А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 30
Текст из файла (страница 30)
3. Рассмотрим на полупрямой начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с однородным граничным условием третьего рода: им — а и > х>0, С>0, и(х, 0) = 1о(х), и1(х, 0) = 4'(х), и,(0, С) — аи(0, С) = О, а = сопоС. (4.14) гоо Применим доказанную лемму. Для задачя (4.14) получаем ао = -Са, а1 = 1, аа = О, /а = 2,3,...,Ф. Следовательно, согласно формуле (4.6) Ф(х) = ф' — Ьср, Ф(х) = ссч — Иссс, где ф(х), с1с(х) — продолжение на отрицательную полуось функций сса(х) и ссс(х) соответственно.
Согласно лемме функции са(х) и сИ(х) нужно продолжить так, чтобы функции Ф(х) и Ф(х) были нечетными. Тогда решение задачи (4.14) можно записать в виде формулы Даламбера (4.10): а+ а С сСс(х+ ас) + ус(х — а1) 1 / 2 2о,с а-аС Построим функции Ф(х) и с(с(х). Очевидно, ф(х) = 1е(х), с(с(х) = сЬ(х) при х > О. Для определения функции ср(х) при х < 0 получим задачу Коши с5'(х) — Ьф(х) = У(х), х < О, сса(0) = 9р(0), (4.15) где правая часть уравнения имеет вид у(х) = -1а'(-х) + Иус(-х) Ф(х) = 1е( — х) + 2Ь ~ е"1' '11с( — х) с(х, х < О, е Таким образом, функция ср(х) имеет вид 1С'(х), х>0, ус( — х) + 2Ь / е~(~ '1~р(-х) Нх, х < О.
о ф(х) = Для определения функции Ф(х) на отрицательной полуоси получаем задачу Коши, аналогичную задаче (4.15): ссс'(х) — ьсЬ(х) = у(х), х < О, ССс(0) = сСс(0), где у(х) = — с(с'(-х) + иск(-х) (штрик обозначает производную по пол- ному аргументу). 261 (штрих есть производная по полному аргументу). Решение задачи (4.15) выписывается с помощью импульсной функции следующим образом: Следовательно, функция с(с(х) имеет вид Ф( '), с(с( — х) + 2Й е (' '1 Ц-х) ссх, о х>0, 6(х) хх х < О. с+аС ас-х о С + — ~ ( с)(з)Ив+ ~ с(с(з)Нз~+ — С е 'с(з ( е 'с(с( — х)с(х. 1 ( 2а( / ,/ ~ а,/ о о х-аС (4.16) Проинтегрируем последний интеграл в правой части формулы (4.16) по частям: о х а ас С еьа с(з е «'с)с(-х) Нх = — — е»' ссв е «'ссс( — х) ссх а,/ а,/ х-аС о о о х-аС с — е 'с)с( — х) с(х с(е ' = о о х-ас х-аС Ь х-ас -Лс 1 с" = — -е (х "1 / е 'ц — х)Их+ — ! с(с(-в)с(в= а а о о х-аС аС-х Ь х-ас / -Ьс = — -е (х а с е 'с(с( — х) с1х — — с)с(в) ссв.
а СС У о о (4.17) х Подставляя (4.17) в (4.16), получим при х > О, — < С < оо следующее выражение для решения; а+ а с ьс(х+ а1) + ср(х — а1) 1 / и(х,х) = 2 + — а ~ ссс(з) Ив+ Ф( )1 ас-х х-аС х-ас + )се~1х- с) ~ е-ь ус( — х) с1х — — еь1х-ас1 / е-Ь с(с( 1 а Подставим выражения для со(х) и сссс(х) в формулу (4.10). В результате будем иметь при х > О, — < с < оо: а х-ас и(х с) = + ссе (~ '1 е *ссс( — х) ах+ 2 о Таким образом, решение задачи (4.14) имеет следующий вид: х+аС (сс(х+ а() + (о(х — аС) 1 / 2 2а ! х при 0 < С < —, х > О, а+аС )о(х+ С)+(о( С вЂ” х) 1 Г 2 2а и(х, С) = аС-х х-ас х-ас -';"*" "' ) 'т(-Ос* — -*"' '" ) "С(-*)с.
