А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 31
Текст из файла (страница 31)
о о 267 Используя формулу 2ип Лх вьпаЛ(С вЂ” т) = сов Л(х — а(С вЂ” т)) — сов Л(х+ а(С вЂ” т)), получаем 1à — / сов Л(х — а(С вЂ” т)] сСЛ— о 1 à — УС сов Л(х+ а(С вЂ” т)] сСЛ. о 2 Г, — / вспЛхвспаЛ(С вЂ” т) сСЛ = о Поскольку разложение б-функции в интеграл Фурье имеет вид Ю(х — 4) = — ( ес С* 41 с(Л = — / совЛ(х — 4) сСЛ, 2сс у я — СО о получаем 2 Г . — / всп Лх всп аЛ(С вЂ” т) сСЛ = о(х — а(С вЂ” т)) — о(х+ а(С вЂ” т)). о Так как О < т < С, при х > О Б(х+ а(С вЂ” т)) Сс(т) сСт = О. / о Отсюда С и(х, С) = а / Ю(х — а(С вЂ” т)]Сс(т) сСт = о ЬС О, / о(х ь)СЬ(С вЂ” — )сСЬ = / а Сс о О <С < —, х х) х (4.2о) и(х, С) = Г(х — аС), 268 б) Теперь решим задачу (4.27) методом распространяющяхся волн.
Так как в силу однородности уравнения и начальных условий задачи (4.27) единственной причиной возмусцения является определенный функцией Сс(С) краевой режим, решение можно искать в виде правой бегущей волны: где у — некоторая достаточно гладкая функция. Для определения вида функции у воспользуемся начальными и граничными условиями задачи. Из первого начального условия получим и(х,О) = у(х) =О, при х > О. Тогда второе начальное условие также выполняется: и~(х,О) = — аС'(х), при х > О. Используя граничное условие, доопределим функцию С(х) на отрицательной полуоси: и(0, С) = у( — аС) = д(С). Таким образом, обозначив аргумент функции с' через х, получим О х>0, р( — — ), 2<0 и, подставив х = х — аС, окончательно найдем Мы снова получаем формулу (4.28).
Отметим, что формула (4.28) имеет простой физический смысл. Для точки полупрямой, расположенной от конца х = 0 на расстоянии х, для моментов времени С < х/а возмущение равно нулю, поскольку в силу конечности скорости распространения возмущение не успевает достичь этой точки. При С > х/а возмущение, заданное на конце х = 0 и представляющее собой правую бегущую волну, доходит в эту точку. Форма профиля возмущения определяется функцией р(С) граничного условия задачи (4.23). 2. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полубесконечной прямой с неоднородным граничным условием Неймана ин — — аэи, х > О, С > О, и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, и (О,С) = и(С).
(4.29) Для решения задачи применим косинус-преобразование Фурье с ядром К(х, Л) = ЛС вЂ” соэ Лх. Обозначим через ЦЛ, С) косинус-образ Фурье функции и(х, С): ЦЛ, С) = — и((, С) сов Л(4(. о 269 Сделаем те же предположения, что и при решении задачи (4.27). Умножая обе части однородного уравнения колебаний на с,с — сов Лх и 72 Л/- интегрируя по х от 0 до оо, используя граничные и начальные условия задачи, получаем задачу Коши в пространстве образов: — +а Л (с'= — а суС вЂ” м(г), с>0, с(гсс' г г г С2 сс'со (7(Л, О) = О, ис(Л, О) = О.
Решение задачи Коши записывается с помосцью импульсной функции следующим образом: с РО281паЛ(йт))т о Применив обратное преобразование Фурье, получим выражение для решения и(х, с) начально-краевой задачи (4.29); С сс с. у[ с.и сСа —,С с* ) о о Используя формулу 2еспаЛ(с — т) сов Лх = зспЛ[а(г — т) — х] +зги Л[а(с — ) + х1 и интеграл Дирихле 2' О, о внутренний интеграл в правой части формулы для и(х, с) приводим к сумме интегралов вида 270 аспл[а(г — т) х х] 1 НЛ = Л о при а>0, при а=о, при а<0, — при а(с — т)~х>0, О, при а(с — т) 1х = О, — при а(с — т) 1 х < О.
2' Учитывая, что 0 < т < С, с помощью последней формулы получаем 1 эщ аЛ(С вЂ” т) соэ Лх х Л НЛ = я при т < С вЂ”вЂ” а о Б)п аЛ(С вЂ” т) соя Лх х ИЛ=О при т>С вЂ” —. Л а о Подставляя эту формулу для и(х, С), окончательно находим О, 0<С < —, и(х, С) = — а / и(т)ат, С > —. а о Замечания. Мы решили задачу (4.29) методом интегрального преобразования Фурье. Совершенно аналогично тому, как это было сделано при решении задачи (4.27), задачу (4.29) можно было решкть методом распространяющихся волн.
В качестве упражнения читателю предлагается получить формулу (4,30) этим методом. Физический смысл формулы (4.30) аналогичен физическому смыслу формулы (4.28) для граничных условий Дирихле: до точек полупрямой, расположенных на расстоянии х, возмущение за время С < х/а не успевает дойти. Задача (4.29) является математической моделью задачи о малых продольных колебаниях упругого полубесконечного стержня. С физической точки зрения граничное условие второго рода означает, что к концу х = 0 приложена заданная сила )(С) = а(0)и(С), где х(0)— значение коэффициента упругости в точке х = О. Пусть теперь заданная сила действует на конце стержня х = 0 в течение конечного промежутка времени (СыСс), где Сс > О, т.е.
функция и(С) является финитной: (4.30) Тогда из формулы (4.30) следует, что О<С <С + —, О, я е-— а х х — а / й(т) Й", Сс + — <С < Со + —, и(х,С) = х С > Со+ —. а м х Из этой формулы вытекает, что в моменты времени С < Сс +— а возмущение в точке х равно нулю, т.е.
в эти моменты времени влияние в точке х граничного условия не сказывается: возмущение не успевает дойти до точки х. В момент времени С = Сс + — в точке а х возникает возмущение, которое зависит от С до момента времени х С = Ст + —. Начиная с момента времени С = Сз + — в точке х устанаа а вливается возмущение, не зависящее от времени, — система выходит на стационарный режим. Пусть теперь на конце х = 0 стержня задана гармоническая сила п(С) = АсоэыС, Поскольку а-- х а формула (4.30) дает 0 <С < —, х и(х, С) = Аа . / хт — — в)пи~С вЂ” -), ы а х С > —. а' Таким образом, как это следует из последней формулы, в точке х стержня, начиная с момента времени С = — возникают колебания с а частотой ы. 3.
Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полуограниченной прямой с неоднородным граничным условием третьего рода: ин — — а ихх, х>0, С>0, 2 и(х, 0) = О, и~(х, 0) = О, и~(0, С) — Ьи(0, С) = и(С), (4.31) и(х, С) = С(х — аС), где У вЂ” некоторая достаточно гладкая функция. Из первого началь- ного условия получаем, что и(х, О) = У(х) = 0 при х > О, 272 где Ь вЂ” некоторая постоянная. Решим задачу (4.31) методом распространяющихся волн. Как и в случае граничных условиЯ Дирихле (4.27), в силу однородности уравнения и начальных условиЯ задачи (4.31) будем искать решение в виде правоЯ бегущей волны при этом второе начальное условие также выполняется: ис(х, 0) = — а~'(х) = 0 при х > О.
Подставляя функцию у(х — а1) в граничное условие задачи (4.31), получим обыкновенное дифференциальное уравнение ~'( — а1) — ЬД-а1) = и(1), 8 > О, где штрих обозначает производную по полному аргументу. Сделав замену х = — а1 и учитывая, что у(0) = О, получаем начальную задачу для функции у(х): у~(х) — ЬДх) = и(- — ), х < 0; ДО) = О.
Дх) = ~е~(' '1и( — — ) Нэ, х < О. о Сделаем в последнем интеграле замену с = — —, в результате чего 8 а' получим Подставляя в последней формуле х = х — а1, получим окончательный ответ: 0<1< —, х О, (4.32) и(х,1) = аещх-ай / еьаГн® ~1~ о 1>— х — а Заметим, что, положив в формуле (4.32) Ь = О, мы получим формулу (4.30) для решения начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний на полупрямой с неоднородным граничным условием Неймана. Мы решили задачу (4.31) методом распространяющихся волн.
Используя интегральное преобразование Фурье с ядром ,Г2ЛсоэЛх+ Ьэ)пЛх 'т' я Лз + Ьз 273 Решение этой задачи с помощью функции Коши записывается следу- ющим образом; можно получить формулу (4.32) методом интегральных преобразо- ваний. Читателю рекомендуется проделать это в качестве полезного упражнения. 5 В. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ им=а Ь2и, — со<я,у<+ос, 1>0, и) = Р(х, у), и1 ( = Ф(х, у). (5.1) Эту задачу решим обоими указанными выше способами. Сначала используем преобразование Фурье по части пространственных переменных. В данном случае используем преобразование Фурье по переменной у. Обозначим через Цх, Л, 1) образ Фурье функции и(х, и, х) по переменной у: 1 У(х,л,1) = — / и(х,п,1)е ' эйу. ~/2я l В предыдущих параграфах широко использовалось интегральное преобразование Фурье для решения пространственно-одномерных задач для уравнения колебаний.
В этом параграфе рассмотрим применение преобразования Фурье для решения задачи Коши для уравнения колебаний на плоскости и в неограниченном пространстве. Как указывалось ранее (гл. 1, 1 4), при решении пространственно- многомерных задач можно поступать по-разному. Можно применять многомерное преобразование Фурье сразу по всем пространственным переменным. В результате этого для образа Фурье получается одномерная задача Коши по переменной 1, содержащая столько параметров, сколько было пространственных переменных. Для получения оригинала, т.е.
решения исходной задачи, используется обратное многомерное преобразование Фурье. Возможен и несколько иной способ. Интегральное преобразование Фурье применяется не по всем переменным, а только по части из них, например только по одной из пространственных переменных. Тогда для образа Фурье получается задача для уравнения в частных производных (а не обыкновенное дифференциальное уравнение, как в первом способе), но в пространственной области меньшей размерности. Рассмотрим оба этих способа решения двумерных и трехмерных (по пространственным переменным) задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
