А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 10
Текст из файла (страница 10)
п=1 2. Внутри кольца а < г < Ь решить краевую задачу Гав=О, ди ~ — = 81п21р, дг ~,п, и(, ь — — 1+ соагр. Решение. Радиальные решения, удовлетворяющие однородному граничному условию при г = а, имеют вид »2» + 82» В~'1(г) = , и ~ О, В~1'1(г) = 1, ряды в (4.6) сходятся внутри кольца а < г < Ь не хуже, чем геометрические прогрессии. При увеличении гладкости граничных функций Д(гр) и Ь(гр) скорость сходимости увеличивается. Рассмотрим примеры решения задач.
1. Внутри круга решить краевую задачу а удовлетворяющие однородному граничному условию при г = Ь— Ьь» гв» Т11(~)= „, Фо. То( 1(г) = 1п —, Поэтому решение поставленной задачи можно записать в виде и(г,1о) = — + ~~~ (А»соя»1»+ В»в1ппр)+ 2 ф)(Ь) „ , В,",1(Ь) С Т~1 1(~) Т( 1(г) + ~ + ~~~ ~ (С»совпав+ Р»я1ппф).
То (а)»»а Т» 1 (а) 2 1ь) 1ь) Подставляя в граничное условие при г = а, получим Со г — + у (С„совп~р+Р„в(п»1о) =в1п2р. 2 »»и Отсюда находим С»=0, п=О, 1,..., Рв=1, Р»=0, пуЬ2. Отсюда Ао=2, Аь=1, А»=0, пф0,1, В»=0, »=1,2, Следовательно, и(г,1о) = 1+ сов~р+, я1п2Ьо= В,"(Ь) Т1ьр(,) а гв + ао ав Ь4 г4 + г я соя~р г о о в)п2р' 3. Для задачи Дирихле внутри круга: Ьи = 0 в круге 0 < г < а, ~.». = УМ) во Подставляя общий вид решения в граничное условие при г = Ь, получим Ао — + ~~~ (А»соя»во+В»в)ппу) = 1+сов1о.
2 »=1 вывести формулу Пуассона 1 /' (а — г~) ~(о) Ио и(т, у) =— 2я у аз+ гт — 2агсов(1а — о) о Решение. Решение задачи Дирихле в круге может быть записано в виде ряда Ае т и = — + ~~~ ( — ) (А„савву+ В„в1ппу), ..., (4.11) 2 а э=в коэффициенты которого определяются формулами 1 А„= — у1 у(а) совпоНо, о 1 В„= — / у(о) в(опона. о Подставляя значения А„и В в (4.11) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим вт 1 Г и и(г,~р) = — / у(о)(1+2~~ (-) сова(1а — о))Ио. в п=в т Поскольку (см. приложение, ~ 3) при — < 1 ~-( ) г и ат — гт 1+ 2 ( — ) сов п(1э — о) = (а) аз+та — 2атсов(р — о) ' можем записать 1 ~ (а — т~)~(о) Ио и(г,~р) = — ( в 2я у аз+ гт — 2атсов(1э — о) о При непрерывной функции ~(1э) формула Пуассона дает классиче- ское решение задачи Дирихле в круге.
4. Построить интегральную формулу, аналогичную формуле Пуассона, для решения внутренней задачи Неймана для круга. Решение. Рассмотрим внутреннюю задачу Неймана для круга: Ьи = О в круге О < т < а, ди — = Пр). дт,, Считаем, что задача разрешима, т.е. 2л Г г(1 = а Г(гр) г(уг = О. с о Решение поставленной задачи можно записать в виде ряда п т и = ~ 1(А„соопуг+ В„вгппгр)+сопя!, Паи — 1 »=1 коэффициенты которого определяются формулами 2л 1 Г 1 А„= — / Г(а)совпаг(а, В„= — ( Г(а)а!ппаг1а.
Подставим значения А„и В„в ряд и поменяем порядок интегриро- вания и суммирования: 2л и(т,гр) = — / Г(а) ~~г (соопасоапгр+агппае!пп!о) гга+ Паи-1 о »=1 + сопя! = 2л = — / Г(а) ~ — ~-) сооп(!о — а) гга+сопо$. о »=1 Поскольку при !1! < 1 (см. приложение, 2 3) 1 „ 1 — 1" соо и!3 = 1п гтг:гг, Лгг ' можем записать и(т !2) = — / Г(а)!и а2+ тт — йат соа(р — а) г(! + сепо!.
