Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 24

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 24 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 242019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

С помощью замены з = С=и* получаем заи« 2айС вЂ” — 1 — Ф вЂ” — = — 1+Ф где использована нечетность функции Ф(и«). Аналогично, положив з = -~+*э, будем иметь 14= е «.Й «С4= — 1 — Ф з (4.47) Подставляя (4.43) — (4.47) в формулу (4.40), получим и(х, С) = — (1з + 14 — 2С«е"*~" ' '(1с + 1з)) = =Тое *+ ' ' 1 — Ф +аЬЛ +ТаФ 5 3. ЗАЩАЧИ ДЛЯ ЪГРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОПНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ йз = зс~ х (О, Т) = ((М с): М б зс~, С б(0, Т)). йз = «а~ х (О, Т). Начальная задача для уравнения теплопроводности в пространстве (задача Коши) ставится следуюпсим образом: ид — — а~Ли+с'(М,С), (М,С) бйз, и(М,О) = у«(М), М бй~, где Сз — трехмерный оператор Лапласа.

Рассмотрим начальную задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в трехмерном пространстве «к~. Введем обозначения Классическим решением начальной задачи для уравнения теплопроводности называется функция и(М, С), определенная и непрерывная вместе со вторыми производными по координатам и первой производной по С в области Пз, удовлетворяющая в этой области уравнению теплопроводности, непрерывная по координатам и по С в области Йз и удовлетворяющая начальному условию.

Если ~о(М) непрерывная и ограниченная в (йз функция, то начальная задача для уравнения теплопроводности имеет единственное решение. Фундаментальным решением сС(М, С,), С) задачи Коши для уравнения теплопроводности иг — — а~Ли называется такое его решение в области Пз, которое: 1) удовлетворяет начальному условию С(М,Я,О) = 6(М,Сб), М,С;) бй~; 2) непрерывно всюду в замкнутой области Йз, кроме точки Я, 0), т е. при М ф Я и С ф О.

При построении фундаментального решения в пространстве весьма полезной оказывается следующая Лемма. 'С Если в задаче Коши иг —— а~ага, (М,С) б йз, и(М,О) = гр(М) начальная функция р(М) представима в виде гр(М) = р!(х)воз(у) рз(г) то решением этой задачи будет функция и(М,С) = и1(х,С)из(У,С)из(г,С), где и1(х, С), из(у, С), из(г, С) — решения соответствующих одномерных задач Коши: им = а им*, х б Й~, С > О, и1(х,О) = гр1(х); изг — — а итру У б Й, С > О, из(У,О) = грз(у); изг = а из °, з б ПС', С > О, из(г,О) ='рз(з). Смл Свешников А.Го Боголюбов А.Но Кравцов В.В. Лекции ио математической физике. Мл Издево МГУ, 1992. 202 Аналогичным образом ставится начальная задача для уравнения теплопроаодности и двумерном случае.

При этом имеет место лемма, аналогичная лемме, сформулированной для трехмерного случая. С помощью сформулированной леммы легко построить фундаментальное решение уравнения теплопроводности и пространстве мз. В трехмерном случае дельта-функцию о(М, Я) можно представить и аиде произведения: Б(М, Я) = Б(х — б)6(у — с1)6(х — ~), где М = (х, у, х), Я = (б, с1, ~). Поэтому, поскольку фундаментальное решение с'(М, с;с,1) является решением уравнения теплопроводности и йз, удоалетворяющим начальному условию 0(М, Яс 0) = 6(М, сй), применяя лемму и воспользовавшись формулой для фундаментального решения уравнения теплопроаодности на прямой (см. (3.2)), получим ,,з ассс,о,~с= ~ ' ) .-~ ' "зг~ '~. ~,2а~/Я Аналогично получается выражение для фундаментального решения ураанения теплопроводности на плоскости: Ссс(М, Я,1) = — е 'Ь где М = (х, у), Я = (б, с1).

Зная фундаментальное решение, можно аналогично одномерному случаю выписать формулу для решения начальной задачи для неоднородного уравнения теплопроаодности с неоднородным начальным условием в трехмерном случае: с и(М,Ф) = / С(М,Ц,С)1оЩ) с)сссс+ / / с.(М,С'.),Ф вЂ” тЩЯ, т) с)К2 сст. яз о яс (5.1) Аналогичная формула в двухмерном случае имеет аид с и(М, С) = Сц(М, Я,1)ус(Я) Ад+ бсс(М, Я,1 — т)Я, т) А<1с1т. о и* (5.2) В качестве примера рассмотрим решения следующих задач. 1. Решить задачу для неоднородного уравнения теплопроаодности на плоскости ис — — 4Ьзи+ е ' сов(х+ у), (х, у) Е й~, 1 > О, зоз и(х,у,О) = О.

Решение. Воспользуемся формулой (5.2), положив в ней а = 2: Используя формулу (4+9) — 4 Ч вЂ” вгп(81ПЧ запишем два внутренних интеграла в виде 1 = / сов(С + и) Н(Й7) = 1г1г — 1в14, ,/ 16я(г — т) где 4гЯ~- т) / 1г = 1 / е "~'-'> сов г1 Й1, 4~Я~ — т) 1 4 ~/я(в — т) 14— 1 е ~а|~- 1 в)пуй1. 4~Я вЂ” т) 1 с — х Рассмотрим интеграл 1г. Сделаем замену в = . Тогда 1 7 сов х в)п х 1г — — — / е ' сов(х+4вЯ вЂ” т) ~1в = — 1м — — 1гг, '=т= / / ~л где 1м = / е ' сов4а/à — твИв, гоа о 11г = е ' в)п4~Л вЂ” твсЬ.

Поскольку подынтегральная функция в интеграле 11 г нечетная, 11 г = = О. А так как подынтегральная функция в интеграле 1ы четная, получим (см. ~ 4) 1ы = 2 / е ' сов 4~/à — тв ~Ь = ~/яе ~(' о Учитывая формулы для Хг и Хы, получим 1 -4(Ф-т) Поскольку интеграл Хг аналогичен интегралу 1ы Хг е-4(с-т) сову Рассмотрим интеграл 1з. Используя ту же замену, получим Хз = — ~ е ' в(п(в+44 — т)воЬ = в(п з сов з = — Хзг + — Хзг, ~/я ~/я где 1з1 — — 1 е сов4Л вЂ” твМв = ~/яе ~(' ), 1зг —— е ' вш4ъЯ вЂ” тзИв = О. Таким образом, 1з — — е ( ) вше. Аналогично Хо=е ( ')вшу. Используя формулы для интегралов 1ы 1г, Хз, Хв, получим 1 = е (' ") соз(з+ у) 205 и окончательно: 2 -ф4 71 и(х, у, с) = е 'е ~0 «1 сов(х+ у) Нг = -е ' вЬ вЂ” сов(х + у).

7 2 о и4 — 454и, (х,у1в) Ей, 1) О, и(х, у, в, О) = е * вЬ Зу сов 5г. Решение. Воспользовавшись формулой (5.1), запишем решение в виде (учтем, что а = 1) и = е е 4 вЬЗ«1сов5~41(414141~. Интеграл в правой части может быть записан в виде произведения трех интегралов: 2/яг 1 — ! е ° 1 вЬ 341 41«1, 2т(Я ! — / е 44 сов 5~ 444,. 2туят .4' 1г —— 12 = 1з = Учитывая, что (х — 5)г 1 1+ 41 х 41 144 41,4!(~44!)1 1';41' +— 206 Заметим, что начальная функция 4Р(х, у, в) может быть растущей с ограниченной степенью роста, т.е. найдутся такие положительные постоянные 5 и М, что )~р(х,у,г)! < Рейв~.

Рассмотрим пример, в котором начальная функция является функцией с ограниченной степенью роста. 2. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве запишем интеграл 14 следующим образом: 94 1 41 2х/я1 Сделав в последнем интеграле замену 1+41 х 44 4~1(1 4 41) ' получим после несложных преобразований — — -+. т/1+ 41 Для вычисления интеграла 12 учтем, что 95341 = 1~ез" — 1~9 з", и представим его в виде 12 — 121 1221 где 1 12~ — 4 е 4 +за ф 4ч/Я l 44/я1 1 В интеграле 124 сделаем замену з = — и перепишем его в виде 41 У 244 1 = — е '+""мсЬ езу г "=2Г! ' Учитывая, что 92 — 6;/19 = 19 — 3 4/4)2 — 91, окончательно получим 1 -(4-3/46 4 Зу+94 2~/,/ 2 С помощью аналогичной замены интеграл 122 запишем следующим образом: ЗУ 4 24/441 4 94-29 вот Из формул для 1г, 1м, 1гг получим 1г = е 'в)гЗу.

Рассмотрим, наконец, интеграл 1в. Сделав замену в = х:4, будем г~л ' иметь — / е ' сов(5в+ 10~Ма) еЬ = сов 5г 1,е в)п 5г 1,е — ( е ' сов10ЛвеЬ вЂ” / е ' в)п10Двдв л! лl е гве сов 5г, поскольку е ' сов10~йвеЬ = 2 / е ' сов10 уевйв = ~/яе гв' 1" — ОО о е ' в)п10Лв Ыв = О. Окончательный ответ имеет вид 1 *е+ееееееее и(х,у,г) = е дуэте в)гЗусовбг. т/Г+ 41 Сфомулированная лемма была использована для построения решения (функции Грина) в неограниченном пространстве.

Ее можно было использовать и для решения рассмотренных примеров. Заметим, что эта лемма справедлива не только в неограниченном пространстве, а допускает обобщения на более сложные случаи. Исследуем этот вопрос более подробно. Рассмотрим цилиндрическую область Р = ((х, у) б а, гг < г < гг), причем как плоская область а может быть неограниченной, так и гг и гг могут быть равны — со и +со соответственно. Пусть функция е(х, у,г) удовлетворяет в области а однородному уравнению теплопроводности ве = а еЗгэ, г 208 заданному начальному условию и~ = у(х, у) и однородному первому, второму или третьему граничному условию на границе С области сг. Пусть функция из(х, С) удовлетворяет на отрезке хс < х < гз однородному уравнению теплопроводности диз з дзиз — = а дС дхз ' заданному начальному условию из~, = сссз(х) и однородному граничному условию первого, второго или третьего родаприх=хс и х=хз.

Тогда функция и(х, у,, х, С) = и(х,у, С)из(х, С) в области Р удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности ис — — а схзи, 2 начальному условию и( = 9с(х, у)~аз(х) и однородному граничному условию на границе области Р. Справедливость этого утверждения устанавливается непосредственной проверкой. Если плоская область а вырождается в отрезок, например хс < * < хз, причем хс и хз могут быть равны † и +со соответственно, а функция сСс(х,у) не зависит от переменной у; то получаем соответствуюшее утверждение на плоскости (х, г). Эти утверждения обобщают ранее сформулированную лемму.

Они используются для построений функций Грина для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в указанных цилиндрических областях, поскольку функция Грина может быть определена как решение однородного уравнения теплопроводности в Р, удовлетворяющее однородному граничному условию на границе области Р и начальному условию следуюшего вида: и~ = 6(х — С)6(у — сС)а(х — с",).

209 Рассмотрим примеры построения указанным способом функции Грина для уравнения теплопроводности. 1. Построить функцию Грина уравнения теплопроводности для плоского слоя: — оо < я, у < оо, О < г < 1, если на граничных плоскостях (з = О и г = 1) заданы однородные граничные условия Дирихле. Решение. Функция Грина С(М,Я,1), М = (я,у, г), Я = (4 О ь) согласно сформулированным утверждениям будет равна С(М, Я,1) = Се(я, ~,1)Се(у, п,1)С~(з, ~,1), где Со(ам аг,1) = — е 2ач'к1 — фундаментальное рещение (функция Грина) на бесконечной прямой, С~(г,~,1) — функция Грина уравнения теплопроводности для отрезка О < г < 1 с граничными условиями Дирихле при г = О и с =1.

Функция С~(г, ~,1) может быть записана в виде ряда по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля; Таким образом, 2. Построить функцию Грина для бесконечного цилиндра поперечного сечения а, если на боковой поверхности цилиндра заданы однородные граничные условия Дирихле. Решение. Функция Грина С(М, г, Я,~,1), М=(х,у), Я=((,г1) имеимеет вид С(М... д, Г, 1) = Се(.,С,1)С,(МА, 1), где Со(~,~,1) =— 2а~/х1 С~ (М, 0, 1) — функция Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в области н. Функция С~(М, Я, 1) может быть записана в виде С~(М, Я,1) = ~ е ' " е„(М)е„(Я), п=1 гто где (о„(М)), — ортонормированные собственные функции задачи Дирихле для оператора Лапласа в области а, (Л„), — соответствующие им собственные значения.

Таким образом, С(М,г,Я,~,1) = е ~[ ) )е а ~"'о„(М)о„(Я). 2а1/л1 3. Построить функцию Грина для четверти пространства; 0 < < х,у < оо, — оо < г <оо. На координатных плоскостях х = 0 и у= 0 заданы однородные граничные условия Неймана. Решение. Функция Грина С(М,Я,1), М= (х,у,г), О= ((,0,~) имеет вид С(М, 1~, ~) = 02(х,5,1)02(у,0, 1)0о(г,(М, где Со(г, ~, 1) = — е~ 2 а 1/лт Сг(ог,ог,т) = — [е ' ' + 2 а 1/лг — е «.')[ (е ~~.й +е ай ) (2а1/л8)з [ — "~-'+ -" ') С(М, Я,1) 1 е. зАдАчи для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1.

Решить начально-краевую задачу на отрезке: и, = и, х Е (0,5), 1 Е (О, +со), и(х, 0) = О, х Е [0,5], а(О,С) = 2й, и(5,й) =О, Ф Е [О,+оо). 211 — функция 1 рина уравнения теплопроводности задачи Неймана на полупрямой. Следовательно, 2. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: и1 — — и~~, х Е (О, 1), С Е (О, +оо), и(х, 0) = 1, х Е (О, 1), и(О,С) = 2, и(1,С) = 3, С Е [О, +со). 3. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: ис = игл, х Е (О, 1), С Е (О, +со), и(х, О) = О, а' Е [О, 1], и(О,С) = 3(1 — е '), и +и =О, х = 1, С Е [О,+со). 4. Решить начально-краевую задачу в единичном круге: ис —— Ьи, г Е (0,1), гр Е [0,2л], С Е (О,+оо), и(г, у, 0) = т в(п р, т Е [О, 1], 1о Е [О, 2л], и(1,ср,С) = О, у Е [0,2л], С Е [О,+со).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее