Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(3.18) Заметим, что число точек г= дб, попадающих в промежуток (а, Ь) при малых б будет равно ПЬ вЂ” а)/б), где квадратные скобки означают, что берется целая часть числа. Поэтому б У /)х(г) —,(г))!'> > б ~ ~*(г) — *. (г) ~!т > б~'="1 Я'> ~ 4 ) (з 18Ь 282 Гл. уь ЗАЛ„Ачи ОптимАльнОГО упРАВления Рассмотрим теперь траектории хг(г), которые согласно теореме 1.2 сходятся к х(г) и ьх(ь) — х,(ь)П ~ с,б.
Как было сказано выше, они при малых 6 удовлетворяют ограничениям (ЗЛЗ), (ЗЛ6) дискретной задачи оптимизации. Из предположения В и леммы 3.2 вытекает, что бу(хь(Ь), Ь) + <р„(хь(1))-э-1(х( )), г=ь,ь,.. „г-ь а так как 6 Х !!х(Ь) — хь(Г)~(6(с,б) 2 = с,б, в=о,ь,...,1 то Хг(х,(.)) — Х(х( )). (3,20) С другой стороны, хг( ) минимизирует 1ь и поэтому 1ь(хь( )) 3-'Хь(хь( )) = Х бу(хь($), $) + + р,(хь(())+ б Х )*® — ьЖ(. Снова воспользовавшису леммой 3.2 и неравенством (ЗЛО) и устремляя б к нульо, получаем, что 1(х('))~)1(хь( ))+ ( 4 ) 1 что противоречит оптимальности траектории х( ). Лемма доказана. Итак, траектории х,( ° ) сходятся к х( ° ) и, значит, целиком лежат внутри е-трубки. Это позволяет применить к дискретной задаче оптимизации теорему 2Л предыдущего параграфа.
Теорема ЗЛ. 11усть выполнены предположения А, В, С. Тогда существует такое число )в~О и векторы хь(т), 8 = О, б,..., $, х~д, не все равные нулю одновременно, что — йьть (2) еи ав (хь (Ь+ 6); (хь (8). Ль х(8))) + +2Хь(х(Ь) — хь(т))+),ьду(хь(Ь), Ь), (32)) 289 1 з. ниовходимьш условия минимума хе (О) й Кл (хе (О)), хе(1) + х~д ~ Хедере (хе (1)) (3.22) х~~ ~ Кме (хз (1)), еде по определению х (е + 6) — х (е) Доказательство получается прямым применением теоремы 2.1. Единственное, что нужно сделать — зто вычислить отображение, локально сопряженное к отображению х+ба(х), ибо включение (3.15) эквивалентно соотношению (21), если в последнем вместо а(х) взять х+ба(х).
Обозначим отображение х+ ба(х) через 1+ба, где Х— тождественное отображение (Нх) = х). Тогда, если К,+е.(з), х (х, у),— локальный шатер к Ф(1+ ба) в точке з, то существуют такие функции г,(х, у), гз(х, у), что г, стремится к нулю быстрее, чем (Гх1+1у1, и для всех достаточно малых х, у из некоторого конуса Д вЂ” и' Ке+е,(з) выполняется включение у+у+ге(х, у) ен(х+х+г1(х, у)+ ба(х+х+ г1(х, у))). Простое преобразование этого включения приводит к соотношению у — х у — х — + — + 6 6 + 6 ~ге(х, у) — г, (х, у)1 е= а(х+ х+ г (х, у)), 19 в. н.
гвиеиичиыа пз которого следует, что К,((х, У вЂ”.)) — локальный шау — х1 тер к 91 а в точке (х, — ~ и 6 ! (х, У )~К,((х, "— )). 290 ГЛ. УЬ ЗАДАЧИ ОПТПЫАЧЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Точно также можно показать, что если выполнено включение (3.23) и К,— локальный шатер, то (х, у) ы К,+„((х, у)) (3.24) и К~~А, — локальный шатер. Таким образом, соотношения (3.23) и (3.24) эквивалентны. Пусть теперь х*ш (Х+ба)е(у*; з), з= (х, у).
По определению это значит, что ( — ' у )ен Кт-РА (') т. е. — <х, х*>+ <у, у*> >О, (х, у) ~аК,+„(з). Перепишем последнее соотношение в следующем виде: х* — у,,' у — х — х, >+. —,у* .)О, (х,у)енКР,А,. 6 ", 6 Если теперь учесть эквивалентность включений (3.23) и (3.24), то получим, что —, уе) ее К, ((х, У )), т. е. (3.25) или х*енух+ ба*~у*;~х, "— ))., (3.26) Итак, включение хх ~н (Х+ ба)х(уе; г) эквпвалентно вклю- ченпю (3.26). Применение теоремы 2Л к задаче (ЗЛ4) — (3.16) пос- ле очевидных переобозначений показывает, что должны выполняться соотношения (2Л4), (2Л5): хз (1) ен (Х + ба) (ха (1 + б); (ха Щ, хе (1+ б))) + + ) еду (хь Я, 1) б + 2Леб (х Я вЂ” хе (1)), 2=0,6,...,1 — б, хе (0) е= Кяе (х (0)), хь (1) + х~ ен Хьд(рз (хе (1)), х~ ее Км (ха(1)).
% 3, НЕОВХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЗГИНИМУЫХ г9( Если теперь учесть, что включение х» он (1+ба)*(у*; г) эквивалентно (3.26), то только что приведенные соотношения приобретают вид (3.21), (3.22). 4. Необходимые условия минимума. Теперь можно перейти к формулировке и доказательству основного результата. Теорема 3.2. Пусть выполнены предположения А, В, С и х(*) минимизирует функционал (3.2), среди всех траекторий, удовлетворяющих включению (ЗА) и краевым условиям х(0) он )У, х(1) оа М. Тогда существует число )»о>0, вектор х~ и функция х»(г), о он (О, 1), не равные нулю одновременно, такие что: 1) х* (1) + х~ ~ йод!ро ('г(1))! хр я Км(х(1)), х»(0) ен Кй(х(0)); 2) 9)ункция х»(1) удовлетворяет условию Липшица и х»(1),ИА»(х»(1).
х(о)) почти всюду на отрезке [О, 1); 3) <х((), х»(с)> = )4т,(х(1), х»(1)) почти всюду на (О, 1). Напомним, что )4'. и А» определены формулами У.3,1 и У.3.14. Доказательство теоремы опирается на следующую лемму. Лемма 3.4. Если выполнено предположение С, то множество А*(у»; х) полунепрерывно сверху зависит от у»оиН" и х из е-трубки траектории х( ° ). Кроме того, (!А»(у»; х) !! ( с!!у»(! для всех х из а-трубки траектории х( ° ).
Доказательство. Допустим противное. Тогда для » некоторых А ) 0 их», уо найдутся такие последовательности хо-»хо, уо-».уо и точки хоеп а*(уо; (хю уо)), уо еи а(хо; уо), что хь ф А* (уо' хо) + АВг (3.27) где  — единичный шар в Н'. Так как угона(х,), а множества а(х) равномерно ограничены при всех х из етрубки в силу предположения С, то все у„также равно- 19» 292 Гл. ш, ЗАЛАчи ОптимАльнОГО упРАВления мерно ограничены, и можно считать, что у,- уо.
По лемме о'.3.1 множества а(х; у*) полунепрерывно сверху аависят от своих аргументов и замкнуты, а поэтому из вкл1очения уо ен а (хо; уь) следует, что уо а(хо; уо). Далее, по предположению С множества ао(у*; (х, у)) равномерно ограничены, так что ~ хЦ ( ~ ао (УА) (хо, Уо)) ~ ( с !! У' ~. В силу того, что уо-о-у„все уо ограничены, а значит ограничены и хо. Значит, без ограничения общности можно считать, что хо -охо. Так как по предположению С множество ао(уо; (х, у)) полунепрерывно сверху зависит от своих аргументов, то из включения хо ен а* (уо (хо уо)) вытекает, что хо я ао Ьо' (х„, ро)). Последнее соотнопгение вместе с включением (3.28) и определением т.3.2 отображения А* показывает, что 4 ~ Ао (уо*, х,).
Но последнее противоречит соотношению (3.27) и тому, что хо-о х,. Наконец, последнее утверждение леммы сразу следует из соотношения (3.13) и определения У.3.2 отображения А*. Пусть теперь хоП) — последовательность решений дискретной задачи оптимизации. Согласно лемме 3.3 она равномерно сходится к хП).
Кроме того, существует последовательность чисел Хо > О и векторов хо (1), г= О, о 6,..., 1, хоо, одновременно не равных нулю и таких, что выполняются соотношения (3.21), (3.22). о о Заметим, что Хо, хо (1) и х1о не могут быть равны нулю одновременно.
Если это было бы так, то из включения (3.21) и ограниченности отображения а*(у*; з) следовало бы, что и все хо(1), 1= О, 6, ..., равны нулю, что противоречит вышесказанному. Поэтому после соответствующей перенормировки всегда можно считать, 5 З,НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА гзз ЧТО Ль + ~ хь (1) )! + ~! хьь ~ = 1. (3.29) Далее, так как все траектории хь(ь) равномерно ограничены, и в силу соотношения (3.15) справедливо включение бьхь(ь) ьи а(хь(ьИ, те все величины Льхь(Г) также равномерно ограничены. На основании предположения С получаем, что !!а*(у"; (хь(ь), Ььхьй)))(~ ( с!!уег.
Далее, согласно предположению В, все множества ду(хь((), ь) равномерно ограничены и иа включения (3.21) теперь вытекает, что 9хь(1))»Дхь(Г+б)3+4 Вхь(Г+б)Н+ + 2Льбу (б) + Льбс„(3.30) где ((б) определено соотношением (3.17), а число сь ограничивает нормы векторов из множеств ду(хь(1), 1). Если переписать неравенство (3.30) в виде ~~ха (Г) 1» (1+ б ) 1 ха (Г+ б) 3+ б (2Льу (б) + с) ь то нетрудно получить, что $хь (Г) ~((1+ бс)<'-ьпь~хь (1)(+ + б(2Л у(б)+ т)('+'), ((1+б) '1(*ь(1)1+ откуда следует, что все траектории хь (г) равномерно ограничены.
Но тогда из вкшочения (3.21) вытекает, что все величины Льхь (г) равномерно ограничены. Поэтому ломаная хь (ь) г ен (О, 1]ь проведенная через точки хь((), с=О, б,..., 1, удовлетворяет условию Липшица с константой,не зависящей от б. Итак, функции хь(ь) равномерно ограничены н удовлетворяют условию Липшица, и поэтому иа этой после- 294 гл.уь зАЛАчи оптимАльного упРАВлениЙ довательностп можно выбрать равномерно сходящуюся. Без ограничения общности можно считать, что хв (г) -~. -1-хе(Г) равномерно. Точно также в силу условна (3.29) МОЖНО СЧИтатЬ, Чта Хг- ).О,Х1з-ч-Х1'.
Из предположений А и В следует, что х*(0) ен Кп(х(0)), х1 ен Км(х(1)), хе (1) + х1 ее Хндф, (х(1)). (3.31) Проанализируем теперь соотношение (3.21). Используя лемму У.З.З, его можно переписать в виде — Лехе (1) ~ А* (хз (8 + б); хв (1)), (3.32) Лех(Г) ен а(хв(Г); хь (г+ б)), (3.33) 1=0,6,...,1 — б. Согласно только что доказанной лемме и лемме ч'.3.1, многозначные отображения А*(уе, х) и а(х; уе) полуне- прерывны сверху по включени1о. Поэтому, почти дослов- но повторяя рассуждения, приведенные при доказатель- Э стве теоремы 1.1, из равномерной сходимостн хз (1) — ~ -з-х*(Г), хв(Ю) — ~-х(8) п соотношений (3.32), (3.33) по- лучаем, что почти всюду выполнены соотношенпя — хе(8) ы А*(хе П); х(И), х(1) 1и а(хП); х*(1) ).
Из включений (3.31), (3.34) и (3.35) с учетом формулы (ч'.3.2), определяющей а(х; уе), получаем все требуемые теоремой утверждения. Доказательство завершено. 5. Выпуклые дифференциальные включения. Вопрос о применимости теоремы 3.2 сводится к проверке предположений А, В и С. Покажем, что эти предположения выполнены, если входящие в задачу множества и функция выпуклы. Теорема 3.3.
Пусть фг(х) — непрерывная выпуклая функция, множества 11' и М вЂ” выпуклы, а отображение а выпукло, замкнуто и ограничено. Для того, чтобы траектория хП), Гы (О, 1), целиком лежащая внутри множества 1)оша, минимизировала фг(х(1)) среди всех тра- $3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 295 екторий дифференциального включения хП) ~и а(х(8)), удовлетворяющих краевым условиям х(0) ш№ х(1) шМ, необходимо существование числа Хз ~ О, вектора х~ и абсолютно непрерывной функции х*(1), не равных тохсдественно нулю и таких, что: 1) х*(1) + х~ ен ).,д<р,(х(1)), х;енК~(х(1)), хв(0)я ББ Кй (х(0))~ 2) — х*(1) ~в ав(хв(1); (х(г), х(8))) почти всюду на 10, 11; 3) х(() ~на(х(1); х*(г)) почти всюду на [О, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
