А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 26
Текст из файла (страница 26)
2х Решение. Граничными условиями являются однородные гранич- ные условия Дирихле. Поэтому собственными функциями в разло- жении (1.4) будут собственные функции отрезка с граничными усло- виями Дирихле (см. гл. П, в 1) хп в„(х) = яп — х, и = 1,2,..., с квадратом нормы 2 2 Собственные значения имеют вид Л„= ('— "), =1,2,.... Согласно формуле (1.4) общее решение начально-краевой задачи на отрезке [О,!] с однородными граничными условиями Дирихле для неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями имеет вид лап сгап 1, яп и(х,1) = 7 (срсс сов — 1+ с(с„— всп — ) яп — х+ е 1 ) ОО с яп Г 1, кап + ~ в(п — х ( — вш — (1 — т)Г„(т) Ит, (1.8) „с' вал сс=с о где, что следует из формул (1.2) и (1.3), имеем Га(1) = -',~ У(4,1) всп — "(~К, 1,/ о с 2 Г, вп ср„= — / ср(Я) яп — (с18, (1.9) о 2 Г вп сс„= — / ссс(с)в1п — (с(б.
.-1/ о Поскольку первое начальное условие однородное, у„ = О, а из одно- родности уравнения следует, что Г„(!) = О. В результате из формул (1.8) и (1.9) получим стаи, лп и(х,!) = ~~с с)с„— вгп — ! вш — « где 2 Г 2сгх, стих ( 1 )с = — / в1п — в)п — с(х= ~ 1/ 1 1 (О, иф2. о Таким образом, 1 2ла , 2л и(х,!) = — в1п — ! вш — х. 2ла асс — — а и.л+Ае в1п —, О < х <1, ! > О, 2 -с и/, =О, ис!, =О, и/ =и!,схО. Решение. Воспользуемся формулой (1.8), в которой в силу однородности начальных условий х„= О, с!с„= О, а собственными функциями и собственными значениями являются собственные функции и значения задачи Дирихле на отрезке Ноно и 12 г сгп г~гМ о о„(х) = еш — х, Л„= ~ — ), 1 с лп Г 1, сап и(х, !) = ~~с вгп — х / — вш — (! — т) Г„(т) Ат, 1 ./ лаи 1 л=г о где согласно (1.9) Г„(т) = — / Г(с,т)еш — ос!о = 2 Г .
сгп — ! о 223 Отметим, что решение задачи представляется в виде одного члена ряда. Это связано с тем, что в качестве второго начального условия выбрана собственная функция с!с(х) = оо(х) = е)п 2~к, поэтому в силу ортогональности системы собственных функций все коэффициенты с!с„, кроме коэффициента с)сю равны нулю. 2.
Решить начально-краевую задачу для неоднородного уравнения колебаний на отрезке 0 < х < 1: 2А Г лб сгп (Ае ', и=1, = — е г / всп — всп — б с(б = Ае гбс„— 1,/ 1 ! ~,0, пф1. о Следовательно, с А1, лх Г,, ла и(х,!) = — вш — / е 'вш — (! — т) с!т= сга ! .! ! о А, ла! 1 сга! ) сгх е ' — сов — + — сов — С всп —. (-) ш Отметим, что, как и в задаче 1, решение представляется одним членом ряда с п = 1. Это объясняется тем, что зависимость от координаты х в неоднородности уравнения задается собственной функцией ос(х) = всп —.
1 3. Найти процесс колебаний однородной ненагруженной струны длины 1 с закрепленными концами, если начальная скорость струны равна нулю, а начальное отклонение имеет вид Лх хо Л(1 — х) ! — хо 0 < х < хо, ус(х) = < х < 1. исс = азиею О < х < 1, ! ) О, и!с =Ю(х), «с!с =О, «~ о=и!, с=О. Решение поставленной задачи записывается с помощью формулы сгп глот в еа(х) = всп х Лп = (1.8), в которой с)с„= О, Г„(т) = О, 2' в 1 2 Г лп ссс„= — 1 ос(х) всп — х с(х = 1! ! о Решение.
Пусть в положении равновесия струна расположена вдоль оси х между точками х = 0 и х = 1. Поскольку по условию струна однородная, то ее линейная плотность постоянна р(х) = ро, а в силу того, что рассматриваются малые колебания, постоянным остается натяжение 2'о. Начально-краевая задача, описывающая процесс колебаний свободной струны с закрепленными концами, ставится следующим образом: 2 !' Ь, лп 2 !' Ь(1 — х), ггп = — ~ — хвгп — х Нх+ — у! 81п — хг1х = 1/ ха ! — Ха а ие 2Ы . лп вгп — ха, и =1,2,...
лвпв(1 — ха)ха 1 Таким образом, 1ГП и(Х,1) = ~~~ 1аи соваги181п — х = 1 и=1 2ЬР т- 1, ггп, ггп 81п хав!п хсовыи! явха(1 — ха) пв 1 1 где ы„= хап/! — собственные частоты струны. Отметим, что в выражении для и(х,г) исчезают слагаемые, для 1ГП которых 81п — ха = О, т.е, отсутствуют обертоны, для которых точка 1 х = ха является узлом. Энергия струны равна сумме энергий гармоник. Подсчитаем энергию и-й гармоники. Выражение для нее имеет следуюнгий вид; Еи — — ра —" + Та —" Нх, а 2Ы2 1, л.пха, ггпх и„(х,1) = — егп — егп — сов м„1, ггвха(1 — ха) п2 1 1 Энергия и-й гармоники струны состоит из двух слагаемых: кинети- ческой энергии дп 12 фиииееич) ~ » а н потенциальной энергии В процессе колебаний струны происходит постоянная перекачка энергии из потенциальной в кинетическую, причем сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной.
При этом, когда кинетическая энергия и-й гармоники достигает максимального 225 значения (струна проходит положение равновесия), ее потенциальная энергия обращается в нуль, и, наоборот, когда потенциальная энергия и-й гармоники достигает максимального значения (струна находится в одном из крайних положений), ее кинетическая энергия обращается в нуль. Поэтому 2Лг1о , япхо Д шах(Е(киметич)) огп — х (г) хопохг(1 — хо)г Г агягпг хпх х /ро шах(соо го„1) о)п — г(х = г г 1г (г) " 1 о а1 г г г япхо = МЛ г яш —, хгпгх~~(1 — хо)г 1 где М = ро1 — масса струны.
Из последней формулы вытекает, что энергия обертонов, для ко1гпхо торых выполнено условие о(п — = О, равна нулю. 4. Решить задачу о малых поперечных колебаниях круглой мембраны У"' радиуса го с закрепленным краем, если начальное отклонение точек мембраны задано функцией ио(г, ~р) = А — соя )о, где А— го некоторая постоянная, а начальные скорости равны нулю.
Решение. Начально-краевая задача, описывающая процесс колебаний мембраны имеет следующий вид: игг = а~Ли, М Е У"', 1 > О, и~, о —— .4 — "сооог, иг~, о=О, и~ =О. Здесь У"' — круг радиуса то, С"' — окружность радиуса го. Ищем решение в виде разложения по собственным функциям задачи Дирихле для круга У"'. Собственные функции и собственные значения имеют вид (см. гл, П, г 5) где рь — корень номера Л уравнения 1„()г) = О. (и) Квадрат нормы собственных функций равен г г — :,о 226 Формула (1.4) для общего решения начально-краевой задачи в круге для неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями и однородными граничными условиями Дирихле записывается следующим образом: |.,,,О = ~ ~((о„„-.„ф,„.ь.,) ° р~~, о.
(с) (з) . 1 / (ь) о=~а=о Фоисооп4+ Фо„о1пп~Р . (и) Р~ + йе е в)п а /Ль 1~ У, ( — г) + Л/Л("' го а/„ () . = (," )/ г(.) (1.10) Формулы для коэффициентов разложения следуют из формул (1.2), (1.3) и имеют следующий вид; го 2» (и) И!'и) = ', Ол,,ю.( — "' )1;.""') о о «О 2» (а) ф~~') = — Ф(г,(а) .7„' » г . гас сйр, (1.11) о о ~о 2я Ф(,'„') = Ф(г, (а),ӄ— "г .
~ И~ Иу. о а Заметим, что индексы с и о соответствуют коэффициентам разложения по косинусам и синусам. Поскольку в нашем случае у(М, () = 0 и Ф(М) = О, из формулы (1.10) получим СО ОЭ уи'"' ~ и = ~ ~(Фь('„)соопУа+Фь„~о)ппр)У„~ ~ г)сова)/Л~~"~1. "=Е го о=1е=о Вычисляя коэффициенты, найдем 2А У (Ьь(')) га [,у'(~(())1 Ф~~,'„о=0 при пф1, 227 Подставляя коэффициенты в разложение решения, получаем окон- чательный ответ: (1) Г (1) 1 и(г,у,1) = 2Асоа~р .(2(рь ) Гр„'1 1 (В го „ , [,Г,'((1(1))] ге где рь~ (я = 1,2,...) — корни уравнения (1) (1) У1(и) =о, ль()= 5. Найти колебания круглой мембраны радиуса ге с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным давлением р = ра а1пш(, приложенным к одной стороне мембраны. Решение.
Решение задачи, описывающей процесс колебаний мембраны: и11 = а Ьи+ — ашы(, 2 РЕ Р н1], =О, МЕР"', ()О, и] =О, е/с» (1 ~ Ф) = Г» 1=1,2,..., п=0,1,2,..., где р„— корень номера я уравнения Г»(р) = О. (») Квадрат нормы собственных функций равен „2 Г ](гь»]] = е» [,У»(/11 )], е» Рассмотрим нерезонансный случай, когда частота вынуждающей силы ы не совпадает с собственной частотой м„ = орь /го круга (») (») У"'. м ф ы(»). В этом случае решение дается формулой (1.6), принимающей для круга внд (») »»01=1 ь'ь (~"ь ы ] 228 где р — поверхностная плотность мембраны — дается формулами (1.5) — (1.7), где е»(М) — собственные функции круга в случае гра- ничных условий Дирихле.
