Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 21

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 21 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 212019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

С помощью функции ошибок Ф ответ задачи можно записать в виде Можно показать, что если функция 1а(х) — кусочно-непрерывная и ограниченная на примой х Е Й~ функция с конечным числом точек разрыва, то формула (3.7) определяет решение однородного уравнения теплопроводности при х Е й', С Е (О,Т), ограниченное при С Е (О,Т) и непрерывно примыкающее к функции Са(х) в точках ее непрерывности. 2. Решить задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности: иг — — -и„, х Е 31, С > О, 1 1 4 **' и! =е * вшх. и=а Решение.

Воспользуемся формулой (3.5) при о = с; С. и(х,С) = — / е ~ е в(пбНб. нЯ / Для выполнения интеграла в правой части формулы рассмотрим ин- теграл Сехггг 1= е ~ С СИСНб Имеем г (х — б) г . ) 1+С 2х+СС ( Сг — с4хС+4хгС С ~ 1 Ч С 2,/Цг+ 1) ) 4С(1+ С) откуда, обозначая 1+ С 2х+ СС 2~/ф+ 1) получим / 1= — е "гм 1+1 а ~ хС Е-.заксен 1+1 Таким образом, и(х, С) = — 1гпХ = е ' '+'~ вш †. (3.8) ъ~кФ Я+ С 1+ С 174 и при и Е йс получим любое значение, заключенное в пределах от Тс до Тг, поскольку — 1 ( Ф(ю) ( 1.

Заметим, что в отличие от предыдущей задачи начальная функция р(х) = е * е1п х является непрерывной всюду на бесконечной прямой 21. Формула (3.8) представляет собой классическое решение задачи, непрерывно примыкающее к начальной функции: ° ьм е пг+ > х э 1пп и(х, 1) = 1пп еш — = е * ьйп х. г-+о ' с-~а,/1 4. Г 1+ М 3. Найти процесс изменения температуры однородного бесконечного стержня с равномерно распределенными источниками, мощность которых изменяется во времени по закону Я) = ешг. Начальная температура стержня равна у(х) = е Решение. Процесс изменения температуры стержня описывается следующей начальной задачей: и,=а и„+ашг, ябан~, 8)0, и(х,0) = е Ее решение дается формулой (3.3): и(х,г) = С(х,б,г — г)з(пгЫбИг+ С(х,б,г)е 4 Иб, < -о~ где С(х, б, г) = — '- е " — фундаментальное решение уравнения з,:с теплопроводностй.

Подсчитаем интеграл 11 —— 2а1/яг Поскольку г (х — б)г ~ 1 + 4агг х ~ хг 1 -'; 4 получаем х 2 ОО е +гггг 4агг / е'Иа= 2а1/хг 1+ 4агг „1 е )+4 лт 1/Г+ 4агг 175 где обозначено 1 + 4881 х 8 = 4 Посчитаем второй интеграл. Положив 8 = *, будем иметь 88 ~г-8 ' с СО 18= / / е <.о-ес)~й= 28~/х./ ф — 7,/ о — / 81п7 от / е 88= 1 — со81, о ОЭ Таким образом окончательно получим е '+"" и(х,1) = 1 — со81 + ~(Г~ 4а81 ' 4.

Решить задачу Коши для уравнения параболического типа на бесконечной прямой: ис =а~и„— Ли, хаий', 1>0, и(8,0) = 18(х), где Л > 0 — некоторая постоянная. Решение. Сделаем замену функции и(8,1) = е 8(х,1). Тогда и8 — — — Ли+ е ~~8~ и для функции 8(х, 1) получается следуюШая задача Коши: 8~ — — а 888, халес, 1>0, 8(8,0) = у(х). Решение этой задачи записывается формулой (3.5): ю(8,1) = а(8,61)ФК) сК, 176 откуда следует выражение для решения исходной задачи: СЮ 2 и(х,1) = ! е " ' 1о(~) с1б. 2ахУх1 (3.9) Задачи 1 и 2 моделируют процесс остывания бесконечного стержня с теплоизолированной поверхностью, нагретого до начальной температуры у(х).

Задача 4 моделирует процесс остывания бесконечного стержня, нагретого до температуры у(х), если через боковую поверхность стержня происходит теплообмен по закону Ньютона с внешней средой, температура которой равна нулю (Ь > Π— коэффициент теплообмена). Из формулы (3.9) следует, что чем больше 6, тем скорее происходит процесс остывания.

Случай Ь = О соответствует тепло- изолированной боковой стенке. 4 4. ЗАДАни ДлЯ иРАВнениЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА пОлиБескОненнОЙ пРямОЙ Рассмотрим начально-краевую задачу на полубесконечной прямой + 2 = (О < х < +со) для уравнения теплопроводности с постоянными — — + коэффициентами. Введем обозначения Йа = В х (О,+со), Й+ и+ х (О,+со), где 1к+ = (О < х < +со). Начально-краевая задача с граничными условиями первого, второго и третьего рода ставится следующим образом: ис — — а икь+ 1(х,1), (х,1) б Й~, и/, = 1с(х), х б эг ди а — + ди/ = и(1), 1 > О, дх где (а)+ ф) ф О.

(4.1) (4.2) (4.3) Классическим решением начально-краевой задачи (4.1) — (4.3) называется функция и(х,1), непрерывная вместе с первыми производными по х в замкнутой области Й ю имеющая непрерывные производные первого порядка по 1 и второго порядка по х в открытой области Йа, удовлетворяющая в Йч. уравнению теплопроводности, начальному и граничному условиям. Заметим, что в случае граничных условий первого рода (а О, д = 1) непрерывной дифференцируемости и(х,1) по х в замкнутой области й.ь не требуется, достаточно непрерывности и(х,1) в Й+. Классическое решение задачи (4.1) — (4.3) может существовать лишь при выполнении условия согласования начального и граничного условий шр'(О) + Д~(0) = рг(0). В силу линейности задачи (4.1)-(4.3) можно провести ее редукцию и представить решение и(х,1) задачи (4.1)-(4.3) в вице суммы двух функций и(я,1) = кч(я, 1) + ит(я,1),где и1(к,1) — решение задачи для неоднородного уравнения с неоднородным начальным и однородным граничным условиями, ит(я,1) — решение задачи для однородного уравнения с однородным начальным и неоднородным граничным условиями, Одним из методов решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой в случае однородных граничных условий является метод продолжения начальных данных.

В п. 1 настоящего параграфа зтот метод рассмотрен для случая линейного однородного граничного условия общего вида и проиллюстрирован на примере решения начально-краевых задач с однородными граничными условиями первого, второго и третьего рода. Эффективным методом решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности на полупрямой является метод интегрального преобразования Фурье, общие принципы применения которого изложены в гл.

1, 1 4. В настоящем параграфе рассматривается применение метода интегрального преобразования Фурье на полу- прямой к уравнению теплопроводности в случае граничных условий первого, второго и третьего рода. 1. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородными граничными условиями. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородным граничным условием может быть решена с помощью интегрального преобразования Фурье с соответствующим образом подобранным ядром, аналогично тому как это делается в случае неоднородного граничного условия (см, п,2).

Однако в случае линейного однородного граничного условия общего вида более физически наглядным является метод продолжения начального условия, при использовании которого оказывается полезной следующая Лемма' >. Пусть функция 1р(к) определена на бесконечной прямой Ж~, имеет на ней ограниченные производные до 1У-го порядка вклю- Смл Сеешиикое А.Г., Боголюоое А,Н., Кравцов В,В. Лекции ио математичеокой физике. Мл Изд-во МГУ, 1993.

чительно, и линейная комбинация Ф(х) = ~ аь~р1"1(х), (4.4) к=о где аь = сопв1, й = О, 1,..., иечетна относительно точки х = О. Тогда функция и(х,1) = / е * ф(С) аС 2а~гЯ (4.5) удовлетворяет условию д" и аь —, =О. в=о дх" в=о (4.6) Сформулированная лемма позволяет указать следующий способ решения начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием и однородным линейным граничным условием общего вида: г ио=а и =О, 1) О. (4.9) — + Продолжим функцию ~р(х), заданную при х Е Й, на всю действительную ось х, построив функцию 1р(х), которая удовлетворяет усло- виям ф(х) = ~р(х) при х Е % Ф М аь1о1 ~(х) = — у аь~р1 1(в) при х е Й и непрерывна вместе с производными до Л-го порядка включительно на всей оси. Теперь решим задачу Коши на бесконечной прямой Ус=а У,, (х,в)бЙ, У(х,О) = р(х), х ЕЖ (4.10) 179 и(х,О) = 1о(х), д" и аь— дх" в=о к=о (х,Е) Е Йе, хЕвч (4.7) (4.8) Согласно лемме функция У(х, 1) удовлетворяет граничному условию при х = 0 задачи (4.7) — (4.9) и, следовательно, при х Е % и(х,1) = — + =У(х,$), т.е.

решение задачи (4.10) при хЕ й является решением задачи (4.7)-(4.9). Приведем примеры применения метода продолжения для решения начально-краевых задач для уравнений параболического типа. 1. рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой для однородного граничного условия Дирихле х,ФЕЙ~, г и~ — — а и (4.11) и(х, 0) = ~р(х), и(0,1) = О. Применим доказанную лемму. Имеем аа = 1, аь = О, й = 1,2,..., Ф.

Следовательно, функции ф(х) и Ф(х) совпадают и согласно лемме функцию 1а(х) нужно продолжить нечетным образом. Положим (4.12) Теперь решение задачи (4.11) можно записать в виде интеграла Пуас- сона (3.5): и(х,Ф) = / 0(х,б,8)13(б) Щ, где 0(х,(,1) = е 2а~/Я вЂ” фундаментальное решение (3.2). Используя формулу (4.12), решение задачи (4.11) запишем через функцию у(х): Сделав во втором интеграле в правой части формулы замену б на -С,получим ° О СО и(х, г) = Щх, (,1) — С(х, — (,1))у(~) Н( = С1(х,(,1)~р(~) (Х(. о о (4.13) г 80 Функция ггд(х,(,1) = г) е г ~~ — е (4.14) — ..(1 1 является функцией Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности на полупрямой.

Из формул (4.13) и (4.14) следует, что решение задачи (4.11) имеет вид и(х,1) = / ~е г *г — е г-г~ ) уг(С) с(С. 2ауЯ о (4.15) иг = а иее, х,1 Е ос и(х,О) = р(х), ди~ дх! =о (4.16) Применим лемму. Имеем ао = О, а1 —— 1, аь = О, и = 2,3,...,1У. Следовательно, Ф(х) = ф'(х) и, согласно лемме, функцию 1о'(х) нужно продолжить нечетным образом. Поскольку производная четной функции есть нечетная функция, отсюда вытекает, что функцию уо(х) нужно продолжить четно.

Положим 1о(х), х > О, ф(х) = 1о( — х), х < О. (4.17) Смо Сеешицкое А.Г., Богоомбое А.Н., Кравцов В.В. Лекции ио математической физике. М.: Изд-ао МГУ, 1993. 181 Интеграл (4.15) называется интегралом Пуассона. Функция, определенная интегралом Пуассона, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности при х Е и+, 1 > О, ограничена в области х Е Й, 1 > О, и в случае ограниченной кусочно-непрерывной функции у(х) непрерывно примыкает при 1 -р 0 к функции р(х) в точках ее непрерывности. Это имеет место и в случае несогласования начальных и граничных условий: ~р(0) ф О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее