А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 21
Текст из файла (страница 21)
С помощью функции ошибок Ф ответ задачи можно записать в виде Можно показать, что если функция 1а(х) — кусочно-непрерывная и ограниченная на примой х Е Й~ функция с конечным числом точек разрыва, то формула (3.7) определяет решение однородного уравнения теплопроводности при х Е й', С Е (О,Т), ограниченное при С Е (О,Т) и непрерывно примыкающее к функции Са(х) в точках ее непрерывности. 2. Решить задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности: иг — — -и„, х Е 31, С > О, 1 1 4 **' и! =е * вшх. и=а Решение.
Воспользуемся формулой (3.5) при о = с; С. и(х,С) = — / е ~ е в(пбНб. нЯ / Для выполнения интеграла в правой части формулы рассмотрим ин- теграл Сехггг 1= е ~ С СИСНб Имеем г (х — б) г . ) 1+С 2х+СС ( Сг — с4хС+4хгС С ~ 1 Ч С 2,/Цг+ 1) ) 4С(1+ С) откуда, обозначая 1+ С 2х+ СС 2~/ф+ 1) получим / 1= — е "гм 1+1 а ~ хС Е-.заксен 1+1 Таким образом, и(х, С) = — 1гпХ = е ' '+'~ вш †. (3.8) ъ~кФ Я+ С 1+ С 174 и при и Е йс получим любое значение, заключенное в пределах от Тс до Тг, поскольку — 1 ( Ф(ю) ( 1.
Заметим, что в отличие от предыдущей задачи начальная функция р(х) = е * е1п х является непрерывной всюду на бесконечной прямой 21. Формула (3.8) представляет собой классическое решение задачи, непрерывно примыкающее к начальной функции: ° ьм е пг+ > х э 1пп и(х, 1) = 1пп еш — = е * ьйп х. г-+о ' с-~а,/1 4. Г 1+ М 3. Найти процесс изменения температуры однородного бесконечного стержня с равномерно распределенными источниками, мощность которых изменяется во времени по закону Я) = ешг. Начальная температура стержня равна у(х) = е Решение. Процесс изменения температуры стержня описывается следующей начальной задачей: и,=а и„+ашг, ябан~, 8)0, и(х,0) = е Ее решение дается формулой (3.3): и(х,г) = С(х,б,г — г)з(пгЫбИг+ С(х,б,г)е 4 Иб, < -о~ где С(х, б, г) = — '- е " — фундаментальное решение уравнения з,:с теплопроводностй.
Подсчитаем интеграл 11 —— 2а1/яг Поскольку г (х — б)г ~ 1 + 4агг х ~ хг 1 -'; 4 получаем х 2 ОО е +гггг 4агг / е'Иа= 2а1/хг 1+ 4агг „1 е )+4 лт 1/Г+ 4агг 175 где обозначено 1 + 4881 х 8 = 4 Посчитаем второй интеграл. Положив 8 = *, будем иметь 88 ~г-8 ' с СО 18= / / е <.о-ес)~й= 28~/х./ ф — 7,/ о — / 81п7 от / е 88= 1 — со81, о ОЭ Таким образом окончательно получим е '+"" и(х,1) = 1 — со81 + ~(Г~ 4а81 ' 4.
Решить задачу Коши для уравнения параболического типа на бесконечной прямой: ис =а~и„— Ли, хаий', 1>0, и(8,0) = 18(х), где Л > 0 — некоторая постоянная. Решение. Сделаем замену функции и(8,1) = е 8(х,1). Тогда и8 — — — Ли+ е ~~8~ и для функции 8(х, 1) получается следуюШая задача Коши: 8~ — — а 888, халес, 1>0, 8(8,0) = у(х). Решение этой задачи записывается формулой (3.5): ю(8,1) = а(8,61)ФК) сК, 176 откуда следует выражение для решения исходной задачи: СЮ 2 и(х,1) = ! е " ' 1о(~) с1б. 2ахУх1 (3.9) Задачи 1 и 2 моделируют процесс остывания бесконечного стержня с теплоизолированной поверхностью, нагретого до начальной температуры у(х).
Задача 4 моделирует процесс остывания бесконечного стержня, нагретого до температуры у(х), если через боковую поверхность стержня происходит теплообмен по закону Ньютона с внешней средой, температура которой равна нулю (Ь > Π— коэффициент теплообмена). Из формулы (3.9) следует, что чем больше 6, тем скорее происходит процесс остывания.
Случай Ь = О соответствует тепло- изолированной боковой стенке. 4 4. ЗАДАни ДлЯ иРАВнениЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА пОлиБескОненнОЙ пРямОЙ Рассмотрим начально-краевую задачу на полубесконечной прямой + 2 = (О < х < +со) для уравнения теплопроводности с постоянными — — + коэффициентами. Введем обозначения Йа = В х (О,+со), Й+ и+ х (О,+со), где 1к+ = (О < х < +со). Начально-краевая задача с граничными условиями первого, второго и третьего рода ставится следующим образом: ис — — а икь+ 1(х,1), (х,1) б Й~, и/, = 1с(х), х б эг ди а — + ди/ = и(1), 1 > О, дх где (а)+ ф) ф О.
(4.1) (4.2) (4.3) Классическим решением начально-краевой задачи (4.1) — (4.3) называется функция и(х,1), непрерывная вместе с первыми производными по х в замкнутой области Й ю имеющая непрерывные производные первого порядка по 1 и второго порядка по х в открытой области Йа, удовлетворяющая в Йч. уравнению теплопроводности, начальному и граничному условиям. Заметим, что в случае граничных условий первого рода (а О, д = 1) непрерывной дифференцируемости и(х,1) по х в замкнутой области й.ь не требуется, достаточно непрерывности и(х,1) в Й+. Классическое решение задачи (4.1) — (4.3) может существовать лишь при выполнении условия согласования начального и граничного условий шр'(О) + Д~(0) = рг(0). В силу линейности задачи (4.1)-(4.3) можно провести ее редукцию и представить решение и(х,1) задачи (4.1)-(4.3) в вице суммы двух функций и(я,1) = кч(я, 1) + ит(я,1),где и1(к,1) — решение задачи для неоднородного уравнения с неоднородным начальным и однородным граничным условиями, ит(я,1) — решение задачи для однородного уравнения с однородным начальным и неоднородным граничным условиями, Одним из методов решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой в случае однородных граничных условий является метод продолжения начальных данных.
В п. 1 настоящего параграфа зтот метод рассмотрен для случая линейного однородного граничного условия общего вида и проиллюстрирован на примере решения начально-краевых задач с однородными граничными условиями первого, второго и третьего рода. Эффективным методом решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности на полупрямой является метод интегрального преобразования Фурье, общие принципы применения которого изложены в гл.
1, 1 4. В настоящем параграфе рассматривается применение метода интегрального преобразования Фурье на полу- прямой к уравнению теплопроводности в случае граничных условий первого, второго и третьего рода. 1. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородными граничными условиями. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородным граничным условием может быть решена с помощью интегрального преобразования Фурье с соответствующим образом подобранным ядром, аналогично тому как это делается в случае неоднородного граничного условия (см, п,2).
Однако в случае линейного однородного граничного условия общего вида более физически наглядным является метод продолжения начального условия, при использовании которого оказывается полезной следующая Лемма' >. Пусть функция 1р(к) определена на бесконечной прямой Ж~, имеет на ней ограниченные производные до 1У-го порядка вклю- Смл Сеешиикое А.Г., Боголюоое А,Н., Кравцов В,В. Лекции ио математичеокой физике. Мл Изд-во МГУ, 1993.
чительно, и линейная комбинация Ф(х) = ~ аь~р1"1(х), (4.4) к=о где аь = сопв1, й = О, 1,..., иечетна относительно точки х = О. Тогда функция и(х,1) = / е * ф(С) аС 2а~гЯ (4.5) удовлетворяет условию д" и аь —, =О. в=о дх" в=о (4.6) Сформулированная лемма позволяет указать следующий способ решения начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием и однородным линейным граничным условием общего вида: г ио=а и =О, 1) О. (4.9) — + Продолжим функцию ~р(х), заданную при х Е Й, на всю действительную ось х, построив функцию 1р(х), которая удовлетворяет усло- виям ф(х) = ~р(х) при х Е % Ф М аь1о1 ~(х) = — у аь~р1 1(в) при х е Й и непрерывна вместе с производными до Л-го порядка включительно на всей оси. Теперь решим задачу Коши на бесконечной прямой Ус=а У,, (х,в)бЙ, У(х,О) = р(х), х ЕЖ (4.10) 179 и(х,О) = 1о(х), д" и аь— дх" в=о к=о (х,Е) Е Йе, хЕвч (4.7) (4.8) Согласно лемме функция У(х, 1) удовлетворяет граничному условию при х = 0 задачи (4.7) — (4.9) и, следовательно, при х Е % и(х,1) = — + =У(х,$), т.е.
решение задачи (4.10) при хЕ й является решением задачи (4.7)-(4.9). Приведем примеры применения метода продолжения для решения начально-краевых задач для уравнений параболического типа. 1. рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой для однородного граничного условия Дирихле х,ФЕЙ~, г и~ — — а и (4.11) и(х, 0) = ~р(х), и(0,1) = О. Применим доказанную лемму. Имеем аа = 1, аь = О, й = 1,2,..., Ф.
Следовательно, функции ф(х) и Ф(х) совпадают и согласно лемме функцию 1а(х) нужно продолжить нечетным образом. Положим (4.12) Теперь решение задачи (4.11) можно записать в виде интеграла Пуас- сона (3.5): и(х,Ф) = / 0(х,б,8)13(б) Щ, где 0(х,(,1) = е 2а~/Я вЂ” фундаментальное решение (3.2). Используя формулу (4.12), решение задачи (4.11) запишем через функцию у(х): Сделав во втором интеграле в правой части формулы замену б на -С,получим ° О СО и(х, г) = Щх, (,1) — С(х, — (,1))у(~) Н( = С1(х,(,1)~р(~) (Х(. о о (4.13) г 80 Функция ггд(х,(,1) = г) е г ~~ — е (4.14) — ..(1 1 является функцией Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности на полупрямой.
Из формул (4.13) и (4.14) следует, что решение задачи (4.11) имеет вид и(х,1) = / ~е г *г — е г-г~ ) уг(С) с(С. 2ауЯ о (4.15) иг = а иее, х,1 Е ос и(х,О) = р(х), ди~ дх! =о (4.16) Применим лемму. Имеем ао = О, а1 —— 1, аь = О, и = 2,3,...,1У. Следовательно, Ф(х) = ф'(х) и, согласно лемме, функцию 1о'(х) нужно продолжить нечетным образом. Поскольку производная четной функции есть нечетная функция, отсюда вытекает, что функцию уо(х) нужно продолжить четно.
Положим 1о(х), х > О, ф(х) = 1о( — х), х < О. (4.17) Смо Сеешицкое А.Г., Богоомбое А.Н., Кравцов В.В. Лекции ио математической физике. М.: Изд-ао МГУ, 1993. 181 Интеграл (4.15) называется интегралом Пуассона. Функция, определенная интегралом Пуассона, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности при х Е и+, 1 > О, ограничена в области х Е Й, 1 > О, и в случае ограниченной кусочно-непрерывной функции у(х) непрерывно примыкает при 1 -р 0 к функции р(х) в точках ее непрерывности. Это имеет место и в случае несогласования начальных и граничных условий: ~р(0) ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
