А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 24
Текст из файла (страница 24)
С помощью замены з = С=и* получаем заи« 2айС вЂ” — 1 — Ф вЂ” — = — 1+Ф где использована нечетность функции Ф(и«). Аналогично, положив з = -~+*э, будем иметь 14= е «.Й «С4= — 1 — Ф з (4.47) Подставляя (4.43) — (4.47) в формулу (4.40), получим и(х, С) = — (1з + 14 — 2С«е"*~" ' '(1с + 1з)) = =Тое *+ ' ' 1 — Ф +аЬЛ +ТаФ 5 3. ЗАЩАЧИ ДЛЯ ЪГРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОПНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ йз = зс~ х (О, Т) = ((М с): М б зс~, С б(0, Т)). йз = «а~ х (О, Т). Начальная задача для уравнения теплопроводности в пространстве (задача Коши) ставится следуюпсим образом: ид — — а~Ли+с'(М,С), (М,С) бйз, и(М,О) = у«(М), М бй~, где Сз — трехмерный оператор Лапласа.
Рассмотрим начальную задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в трехмерном пространстве «к~. Введем обозначения Классическим решением начальной задачи для уравнения теплопроводности называется функция и(М, С), определенная и непрерывная вместе со вторыми производными по координатам и первой производной по С в области Пз, удовлетворяющая в этой области уравнению теплопроводности, непрерывная по координатам и по С в области Йз и удовлетворяющая начальному условию.
Если ~о(М) непрерывная и ограниченная в (йз функция, то начальная задача для уравнения теплопроводности имеет единственное решение. Фундаментальным решением сС(М, С,), С) задачи Коши для уравнения теплопроводности иг — — а~Ли называется такое его решение в области Пз, которое: 1) удовлетворяет начальному условию С(М,Я,О) = 6(М,Сб), М,С;) бй~; 2) непрерывно всюду в замкнутой области Йз, кроме точки Я, 0), т е. при М ф Я и С ф О.
При построении фундаментального решения в пространстве весьма полезной оказывается следующая Лемма. 'С Если в задаче Коши иг —— а~ага, (М,С) б йз, и(М,О) = гр(М) начальная функция р(М) представима в виде гр(М) = р!(х)воз(у) рз(г) то решением этой задачи будет функция и(М,С) = и1(х,С)из(У,С)из(г,С), где и1(х, С), из(у, С), из(г, С) — решения соответствующих одномерных задач Коши: им = а им*, х б Й~, С > О, и1(х,О) = гр1(х); изг — — а итру У б Й, С > О, из(У,О) = грз(у); изг = а из °, з б ПС', С > О, из(г,О) ='рз(з). Смл Свешников А.Го Боголюбов А.Но Кравцов В.В. Лекции ио математической физике. Мл Издево МГУ, 1992. 202 Аналогичным образом ставится начальная задача для уравнения теплопроаодности и двумерном случае.
При этом имеет место лемма, аналогичная лемме, сформулированной для трехмерного случая. С помощью сформулированной леммы легко построить фундаментальное решение уравнения теплопроводности и пространстве мз. В трехмерном случае дельта-функцию о(М, Я) можно представить и аиде произведения: Б(М, Я) = Б(х — б)6(у — с1)6(х — ~), где М = (х, у, х), Я = (б, с1, ~). Поэтому, поскольку фундаментальное решение с'(М, с;с,1) является решением уравнения теплопроводности и йз, удоалетворяющим начальному условию 0(М, Яс 0) = 6(М, сй), применяя лемму и воспользовавшись формулой для фундаментального решения уравнения теплопроаодности на прямой (см. (3.2)), получим ,,з ассс,о,~с= ~ ' ) .-~ ' "зг~ '~. ~,2а~/Я Аналогично получается выражение для фундаментального решения ураанения теплопроводности на плоскости: Ссс(М, Я,1) = — е 'Ь где М = (х, у), Я = (б, с1).
Зная фундаментальное решение, можно аналогично одномерному случаю выписать формулу для решения начальной задачи для неоднородного уравнения теплопроаодности с неоднородным начальным условием в трехмерном случае: с и(М,Ф) = / С(М,Ц,С)1оЩ) с)сссс+ / / с.(М,С'.),Ф вЂ” тЩЯ, т) с)К2 сст. яз о яс (5.1) Аналогичная формула в двухмерном случае имеет аид с и(М, С) = Сц(М, Я,1)ус(Я) Ад+ бсс(М, Я,1 — т)Я, т) А<1с1т. о и* (5.2) В качестве примера рассмотрим решения следующих задач. 1. Решить задачу для неоднородного уравнения теплопроаодности на плоскости ис — — 4Ьзи+ е ' сов(х+ у), (х, у) Е й~, 1 > О, зоз и(х,у,О) = О.
Решение. Воспользуемся формулой (5.2), положив в ней а = 2: Используя формулу (4+9) — 4 Ч вЂ” вгп(81ПЧ запишем два внутренних интеграла в виде 1 = / сов(С + и) Н(Й7) = 1г1г — 1в14, ,/ 16я(г — т) где 4гЯ~- т) / 1г = 1 / е "~'-'> сов г1 Й1, 4~Я~ — т) 1 4 ~/я(в — т) 14— 1 е ~а|~- 1 в)пуй1. 4~Я вЂ” т) 1 с — х Рассмотрим интеграл 1г. Сделаем замену в = . Тогда 1 7 сов х в)п х 1г — — — / е ' сов(х+4вЯ вЂ” т) ~1в = — 1м — — 1гг, '=т= / / ~л где 1м = / е ' сов4а/à — твИв, гоа о 11г = е ' в)п4~Л вЂ” твсЬ.
Поскольку подынтегральная функция в интеграле 11 г нечетная, 11 г = = О. А так как подынтегральная функция в интеграле 1ы четная, получим (см. ~ 4) 1ы = 2 / е ' сов 4~/à — тв ~Ь = ~/яе ~(' о Учитывая формулы для Хг и Хы, получим 1 -4(Ф-т) Поскольку интеграл Хг аналогичен интегралу 1ы Хг е-4(с-т) сову Рассмотрим интеграл 1з. Используя ту же замену, получим Хз = — ~ е ' в(п(в+44 — т)воЬ = в(п з сов з = — Хзг + — Хзг, ~/я ~/я где 1з1 — — 1 е сов4Л вЂ” твМв = ~/яе ~(' ), 1зг —— е ' вш4ъЯ вЂ” тзИв = О. Таким образом, 1з — — е ( ) вше. Аналогично Хо=е ( ')вшу. Используя формулы для интегралов 1ы 1г, Хз, Хв, получим 1 = е (' ") соз(з+ у) 205 и окончательно: 2 -ф4 71 и(х, у, с) = е 'е ~0 «1 сов(х+ у) Нг = -е ' вЬ вЂ” сов(х + у).
7 2 о и4 — 454и, (х,у1в) Ей, 1) О, и(х, у, в, О) = е * вЬ Зу сов 5г. Решение. Воспользовавшись формулой (5.1), запишем решение в виде (учтем, что а = 1) и = е е 4 вЬЗ«1сов5~41(414141~. Интеграл в правой части может быть записан в виде произведения трех интегралов: 2/яг 1 — ! е ° 1 вЬ 341 41«1, 2т(Я ! — / е 44 сов 5~ 444,. 2туят .4' 1г —— 12 = 1з = Учитывая, что (х — 5)г 1 1+ 41 х 41 144 41,4!(~44!)1 1';41' +— 206 Заметим, что начальная функция 4Р(х, у, в) может быть растущей с ограниченной степенью роста, т.е. найдутся такие положительные постоянные 5 и М, что )~р(х,у,г)! < Рейв~.
Рассмотрим пример, в котором начальная функция является функцией с ограниченной степенью роста. 2. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве запишем интеграл 14 следующим образом: 94 1 41 2х/я1 Сделав в последнем интеграле замену 1+41 х 44 4~1(1 4 41) ' получим после несложных преобразований — — -+. т/1+ 41 Для вычисления интеграла 12 учтем, что 95341 = 1~ез" — 1~9 з", и представим его в виде 12 — 121 1221 где 1 12~ — 4 е 4 +за ф 4ч/Я l 44/я1 1 В интеграле 124 сделаем замену з = — и перепишем его в виде 41 У 244 1 = — е '+""мсЬ езу г "=2Г! ' Учитывая, что 92 — 6;/19 = 19 — 3 4/4)2 — 91, окончательно получим 1 -(4-3/46 4 Зу+94 2~/,/ 2 С помощью аналогичной замены интеграл 122 запишем следующим образом: ЗУ 4 24/441 4 94-29 вот Из формул для 1г, 1м, 1гг получим 1г = е 'в)гЗу.
Рассмотрим, наконец, интеграл 1в. Сделав замену в = х:4, будем г~л ' иметь — / е ' сов(5в+ 10~Ма) еЬ = сов 5г 1,е в)п 5г 1,е — ( е ' сов10ЛвеЬ вЂ” / е ' в)п10Двдв л! лl е гве сов 5г, поскольку е ' сов10~йвеЬ = 2 / е ' сов10 уевйв = ~/яе гв' 1" — ОО о е ' в)п10Лв Ыв = О. Окончательный ответ имеет вид 1 *е+ееееееее и(х,у,г) = е дуэте в)гЗусовбг. т/Г+ 41 Сфомулированная лемма была использована для построения решения (функции Грина) в неограниченном пространстве.
Ее можно было использовать и для решения рассмотренных примеров. Заметим, что эта лемма справедлива не только в неограниченном пространстве, а допускает обобщения на более сложные случаи. Исследуем этот вопрос более подробно. Рассмотрим цилиндрическую область Р = ((х, у) б а, гг < г < гг), причем как плоская область а может быть неограниченной, так и гг и гг могут быть равны — со и +со соответственно. Пусть функция е(х, у,г) удовлетворяет в области а однородному уравнению теплопроводности ве = а еЗгэ, г 208 заданному начальному условию и~ = у(х, у) и однородному первому, второму или третьему граничному условию на границе С области сг. Пусть функция из(х, С) удовлетворяет на отрезке хс < х < гз однородному уравнению теплопроводности диз з дзиз — = а дС дхз ' заданному начальному условию из~, = сссз(х) и однородному граничному условию первого, второго или третьего родаприх=хс и х=хз.
Тогда функция и(х, у,, х, С) = и(х,у, С)из(х, С) в области Р удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности ис — — а схзи, 2 начальному условию и( = 9с(х, у)~аз(х) и однородному граничному условию на границе области Р. Справедливость этого утверждения устанавливается непосредственной проверкой. Если плоская область а вырождается в отрезок, например хс < * < хз, причем хс и хз могут быть равны †и +со соответственно, а функция сСс(х,у) не зависит от переменной у; то получаем соответствуюшее утверждение на плоскости (х, г). Эти утверждения обобщают ранее сформулированную лемму.
Они используются для построений функций Грина для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в указанных цилиндрических областях, поскольку функция Грина может быть определена как решение однородного уравнения теплопроводности в Р, удовлетворяющее однородному граничному условию на границе области Р и начальному условию следуюшего вида: и~ = 6(х — С)6(у — сС)а(х — с",).
209 Рассмотрим примеры построения указанным способом функции Грина для уравнения теплопроводности. 1. Построить функцию Грина уравнения теплопроводности для плоского слоя: — оо < я, у < оо, О < г < 1, если на граничных плоскостях (з = О и г = 1) заданы однородные граничные условия Дирихле. Решение. Функция Грина С(М,Я,1), М = (я,у, г), Я = (4 О ь) согласно сформулированным утверждениям будет равна С(М, Я,1) = Се(я, ~,1)Се(у, п,1)С~(з, ~,1), где Со(ам аг,1) = — е 2ач'к1 — фундаментальное рещение (функция Грина) на бесконечной прямой, С~(г,~,1) — функция Грина уравнения теплопроводности для отрезка О < г < 1 с граничными условиями Дирихле при г = О и с =1.
Функция С~(г, ~,1) может быть записана в виде ряда по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля; Таким образом, 2. Построить функцию Грина для бесконечного цилиндра поперечного сечения а, если на боковой поверхности цилиндра заданы однородные граничные условия Дирихле. Решение. Функция Грина С(М, г, Я,~,1), М=(х,у), Я=((,г1) имеимеет вид С(М... д, Г, 1) = Се(.,С,1)С,(МА, 1), где Со(~,~,1) =— 2а~/х1 С~ (М, 0, 1) — функция Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в области н. Функция С~(М, Я, 1) может быть записана в виде С~(М, Я,1) = ~ е ' " е„(М)е„(Я), п=1 гто где (о„(М)), — ортонормированные собственные функции задачи Дирихле для оператора Лапласа в области а, (Л„), — соответствующие им собственные значения.
Таким образом, С(М,г,Я,~,1) = е ~[ ) )е а ~"'о„(М)о„(Я). 2а1/л1 3. Построить функцию Грина для четверти пространства; 0 < < х,у < оо, — оо < г <оо. На координатных плоскостях х = 0 и у= 0 заданы однородные граничные условия Неймана. Решение. Функция Грина С(М,Я,1), М= (х,у,г), О= ((,0,~) имеет вид С(М, 1~, ~) = 02(х,5,1)02(у,0, 1)0о(г,(М, где Со(г, ~, 1) = — е~ 2 а 1/лт Сг(ог,ог,т) = — [е ' ' + 2 а 1/лг — е «.')[ (е ~~.й +е ай ) (2а1/л8)з [ — "~-'+ -" ') С(М, Я,1) 1 е. зАдАчи для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1.
Решить начально-краевую задачу на отрезке: и, = и, х Е (0,5), 1 Е (О, +со), и(х, 0) = О, х Е [0,5], а(О,С) = 2й, и(5,й) =О, Ф Е [О,+оо). 211 — функция 1 рина уравнения теплопроводности задачи Неймана на полупрямой. Следовательно, 2. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: и1 — — и~~, х Е (О, 1), С Е (О, +оо), и(х, 0) = 1, х Е (О, 1), и(О,С) = 2, и(1,С) = 3, С Е [О, +со). 3. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: ис = игл, х Е (О, 1), С Е (О, +со), и(х, О) = О, а' Е [О, 1], и(О,С) = 3(1 — е '), и +и =О, х = 1, С Е [О,+со). 4. Решить начально-краевую задачу в единичном круге: ис —— Ьи, г Е (0,1), гр Е [0,2л], С Е (О,+оо), и(г, у, 0) = т в(п р, т Е [О, 1], 1о Е [О, 2л], и(1,ср,С) = О, у Е [0,2л], С Е [О,+со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
