Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть и есть вектор из пространства К'т+н" с и-мерными компонентами х„г = О, 1,..., Т. Пусть т' 1(и') = Х е(х 2) (2.3) ))(=(Еи хешЯ, М=(аи хе~М), (2.4) М, = (ал (хы х~+1) еи я1 а), 8 = О, 1, ..., Т вЂ” 1. Тогда, как легко проверить, исходя из определений, по- 18 В, Н. Пшеничный я74 Гл. ч1. 3АдАчи ОптимальнОГО упэлвлеыия Легко вычислить конусы касательных направлений в точ- ке ю к У, М~ и М. Если и = (хм хь ..., хт), то Кк (к1) = (кч ха ~ Кк (ха) ), К,(ий = (ю: (х„я~+1) ж К,Ихо х ~1))), 1=0,1,..., Т вЂ” 1, Км(иу) = !ю: лгала = Км(хт)).
В силу основного предположения все эти конусы являются локальными шатрами. Аналогично выкладкам, проделанным в $6 главы 1У, получаем КйЫ = (и*: ха ~К;»(х,), х1" = О, (=1,..., Т], (2.6) К1 Ы = (ю~: тх1 х1+1) ~ Ка Ях1 х1+1)) хь = О, й~Г 4+1), (2.7) 1=0,1,...,Т вЂ” 1, Км(иР) = (ьте: хг ~ з-=Км(хт). х1 =О, 1=0 1 ° Т вЂ” 1!. (28) ь Ф 91 ГДЕ П1 = (Хю Х„..., ХТ1. Воспользуемся теперь теоремой У.4.2. Заметим предварительно, что если в этой теореме дошл(, хс) =Х, то предположение о том, что 1п4 йош й (, ха) П ( П Км,. (ха) чь,в, 1 1=1 ставленная задача оптимального управления совпадает с задачей минимизации функции 7(к1) на множестве ФП П М1 ПМ.
(2.5) Обозначим и (хм хь ..., хт). Иэ основного предположения вытекает, что функция 7(ю) допускает верхнюю выпуклую аппроксимацию в точке в л при этом д~(ю) = (дд(хо, 0), ..., дй(хт, Т)). 9 Е ЗАДАЧА С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ 275 можно опустить. Дело в том, что в рассматриваемом случае оно зквивалентно следующему соотношению: К = П Км, (х,) М д2(.
е=д Так как согласно основному предположению функция ~(й) допускает верхнюю выпуклую аппроксимацию, не- прерывную во всем пространстве, то в соответствии со сделанным выше замечанием никаких дополнительных предположений о пересечении конусов К,(и ) не нужно. Итак, на основании теоремы 'Ч.4.2 существуют не все одновременно равные нулю векторы йе, т = О, 1, ..., Т— 9 е — идь н йе н число )д ~~ 0 такие, что т-д едйд' = йЬ + Х йд + йЕ е 1=9 й~ сед~(й), йьееК'-(й), й, яКМ(й), (2.9) иде ее Кд (й), 1 = О, 1,..., Т вЂ” 1. Согласно формулам (2.6) — (2.8) и выражению для д~(й) векторы, входящие в соотношения (2.9), имеют следую- щую структуру: йд = (Хе„Хе„..., ХГ~), Хддандд(Ю„Ф), 1= О, 1, ..., Т, йь = (хь, О, 0), хь ее Кл (хь), (2ЛО) й, = (О, О, ..., х, ), х, ее Км (хт), йд = (О, О, ..., хд (ь), хе+1(ь), О,'..., 0), (х; В Д, (1)) - =К*.
((Х„х,,)), 1 = О, 1,..., Т вЂ” 1. Записав (2.9) в покомпонентном виде, получим )дхдь хь + х9 (О) (2.11) )хдд = хд (( — 1) + хд (т), 1 = 1, 2, ..., Т вЂ” 1, (2, 12) )Хдт = Хт (Т вЂ” 1) + Хе ° (2ЛЗ) Введем следующее обозначение: хе+1=хе+1(1) 1=0, 1,... ..., Т вЂ” 1. Из формул (2ЛО) с учетом определения У.ЗЛ д89 276 гл. ть задачи оптнмальнсго управлкния получаем,что — хр (1) ~ ар (х~+,, (х,, х,+,)). Теперь равенства (2Л1) †(2.13) можно записать в следующем виде: х~ — Лхтьепа*(хр+„' (х,, х,,)), р = 1, ..., Т вЂ” 1; хь — Лхгр ~ ае (хП (хр, хь)), Лх~т — — хт + х,.
Для компактности записи удобно обозначить хр = — хьь. р Тогда, учтя формулы (2ЛО), окончательно получим хр еп а*(хр+П(хп хры)) + Лду(хр 1) (2 14) 8=0,1, ..., Т вЂ” 1, хр '== Хй (хр)~ хт+ хе я Лду(хт Т)~ хе ~ Хм (хт). (2Л5) Заметим, что Л и хр, х,' не могут быть все равными нулю, так как в противном случае из равенств (2Л1)— (2ЛЗ) следовало бы, что все векторы юь, юш юр равны нулю в противоречии с утверждением теоремы У.4.2. Таким образом, доказана Теорема 2Л. 11усть выполнены условия основного предположения.
Тогда для того, чтобы траектория (х,)~ рл, „, т системы (2Л) минимизировала функцию (2.2) при краевых условиях хрриФ, хтжМ, необходимо, чтобы нашлись такие не все равные нулю векторы хр, г= О„ 1,..., Т, х, и число Л>0, чтобы выполнялись соотношения (2Л4), (2Л5). Проиллюстрируем применение теоремы 2.1 на одной из задач оптимального управления. Пусть Х=К", У=К', Я=ХХ У. Предположим, что заданы функции ф~(г) пф~(х, у), ьрн1-01Р, которые непрерывно дифференцируемы.
Их градиенты относительно переменных векторов г, х и у будем обозначать соответственно через ф„(г) ен К "г р;„(г) еп К, ф;у(г) еБ К, $2. ЕАдАЕА с дискРетным ЕРеменем 277 так что ф;, (г) = (ф~„(2), ф,в(2)). (2.16) Функции ф,(г) задают многозначное отображение а(х) =(у: ф~(х, у) <О, (еХ, ф,(х, у) О, (шХ ). (2.17) Требуетси найти траекторию (х,), з е„„„удовлетворяющую включению х,+~ ~ а(х,), или, учитывая соотношение (2.17), удовлетворяющую соотношениям ф;(хо х,+1) <О, 1~ЕХ, (2 18) ф,(хо х,+1) =О, ЗяХс, 2=0,1,...,Т вЂ” 1 и краевым условиям хс ~и )У, х, ~и М, и минимизирующую функцию Х у(хю 2) 2га Для простоты будем предполагать, что множества М и М выпуклы, а у(х, 2) имеет непрерывный градиент у (х, 2).
Ясно, что поставленная аадача есть частный случай уже рассмотренной задачи, в которой отображение а задается соотношением (2.17). Для применения теоремы 2.1 необходимо проверить выполнение основного предположения. Условие 3 очевидным образом выполнено, так как функция у(х, 2) непрерывно дифференцируемы. Условие 2 выполнено, так как )Ч и М вЂ” выпуклые множества и согласно примеру Ъ'.1.5 конусы Ке(хс) = соп (й( — хз), К~ (хе) = соп (М вЂ” хе) являются локальными шатрами.
Таким образом, остается выяснить, при какие дополнительных ограничениях на ф~(г) выполнено условие 1 предположения. Так как ура=(2: ф<Ы~О, ХжХ; ф~Ы=О, (шХс), 27з гч. уь 3АдАчи оптимАльного упРАВления то в соответствии с примерами УЛ.2 и УЛ.4 конус К,Ь) =Ь. "<г, ф;,(г)>(0, 11и1 (г); <г, ф1,(г)> = О, 11н Р), где 1 (г) =(гш1-: ф1Ь) =0), является локальным шат- ром к 91 а в точке г я уга, если только он не пуст и гра- диенты ф1,(г), 11ИХЗ, линейно независимы.
Будем пред- полагать выполнение зтих условий на оптимальной тра- ЕитОРПИ (Х,)о=а 1, „т. Е. ДЛЯ ВСЕХ г, ИМЕЮЩИХ ВИД г = = (х„х,+1). Согласно примеру УЛ.2 и очевидным образом пере- писанной формуле ЖЛ.9) получаем К, (г) = (г*: ге = — .~~~ )1ф1ч(г), >.1)~ О, 1а1 и1' Л1ф, (г) = О, 1'я Г~. (2Л9) Учитывая формулу (2Л6) и то, что ге =(хе, уа), из соотношения (2Л9) получаем, что (х*, у*) ен К,*(г) тогда и только тогда, когда — ) 1ф1х(г), у' = — Х ) 1ф11(г) 1Е1 О1~ 1а1 111' Хсфю(г) = О, Х1>0, Из зтих формул вытекает следующая формула для локально сопряженного отображения: а*(у*; г) = ) .~~ Х1ф; (г): у*+ Оаг Н1' + ~ Л1ф;,(г)=0, Л;)О, Х1ф1(г)=0, 1ен1 ~.
(2.20) М1 111' 'Таким образом, для отображения а, описываемого формулами (2Л7), локальное сопряженное отображение в предположении линейной независимости векторов ф;,(г), гш 1е, задается формулой (2.20). В зтих же предположениях К.(г) есть локальный шатер и можно применпть теорему 2Л. Согласно ей найдутся такие векторы х,, $ = О, 1,..., Т, х, и число Ае ~ О, что выполняются соотношения (2Л4), (2Л5). С учетом формулы (2.20) это 279 % г. 3АдАчА с днскРетным ВРеменем позволяет написать: х1' = ~.'~ Лицах(хй, х1+1)+ Лгу'(х, г), еа1 О1' х1+ + ~~~ Ли<р;„(х1, х1+ ) = О.
ае1 010 )и ~ ~0 1 ~ 1 Л~1% (х11 х1+1) = Ов г = О, 1, ..., Т вЂ” 1, хо е= Кй (хь), хт + хе = Лгу (хт, Т), х, ЕЕ Км(хт). (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) по всем траекториям, удовлетворяющ1 и соотношениям (2.18) и краевым условиям хо1н Ф, хт 1н М. Тогда существуют такие не все равные нулю векторы х1, 1=0, 1,, Т, х," и число Лз)0, что выполнены соотношения (2.21) — (2.24).
Заметим, что теорему 2.2 мощно было бы доказать при более слабых предположениях, чем этого требуют условпя, наложенные выше на функции 1р,(г). Однако, Э при этом не удалось бы показать, что величины х~, х, п Лг не могут быть одновременно равными нулю. Таким Сформулируем полученньш результат. Теорема 2.2. Пусть выполнены следующие предположенияя: 1) А1нолсества У и М выпуклы; 2) узункции у(х, 1), 1=0, 1, ..., Т, непрерывно диу1- у1еренцируемы по х; 3) у)ункции 1р1(г), 11я Х- 0 Р, непрерывно дифЯеренци/ руемы по г и векторы <р1,(г)1 11н1", линейно независимы, а конусы К,(г) = [г: (г, 1р;,(г)),<0, 1ее1 (г), <г, ,',(г)) =О, ' = Г') не пусты при всех г=(х1, х1+1), г О, 1, ..., Т вЂ” 1, где (хА=Е ь ...,, траектория, минимизирующая сумму т Х у(х„г) 1ьв 280 ГЛ.
УГ. ЗАДАЧИ ОПУИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ образом, условия теоремы 2.2 гарантируют некоторую невырожденность получаемых необходимых условий минимума. С другой стороны, предположения теоремы 2.2 обусловлены теоремой 2 1, которая охватывает случай весьма общего многозначного отображения а, вообще говоря, не обладающего какими-либо свойствами гладкости. В таких условиях существенное ослабление предположений, прн которых доказывается теорема 2.1, представляется невозможным. з 3.
Необходимые условия минимума для дифференциальных включений Возвратимся к рассмотрению дифференциальных включений, определенных в $1. Как было сказано выше, дифференциальное включение даже при заданной Начальной точке определяет не единственную траекторию, ему удовлетворяющую.
Поэтому имеет смысл ставить задачу отыскания среди всех траекторий дифференциального включения такой, которая обладала бы дополнительными свойствами. Например, можно поставить задачу отыскания траектории, минимизирующей некоторый функционал, зависящий от этой траектории. Пусть снова Х = У = Н" и а — многозяачное отображение, а(х) ж У. Если заданы множества М вЂ” Х, М вЂ” Х, то моя'но сформулировать следующую задачу: среди всех траекторий х(г), гев [О, 1), удовлетворяющих почти всюду дифференциальному включению — х(1)сна(х(()), 1ен [0,1) (3.1) и условиям х(0) ев )т', х(1) ю М, найти такую, которая минимизирует выражение 1 Х(х( )) = ~д(х((), Г) Ю+ 1р,(х(1)).
(3.2) е Поставленную задачу будем называть задачей оптии льного управления. Условия, которые надо наложить на входящие в постановку задачи данные и при которых она будет решаться, будут сформулированы ниже по мере необходимости. % Э. НЕОВХОДИЖЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 28т Для сокращения обозначений условимся, что в дальнейшем производная по параметру г будет обозначаться точкой над функцией: х(т) =— — х(~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
