Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 31

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 31 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 312019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

о о 267 Используя формулу 2ип Лх вьпаЛ(С вЂ” т) = сов Л(х — а(С вЂ” т)) — сов Л(х+ а(С вЂ” т)), получаем 1à — / сов Л(х — а(С вЂ” т)] сСЛ— о 1 à — УС сов Л(х+ а(С вЂ” т)] сСЛ. о 2 Г, — / вспЛхвспаЛ(С вЂ” т) сСЛ = о Поскольку разложение б-функции в интеграл Фурье имеет вид Ю(х — 4) = — ( ес С* 41 с(Л = — / совЛ(х — 4) сСЛ, 2сс у я — СО о получаем 2 Г . — / всп Лх всп аЛ(С вЂ” т) сСЛ = о(х — а(С вЂ” т)) — о(х+ а(С вЂ” т)). о Так как О < т < С, при х > О Б(х+ а(С вЂ” т)) Сс(т) сСт = О. / о Отсюда С и(х, С) = а / Ю(х — а(С вЂ” т)]Сс(т) сСт = о ЬС О, / о(х ь)СЬ(С вЂ” — )сСЬ = / а Сс о О <С < —, х х) х (4.2о) и(х, С) = Г(х — аС), 268 б) Теперь решим задачу (4.27) методом распространяющяхся волн.

Так как в силу однородности уравнения и начальных условий задачи (4.27) единственной причиной возмусцения является определенный функцией Сс(С) краевой режим, решение можно искать в виде правой бегущей волны: где у — некоторая достаточно гладкая функция. Для определения вида функции у воспользуемся начальными и граничными условиями задачи. Из первого начального условия получим и(х,О) = у(х) =О, при х > О. Тогда второе начальное условие также выполняется: и~(х,О) = — аС'(х), при х > О. Используя граничное условие, доопределим функцию С(х) на отрицательной полуоси: и(0, С) = у( — аС) = д(С). Таким образом, обозначив аргумент функции с' через х, получим О х>0, р( — — ), 2<0 и, подставив х = х — аС, окончательно найдем Мы снова получаем формулу (4.28).

Отметим, что формула (4.28) имеет простой физический смысл. Для точки полупрямой, расположенной от конца х = 0 на расстоянии х, для моментов времени С < х/а возмущение равно нулю, поскольку в силу конечности скорости распространения возмущение не успевает достичь этой точки. При С > х/а возмущение, заданное на конце х = 0 и представляющее собой правую бегущую волну, доходит в эту точку. Форма профиля возмущения определяется функцией р(С) граничного условия задачи (4.23). 2. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полубесконечной прямой с неоднородным граничным условием Неймана ин — — аэи, х > О, С > О, и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, и (О,С) = и(С).

(4.29) Для решения задачи применим косинус-преобразование Фурье с ядром К(х, Л) = ЛС вЂ” соэ Лх. Обозначим через ЦЛ, С) косинус-образ Фурье функции и(х, С): ЦЛ, С) = — и((, С) сов Л(4(. о 269 Сделаем те же предположения, что и при решении задачи (4.27). Умножая обе части однородного уравнения колебаний на с,с — сов Лх и 72 Л/- интегрируя по х от 0 до оо, используя граничные и начальные условия задачи, получаем задачу Коши в пространстве образов: — +а Л (с'= — а суС вЂ” м(г), с>0, с(гсс' г г г С2 сс'со (7(Л, О) = О, ис(Л, О) = О.

Решение задачи Коши записывается с помосцью импульсной функции следующим образом: с РО281паЛ(йт))т о Применив обратное преобразование Фурье, получим выражение для решения и(х, с) начально-краевой задачи (4.29); С сс с. у[ с.и сСа —,С с* ) о о Используя формулу 2еспаЛ(с — т) сов Лх = зспЛ[а(г — т) — х] +зги Л[а(с — ) + х1 и интеграл Дирихле 2' О, о внутренний интеграл в правой части формулы для и(х, с) приводим к сумме интегралов вида 270 аспл[а(г — т) х х] 1 НЛ = Л о при а>0, при а=о, при а<0, — при а(с — т)~х>0, О, при а(с — т) 1х = О, — при а(с — т) 1 х < О.

2' Учитывая, что 0 < т < С, с помощью последней формулы получаем 1 эщ аЛ(С вЂ” т) соэ Лх х Л НЛ = я при т < С вЂ”вЂ” а о Б)п аЛ(С вЂ” т) соя Лх х ИЛ=О при т>С вЂ” —. Л а о Подставляя эту формулу для и(х, С), окончательно находим О, 0<С < —, и(х, С) = — а / и(т)ат, С > —. а о Замечания. Мы решили задачу (4.29) методом интегрального преобразования Фурье. Совершенно аналогично тому, как это было сделано при решении задачи (4.27), задачу (4.29) можно было решкть методом распространяющихся волн.

В качестве упражнения читателю предлагается получить формулу (4,30) этим методом. Физический смысл формулы (4.30) аналогичен физическому смыслу формулы (4.28) для граничных условий Дирихле: до точек полупрямой, расположенных на расстоянии х, возмущение за время С < х/а не успевает дойти. Задача (4.29) является математической моделью задачи о малых продольных колебаниях упругого полубесконечного стержня. С физической точки зрения граничное условие второго рода означает, что к концу х = 0 приложена заданная сила )(С) = а(0)и(С), где х(0)— значение коэффициента упругости в точке х = О. Пусть теперь заданная сила действует на конце стержня х = 0 в течение конечного промежутка времени (СыСс), где Сс > О, т.е.

функция и(С) является финитной: (4.30) Тогда из формулы (4.30) следует, что О<С <С + —, О, я е-— а х х — а / й(т) Й", Сс + — <С < Со + —, и(х,С) = х С > Со+ —. а м х Из этой формулы вытекает, что в моменты времени С < Сс +— а возмущение в точке х равно нулю, т.е.

в эти моменты времени влияние в точке х граничного условия не сказывается: возмущение не успевает дойти до точки х. В момент времени С = Сс + — в точке а х возникает возмущение, которое зависит от С до момента времени х С = Ст + —. Начиная с момента времени С = Сз + — в точке х устанаа а вливается возмущение, не зависящее от времени, — система выходит на стационарный режим. Пусть теперь на конце х = 0 стержня задана гармоническая сила п(С) = АсоэыС, Поскольку а-- х а формула (4.30) дает 0 <С < —, х и(х, С) = Аа . / хт — — в)пи~С вЂ” -), ы а х С > —. а' Таким образом, как это следует из последней формулы, в точке х стержня, начиная с момента времени С = — возникают колебания с а частотой ы. 3.

Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полуограниченной прямой с неоднородным граничным условием третьего рода: ин — — а ихх, х>0, С>0, 2 и(х, 0) = О, и~(х, 0) = О, и~(0, С) — Ьи(0, С) = и(С), (4.31) и(х, С) = С(х — аС), где У вЂ” некоторая достаточно гладкая функция. Из первого началь- ного условия получаем, что и(х, О) = У(х) = 0 при х > О, 272 где Ь вЂ” некоторая постоянная. Решим задачу (4.31) методом распространяющихся волн. Как и в случае граничных условиЯ Дирихле (4.27), в силу однородности уравнения и начальных условиЯ задачи (4.31) будем искать решение в виде правоЯ бегущей волны при этом второе начальное условие также выполняется: ис(х, 0) = — а~'(х) = 0 при х > О.

Подставляя функцию у(х — а1) в граничное условие задачи (4.31), получим обыкновенное дифференциальное уравнение ~'( — а1) — ЬД-а1) = и(1), 8 > О, где штрих обозначает производную по полному аргументу. Сделав замену х = — а1 и учитывая, что у(0) = О, получаем начальную задачу для функции у(х): у~(х) — ЬДх) = и(- — ), х < 0; ДО) = О.

Дх) = ~е~(' '1и( — — ) Нэ, х < О. о Сделаем в последнем интеграле замену с = — —, в результате чего 8 а' получим Подставляя в последней формуле х = х — а1, получим окончательный ответ: 0<1< —, х О, (4.32) и(х,1) = аещх-ай / еьаГн® ~1~ о 1>— х — а Заметим, что, положив в формуле (4.32) Ь = О, мы получим формулу (4.30) для решения начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний на полупрямой с неоднородным граничным условием Неймана. Мы решили задачу (4.31) методом распространяющихся волн.

Используя интегральное преобразование Фурье с ядром ,Г2ЛсоэЛх+ Ьэ)пЛх 'т' я Лз + Ьз 273 Решение этой задачи с помощью функции Коши записывается следу- ющим образом; можно получить формулу (4.32) методом интегральных преобразо- ваний. Читателю рекомендуется проделать это в качестве полезного упражнения. 5 В. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ им=а Ь2и, — со<я,у<+ос, 1>0, и) = Р(х, у), и1 ( = Ф(х, у). (5.1) Эту задачу решим обоими указанными выше способами. Сначала используем преобразование Фурье по части пространственных переменных. В данном случае используем преобразование Фурье по переменной у. Обозначим через Цх, Л, 1) образ Фурье функции и(х, и, х) по переменной у: 1 У(х,л,1) = — / и(х,п,1)е ' эйу. ~/2я l В предыдущих параграфах широко использовалось интегральное преобразование Фурье для решения пространственно-одномерных задач для уравнения колебаний.

В этом параграфе рассмотрим применение преобразования Фурье для решения задачи Коши для уравнения колебаний на плоскости и в неограниченном пространстве. Как указывалось ранее (гл. 1, 1 4), при решении пространственно- многомерных задач можно поступать по-разному. Можно применять многомерное преобразование Фурье сразу по всем пространственным переменным. В результате этого для образа Фурье получается одномерная задача Коши по переменной 1, содержащая столько параметров, сколько было пространственных переменных. Для получения оригинала, т.е.

решения исходной задачи, используется обратное многомерное преобразование Фурье. Возможен и несколько иной способ. Интегральное преобразование Фурье применяется не по всем переменным, а только по части из них, например только по одной из пространственных переменных. Тогда для образа Фурье получается задача для уравнения в частных производных (а не обыкновенное дифференциальное уравнение, как в первом способе), но в пространственной области меньшей размерности. Рассмотрим оба этих способа решения двумерных и трехмерных (по пространственным переменным) задач.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее