Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 38
Текст из файла (страница 38)
для всех достаточно малых 7 ~ О выполняется 1о (хо+ ухо+ го(7)) <~1о (хо) + 9 уЬо (хо~ хо) ~ 17» 260 ГЛ. У. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Отсюда, так как Ь;(хо, хс) ( 0 для г ж 1-, при достаточно малых ( ~ 0 получаем следующие соотношения: 1з(хо + '(хо + гэ(() ) ~ ~о(хо), (4.36) 1' (ха+ ухе+ го(у)) <0 ( еи (1 ~' 1о) (4 37) Величпны й,(хе, хз),(ен 1„, конечны, поскольку хеж1<, а 1< ж дош Ь;(., хз). Поэтому )шзпр й ° е е е ) й ° з)(й ( х) (х + тх + г [т)) — 1. (х 1 Т1о Откуда вытекает, что неравенство к(хо+ "(хо + го(() ) ~ У<(хо) + (Ж(хо, хо) + е) < О, ( ж 1о (4.38) выполняется для любого е) 0 и при достаточно малых т>0, так как У,(хо) <0 для (еш1з.
Сопоставляя соотношения (4.32), (4.33), (4.36) — (4.38), видим, что найдУтсЯ точки х = хо+ Тхз+ го((), отличные от хз, в которых значения )е(х) меньше, а все ограничения (4Л9) выполняются. Это противоречит тому, что х0 — точка минимума функции 1з(х). Таким образом, введенные выше множества Р и )т' не пересекаются. На основании теоремы, отделимости (теорема В2.3) существует такой вектор рх ж В', что <у, у*> > <Ун у*> (4.39) для всех уыР, у1 жй, или, в компонентной записи, ;>~ р*'у'*+ Х у'у*'*~:р уЬ" + Х цр*'* 1ех (4.40) у ~н Р, у1 ж )у'.
Из определения множества Р следует, что величины Ч*, (ж1, могут неограниченно расти при фиксированном х. Поэтому р'х ) О, ( ж 1, так как противоположное неравенство приводило бы к противоречию с (4.40) при у'-» + . Итак, ( ~ (О) () (1 ~ 1о ). (4.41) у4*;) О, $ Ь ОБЩИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА Еб( Пусть х(ИК.
Положим в неравенстве (4.40) у( = О. Тогда устремив у' к Ь;(х, хэ) для (жХ и положив для ((БХ у*' = <х, 1((хс) >, получим у( Ь; (х, хь) + ~ у'*(х, 1((хе)) ) О (а( для х(ЕК. Выбрав уса = 0 для (а Хе, переходим к соотношениям у"Ь;(х, хе)+ ~ у("(х, (,(хе))' вО, (а(юш- ьн( хее К. у(* ~ О ( ее (О) () Х; ~ ~ 19 1 что и требовалось доказать. Т е о р е м а 4.5. Пусть выполнены предположения $ — 3 и существует точка х((ЕКи(хс), в которой 4ункции Ь,(х, хе), )(в(0) ((1, непрерывны.
Тогда существуют не все равные нулю числа уьг, ((н(0) 01 ((1, и векторы х( ядХ~(хе), (ее(0)()Г, ~вя(йошЬ((, х ))е, хе си еи Км(х,), такие, что у"х; + ~~'.~~ у(*1;(х ) = х*+,~~Р~ х;„ ив(еМГ- ив(юшу(~)0, (еи(0)()1; у(* = О, (еХе. Доказательство. В силу предположений выполнены все условия теоремы 4.4. Поэтому найдутся такие числа у('е, что у'*>О, (ж(0) 01; у'*=О, ((ЕХо п будет выполнено неравенство (4.34). Обозначим функцию в левой части неравенства (4.34) через Ь(х).
Ясно, что ()ошЬ = П йошЬ((, х ), (а(М(((- и в силу условий доказываемой теоремы выполнено включение (4.43) 262 ГЛ. У. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ 9КСТРЕМУМА функция й(х) непрерывна в точке х,. Неравенство (4.34) показывает, что х = О есть точка минимума функции й(х) на конусе К = Км(хь)П( П йошй1(, хв)).
(Ы(0%1- Согласно теореме 1Ч.2.2 дй(0) П Кв ~ 8, (4.44) а в силу теоремы П.3.8 дй (О) = Х р10д~; (х) +,Е у'*~1 (хо), (4.45) Ы(ОЯ11- 1Я1 так как согласно сделанным предположениям функции Ь, непрерывны в точке х~ и *, = К (*,) П ~ П (п2 а й,( , х,)), (ье10НЛ- то по теореме 1.3.3 получаем, что Ке = Км(х,)+ ~'„', (йошЬ;( °, х,))е. (4.46) Ы(0)ШИз соотношений (4.44) — (4.46) следует равенство (4.42).
Следствие 1. Если фуннция Ь~(х, хс) непрерывна по х во всем пространстве Х, то в предположениях 1 — 3 верна теорема 4.5, а равенство (4.42) может быть записано в виде ,~ у1'х; + ~з~ у1*~;(х) =х*. 10К01Ц1 ЕИ1 В самом деле, если Ь~(х, хс) непрерывна во всем пространстве, то а й,.(.,хз)=Х, И й,(.,х,)) =(О), так что из включения х;0 ее (йош й~(, х ))е следует, что х,'0 = О.
Глава У1 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Задачи оптимального управления и вариационного исчисления в традиционная область применения теории необходимых условий экстремума. При этом, как правило, приходится рассматривать необходимые условия для задач, определенных в достаточно общих функциональных пространствах, так как в задачах оптимального управления минимизируемая функция зависит от аргумента, который сам является функцией времени.
Большинство результатов предыдущей главы о необходимых условиях экстремума после соответствующей переформулировки могут быть перенесены на общие функциональные пространства. После этого они непосредственно применимы к задачам вариационного исчисления и оптимального управления.
Это обычный путь. В этой книге до сих пор рассматривались конечномерные пространства, и использование в последней главе сложных функциональных пространств означало бы отклонение от общего плана. Поэтому при исследовании задач оптимального управления в этой главе используются методы, основанные на переходе от исходной задачи к последовательности аппроксимирующих ее конечномерных задач. При атом оказывается удобным трактовать задачу оптимального управления как задачу оптимизации на множестве траекторий некоторого дифференциального включения.
Понятие дифференциального включения, которое будет определено ниже, позволяет охватить многие из рассмотренных в литературе задач оптимального управления единым методом решения. В то же время такая общая постановка задачи, давая возможность получать новые результаты, не всегда позволяет получить уже известные во всей полноте, так как общность постановки неизбежно ведет к тому, что игнорируются некоторые детали и особенности конкретной задачи.
Как уже сказано выше, аргументом в задачах опти мального управления являются функции. Поэтому совсем 2(и гл. Ть ЗАдАчи ОптимАльнОГО упРАВления избежать понятий, связанных со свойствами некоторых простейших функциональных пространств, невоззюжно. Мы предполагаем, что читатель знает, что такое абсолютно непрерывная функция и измеримая функция, что производная от абсолютно непрерывной функции существует почти всюду и абсолютно непрерывная функция совпадает с интегралом от своей производной и тому подобное. Все эти н другие используемые ниже свойства можно найти в учебниках. й 1.
Дифференциальные включения Рассмотрим конечномерные пространства Х и У. Всюду в дальнейшем предполагается, что Х У=К". Пусть задано многозначное отображение а(х), И1 а ш Я, Я = Х Х У. В дальнейшем изложении фиксируем стандартный промежуток изменения одномерного аргумента 1. В качестве такого промежутка выберем отрезок (0,11. Пусть для (~и ~и (0,11 определена абсолютно непрерывная функция хЮ ~ жК". Такая функция имеет производную почти всюду и может случиться так, что при этом выполняется соотношение (1Л) — „, х(1) ~ а(х(1)) для почти всех (. Соотношение (1Л) называется ди(дференциальным включением, а при указанных условиях функция х(() называется решением этого дифференциального включения.
