А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2и+ 1 В . 2и+1 2,/ 2 Вычислим написанный интеграл. Прежде всего заметим, что при четных и ,-6 О 1 +1 Р„(х) ~Ь = — / Р„(х) с!х = О. 1 Г 2,/ При и = О 1 1 Р„(х) Вх = о(х = 1. о о Пусть и = 2(о + 1. Используем формулу Р„(х) = ( Р„'+,(х) — Р„' ,(х)) . Поэтому 1 Рц,.ьг(х) Ых = ~ (Ргь (х) — Ргь(х)) ах = 4/с+ 3,/ о о 1 (Ргь(О) — Рга+г(О)) . + Поскольку (2/с)! Р„(О) = (-!)" 2г„(~,,')г, получим / (2х)! Ргь+г(х) * ( ) 2гь+г(1,.! ц(ь!)г Следовательно, „4!о + З (2!о)! Ага О1 Аг~+г ( 1) ) 2~в+г(х~)г ~Ъ +1 2 и решение имеет вид и = — + 61о~ ~( — 1)" гь+г(,)г ~-) Ргьег(совВ). ь+1 ого ьг Ц г ~а,) Ь=1 3. Определить электростатический потенциал внутри шаровой оболочки а < г < 6, внешняя поверхность которой заземлена, а внутренняя заряжена до потенциала По вгп Вв1п 1о.
Решение, Потенциал и является решением следующей краевой задачи для уравнения Лапласа внутри шаровой оболочки: гьи=О, а<с<6, и)„п. = 61О В1ПВВ1вьг, и! =ь О. Поскольку граничное условие при г = 6 нулевое, то решение поста- вленной задачи можно записать в виде 1ь1( и = ~ ~~ ~1 Р1 1(совВ) (А„совпгьг+ Вп вгппгу), п=о =о В (а) где 6гп+1 Ггп+1 В(ь1(„) 1.п+1 Учитывая, что в)пВв)пЬо = Р, (совВ)вшито, из граничных условий 11) сразу находим Ап =О привсехпипг, В11 = По, Впм —— О пРи и ф 1, пг ф 1. Поэтому решение имеет вид о(ь)(г) аг 6з гз и = По (ь1 Р1 (совВ) вгпгг = 61о — з з вгпВвьп1о.
4. Аналогичным образом решаются и более сложные задачи, в которых дополнительные условия имеют вид "условий сопряжения". Рассмотрим следующую задачу. Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной в1 находится во внешнем однородном постоянном электрическом поле Ео. Определить искажение внешнего поля, вызываемое шаром, если внешняя среда — однородный диэлектрик с диэлектрической постоянной ег.
Решение. Введем сферическую систему координат (т,В,у) с началом в центре шара и осью г, направленной вдоль электрического поля Ее. Пусть иа — потенциал, создающий внешнее поле Ее: диа Ео = — йгаб ио = — — е„ дг ио = — Еог = — Еот сов В. Обозначим через и1 потенциал электрического поля внутри шара, а потенциал вне шара представим в виде ие + иг, где иг — искаже- ние внешнего поля, связанное с наличием диэлектрического шара. Функция и1 гармонична в шаре: Лиг — — О (13.5) при О < т < а, а функция иг удовлетворяет уравнению Лапласа вне шара: г3иг=О при т>а.
(13.6) На поверхности шара (т = а) должны выполняться условия непре- рывности тангенциальных составляющих электрического поля и нор- мальных составляющих индукции П = еЕ. Поскольку Ег = — 8гайим Ег = Ее — йгабиг, ~-"1ы = е1Ег„ Пга = егЕг, эти условия принимают вид иг( = ио + иг( (13.7) диг ) диг диа — =ег — +ег— дт~,. дт „.
дт „.' (13.8) Кроме того, функция иг должна быть регулярна на бесконечности: иг =Ф О при т -~ оо. (13.9) Таким образом, для определения потенциалов иг и иг получена задача (13.5)-(13.9). Заметим, что роль граничных условий в этой задаче играют условия сопряжения (13.7), (13.8) на поверхности шара (при т = а). иг = ~~~ А»г»Р»(соеВ), »=о (13.10) где А» — коэффициенты, подлежащие определению. Функция иг(г, В) удовлетворяет уравнению Лапласа вне шара и регулярна на бесконечности.
Поэтому ее можно представить в виде 1 иг = ~~ С» — Р»(сов В), » г»+1 »=о (13.11) где С» — коэффициенты. Выражения (13.10) и (13.11) учитывают осевую симметрию функций иг и иг. Коэффициенты А» и С» определяются из условий сопряжения (13.7), (13.8). Подставляя (13.10) и (13.11) в условия сопряжения, получим ОЭ ОО А»а»Р»(совВ) = — ЕоасовВ+ ~ Сп — »+,Рп(совВ), (13.12) п=о »=о я+1 ег ~~' Аппо» Р»(сов В) = — егЕо сов  — ег ~~~ С» — »Р»(сов В). ап+г (13.13) Из (13.12) и (13.13), приравнивая коэффициенты в обеих частях ра- венств при полиномах Р»(соэ В) одного порядка, получим 1 С вЂ”, а 1 -Еоа+ Сг —, аг Ао Ага 1 С вЂ”, и+г ' 1 — ег Сов аг я=2,3, А» а» 2 — ег Ео — егСг —, аз' я+1 — егС» —, я = 2,3, и а»+г ' егАг егА»па» Решим задачу (13.5) — (13.9).
Сразу отметим, что рассматриваемая задача имеет осевую симметрию. Следовательно, функции иг и иг зависят только от переменных г и В. Функция иг(г, В) удовлетворяет уравнению Лапласа внутри шара. Следовательно, она может быть представлена в виде Отсюда находим Со = О, Ао = О, А = С„= О, и = 2,3,..., Звг вг — вг з Аг — —— Ео, Сг= а Ео. вг + 2вг ' вг + 2вг Следовательно, Звг и1 =— Еог совВ, вг + 2вг вг — вг а з иг = — Ео —,совВ. вг + 2вг гг Поэтому искажение внешнего поля, вносимое диэлектрическим шаром, равно вг — в1 а з Ег = — Етая иг = — Ео — з(2 сов Ве, + в1п Вез).
в, + 2вг гз 5 14. зАдАчи для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга 0 < г < а, 0 < р < 2я со следующими граничными условиями: а) и~ = 2вшг1о+4совз1о; б) — = 4в)п р; ди .з дг „, в) и~ = 32(в)п 1о+ сов 1о); г) — + и~ = в1п1о+сов41о. ди 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа вне круга: г > а, 0 < ~р < 2к со следующими граничными условиями: а) и~ = Зсов4у; 6) — = в)ну+ 4в)п ~р; ди .
з дг в) — — и~ = 1+ сов 21о; ди дг ~=а 1, 0<у<я, г) и~ 1-1, к<р<2я. 3. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри секто- ра: 0 < г < а, 0 < у < о со следующими граничными условиями: а) и! = и/ = О, и! = 1о(к — 1о); О, ди ду а 6) и! и! = 1; в) ди ду ди г) ду ди ду а и! = 1+соа4у; О, ди — = выл у. дт „, =и!, =О, т=о 4. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кольце: а < г < 6, О < у < 2я со следующими граничными условиями: а) и! = О, и! = аьпу+ 2соа~у; 6) — =4аьп у, и! „=О; а=а в) и! =1, — =2ьдп у; ди г=ь ди . ди Г) — = 81П У, = СО8 У.
=ь 5. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри коль- цевого сектора: а < т < 6, О < у < о со следующими граничными условиями: а) и! =и!, =О, и! =аьпу, и! =О; б) и! о=и! =О, — ™ =сову, ,=а в) — = — = О, и! = О, ди ди ду , ду г) и! о = — О, и! и! =ь выл —. и=а 6. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в прямоуголь- нике: О < я < а, О < у < 6 соследующимиграничнымн условиями; ди ди а) д — — д —— О, а=а а=а 6) и! о — — — О, и! = О, и! ь — аьп— ажа и! ь = а1п2у !а-Ь и! о=1 и! ь=2 в) и! = 1, и! = соа —, — = и! ь — — О; аяу ди о=о ди . ди г) — = выл у, — = аьпбу, и! = соах, и! =соаЗя; д) — = — = О, ди ди а=а а=а ди ду о=о — = 1. ди ду о=ь 7.
Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в прямоугольном параллелепипеде: О < я < о, О < у < 6, О < а < с со следую- шими граничными условиями; ду 1„е ду ~„. = з1п х соз у, и~ = ап 2х соз 2у; ~и=с 1 иа б)Ч о ди ди ди) ди) дх *=о дх *=«ду)и=о ду~д=ь 8. Найти стационарное распределение температуры внутри прямоугольного параллелепипеда, два основания которого (х = О и х = с) теплоизолированы, а на остальной поверхности поддерживается постоянная температура Ге. 9. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри прямого кругового цилиндра О < г < а, 0 < х < Ь со следующими граничными условиями: а) и( = соз ьг, и! = и( „ = 0; б) — = О, и! = г а)п 2ьь, — = 0; ди т ди д~ ' г=о дх, „ в) и( = хз)пЬь, и( = О, и! „= 1; г) и( = 1+ 2сое2~р, — = — = О.
ди ди иа д» *=ь 10. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри прямого цилиндра высоты Ь, в основании которого лежит круговой сектор 0 < г < а, О < Ьь < о со следующими граничными условиями: а) и! = и/ = О, — — =0; ио х =Ь и!, = 1, =О, и! т 821, и!,,=и! л — — О; и! = г~сов41г, и! „= 1. =О, и!,,=О, 11.) Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри прямого кругового тора прямоугольного сечения: а < г < 6, 0 < ~р < 2х, 0 < х < Ь со следующими граничными условиями: а) ди дг „, б) и~ =1 — =О, ди дг .=ь и! ь = з)птх, и) = га!п1Р, и( „=О; и1, о=О и/ =0; б) ди ди д1г д1г в) и~ иа ди ди д1г дьг и~ =и) = О, и), = гзУзз)п-и; в) и~ = сов2«р, и~ = юпо», ди ди т=а т=ь ' д д» «=о 12. Решить краевую задачу для сектора прямого прямоугольного сечения; а < т < 6, 0 < р < о следующими граничными условиями: а)и~„= ! ь —— О, и~ о — — 1,=О, "1*= л 0; кругового тора 0<»<Ьсо ди — О, дт .=ь ди =о ди — О, дф б) и~ = »сое21о, — =О, ди др « а) ди дт 6) ди дт ди в) дт = сов В; в7п Вв«п 31»+ е«пВсов1о; = в1п В е1п 101о.
16. Решить внутреннюю третью краевую задачу для шара (О < т < а) с граничными условиями; а) — +Ьи~ =е1п В, Ь=сопеь; ди дт т=а 6) — + Ьи(, = »1пВе)пр+ е1пдсоедсов«7, Ь = соней; ди в) — + Ьи(„» = 1+ в)п Всовуо«, Ь = сопвС. 7 1, о»» — '" =0; «=Л ди ди ди в) — = — = О, =ь д77 =о „= 2. 13. Найти стационарное распределение температуры внутри прямого цилиндра произвольного поперечного сечения, боковая поверхность которого теплоизолирована, на нижнем основании (» = 0) поддерживается постоянная температура Ты на верхнем (» = Ь) — постоянная температура Т».
14. Решить внутреннюю задачу Дирихле для шара (О < т < а) с граничными условиями: а) и(, = соеВ+ сов~ В; 6) и( = 1+е)пВсовр; в) и~ = е1по В+ 15е)п»ВсоеВсов2у; г) и~~, = 1+ в1пВсовВв1п1о+ в1п Всовбр. 15. Решить внутреннюю задачу Неймана для шара (О < т < а) с граничными условиями: в) ди дт г) ди дт и! = 15в)п ВвшЗу; =О, = вш Вв)ну, — = 3 е1п В сов В сову; ди г=а =ь д) и[ = совеВ, — = в)п Всов2у. в ди дт г=Ь Ответы. 1. а) 1+ 3-"сову — (-",) сов 2у+ (-') соеЗу; б) Зтв)пу — а(-",) ешЗу+ сопвь; в) 20 + 12 (-;) сов 4у; г),+, вшу+ ага" е сов4у.
2. а) 3+ 4(а) сов2у+ (а) сое4у; "а " б) — —, вш у + — „, в1п Зу + сопвь; в) — 1 —,+2 (-„') сое2у; г) ~ — „[1 — ( — 1) "] (-) вьп пу. «ан 3. а) а ~, '— „, [1 — ( — 1)") (-") е)пиу; «аи б) й ~~' 1 (г) «е) (4 +2) «=О в) 1+ (-;) сое4у; «=О Ьа га а, Ььа а«а б) 3ьеаат е)п у е ьаьат и е)п Зу' ' ь' га Ьа а* б) ьа+1 -,т в)п2у — —, ~ е«е:ьььа-+аь —.-'-„т„— вш2пу; «=1 1Т. Решить внешнюю задачу Дирихле для шара (т > а) с граничными условиями, указанными в задаче 14. 13. Решить внешнюю задачу Неймана для шара (т > а) с граничными условиями, указанными в задаче 15. 19. Решить уравнение Лапласа внутри шарового слоя (а < т < 6) с граничными условиями: а) и[ = О, и! =соввВ; б) и =совВ, и/ =0; г20 1»+ь» ' г) (1гвУ~(г~ — а ) + аз/~(Ь вЂ” гз) );,буг ьб —,81П»гг' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
