А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Начнем с задачи Коши для уравнения колебаний на неограниченной плоскости, которая ставится следующим образом: Применив преобразование Фурье по переменной у к задаче (5.1) аналогично тому, как это делалось в предыдущих параграфах, получим задачу для функции СС(х, Л, С): Уи —— агУ вЂ” агЛгГУ, — со < х < со, С > О, У~ = ф(х,Л), У,~ = Ф(х,Л), где 1 Ф(х, Л) = — ~(*, ) г/2к 1 1У(х, Л) = — гС г)(х,гС)е '""НгС. гГ2к Для функции Цх, Л, С) получена задача Коши для одномерного уравнения гиперболического типа, в которой Л входит как параметр.
Эта задача рассмотрена в предыдущем параграфе, и ее решение удобно записать в виде а+аг а э ~ с = —,— С' ах, лр. (л /Р~ -' у* -С г) аь д 1 а-аа а+аг + — С аг,сх(л,/Р\ — а с)а= 1 Г 2а,/ а-аг = Уг(х, Л, С) + Уг(х, Л, С). (5.2) Чтобы получить решение задачи (5.1), используем обратное преобра- зование Фурье и(х,у, С) = — у СС(х, Л,С)ег "НЛ = ид(х,у, С)+ иг(х,у,С), ,/2~г ./ а. где 1 ицг(х,у,С) = — С СГкг(х,Л,С)ег "СЛ.
г/2к Преобразуем выражение для иг(х, у, С). Подставляя явное выражение для 1а(с, Л) и заменяя порядок интегрирования, получаем иг(х, у, С) = ггв л+м оа 00 е) есеь1 *"< -'~~.(1~~РР:т*-ьл) ~~. 4яа ю-аг -ао — ОО Поскольку (см. приложение, г 4 (4.3)) О, иг(х, у,г) принимает вид ,+ 'м'-Я:и 1 иг(х,у,г) = — ( Иб 2ла у 5(б, О) (5ф1 аггг ( . б)г (у,1)г ' (5.3) Повторный интеграл в формуле (5.3) представляет собой интеграл на плоскости (б, г1), взятый по кругу: (х — 3) — (у — г1) < аг12, т.е. по кругу К~ с центром в точке М(х, у) радиуса аг.
Поэтому 1 ~~ Ф(6О) 1бФО иг(х~у г) д 2ла Д «м Выражение для функции иг(х, у, 1) может быть теперь выписано сра- к Таким образом, решение задачи (5.1) имеет вид 1 ~' д (/ ЮЫ,г1) бйг1 2ла (Я УУ агП (. л)г (у,)г к. $ 276 зу; иг(х, у,1) = — — О' а г — (х — с) — (у — г1) > О, а~1~ — (х — С) — (у — г1) < О, / Ф(с, О) 1с ф1 д ! агтг (х я)г (у т1)г (5.4) ЦЛ, тт, Х) = — Д и(4, тт,г)е т"т '"" т1б йт. Й 2 Д Применив к задаче (5.1) двумерное преобразование Фурье с ядром К(Л,тт,б,тт) = — е ' ~ '"" 1 тх 2я получим — + а (Л + 1т~)бт = О, 1 ) О, т(гг (5.5) и!,, = Ф(Л, р), Ц,, = Ф(Л, д), где Ф(Л, ) = — О ттг(б,тт)е ' '""М,т1т1, 1 ГГ 2 Д Ф(Л, д) = — ттт(с, тр) е ' ~ " " ас Йт1. Й 2 Д Решение задачи (5.5) для ЦЛ, тт, 1) можно записать в виде У(Л, тт, 'т) =Ф(Л, д) сов(а1 ~/Лг + ттг) + в(п(а1/Лг г+ рг) +Ф(Л,д) = Пт+Пг.
