Б.Н. Пшеничный - Выпуклый анализ и экстремальные задачи (1125256), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Тозда существуют такие не все рав- являются локальными шатрами к множествам М; в точ- ке хо, если Й(хо)чьО для )оя1, Х;(хо) =О, или 1жХ. Воспользовавшись тем, что ('[ — Л,Х (,)о Л,)О[. 1 Х-, Хо(х,)= О, ХХ,".= [ (О), 1ен1, Хо(хо) < О, [[ — Л;Х,'(,): Ло В[, 1 Х, результат теоремы 4.2 можно переписать в виде Лхо = — Х ЛЬ (хо)о ом1о>ы ~п Л~эО, 1ои1-, ЛХ;(хо) =О, (ои1 . з с. овпгпк ниовходимык условия минимтма 247 ные нулю числа у»в, с' ш (0) 0 1 0 1, что у»*1» (х,) ен (соп (М вЂ” хв))* »яковы с»с ус" >О, с'я(0)()Г, у»*1»(хг) = О, сенЕ .
Доказательство получается из теоремы 4.2 совершенно аналогично предыдущему, если помимо множеств М» рассмотреть н множество М, для которого, согласно примеру 1.5, сон (М вЂ” хэ) есть локальный шатер. Действительно, в этом случае найдутся такие числа Л; > О, с»и 1, что ЛЕв(х,) = — Х Л»1»(х„) + х*, хв ен (соп(М вЂ” х,))*, сит ы п Л» = О, если 1»(хг) (О. Из этой формулы и следует нужный результат, если положить у * = Л, у»в = Л». 2. Ограничения, задаваемые многозначными отображениями. Исследуем теперь следующую задачу.
Пусть а — многозначпое отображение, И' — некоторое множество в пространстве У, М вЂ” некоторое множество в пространстве Х. Требуется найти минимум функции Еэ(х) при условиях а(х) 0 И'Ф»сс, х»и М. (4.1) Ниже эта задача будет анализироваться при различных предположениях относительно а, И' и М. Теорема 4.3. Пусть хг — точка минимума Яункции А(х) при ограничениях (4.1). Предположим, что (г(х) в точке хг допускает верхнюю выпуклую аппроксимацию сс(х, хэ), непрерывную по х; ус ш а(хг) 0 И" и К.(хо, уэ), К,т(уг), К, (хг) — соответственно локальные шатры к множеством б(а, Ит, М.
Тогйа существует такое число ЛР-0 и такие векторы х,*яд1(хв)» увя К»ст(у,), х'енКм(хв), что хв — Лхг е= ав ( — ув; гь), где гг = (хо, уо), а Л, ув и хв не равны нулю одновремен>со. Доказательство. Поставленную задачу в пространстве Я = Х Х У можно интерпретировать как задачу минимизации функции ф(г), г = (х, у), определенной соотношением ф(г) =Е(х), на пересечении множеств б(а, 248 гл. т.
нковходпмык головня экстгвмтма Х Х от', МХ Г, лежащих в пространстве Я. Легко видеть, что ф (го + Ло + (Л)) — ф ('о) Иш зпр о ~ ~г (х хо) л1е так что а(х, хо) есть верхняя выпуклая аппроксимация для ф(г) в точке го= (хо, уо). Так как й(х, хо) от у не зависит, то субдифференциал, соответствующий этой верхней выпуклой аппроксимации функции ф(г) в точке го, имеет следующий вид: дф(го) = д~(хо) Х (0), (4.2) Перепишем равенство (4.5) в следующем виде: Лх„= х, +хе, у, +у*= О. (4.8) Тогда Уо = — Уе и ( — ( — х;), — у') = К." ( о).
Согласно определению 3.1 последнее означает, что — хо сна ( — у*' го). т. е. состоит пз векторов г" = (хе, у*), для которых хе ш д~(хо) уе = О. В силу предположений теоремы множества К.(го), ХХ Кг(уо), Кя(хо) Х У являются локальными шатрами к множествам и(а, ХХ У, МХ У в точке го соответственно. Легко вычислить сопряженные конусы: (Х х Кот(у,))* = (0) х К~у(уо), (4.3) (Км (хе) Х У)е = Км (хо) Х (0) (4 4) Воспользуемся теперь теоремой 4.2. Из этой теоремы н формул (4.2) — (4.4) следует, что найдутся такие не равные нулю одновременно число Л~ О и векторы у*, х*, (х„у~), что Л (хе, 0) = (х„у',) + (О, у*) + (х', 0), (4.5) хо ен д)(хо) (хю Уг) ее Ко (го) (4 8) у* е- =Кй (уо) х*он Км(хо).
(4.7) о а Овщие неОБходпмые услОВия миНимУМА 249 Если переппсать первое пз равенств (4.8) в виде * Э вЂ” х =хо — Лх г— о1 то получим соотношение х* — Лхо ее а* ( — уо; го). Согласно теореме 4.2 не все векторы, входящие в равенство (4.5), равны нулю одновременно. Поэтому величины Л, у* и х* одновременно нулю равны быть не могут. Это завершает доказательство.
Следствие 1. Пусть а(х) = Ц(х)), где (: Х- г"— одногначное гладкое отображение, Ит и М вЂ” выпуклые множества, 1о(х) — гладкая функция. Тогда, если хо— точка минимума функции )о(х) при ограничениях 1(х) он Ит, хояМ, (4.9) то существуют такие одновременно не равные нулю числа Л > О и векторы хо и у*, что Чо(хо) (' (хо)у =х 1 хо ~ (соп (М вЂ” хо))*, уо ы (соп (Ит — 1(хо)))о. Доказательство.
Если 1: Х- )т — однозначное гладкое отображение, то его график есть множество (х, )(х)), хоиХ. 11о определению производная отображения 1 есть линейный оператор )'(х) такой, что „ш1(е+.) -1(*) -)'(*) *, ~щ, !Й или, иными словами, ((х+ х) = ((х) + ('(х)х+ т(х), (4.10) Гх)-'т(х) — О, когда х — О.
Так как здесь рассматриваются конечномерные пространства Х=К", г'=К", то )'(х) есть просто вектор в К'" с компонентами /'(х), (=1,...,по, а ) '(х) есть т Х и-матрица с компонентами д(Чдх„ ( = 1, ..., Во, ) = 1, ..., п. Если теперь го (хо, уо) ону1), т. е. ус=)(хо), то Х,(хо, уо) =((х, у): хыХ, у=1'(хо)х) (4.11) 250 ГЧ. У. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА есть локальный шатер к у1~. В самом деле, если по- ложить ау(х, у) = (х, ~(хе+ х) — ~(хо)) то согласно формулам (4.10) и (4Л1) имеем (хо, уо) + ау(х, у) = (хо+ х, ~(хо+ х)) ~ УЦ, аа(х, у) = (х, ~'(хо)х + г(х) ) = (х, у) + (О, г(х)), так что определение локального шатра удовлетворяется тривиальным образом. Вычислим К,' (хо, уо). Из соотношения (4.11) следует,что Ка (хо уо) = =((х*, уо): (х, хо) + (у, у*))0, хек Х, у =~'(х ) х) = = ((х*, уо): (х,хо)+(~'(хо)х, уе))0, хееХ) = = [(хо, уа): (х, хе+()'(хо))о уз))0, хек Х).
Итак, (х*, уо) ен К„(хо, у,) только в том случае, если <х, х*+ ~'о(хо)уа» О, х ан Х, (4Л2) где 1'о — оператор (в данном случае — матрица, сопряженная к матрице ('). Легко видеть, что неравенство (4Л2) возможно лишь если хв = — ('о(хо)уа. Таким образом, Ка(хо уо)=(( 1~(хо)у ~у ). у ~~ )' В частности, согласно определению ЗЛ получаем а* (уо; з„) = (х*: ( — х*, уо) ~ К,', (ао)) = (('о (х,) у*). (4ЛЗ) Итак, в рассматриваемом случае локально сопряженное отображение однозначно. Воспользуемся тем, что согласно примеру 1.5 соп (М вЂ” хо) и соп (И' — ~(хо)) есть локальные шатры к М и И' в точках хо и уо = ~(хо) соответственно. Применение теоремы 4.3с учетом формулы(4ЛЗ) дает возмолоность утверждать, что существует число О Ь ОБЩИЕ НЕОБХОДИМЫБ УСЛОВИЯ МИНИМУМА 251 Х ~ 0 и векторы х" и ув такие, что х* — )4,(х,) = — ~'в(х,)у*, хв вн (соп (М вЂ” хо))*, ув вв (соп (Йт — )(хо)И», что н требовалось доказать.
Рассмотрим еще одно применение теоремы 4.3.' Сл е д от в и е 2. Пусть хо — точка минимума функции 1о(х) при ограниченикх Л(х) <О, 1=1, „и, х»БМ. (4.14) Предположим, что функции )ь»=0, 1, ..., и», допускают в точке хо верхние выпуклые аппроксимации й»(х, хо), непрерывные по х, Кн(хо) — локальный шатер к М в хо. Тогда существуют такие числа у'о э О, »=О, 1, ..., и, в одновременно не равньге нулю, и векторы х» енд/» (хо)» 1=0, 1,..., т, что ~~'„', у'"х'; ББ Км(хо), уо'Ь(хо) = О, » = 1„..., и».
(4Л5) »=о Доказательство. Рассмотрим многозначное отображение а(х) =(уонй": у»>~д(х), »=1, ..., Б») п положим »1"=(0). Тогда система ограничений (4Л4) эквивалентна системе (4Л). Воспользуемся теоремой 4.3. Так как Оыа(хо), то в качестве точки уо можно ваять точку О. Ясно, что в рассматриваемом случае Квт(0) = (0), К»у(0) = К . (4Лб) Обратимся теперь к вычислению ао(у*; зо). Рассмотрим случай, когда ~~(хо) (О для всех » = 1, ..., Бг. Согласно лемме 3.5 ~,(хо + х) ~ Яхо) + ЬЩ хо) + г»(х). Так как 9хо) (О и Ь,(х, х) непрерывны по х, а т;(х) стремится к нулю быстрее, чем 1Э, то для достаточно малых х получаем, что ~;(хо+ х) ( О, 1 = 1, ..., т.
252 гл. т. Неовходивное условия экстгемумА Поэтому К.(,) =((х, у): хяХ, уя У) есть конус касательных направлений н даже локальный шатер к у(а в точке го = (хо, 0). Действительно, для малых х н у выполняется неравенство Хв(хо+ х) ( у', в = (, ..., т, т. е. (хо+ х, у) он у(а. Так как К.*(;,) = (Хм Г)*= (О)м(О), то согласно оиределепввю ЗЛ а*(у*; го) не пусто лишь в случае, если уо = О, н прп этом содержит единственный вектор х* = О. Применение теоремы 4.3 теперь показывает, что найдутся такие числа ). > О, х, я дХо (х,) и х* ев Км (хо), что Положив усе=2, и у*о=О, в=(, ..., т, получаем формулы (4ЛЗ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
