А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Таким образом, для функции и(г,1) получается разложение и(т,1) = ~~ С„е» х") з(п [~/Л»»(г — тг) + и»] . »»и Для определения коэффициентов разложения воспользуемся начальным условием в(п [~/Л„(тг — тг) + ~„1 = Л„ + (Ь, + )г е(п(~/Л (гг — тг)) сов и (ь +ь + „— ', — А)(ь + А) сое [~/Л„(гг — г1) + и„] = Л„ + (Ь, + )' Ьг — „— ' в(п(~/Л (сг — гг)) сое н ,/Х„-(ь, + ь, + „— ' — — „' ) ь, +,— ' откуда л„+(ь, + „— ') + — ) х Л„(ь! + Ьг + „— — — )(Ьг + + з7г) Ьг Бш(~/Ал(3'г ег))соеп». '( /Х...л" ~ /л. л„"') Используя (1.6), получим ъ/Х (Ь|+Ьг+ „—, — —,',) е(п ~/Л (сг — тг)— Аналогично из формулы (1.7) следует, что Ь,+ — ' Г1 сое и„= ф;+7ь+ „,р С помощью двух последних формул выражение для интеграла можно привести к следующему виду: сгЛ» + 2+ гг(ггьи — 2)ьг Таким образом, для коэффициентов разложения получаем формулу А 9~~Ли + 2+ тгьг(трл» вЂ” 2) ~и~.~~ 1г',нт„гтп —,-~~) 156 Для дальнейших преобразований воспользуемся формулами (1.6) и (1.7).
Имеем Решение исходной задачи п(г, С) имеет следующий вид: и(г, С)»-»» з)п [~/Л„(г — гс) + и»~ п(гС)= =~С е г »»и е» ~"' гггЛ» + 2+ ггЬг(гггЛ» — 2) з1п[~/Л»(г — гг) + и»~ г згг .=, 11».11 А. ~Яг„'~( Ф,::Г)' где [[г г— гг — гс 1 (Ьг + Ьг + — — — )(Л«+ (Ьс + — )(Ьг — — )) 2 2 (Л» + (Ьд +,—,)г)(Л» + (Ьг — „—,)г) Л» — и-й корень уравнения Л» (Ь, + — „' )(Ь, — „— ') сгк ~/Л (гг — гг) = Л„(Ь, +Ьг+ — „', — — „',) и» = агсгк (и = 1,2,...). 'и»» Ь,+ — „' 5 г.
зАЛАчи для ъгРАВнения ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОВЛАСТИ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ ЪГСЛОВИЯМИ Рассмотрим теперь начально-краевую зацачу для уравнения теплопроводности с неоднородным граничным условием аг —— агсьп в Р, С > О, а! = = 0, дп о — +да = Сг(Р,Сй.ез, [о!+ [д! ~ 0. дп Общая схема решения таких задач, как зто указано в гл.1, состоит в следующем. Вместо функции а(М, С) вводится новая неизвестная функция «(М, С) соотношением п(М, С) = и(М, С) + ге(М, С), где функция ш(М, С) выбрана так, что она удовлетворяет заданному граничному условию дге +д р( ' ))Рез дп Для функции е(М,1) получается следующая задача: е~ — — а Ье+У(М,1), «!о=о = — ю!с=о, де о — +де =О, д» МЕР, С>0, (2.1) Ьв=О в Р, (2.2) дю о — +дю = и!з, дп в которой переменная 1 рассматривается как параметр.
При таком выборе функции ~и следует проявлять осторожность при решении задачи с граничным условием Неймана, поскольку задача (2.2) может не иметь решения. Тогда функцию и нужно выбрать как-то иначе. Рассмотрим примеры решения задач с неоднородным граничным условием. 1.
Решить уравнение теплопроводности на отрезке 0 < х < Н 2 ио = а иее, О<я<1, с>О, и!о=о = О, и! =о=А, и!~ы = В, А, В = совой. Решение. В данном случае функцию ю удобно выбрать как решение задачи то„=О, 0<х<1, ~и!,=о = А, ю! у =В. Функция ге зависит только от х и имеет вид  — А и =ю(х) = х+А. ! тв8 где 1(М,1) = азЬю — ыо.
Решение этой задачи рассмотрено в предыдушем параграфе. Таким образом, основным является выбор функции ю(М,1), которая должна быть достаточно гладкой и удовлетворять заданному граничному условию. Этими требованиями функция ю(М,1) определяется неоднозначно. Появившейся свободой выбора ю(М, 1) следует распорядиться так, чтобы задача (2.1) для е(М, 1) оказалась возможно более простой. Чаще всего функцию ш(М,1) выбирают гармонической по пространственной переменной, т.е. как решение краевой задачи Пусть и = «+ ис. Для функции «(х, 1) получаем задачу «с — — а~«»», 0 < х < 1, 1 > О,  — А «]с=о = — сю(х) = - — х — А 1 ]= = ]==о. Решение этой задачи имеет вид (" ")'с .
«(х1)=~ с„е т в(п — х, — » 1 »»1 где 2 Гг — А т, яп 2 с„= — — / ~ — х+А) в(п — хс(х = — [( — 1)" — А], и = 1,2, 1/~ 1 ) о Следовательно,  — А 2 с-~ А — (-1)"В ... с, сгп и(х,1) = — х+ А — — ~ е(г)'вш — х, 1 2. Найти процесс нагревания однородного бесконечного прямого кругового стержня радиуса го, на поверхности которого подцерживается температура То сов)«в(пас1. Начальная температура стержня нулевая.
Решсиие. Пусть и — температура стержня. Функция и будет зависеть только от г, ос и 1, и для нее получается начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в круге: ис — — а сзи, 0<с <то, 0<ус<2х, 1>0, и]с=о = О, и]„-,, = То сов9св(пьс1, То = сопв«. Пусть и(М, 1) = «(М, 1) + сю(М) в(п ос1, а функцию сю(М) выберем как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа: Ьсю=О вкругеО<г<го, сю]г=тс = То сов сс. 159 Решение этой задачи имеет вид с' ис = То — совр. го Для функции и(г, ср,1) получается задача ис — — а Ьи — Тоы — сов1осовы1, г га о!с=о = О, и!с=со — — О.
Решение этой задачи, учитывая структуру правой части уравнения, можно записать в виде и = совср~~ Акик(1)1с(~/Лкг), »=1 где Л» — корень уравнения 1с(~Д»го) = О, сс = 1, 2,... Функция ик(1) есть решение следующей задачи Коши: ссик г Тоы — +а Лкик = — — УксовИ, Й го ик!с=о = О, й=1,2,...,со, где сс сс = 1,2,...,со. Решая задачу Коши, найдем ик(С) = — (агЛксовасг+освшосС вЂ” а Лке ~ ' ).
Тош)к — Р»сс го(авЛ»г -1- осг) Следовательно, г и = То — совсряпсаг— га Тсы ч ук(агЛ»совис1+осяпос1 — агЛ»е ' "") го а»Лг + „,г 1с(~/Лкг) сов ср, к»п к где коэффициенты ук заданы формулой (2.3). гно 3. Найти распределение температуры в однородном бесконечном прямом круговом цилиндре радиуса тш на поверхности которого задан постоянный тепловой поток.
Начальная температура равна нулю. Решение. Для температуры и получается начально-краевая задача внутри круга с неоднородным граничным условием Неймана и~ — — а Ьи в круге 0 < т < тд, 1 ) О, ди = Ч = сопз$ дт „, и(с=о = О, В данном случае функцию ш нельзя выбрать как решение уравнения Лапласа в круге с граничным условием дш =Ч дт „„ поскольку такая задача решения не имеет. Выберем функцию ш в виде Ч =Ч и сделаем замену тз и=и+ — Ч. 2та 2аз та — — а Ьи+ — Ч, та т2 и!с=о = — — Ч, 2та 0<т<тд, С>0, (2.4) ди дт „„ Решение этой задачи будем строить в виде разложения в ряд по соб- ственным функциям задачи Неймана для уравнения Лапласа в кру- ге, которые имеют вид 1,,У„'(Д"~ т) ( ', 1 = 1,2,..., п = 0,1, 1 з1п пш где А„— й-й корень уравнении У„~р Л„та) = О, причем нулево(и) му корню Л~,"1 = 0 соответствует собственная функция, равная 1.
Поскольку правая часть уравнения и начальное условие не зависят Для функции и(т, ~р,1) получается следуюшая начально-краевая за- дача: от угла р, в разложении будут присутствовать только собственные функции, также не зависящие от ~р: 1, Уе(Л/Л,"' ), »=1,2,... (Л,"'=О). Итак, решение задачи (2.4) записывается в виде э(г, С) = ~~~ А»(С) Уо('/Л» г) + Ао(С), где А»(С) определяются при каждом /с = О, 1, 2,...
как решение зада- чи Коши — +еЛ» А»=У», С)0 4А» з <о) А»/с=о = 'р» где 2а~д Уе = —, го Вычислим У» и у». 'а а в силу ортогональности собственных функций, соответствующих раз- личным собственным значениям, 4ге 'Ро = — —, так как 4 Для вычисления интеграла, входящего в формулу для у», восполь- зуемся соотношением (см. приложение, С 4, и = 0) хз.Уе(х) Нх = 2язйе(я) + *зУ~(*) — 4~1~(*) . Тогда получим гр ~За(~Л',")г),заг= 2"„',Д,()/Л<'>„), Л~О, о поскольку ,Уг(~/Л» ~ го) = О. Так как гг !11о1! — — 1о(Д го), запишем 24 го Л» ~о (Д го) Таким образом, коэффициент Аа(8) является решением задачи — — (Л~)=0) й О ей го дго Ао!с=о = —— 4 и равен 2а 4' 4го го 4 Остальные коэффициенты А»(г), /с ф О, являются решением задачи — + а Л„А» = О, С > О, 4А г ~о1 Й 24 А», гоЛ» га(Д г а) Они равны А»(г) = — е ' 24 а а» ко ~ ..Л'„'.Уа'(»/Л,",'а) Следовательно, 00 г»оп а— го 4 га ' — ' (а) у Г(а) гнз Решение исходной задачи имеет вид (2дг( 1 г 2„гх) и = го+ о = ого) — — — ~1 — — ))'— г ~ г)~ 4~ го )~ 4 С"; -""'"' „(Д „) 4.
Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса го, если начальная температура шара равна нулю, а на поверхности задан тепловой поток йР. (сов В) в(п р, где й — коэффициент тепло(г) проводности. Решение. Введя сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром шара К", для температуры шара и(М,() = = и(г, В, ~р, () получим следующую начально-краевую задачу: и1=а (),и, МЕК"' (>О, — = Р (сов В) вш(о. ди (д) дг „„г и(о=о = О, Функция в правой части граничного условии есть сферическая функция Уг( ) (В, ог) = Рг( ) (сов В) в(п ог.
Будем искать решение начально-краевой задачи в виде суммы и = = о+го, причем в качестве функции и выберем решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в шаре: сггв = 0 М Е К"' Рг (сов В) вьз ~р ° дго ( (Н дг 1,, гв в 1. =Л ~(д = го)( (( Рг (совВ)в(п(ов(пВЮН(о = О, дг Я о о Решение задачи Неймана имеет вид го = — Рг (сов В) в(п (о + С, (1) 2го Заметим, что дли этой задачи выполниетси необходимое условие Разрешимости Отсюда та 1 1 Ак = — — туг,Ув(г(~/Л»кг) Иг = 2го !(Н»!!г,/ о 2го Кк Зг(г('/Л» то) гоЛ» — 6 Зг,(г/Хк го) ' Таким образом, для функции о(М,1) получаем выражение е(г, В,ог,1) = г1г 1г1 .
ч г/Л»е ' ~"',уг~г И~к то) Юв~г(Г~кг) = — 2го Рг (сов В) в)п ~р ~ г'оЛ» — 6,7г (уЛ» то) уг и окончательно имеем и(т,В,1о,1) = — Рг (совВ)в1пу— гг 2го г~г 1к1, ч ~/Л»ке ' ~м уцг(Лк то) 1в(г(Лкт) — 2го Рг (со»В) вгп'т ~ гЛ 6 уг ( /Л— »=1 где Л» — й-й корень уравнения 1 1в~г(4Лто) — Зв!г(ХЛго) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
