у'<О, 1я1 (4.35) (х» Уо (хо)) Так как хооиК, а КыК„(хо), то хоонКЯ(хо). Из первого соотношения (4.35) вытекает, что хо »00, ибо Ь,(О, хо) =О. Из второго соотношения (4.35) и леммы (4.2) следует существование такой функции го(7), что ( 'го(7)-» О прн 7 о О, для которой выполнены соотношения (4.32), (4.33). В силу предположения 1 для 1»в1 получаем, что 1, (00+ тзо+ го(т)) — 1, (00) 11шзпр ' 0 0 ' '' 0) <Ь; (х„х)<О, т»о т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