1 а О приС> —,х>0. (4.18) 4. Рассмотрим начально-краевую задачу для неоднородного уравнения колебаний на полупрямой с однородными начальными условиями и однородным граничным условием Дирихле исс = а~и„+ Г(х, С), х > О, С > О, (4.19) и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, и(О,С) = О. Г(х,С), х>0, Г(х, С) = - Г(-х, С), х < О. Рассмотрим формулу (4.1) при (о(х) = 0 и сс)(х) = 0: с +а(с- ) и(х,С) = — / с(т / Я,т)с(с. 1 2а с О х-а(с-т) Выразив функцию Г(х, С) через Г(х, С), получим: С х+а(С вЂ” т) о 0(х,() = — / с(т / Г((,т)с(4+ — / с(т / Г(~,т)с((4') = 1 Г Г 1 Г о о О х-а(с-т) 263 Воспользуемся леммой.
Аналогично задаче (4.8), для того чтобы ре- шение задачи (4.19) можно было представить в виде (4.1), функцию Г(х, С) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным обра- зом: с х+а(С-т) с Π— ССт Я т) с(4+ с(т Я т) СС~ О $х-а(с-т)$ О О Полученную формулу можно записать в более компактном виде: С х+а(С-т) 1 Г й(х,С) = — ( с(т Г((,т)СС(. 2а / (4.20) О )х-а(с-т)$ исс — — а пах+ах,С), х>0, С>0, и(х,О) = О, ис(х,О) = О, их(О,С) =О. (4. 21) Воспользуемся леммой.
Аналогично задаче (4.12) продолжим функ- цию Г(х, С) на отрицательную полуось четным образом: (' Г(х, С), х > О, Дх,г) = ~Д вЂ” х,С), х<0, и запишем формулу (4.1) при (О(х) = 0 и с(с(х) = 0 С х.(.а(с-т) й(х,С) = ' /'4т /' Я,т)4(. О х-а(С-т) Выразив функцию Г(х, С) через Г(х, С), запишем решение задачи (4.21) в виде следуюшей формулы: С х+а(С-т) $х-а(С-т)$ 1 .С*, С = — / с.
( )' ССС, .С СС -с (. †.С -.О )' ССС, С СС) . 2а,/ (4.22) 6. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на полуограниченной прямой с граничными условиями третьего рода: и„= азиею х > О, С > О, е(пт)к, О < х <1, и(х, 0) = О, 1<х<оо, ис(х,О) = О, и,(О,С) — )си(О,С) = О. (4.23) 5. Рассмотрим начально-краевую задачу для неоднородного уравнения колебаний на полупрямой с однородными начальными условиями и однородным граничным условием Неймана Решение. Задача (4.23) совпадает с задачей (4.14) при «!«(х) = О.
Воспользуемся формулой (4.18). Пусть О < С < —. Тогда «р(х+ аС) + гр(х — аС) 1 Г . гг(х+ аС), гг(х — аС) 1 и(х, С) = 2 21 ! = — ~81П + 81П ! = Вгн — СО —. (4.24) Пусть — < С <, тогда О < аС вЂ” х < ! и согласно (4.18) и (4.23) х х+! а — — а в-аг и(х, С) = + Ле"1* '11 / е ~'«р(-») «С». (4.25) 2 о Вычислим интеграл, сделав в нем замену» — 1 — »: «-аг аг-в е *гр(-») «С» = — / е '«р(») «С». о о Используя формулу / еав е««в вш )2» «Сх (а вгп )1х — !3 сов СУх), (4.28) ,22+ Р2 которую легко получить двухкратным интегрированием по частям, получаем аг-е аг-» ь« е"' г', и» !г в»1 е 'вш — гС» = Л вш — — — сов— Лв+ (~)' !2 ь „ , 1 . 1г(аС вЂ” х) х я(аС вЂ” х) ) гг! — — сов )+ в (х + аС) гг2 — Ь»Р, гг(аС вЂ” х) и(»,С) = -вгп + вш + хЬ! 8(аг — х) хЬ! ~2+ Ь»Р ! ~2+ Ь212 Пусть, наконец, *+ < С < оо.