а,/Л +„г Используя обратное преобразование Фурье, находим и(х, у, т) = — 11 етгв+т""Ф(Л, а) сов(а1 ~/Лг + пг) ттЛ Н1т+ 22я,/,/ 277 Полученная формула (5.4) является формулой Пуассона для неограниченной плоскости. Теперь мы решим ту же задачу (5.1), используя двумерное преобразование Фурье. Обозначим через У(Л, тт, 8) двумерное преобразование Фурье функции и(х, у, 1) по переменным х и у: в)п(а1~/Л~ + ро) + Д' '" Ло ГГ ы*+ьвв,у(Л ) МЛс1р = 2в Д а +Р (5.6) = и|+по (5.7) Тогда Л(х — 4) + р(у — и) = гр = тр сов а, — у у ° ° а ° = л*-п~(ю:~)', ~= л'+р, На плоскости (Л, р) введем полярные координаты (р, а): Л = рсова, и = рв1па (заметим, что угол а отсчитывается от вектора г). Внутренний интеграл по Л и р в формуле (5.7) принимает вид т / е'М -Е)+Мо-о1 '=13' в1п(аЬ/Л2+ ро) ,/Л ч-р еэ 2т 1 / е'"т' в)па1рарао.
а =-0""- о о Поскольку е"те '" Иа = 2 / сов(тр сов а) Иа = 2я3о(тр) о о (использовано интегральное представление функции Бесселя Уо(х)) О, т)аС, Юо(тр) в)п аМрдр = 1 278 Преобразуем выражение для ио(х, у,1). Подставив явное выражение для Ф(Л, р) и изменив порядок интегрирования, получим и (х у,1) = — ф((,т1)а5е)т~ е' ( В+'"~о о1х 2 1 — (2в)2 1 в1п(а1~/Л~ + ро) „ х а,~Д2 + ро Вычислим внутренний интеграл по Л и р. Введем векторы г= (х — (,у — О), р= (Л,р). (см. приложение, формула(4.4)), то выражение для интеграла 1 при- нимает вид О, г>аС, 2к ~ 1= — 1 4оС -Г г' Подставляя найденное значение интеграла в (5.7), получаем км где К'~~ — круг радиуса аС с центром в точке М(х, у). Поскольку р(6 О) СИ~ и1(х,у, С) =— км выражение (5.6) дает формулу Пуассона км Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения колебаний в неогра- ниченном пространстве: им = а~С) и, — оо < *, у, х < оо, С > О, и! = ср(х,у,х), и1~, = ф(х,у,х).
(5.8) У(в,С) = С е ' и(г,С)дг, ( /2х) где использованы обозначения: Нг = Их НуИх, а интеграл вычисляет- ся по всему трехмерному пространству. Для решения этой задачи применим тройное преобразование Фурье по пространственным переменным. Используем общепринятую в физике векторную запись тройного преобразования Фурье. Пусть г = (х,у, х), в = (Л, р, и). Обозначим через У(Л, р, и, С) = П(в, С) образ Фурье функции и(х, у, х, С) = и(г, С): Применяя к задаче (5.8) тройное преобразование Фурье с ядром 1 К(г,в) = К(х у,х,Л,р,и) = з~зе '" = (2л)Ю -Цхж+уу+г з) (2л)зУ2 — + аз(Лз .1- р2.1- из)У = О, 1 > 9, а12 У!, = ф(Л, р, и) ш ф(в), У1!, = ф(А,р,и) = ф(в), (5.9) где 1 ф(в) =,, 1У(Р)с '~НР, 1 ф(в) зуг / ф(Р)~ 8Р Р = Й 9 О.
(2л)з/г Решение задачи (5.9) можно записать в виде Используя обратное тройное преобразование Фурье, находим и(г, 1): 1 и(г,1) = з У(в,1)е'"Нв. Выражение для и(г,1) запишем в виде и = и1 (г, С) + из(г, 1), где 280 получим аналогично предыдущему, задачу Коши для функции У(в, 1): запишем г — (сЦ/г — р! — ас) — б(/г — р/+ аг)). а /г — р/ Подставляя найденное значение интеграла в (5.11), получаем 1 Г 6((г — р! — аФ) — б((г — р) + ас) иг = — / сСс(р) сср.
Поскольку (г — р) + а1 > 0 при 1 > О, остается интеграл по сфере )г — р( = аг, или (х — 4) +(у — с1) +(г — с) =а с . Таким образом 1 Г ЦР)НЯр иг(г,г) = — иг(М с) = — ~ 4сга У Вмр где М = (х, 1с, г), Р = (4, с1, с,), Вмр = )г — р) = Ям — сфера радиуса ас с центром в точке М, уравнение этой сферы аС имеет вид г „„)г+ ( ь)г (а1)г Согласно (5.10) д Г р(Р)~яр ис(М,с) = — — ~ 4яад1 5 Вмр 5 "с с Следовательно, решение задачи Коши для уравнения колебаний в неограниченном пространстве имеет вид 1 )' д ~ р(Р)с1Б~ ~ с)(Р)НЯр 4ха (.д4 У Вм У Вм~ 5м 5м 282 Как известно, зта формула называется формулой Пуассона*1.
В том случае, когда ур(Р) трижды непрерывно дифференцируема, а г)г(Р) — дважды непрерывно диффереицируема, формула Пуассона дает классическое решение задачи (5.8). Формулу Пуассона в трехмерном случае можно также получить, применяя преобразование Фурье по части пространственных переменных. Мы рекомендуем читателям проделать это самостоятельно в качестве полезного упражнения. 5 6. ЗАДАНИ ДЛЯ САМОС'ГОЯГЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Решить начально-краевую задачу на отрезке: им = а и„, х б (О,х), С й (О,+оо), и(х, 0) = х, иг(х, 0) = 1, х б (О, х), и (О,С) = О, и~(х,С) = О, С б (О,+оо).
2. Решить начально-краевую задачу на отрезке: игг = и*, * б (0,4), С б (О, +оо), рх, х б [0,2], и(х, 0) = 2 — фх, х б [2,4), и,(х, 0) = О, х б [0,4], и(О,С) = О, и (О,С) = О, С б [О,+со). 3. Решить начально-краевую задачу на отрезке: иг, — — 4и„+е 'ешх, х б (О,х), С б (О,+со), и(х, 0) = О, иг(х, 0) = О, х б [О, гг], и(О,С) = О, и(гг,С) = О, С б [О,+оо). 4. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: игг —— а~и~~+хе ', х б (0,1), С б (О,+со), и(х,О) = О, иг(х, 0) = О, х б [О, 1], и(О,С) = О, и(1,С) = О, С б [О,+со). Смл Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике.
Мл Изд-ао МГУ, 1993. 283 Решить начально-краевую задачу на отрезке: им — — и „х Е (О, дг), С Е (О, +со), и(х, 0) = едп 4х, ид(х,О) = О, х Е (О,дг), их(О,С) = О, и(гг,С) = ф, С Е [О,+со). Решить начально-краевую задачу на отрезке: идг = и, х Е (О, 3), С Е (О, +оо), и(х, 0) = О, иг(х, О) = О, х Е (О, 3), и(0, С) = О, и(3, С) = С, С Е [О, +оо).
Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: игд = ихх, х Е (О, 1), С Е (О, +со), и(х, 0) = х+ 1, и,(х, 0) = О, х Е (О, 1), и(О,С) = С+ 1, и(1,С) = С +2, С Е [О,+оо). Решить начально-краевую задачу в прямоугольнике: идд = а Ьи, х Е (0,1д), у Е (0,12), С Е (О,+оо), и(х, у, 0) = О, х Е [0,1д], у Е [0,12], иг(х, у, 0) = Аху()д — х)(12 — у), и(О,у,С) = и(Сд,у,С) = О, уЕ [0,12], и(х,О,С) = и(х,СС,С) = О, х Е [О,Сд], С Е [О,+со).