с. Эта формула дает решение внутренней задачи Неймана для круга (она аналогична формуле Пуассона для задачи Дирихле внутри кру- га) . 1 з. кРАеВые 3АДАчи ДлЯ УРАВнениЯ ЛАПЛАСА В КРУГОВОМ СЕКТОРЕ Аналогичным образом можно решать краевые задачи внутри кругового сектора (О < т < а, 0 < 1о < а) и кольцевого сектора (а < т < Ь, 0 < у < а) при условии, что граничные условия на лучах зо = 0 и оо = а однородные. Действительно, рассмотрим краевую задачу внутри кругового сектора: Ли=О, 0<т<а, 0<~р<а, (5.1) и[,=. = У(р), (5.2) ди Рз[и] = аз — — дзи = О, д~р,=о (5.3) Р4[и] = ао— ди д1о (5.4) +д4и = О, т=а [а,[ + [д;[ ф О, 1 = 3, 4.
Сначала найдем частные решения вида (5.5) и(т, р) = В(т)Ф(~р). Подставляя (5.5) в уравнение Лапласа и разделяя переменные, по- лучаем для определения Ф(у) задачу Штурма-Лиувилля на отрезке 0<у<а: фи+ Лф = О, 0 < 97 < а, Рз[ф] = азф' — дзф[ -о = О Р4 [ф] = а 4 Ф' + до Ф! т и = 0 (5.6) и задачу для определения В(т): тзВ" + тВЯ вЂ” ЛВ = О, 0 < т < а, [В(0)[ < оо. (5.7) В(т) = Ст~», С = сопзо.
83 Задача (5.6) решена в гл. П, з 1. Ограниченное при т = 0 решение уравнения (5.7) имеет вид Таким образом, построено семейство частных решений уравнения Лапласа, ограниченное при г = 0: и„(г, 1о) = г'"~" Ф„(1о), и = 1, 2,..., (5.8) где Ф„(ог) и Л„> 0 — собственные функции и собственные значения задачи (5.6) для отрезка 0 < р < а. Поэтому общее решение уравнения Лапласа внутри кругового сектора можно записать в виде и(г,1о) = ~ С„н Ф„(р), »=1 (5.9) а коэффипиенты С„определяются из граничного условия (5.2); (5.10) Если граничное условие при г = а есть условие третьего рода Рг[и] = ог —" + дги = У(~р), ]аг[+ [дг] Р О, ди дг то общее решение уравнения Лапласа удобно записать в виде Ь а.
кРАеВые 3АДАчи ДлЯ ЕРАВнениЯ ЛАПЛАСА В КОЛЬЦЕВОМ СЕКТОРЕ Рассмотрим теперь краевую задачу для уравнения Лапласа внутри кольцевого сектора (а < г < Ь, 0 < 1о < о) с однородными граничными условиями на лучах р = 0 и 1о = о: Да=О, а<т<Ь, 0<В<о, (6.1) Рг[и] = ог — — дги ди дт = Л(р) (6.2) Рг[и] = ог — + дги ди дг = Ь(р), Рз[и]] о = О, Р4[и]] = О, [а;] + [Д ] ф О, (6.3) 1 = 1, 2, 3, 4. и(г, ~р) = ~~~ С„у н Ф„(1о). (5.11) Тогда коэффициенты С„будут также определяться формулой (5.10). При этом нужно проявлять осмотрительность при решении второй краевой задачи (задачи Неймана), поскольку она имеет решение не всегда и ее решение, если оно существует, не единственно. и(а) (г, (г) = В(') (г)Ф„(Ьь), п аа 1, 2,..., оо, (')(, ) = В(')( ) -( ) (6.4) где В„(г) и В„(г) — решения уравнения (а) (Ь) ,2В»+,В2 — ЛВ = О, (6.6) удовлетворяющие граничным условиям (а) р [В(а)] — ~И» а В(а] (6.6) =О, (Ь) Р2[В„] = а2 +)22В„ (6.7) =О, »=Ь а Ф„((ь) и ˄— собственные функции и собственные значения задачи (6.6).
Общее решение уравнения (6.6) имеет вид В = Сгг'" " + С2г У" при Л ~ О, В = С2 + С21п г при Л = О. Построение решений В»( и В(»', удовлетворяющих условиям (6.6) (а) (Ь) и (6.7) соответственно, труда не составляет. Например, для задачи Дирихле (о2 = о2 = О~ )72 = — 1, )72 = 1) эти решения можно записать в виде И 62.УЛ Г2 Л В(ь)(г) = при Л„ф О, В( )(г) = 1и— („ь при Ло = О. г „2,/Л „2,/Л „ В( )(„) — " Ве ()(г) =!п-, а Таким образом, общее решение уравнения Лапласа внутри кольце- вого сектора можно записать в виде Ао Во (г) Во Во (") Рг[Во (а)] Р2[Во (о)] +~ 'А„",," Ф„(()+~ В„"„," Ф„(Ь), Р2[В('(и] „-, Р2[В(')(оИ (6.8) 85 Семейство частных решений уравнения Лапласа, аналогичное (4.4), удобное для решения поставленной задачи, можно записать в виде при этом если все Ла 7Ь О, то Ао = Во = О.
Коэффициенты А„и В„ определяются из граничных условий (6.2): а 1 Аа = ~~, ~ г / Ь(Р)Фа(Р) ~'Р, о а 1 В р р ~ ~ ( ) ф ( ) М о В том случае, когда граничные условия на лучах 1о = 0 и 1о = а неоднородные, для решения соответствующей задачи можно либо сделать замену неизвестной функции, либо записать решение, используя функцию Грина.
1 т. кРАеВые 3АдА'чи для 'уРАВнения ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике также могут быть решены методом разделения переменных. Для определенности рассмотрим задачу Дирихле Ли=О, 0<х< а, 0<У<о, и!.ао = Юг(У), и!.аа = Рг(У), и!оао = 4ь(х), и/оаь = Фг(х) Задачу (7.1)-(7.3) разобьем на две задачи, каждая из которых имеет однородные граничные условия по одной из переменных. Пусть и(х, у) = иг (х, у) + иг(х, у), где иь и иг есть решения следующих задач в прямоугольнике: Ьиь =О, Лиг =О, Каждую из этих задач будем называть стандартной. Рассмотрим стандартную задачу для функции и1(х, у) . Построим сначала решения уравнения Лапласа, представимые в виде и(х,у) = Х(х)У(у)фО (7 А) иь)аао = иь хааа = О, иь!дао = Фь(х), иь1оаь = Фг(х), иг!оао = иг(оаь = О, иг!аао Оьь(У)~ иг(*аа = Рг(у) (7.1) (7.2) (7.3) и удовлетворяющие однородным граничным условиям по х: и( =е = и(.
— = О. (7.5) Отсюда получаем отдельные уравнения для Х(х) и У(у). Поскольку по переменной х должны выполняться однородные граничные усло- вия (7.5), для определения функции Х(х) имеем одномерную задачу Штурма-Лиувилля: Х" + ЛХ = О, 0 < х < а, К(0) = Х(а) = О, Х(х)фО, решение которой имеет вид (см. гл, П, з 1) гяптг а хп Х = Х„(х) = я(п — х, а Учитывая найденное значение Л„, получаем из (7.6) уравнение для У(у): У" — Л„У=О, 0<у<6.
(7.7) Общее решение етого уравнения можно записать в виде У = Сге ° " + Сте Но такая запись неудобна для дальнейшего. Гораздо удобнее фунда- ментальную систему (Уг, Ут) решений уравнения (7.7) выбрать так, чтобы функция У1 удовлетворяла однородному граничному условию при у= 0: Уд(0) = О, а функция Уз(у) — однородному граничному условию при у = 6: Ут(6) = О. Такими решениями являются У1 (у) — зЬ у, а Уг(у) = зЬ вЂ” (6 — у) . а Общее решение уравнения (7.7) удобно записать в виде яп яп У = Сг зЬ вЂ” у+ СгаЬ вЂ” (6 — у) .
а а Подставляя (7.4) в уравнение Лапласа и разделяя переменные, получим Х"(х) У"(у) (7.6) Х(х) = У(у) = Таким образом, построены следуюшие системы частных решений уравнения Лапласа: и„(х, у) = вгп л/Л„х вЬ |/Л„у (7.8) и„(х, у) = в1п л/Л» »х вЬ |/Л» (6 — у) . (7.9) Теперь решение задачи для функции иг(х, у) запишем в виде разло- жения по этим частным решениям: иг(х, у) = ~~~ А„" в(п ~/Л»»х+ ~ В„" вш ~/Л»»х = вЬ |/Х„у . вЬ |/Х„(6 — у), ( вЬъ~Х„у вЬ ГХ,(Ь вЂ” у)\ . ~— (7.10) Подставляя (7.10) в граничное условие при у = О, получаем В„в(п л/Л„х = 4г(х), »»л откуда видно, что В„есть коэффициенты Фурье функции 4~г(х) по системе собственных функций (в(п — '," х)', . Они вычисляются по формулам а 2(, яп В„= — ~ ггг(х) в(п — х г(х.
(7.11) ау а о Подставляя (7.10) в граничное условие при у = 6, получим А„в1п л/Л„х = фв(х), откуда а 2 (, ггп А = — ~ гуз(х) юп — ~гав. а,/ а о (7.12) ив(х,у) = ~~г ~С» " + О» 1вгп~/Л„у, (7.13) ( вЬ ~/Х„х вЬ |/Х„(а — х) ) вЬ ~/Л„а вЬ |/Х„а 88 Таким образом, решение стандартной задачи для функции иг(х, у) дается разложением (7.10), коэффициенты которого определяются формулами (7.11) и (7.12). Аналогичным образом решается стандартная задача для функции ит(х, у) . Решение ее имеет вид где л„= ( —,"), ь ь 2 г г В» — / 1а1(у) в(п ~/Л»»уеду, С» = / 1гз(у) вш ~/Л»»у<1у ь,) ь/ Итак, решение задачи (7.1)-(7.3) имеет вид и = иь(* У) + из(* У) где функции иг и из определяются формулами (7.10) и (7.13) соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
