А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Подставляя коэффициенты разложения в ряд, получаем ответ, который, естественно, совпадает с ответом, полученным первым способом. Т. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний в прямом круговом цилиндре Я(аэ радиуса го и высоты 1: иг, -— аоки, Мбяб"', (>О, и!г о —— СгЯ- в)сов!р, и«/г = О, и/в, „= О, где Я~ "' — полная поверхность цилиндра, С вЂ” некоторая постоян- ная. Решение. Собственные функции и собственные значения цилиндра в случае граничных условий Дирихле имеют следующий вид (см. гл.
П, 1 9): «)«о !, ггп 1 сов гпэ' (ги) оорр~а(3 !р в) =,гт г) 8!и в го 1 ! в!и пггр, л,„„= —," + где )«о — корень номера )г уравнения г' ()«) = О. (ш) Квадрат нормы собственных функций выражается формулой ))оо ))~ = — '«„,(У„()г„)~, «, = Решение задачи записывается с помощью формулы (1.4), которая в данном случае принимает следующий вид: и(М,1) = и(Г, ог, «,1) = ~~! ~~! ~' ((оо сов«игр+ ооо в!игл(о) х о=! =о 232 )'р(-) Л . х Унз г 01п — 2 сов еЛ~Лйзпп 2~ (,го ( (1.12) где согласно формулам (1.2) и (1.3) (пв) о 2а ( сое гп)01 ггп Х СОЯ аа .
Г!22 2(! — 2) 81П вЂ” 2 Г(2. '1 агппг(0) / ! (1.13) (я, п2=1, сое(асоопг(аН(0 = ~ пг ф 1, о 2я / сезар агпггпрг(аа =0 при всех гп = 0,1, о Следовательно, (оь „= О, (02 „— - 0 при пг ф 1. Поскольку (1) х з ,1Ц вЂ” г) г г(г = —.72(р„) )га 2 10 (1) го )г( ) о )га и ( 4! 1ГП и = 20+1, 2(! — 2) огп — 2 г(2 = я(20+ 1) о ! О, и = 20, учитывая выражение для квадрата нормы, получаем 8С!го 12()гь ) р( )гг(20+ 1) [У(,и( ))] Решение начально-краевой задачи имеет внд 2=1 =о ра [ !1((гь )1 2ЗЗ Индексами с и в как обычно обозначены коэффициенты разложения при косинусах и синусах соответственно.
В силу ортогональности тригонометрической системы на отрезке [О, 2я] получим в(2в+ 1) х вйп ! в сов а1 8. Решить начально-краевую задачу в шаре К" радиуса го'. ип — — а /хи+ Агсовд, М Е К"', ( > О, и))в=о = ий))1«о = О, и) = О, где А — некоторая постоянная. Решение.
Решение ищем в виде разложения по собственным функциям шара с граничными условиями Дирихле. Собственные функции и собственные значения имеют вид (см. гл. 1, г 13) / (л+1/2) 1 ) СОВ 7П)7 ой = — / +1/21 й г) Р( )(сов д) ~ (л+1/2), г Л( +1/г) /гй й \ 7'о где /гй — /о-й корень уравнения («+1/г) /+1/г(/7) = О Квадрат нормы собственных функций равен 1ГГОЕ« (П+ П1)( г 7 ~ (л.(-1/2) ]2 н~йл«7п — 2 + 1 ( )11 ле1/2(рй Из формулы (1.4) вытекает формула для решения рассматриваемой задачи: о« (л+1/г), и(г,д,(о,() = ~ ~ ~~ ~—,/„+1/2( й г)Р( )(совд) х го й«1«=07л=о (л+1/2) г вгп а~/Л ~(1 — г) Х (Уу л«7(Т) Созга(0+ Уд «7(г) в!П гагг) 7(г ° ГЛ(»+1/2) (1.14) Формулы для коэффициентов разложения следуют из формул (1.2) и (1.3) и имеют вид л«вгл 7~ ' '=1„' г111«,,;' о о о гзв (и+1/г) х —,/и+1/г[ Г Р„(созд)1 .
1 згпддгдд1((о. 1 / » (т) соз пи)г )/Г 1о 1 з1п нг(о)) (1.15) (о) Так как сов д = Р( (сов д), учитывая ортогональность системы присоединенных функций Лежандра на отрезке [О, л) и ортогональность тригонометрической системы на отрезке [О, 2я], получаем из формул (1.5): Ди =0 при пф1, тпфО, Ди„, = 0 при всех /о,п,гн, 2Аз/го оо/г(д» ) (з/г) '"" - фз/.) [у („»( / ))1' и окончательный ответ имеет вид 2А 1'о /з/г(И» ) д» 1 соз а)/ '1» (з/г) .
(з/г) . /(з/г) аг г [ /, ( (з/г)))г з/г „о (,,(з/г))з/г 9. Сферический сосуд с газом в течение длительного времени двигался равномерно со скоростью о, а затем в момент ( = 0 мгновенно остановился и остался неподвижным. Найти возникшие вследствие этого колебания газа в сосуде. Решение. Введем сферическую систему координат, совместив ее центр с центром сосуда и направив ось д = 0 вдоль движения сосуда при ( < О. В этом случае потенциал скоростей частиц газа и не зависит от угла у: и = и(г, д, ().
Для него получается следующая начально-краевая задача: и11 = агЬи, О < и < го, ( ) О, и!1=,="'"зд и1[1=.=0 — ! =О ди дт,=„ Решение начально-краевой задачи будем искать в виде разложения (1.14) по собственным функциям шара, имеющим вид (см. гл. Н, г 13) (и) о»и,„= †./и+1/г» т Ри (соз д) 1 и/т [» го / [ з1п тай, где р» — й-й корень характеристического уравнения (и) 1 ду.'+1/ (Р) — -у»+1/г(Р) = О. 235 При этом, поскольку функция и(г, 0,1) не зависит от 1о, в разложении присутствуют собственные функции с индексом гп = О. А так как созд = Р~(соей), в разложении присутствуют только собственные функции с индексом и = 1.
Поэтому решение и можно искать в виде и = м(г,1) сов 0, причем для функции ы(г,1) получается разложение х ( ада1 . даа/) 1 / иа ы(г,/) = ~ Аа сов — + Ваап — ~ — уз/г~ — г), го )~/г (,го у где ра — «-й корень характеристического уравнения 1 РУз/зЫ 2,Уз/зЬ) = О. Из начальных условий для функции и(г, В, 1) следуют начальные условия для функции ы(г, 1): ~!с=о эг' аЧ!с=а которые используются для определения коэффициентов разложения А» и Вь (к = 1, 2,...). Из второго начального условия получаем Вь=О, 1=1,2,...,оо.
Первое начальное условие дает 1 А — У~(-")= а=1 го откуда са Аь = — ~( /з/з[ — г)г Нг, да з/г ~~В,И (,, Г о где квадрат нормы радиальной собственной функции 1 /И„'1 Ва = — уз/г~ — г/ ,/г 1 ге / с учетом характеристического уравнения равен — — — -,з 4/ Ьа) Таким образом, 2эдаго /з/з(рь) з/т гзе у ('к зСг т ркУз!2(Скк) зСг~, та ) акккС Решение исходной задачи имеет виц с'Скк '1 зуг х Скк Уз!2(Укк) зСг( те ) аСскС и(т,н,С) = 2ите созСс~ г ) г соз —. Скк з/г Ьк та з 2.
ВАДАсси ДлЯ УРАВнениЯ кОлеБАний В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСГИ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИхСНЫМИ УСЛОВИЯМИ Начально-краевая задача для однородного уравнения колебаний с однородными начальными и неоднородным граничным условиями имеет вид и„= а Ьи, (М,С) Е Сс = Р х (О,+со), и(М, 0) = О, ик(М, 0) = О, М Е СУ = 1У 0 д, а — + СУи = Ск(Р, С), Р Е о, С Е [О, +со), ди дп [о[+ ф ф О, о, СУ = сопзС.
Общая схема решения таких задач, как указано в гл. 1, заключается в следующем. Решение задачи ищется в виде и(М, С) = и(М, С) + ю(М, С), где з(М, С) — новая неизвестная функция, а функция ш(М, С) выбирается так, чтобы она удовлетворяла заданному граничному условию о — + СУка = р(Р, С), Р Е д, С Е [О, +со). дю Для функции з(М, С) получается следующая начально-краевая зада- ча: ам = а'С) и+1(М,С), (М,С) Е С;С.„ з(М,О) = — ш(М,О), ис(М,О) = — ик(М,О), М Е Р, а — + СУи = О, Р Е о', С Е [О, +со) ди дп где,~(М, С) = агкктю(М, С) — юи(М, С). Решение этой задачи было рас- смотрено в предыдущем параграфе. 237 дгге = О, М Е П, о — +СЗге=Сг(Р,С), Р ЕЯ, СЕ [О,со). дп, (2.1) дп Однако в случае граничного условия Неймана задача (2.1) может не иметь решения.
В этом случае функцию ег(М,С) нужно выбирать другим образом. Рассмотрим примеры решения конкретных задач с неоднородными граничными условиями. 1. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке с неоднородным граничным условием игг = и„, х Е (0,4), С Е (О, +со), и(х, 0) = ап —, х Е [О, 4], иг(х,О) = О, и(О,С) = О, и(4,С) = 1, С Е [О,+со).
(2.2) Решение. Будем искать решение задачи (2.2) в виде суммы и(х, С) = е(х, С) + ш(х, С), где в качестве ег(х) выберем функцию ег(х) = —. Легко видеть что 4 так выбранная функция ег(х) удовлетворяет граничным условиям задачи (2.2). Для функции е(х, С) получается следующая начально-краевая задача: еп = е~~, х Е (0,4), С Е (О,+оо), е(х, 0) = ап — — —, х Е [0,4], е,(х,О) = О, е(О,С) = О, е(4,С) = О, С Е [О,+со) (2.3) Решение задачи (2.3) можно выписать сразу, используя формулы (1.8) и (1.9): япС, япх е(х, С) = ~~~ го„соз — ап —, 4 4 где 4 4 1 (' Сг, ~г~ ( 1, япб 1 С'/ яб б'г . хпс 1о„= — ап — — — згп — гС~' = — [ [ 1 — соз — — - [ ап — гСб = 2г' ~, 8 4г' 4 4./ [, 4 2] 4 о о 238 Функция ге(М, С) определяется неоднозначно. Поэтому ее нужно стремиться выбрать так, чтобы уравнение для функции е(М, С) имело наиболее простой вид.
Удобно в качестве ге(М, С) выбирать гармоническую функцию по пространственной переменной М, зависящую от параметра С: 2 (Гс = 1, 2,...). сгп ~ —, п=21с лп' Итак, 1 уга-г = О, 1сга = — (Сс = 1,2,...) л(с 1 л- 1 л(сС, л/ся и(х, С) = — ~ — соа — зсп— сг ~ lс 2 2 Следовательно, решение задачи (2.2) имеет вид х 1 л- 1 л(сС . л(сх и(х, С) = — + — з — соз а1п —. 4 я~~/с 2 2 2. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке с неоднородными граничными условиями исс — — и ~, х Е (О,л), С Е(0,+со), и(х,О) = О, ис(х,О) = апх, х Е [О,л], и(О,С) = С~, и(л,С) = Се, С Е [О,+со). (2.4) Решение.
Будем снова искать решение задачи (2.4) в виде суммы и(х, С) = э(х, С) + са(х, С), где функцию из(х, С) выберем в виде ю(х,С) = 1 — — ~С + — С . х 2 х 3 х з бхС исс — — и з — 2 1 — — / — —, х Е (О,сг), С Е (О,+оо), и(х, 0) = О, ис(х, 0) = ап х, х Е [О, сг], и(О,С) = О, и(л,С) = О, С Е [О,+оо).
(2.5) С помощью формул (1.8), (1.9) решение задачи (2.5) записывается следующим образом: 1,, Г апи(С вЂ” т) и(х, С) =. ~~ — ф„з(ппСапих+ ~~ аппх / Г„(т) сСт, и" ,/ и «=1 а=1 о Функция са(х, С) удовлетворяет обоим граничным условиям задачи (2.4). Для функции и(х, С) получается начально-краевая задача для неоднородного уравнения колебаний: где гд«ее — / вгпбвйпибгй( = ~ ][ О, п 1й 1, о ~1(т) = — — / ~2(1 — — ) + — ) вгпи(гйб = — — (3( — 1)"+'т + 1), яп о вгп п(й — т) 4 Дп (т) гйт = — — й вгп п(й — т) (3( — 1)" +'т+ 1) гйт = и хпз / о о = — (совий — 1+ — ( — 1)" агний+ 3( — 1)"С).
з „+,, „ив и Таким образом, о(х, й) = вгп хе(ай+ — ~~1 — (совий — 1+ — ( — 1)" езп ий+ 3( — 1)" й), 4 1 з „+,, ,13 и «=1 и, следовательно, решение задачи (2.4) имеет вид и(х,С) = 1 — — )й + — й +вгпйвгпх+ х11 ха 4 з „+,, ейп их + — ~~~ (совий - 1+ — ( — 1)"+ агний+ 3( — 1)"С) —. я и из «=1 3. Найти колебания газа в сферическом сосуде радиуса го, вызванные малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента С = О, если скорости частиц стенки направлены по радиусам сосуда и равны Р„(сов д)й (й), где ДО) = й*'(0) = О, и > О. Рассмотреть случай Я) = Айй, И ее 3.
Решение. Введем сферическую систему координат, совместив ее начало с центром сосуда. В силу условия задачи потенциал скоростей и частиц газа не зависит от угла го и для него получится следующая начально-краевая задача: игг = а гзгеи, г Е (О,го), д Е (О,я), С Е (О,+со), и(г,д,О) = О, иг(г,д,О) = О, г Е [О,го], д Е [О,гг], (2.6) иг(го, д, С) = Р„(сов д)У(й), д Е [О, гг], С Е [О, +со), где гео Будем искать решение задачи (2.6) в виде суммы н(т, В,С) = е(г,В,С) + ш(г,В,С), где в качестве функции ш(г,В,С) выберем произведение шаровой функции т"У„(0,1о) = гпРп(совВ) на функцию ДС) с коэффициентом С; ш(т, В, С) = СтпРп(сов В)~(С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