Эти функции имеют вид (см. гл. П, з 5) где коэффициенты Д„„и 7„„вычисляются по формулам, получаю- щимся из формулы (1.5): »а 2» (») 1' = — ! (,Цг,22)3„~ — г соап(аг»(гН)а, о а »» 2» (») Лс„= Лг, 22) .7» — г 82п п22г а(г И(а, о а где по условию задачи Дг, у) = — . Ро Р Учитывая ортогональность системы тригонометрических функций на отрезке [0,2л], получаем Дь'„— - 1»'„-— О, при /с =1,2,..., и= (с) (а) =1,2,....
Обозначим Д'„= Я„)»ь — — )2ю Вычисляя интеграл, находим у 2ра И 8 3) (1»8 ) Таким образом, в нерезонансном случае 2рога ау 5о( а»г) н= — ''8)п~(7 2 2 2 2 р ~-' )28 32 О»8 Н а2)»„' — г~~ы2) 2роыгз .781»аг) 8)п -л-"-' ' " ~дм--".,) В резонансном случае при ы = М» = а)»8»)го решение записывается в следующем виде, вытекающем из формулы (1.7); 2рог2 (о(~",г) ЬФьо Таким образом, при отсутствии сопротивления в случае совпадения частоты вынуждающей силы с собственной частотой мембраны наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний мембраны растет линейно по времени. 6. Найти поперечные колебания круглой мембраны (7"» радиуса го с закрепленным краем, вызванные сосредоточенным ударом, нормальным к поверхности мембраны, передавшим мембране в точке (гм у2), где 0 < г2 < го, — импульс К.
Решение. Рассмотрим два способа решения задачи. Первый способ. Будем считать, что импульс К равномерно распределяется в момент 1 = 0 по элементарной площадке Ьгг = (у1 < ГР < у1+ Луг, гг < г < г1+Ьг). Начально-краевая задача, моделирующая процесс колебаний мембраны, имеет вид йгг=а Ьй, МЕР"' 1>0, й~ = О, МЕЬГГ, йг ~ = Рг1 )зг(аГР (О, М ф (агг, й~ =О, где р — поверхностная плотность мембраны. Поскольку г1г!Лггхгр— площадь малого участка Гзгг, рг1ЬгскгР— его масса. Решение начально-краевой задачи с "размазанным" по площадке Ьгг импульсом К записывается с помошью формулы (1.10): оо со й = ~ ~~ ~ г)ге~„сов п(Р + г()а„з(п п(с),)к~ Ьм1и=а аЛ('Ль( ) где ра — а-й корень уравнения (к) Для вычисления коэффициентов разложения воспользуемся формулой (1.11): гг+Ьг Иг+ОИ (к) -и=„,'„.
( ( „;,'( — "::)('.::)"" гг Иг где 7ггг г ~о~ г(г( ( ~)] Применяя теорему о среднем' ) к интегралу в правой части формулы, получаем: (о) .( — г' гггартг [у (,(и))~г ( З(ПП)т'/ 2Г,ЬГ п (Рь Смл Ильин В.А., Иооклк Э.Г. Основы математического анализа.
Ч. 1. Мл Наука, 198г. гзо где г1 < г' < т1 + Ьт, )о1 < у' < )о) + ЬОо. Перейдем к пределу при Ьт -+ 0 и Ьу -+ 0 и обозначим предельные значения коэффициентов через ф„'„'; (а) ке„ртоз (у(,("))1т ) вшиты Таким образом, решение исходной задачи можно получить как пре- дел решения 0(т,)о,)) при Ьт -+ 0 и Ь~р -+ 0; и(г,)о,1) = !пп й(т,у,1) = Ьт-+о ао -+о СО СО ур<"> Л в)п)/Л1ь )1 =,~ ~(ф;,„сов ну+ 4~', в)пну) Яа~ — т) асп «=о ~..).,у Подставив в последний ряд выражения для коэффициентов о)о„и К'в„, получим окончательный ответ: (э) а го Вгпорой способ. Воспользуемся при постановке задачи дельта- функцией. Тогда начально-краевая задача записывается следуюшим образом; им— - а Ьи, Мбит', 1)0, К о — — — 6(М, М) ), М1 = (то, у1), и! =0 Решение этой задачи согласно формуле (1.10) имеет вид ОЭ ОО /~~"~ Л в)па/Ло1")С и = ~~~ ~ (~Щ„сов пуо+ о)в„в)п п)о) л,(— о=1»=о - то,/(э) ) .д(а) т где д, — корень номера )о уравнения,У„(д) = О, Л = 1 — ) (а] то Коэффициенты разложения подсчитаем по формуле (1.11): «Р«» о б(М М!)А~ (а) — г 2К о" ~, то "!)~~ сов п(о! )~ к«„г~ор( гг(,( ))] ( в(пп(о! 1' (2, п=О, (1, п)10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