9. Решить начально-краевую задачу в круге: игг — — С)ди, г' Е (0,3), гр Е [0,2л], С Е (О, +оо), и(г, гр, 0) = 51о(из-'г), ид(г, уд, 0) = О, г Е (О, 3], уд Е [О, 2гг], и(3, др, С) = О, у Е [О, 2дг], С Е [О, +оо), Ло(Сда) = О. 10. Решить начально-краевую задачу в шаре К"': идд = а~д3и, М Е К"', С Е (О, +со), и(М,О) = О, иг(М,О) = О, М Е К", иг[ = АС1Рз ~(соаВ)сое2гр, С Е [О,+со). 11. Решить начально-краевую задачу в шаровом слое: игг = а д!ди, г Е(гд,гт), В Е [О,дг], др Е[0,2к], С Е(0,+со), и(М,О) = Агсозд, иг(М,О) = О, г Е [гд,гд], В Е [О,гг], и„/ =О, и,! =О, СЕ[0,+оо). 284 12.
Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и»» — — 25и~~+ хС, х Е »к~, С Е (О,+со), и(х, 0) = О, и»(х, 0) = О, х Е Й'. 13. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и»» = и~~+6, х Е11~, С Е (О,+со), и(х, 0) = х~, и»(х, 0) = 4х, х Е»й~. 14. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и»» = ивв+ хС, х Е 11', С Е (О,+со), и(х,О) = я~, и»(х,О) =*, х ЕЙ . 15. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и», — — и„+ в»п х, х Е Й~, С Е (О, +со), и(х,О) = вшх, и»(х,О) = 0 х Е вс~ 16. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и»» = ив, + е, х Е й', С Е (О,+со), и(х,О) = О, и»(х, 0) = х+ сов х, х Е»н~. 17.
Решить начальную задачу на бесконечной прямой: ии = 9и, + вйп х, х Е %', С Е (О, +оо), и(х,О) = 1, и»(х,О) = 1, х Е 11~. 18. Решить начально-краевую задачу на полупрямой: и»» — — 4и, х Е Ж+, С Е (О,+оо), и(х,О) = О, и»(х,О) = О, х Е Ж~, и(0, С) = 5 вСп ыС, С Е (О, +со). 19. Решить начально-краевую задачу на полупрямой: и»» = а и„+в»пх, х Е Й», С Е (О,+со), и(х,О) = О, и»(х,О) = О, х Е 11~, и(О,С) = О, С Е [О,+со). Ответы. 1. и(х, С) = С+ « — ~ ~„д-„+-)гсов(2/с+ Цх сов(2/с+ Цаг, а=о а=о 3. и(х,С) = ф (е ! — сов2С+ фвгп2С). г '-1'"+' 4. и(х,С) = 2 ~,' 1:-~~ — -+(1««12 (е ' — совтпаС+ '— '"„",") вшгтпх. ««1 5. и(х, С) = - — — сов -Свгп -х. ь ь г 2 г г и(х С) — *з + Е ф+вгп з вгп з «=1 т.
и(х,С) = 1+1+ х(Сз — С+ Ц+ +у (ЩД+ г [в(=1)" 1].гп(тпС)~.1п( ..) х~ 1 1 11 (2п+ цз(2, + цз (г"+11'+ !1 +г '))* '1 11 9. и(г, С) = 5,/о (вз !') сов езвС 10. и(т, С/, ~р, С) = 2АРзц ~(сов 9) сов 222 — + 1 Зтог 121 то ь/г ,/о/2(/1в ) /г аР '1/7/21 1„ /з! где '/т/г(/гй ) =~ьт./2/г(/го ) = 0 (Ь = 1,2,...). «Вз/г(Лот) 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