Ясно, что дифференциальное включение есть обобщение обычных дифференциальных уравнений. Если а(х)— однозначное отображение и единственным элементозц принадлежащим множеству а(х), является 1(х), то включение (1.1) переходит в обычное дифференциальное уравнение — х(() = ) (х). и Если 1(х, и) ш К" — вектор-функция, определенная для х иК" и иш У, где У вЂ” некоторое подмножество нз К', то можно определить миогозиачное отображение а(х) следующим образом: а(х) = (у: у =)'(х, и), иж Ы =1(х, О"). (1,2) 5 ь диФФегенцигльные включения 265 При таком выборе а(х) включение (1Л) переходит в со- отношение ' х (6) е= ((х ((), 0), или Читатель, знакомый с теорией оптимального управления, сразу увидит в уравнении (1.3) обычное уравнение динамики управляемого объекта и заметит, что любое решение уравнения (1.3) прн некотором управлении и(г) ег У одновременно является решением и дифференциального включения (1Л).
Можно показать, что при достаточно естественных предположениях решение включения (1.1), когда а(х) определено соотношением (1.2), одновременно является решением уравнения (1.3) при некотором управлении и(г)гя (). Из приведенного примера ясно,что дифференциальное включение (1Л) может иметь не единственное решение. Возникает вопрос: при каких условиях существует хотя бы одно решение дифференциального включения и каковы семейства решений? Ответ на зтот вопрос дает следующая теорема. Заметим, что она является далеко не самой общей теоремой такого рода, но она вполне достаточна для наших нужд.
Т ео р е м а 1Л. Если а(х) — выпуклоэначног замкнутое ограниченное отображение, полунгпргрывнов сверху по х, и йота а содержит шар радиуса г = (1+ !!хг!!) в' — 1, гдг с — константа такая, что !!а(х)!! ( с(1+ 1х!!), то существует решение х(8) диу)4ервнциального включения (1Л), удовлетворяющее неравенству !)х(И ( (1+ !!хг!!)г" — 1, х(0) = хг. При этом решение хИ) определено на всем отрезке (О, 1) и удовлетворяет на этом отрезке условию Липшица, Доказательство. Разобьем интервал [0,1) на 2" частей (т — натуральное число) и положим 3 =2- .
За- 2СС ГЛ. Чг. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ пишем вместо соотношения ИИ) разностное включение хь(ь+ 6) ш хьИ) + ба(хь(ь)), П О, 6, 26, ..., (2" - 1) б. И.4) Выберем хь(0) = хо и будем определять хь(П), П О, б, ..., шаг за шагом, выбирая каждый раз в качестве хьИ+6) произвольный элемент множества хь(П) + ба(хь(П)). Из включения И.4) следует, что Пхь((+ 6)П < Пхь(ь)П + 61а(хь(ь))П < Пхь(П)6+ бсИ + Пхь(Ю)П), т. е. (1х~(П + 6)!( < И + бс)!! х~(П) П + сб. И.5) По индукции, полагая 1=0, б, ..., из неравенства И.5) нетрудно получить Пхь(П)П < И+ бс)енИ+ ПхоП) — 1.
И.б) Из элементарных курсов анализа известно, что И + бс) нь < е". Поэтому из неравенства И.б) получаем Пхь(1) П < е'ГИ + ПхоП) — 1. И.7) т. е. построим линейную интерполяцию. Функция хь(ь) удовлетворяет условию Днпшица с константой, не зави- сящей от 6. В самом деле, в силу неравенства И.7) можно записать (1хь(ь)!( < е'И + ПхоП) — 1 = г. И.8) Из оценки И.7) и предположений теоремы вытекает, что хь(1) при всех П О, б, ..., (2" — 1)6 не выходит из области определения отображения а, так что включение И.4) всегда имеет решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