Тогда в силу (4.18) и (4.23) решение снова записывается в виде (4.25), где интеграл с помощью замены приводится к виду в-аг «1-а ! е- ««р(»! г!» ~ е ««р(») «!» ~ е ««р(») г!» о о о 265 поскольку уг(х) = 0 при 1 < х < аС вЂ” х. Используя снова формулу (4.26), получаем /'-= г г г (е + 1), ы хх к! лг 3 + е и окончательно а(х, С) = 8!п — сов — + ггаС ггх ггЛС лг ьС -ег1 1 1 кт+ Лт1т (е + 1)е Объединив все три случая, можно записать ответ задачи (4.23) сле- дующим образом: ггх каС е)п — сое —, О<с< —, х>О, 1, гг(х + ас) кт — Лз!т, я(ас — х) 2 1 2(ят + Лтсг) 1 яЛ! к(аС вЂ” х) яЛ! ь(, „1 яз+ Лт!з 1 яс+ ЛС1т х х+! — <С<, х>0, асп — сов — + ггаС ггх лЛ! и л,,г ! „г+ Лг!г (е + 1)е 1~ ' 1, — <С<оо, х>0.
х+1 а и(х, С) = агг = ага, х > О, С > О, и(х, 0) = О, иг(х, 0) = О, и(0, С) = р(с). (4.27) 2. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с неоднородными граничными условиями. Для решения начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа на полупрямой в случае неоднородных граничных условий рассмотрим метод интегрального преобразования Фурье и метод распространяющихся волн.
Общая схема метода интегрального преобразования приведена в гл. 1, С 4. Общая схема применения метода распространяющихся волн изложена в предыдущем параграфе. В данном пункте рассмотрены конкретные примеры решения начально-краевых задач для уравнения гиперболического типа на полупрямой с неоднородными граничными условиями методом интегрального преобразования Фурье и методом распространяющихся волн.
1. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полупрямой с неоднородным граничным условием Дирнхле а) Решим задачу (4.27) методом интегрального преобразования Фурье. Применим синус-преобразование Фурье с ядром К(х, у) = /2 =д — з1пЛх. Обозначим через ЦЛ,С) синус-образ Фурье функции и(х, С). Предположим, что выполнены условия существования интеграла Фурье, функция и(х, С) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ оо, а интеграл для П(Л, С) можно дифференцировать под знаком интеграла по переменной С.
Умножим обе части однородного уравнения колебаний на ) с — в)пЛх /2 )/ л и проинтегрируем по х от О до со; 42ЦЛ,С) г Г2 Г дги = а ~ — ( — о(пЛхоСх. 422 — Ч / Охг о Проинтегрируем интеграл в правой части, учитывая граничное усло- вие задачи (4.27): а ~ — ( — огп Лх ах = а 2,С вЂ” Лд(С) — а Л П(Л, С).
2 2 ')С л / Яхг о Отсюда, учитывая однородные начальные условия задачи (4.27), по- лучаем следующую задачу Коши в пространстве образов: 4Хс 2 — +а Л П=а 17 — Лр(С), С>О, г г г т' л (С(Л, О) = О, (7,(Л, О) = О. Решение этой задачи легко выписывается с помощью импульсной функции г )2 с П(Л, С) = а|„С вЂ” ( еСп аЛ(С вЂ” т)С2(т) 47. о С помощью формулы обратного преобразования Фурье вернемся в пространство оригиналов: 72 1 и(х,С) = )С вЂ” / ЦЛ,С)в)пЛхИЛ= о г со 2а Г = — / о(п Лх о(п аЛ(С вЂ” т) НЛ Сг(т) ат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
