А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ь в. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЦИЛИНДРА дзи съи = ЬЬЗи+ —, дхз ' Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для прямого кругового цилиндра. Введем цилиндрическую систему координат (г, ~р, х) с началом в центре нижнего основания цилиндра и осью з, направленной вдоль оси цилиндра. Напомним, что оператор Лапласа в цилиндрической системе координат имеет вид где Ьг — оператор Лапласа на плоскости. Задача Штурма — Лиувил- ля имеет вид Ьи+ Ли = О, О < г < а, О < 1р < 2л, О < г < 1, (9 1) ди а — +ри =О, дг (9.2) ди аг — + дги = О. ди аг — — рги = О, ва (9.3) Решение будем строить методом разделения переменных, отделяя пе- ременную ю и(,~р, ) = (г,р)г(г). (9.4) Подставляя (9.4) в уравнение (9.1), записанное в цилиндрической си- стеме координат, и разделяя переменные, получим Лги + Ле г" (г) (9.5) и(г, 1г) г(г) С учетом граничных условий (9.2), (9.3) для определения е и г имеем следующие задачи Штурма — Лиувилля: Первая задача есть задача определения собственных функций и собственных значений отрезка, вторая — задача определения собственных функций и собственных значений круга.
Первая решена в 'г 1, вторая — в г 5. Следовательно, собственные функции цилиндра имеют вид ( сое п~р) иеьт(г,~р,г) = уп(~/мь" г) . ) гй(г), ~ з(пснр) а собственные значения вычисляются по формуле Леьт = м~, + и,„, 00 г" + г=о, 0 <г<1, а,г'-р,г/,, =о, ,г'+дгг!,, = О, г(.) ~о Лги+ ми = О, 0<с<а, 0<~р<2х, ди а — +ре) =О, где м= Л вЂ” и, и(г,~р) ф О.
где х„— собственные значения круга при граничных условиях (и) (9.2), г (г) и и — собственные функции и собственные зиачения соответственно отрезка при граничных условиях (9.3). 1 го. сОВстВенные Фггнк11ии НИЛИН)ДОРИЧЕСКОГО СЕКТОРА Пусть Р— сектор конечного кругового цилиндра: 0 < г < а, 0<)р<а,О<г<1. Задача Штурма-Лиувилля имеет вид Ьи+ Аи = 0 в Р, ди Рг[и] = агд +)уги] = О, ди Рз[и] = аз д — дзи],, = О, ди Р4[и] = аа — + Ди] = О, ди Р~[ ] = оз — — ддгг], = 0 ди Р [и] = а д + д ],-, = Ю, и(г,у,г) фО, ]аг]+]Д[~0, 1=2,...,6. (10.1) (10.2) (10.3) (10.4) (10.5) (10.6) Как и в предыдущем пункте, решение ищем в виде и(г, 1р, г) = и(г, ~р)Я(г) (10.Т) Подставляя (10.7) в (10.1) — (10.6) и разделяя переменные, получаем для функции Я(г) задачу Штурма — Лиувилля для отрезка: (10.8) Ли+хи=О, Рг[и]]„, = О, Рз[~]! = О, ю(г, ~р) е О, 0<с<а, 0<1р<а, (10.9) Р~[и]] , = О, а для функции и(г, 1о) — задачу Штурма — Лиувилля для кругового сектора: гдех=Л вЂ” а.
Задача (10.8) рассмотрена в з 1, задача (10.9) — в $ 6. Следовательно, собственные функции цилиндрического сектора имеют вид им, (г, р, г) = Е ь(г, р)Х,(г), где Ко(г, Р) — собственные функции кругового сектора 0 < г < а, 0 < 1о < о, л (г) — собственные функции отрезка 0 < г < 1, а собственные значения Лоан = моь+ а~, где х„ь и а — собственные значения кругового сектора и отрезка соответственно.
6 тц СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРУГОВОГО ТОРА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ Пусть 77 — круговой тор прямоугольного сечения: а < г < 6, 0 < 1о < 2л, 0 < г <1. Задача Штурма — Лиувилля имеет вид Ли+Ли=О вР, ди Рг[и] = ог — — д1и[„, = О, ди Р [и] — а~ — + дои! — О, Р,[и]! о — — О, Ро[и]! = О, и(г, Р,г) = и(г, Р + 2л,г) при любом Р, Решая ее так же, как соответствующую задачу для цилиндра (см.
3 10), получим, что собственная функция представима в виде и(г, Р, г) = о„о (г, у) Я~(г), где о„о(г, Р) — собственные функции кругового кольца а < г < 6, 0 < Р < 2л, Я (г) — собственные функции отрезка 0 < г < 1, которые построены в 6 7 и 1, а собственные значения Лоьт = май + ам~ где м„о и а„, — собственные значения кругового кольца и отрезка соответственно. 5 ЗЗ. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ СЕКТОРА КРУГОВОГО ТОРА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ Пусть  — сектор кругового тора прямоугольного сечения: в ( г ( 6, О ( оь ( а, О < з < 1.
Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля Ди+Ли=О в В, д1и = О, Рз[и] = аз — + дзи = О, ди г=а дг =ь 1гзи = О, Рв[и] = ав~ + дви = О, ди в=о др дви = О, Рв[и] = ав — +дои = О, ди я=о дз чья ф О, [аь[+ [д;] ~ О, з = 1,2,...,6. Рь[и] = а1 —— ди дг .Рз[и] = аз —— ди дьо Рв[и] = ав —— ди дг и(г, оь, з) и-ь4г Р з) = и ь(г Р)Я (з), где и„ь(г, ьо) — собственные функции кольцевого сектора а < г < 6, О < оь < а, построенные в з 8, Е„,(з) — собственные функции отрезка О < з < 1, построенные в з 1, а собственные значения Л = Л„ь„, = х„ь + а где х„ь и а — собственные значения кольцевого сектора и отрезка соответственно.
5 ЗЗ. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ШАРА Теперь построим собственные функции шара К,. Введем сферическую систему координат (г, В, Р), О < г < а, О < В < я, О < у < 2я с началом в центре шара. Оператор Лапласа в сферической системе имеет вид 1 д /зди1 1 ди = — — ~гз — ) + — Дв и гз дг [~ дг) гз где Доги — сферический оператор Лапласа, равный 1 д /. ди1 1 дзи Двги = — — ~в1п  — ) + в1пВдВ ~ дВ) в)пзВдуз Решая эту задачу аналогично тому, как это сделано для случая ци- линдрического сектора (см. з 11), получим, что собственные функции представимы в виде Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для шара: (13.1) Ьи+ Ли = О, М Е К„ ди а — +Ри =О, дг и ф О.
(13.2) Решение строим методом разделения переменных, отделяя радиаль- ную переменную г: и = Щт)е(В, у) ф О. (13.3) Подставляя (13.3) в уравнение (13.1), записанное в сферической си- стеме координат, и разделяя переменные, получим — т~ — + Лг'Я ь' (13.4) Д(т) (Вр) Ьвте+ Ле = О, О < В < л, О < 1е < 2л, е(В, р) = е(В,~р+ 2л), !е(0,1е)/ < со, /е(л,~р)/ < оо, е(В,~р) ф О, собственными функциями которой являются сферические функции: е = е„(В, 1е) = У( 1(В, 1е) = Р~1 1(сов В) ( 1в1п пер, а собственные значения равны и = и„= п(и+1), п = О, 1,..., оо, п1 = О, 1,..., и.
Для каждого р = п(п + 1) из (13.4) получаем уравнение для Я(л): решение которого должно удовлетворять согласно (13.2) граничному условию при т = а: а — +дй =О оИ ~6 Собственные функции должны быть ограничены в К, и периодичны по р с периодом 2л. Поэтому из (13.4) для функции е получаем задачу Штурма — Лиувилля и естественному условию ограниченности при т = 0: /В(0)! < оо. С помощью замены у(г ) В= = задача для В приводится к следующей задаче Штурма — Лиувилля: 1~г т'у" + ту'+ (Лтг — и+ -) ]у = О, 2) ау'+ ()7 — — ) у~ = О, !у(0)/ < оо. (13.6) (13.7) (13.8) Общее решение уравнения (13.6) имеет вид у = Сгу„+цг(ГЛт) + СгИ„+цг(ГЛт).
Будем считать Сг = 1. Для определения Л из (13.7) получаем диспе- рсионное уравнение аг/Л~1+г~г(Лп) + (~3 ) У„+цг(Ла) = О. Пусть р = аг/Л. Тогда функцию В(т) можно записать в виде 1е+Цг) ~„+г,г "" В(т) = В.ь(т) = гут п=0,1,..., 1=1,2,. где пь — Й-й корень уравнения (е+1/г) / аг аду„+г~г(р)+ ~Да — — ) 3„+цг(1г) = 0 (13.9) при фиксированном и = О, 1, 50 Учитывая поведение функций Неймана в нуле и условие ограниченности (13.8), находим Сг = О. Таким образом, собственная функция шара имеет вид / )л+г)г) ииьт(т, и, )т) = — /„.тг)г т У<~)()), )о), (13 10) /'д, о=0,1,..., к=1,2,.
а собственные значения равны (л+г/г) ~(г л„ а где )г~~,"~ ~ ) — корни уравнения (13.9). Видно, что каждому собственному значению Л„ь соответствуют 2п+1 линейно независимых собственных функций (гапк Л„ь = 2п+1). Найдем норму собственных функций: г к. Значение (~У~ ))~ определяется формулой ~й )11'= .,— 2 (и+ пг)! «2 +1( )( Г2, пг= О, Где о~до 11, огайо О.
Вычислим — ) .тг/г ~ ,/т г 1 — /„.тг)г — /„+г)г(Лт)тйт = ~/т о г г У (о ~- 1/2)г т (использована формула (5.17)). Рассмотрим, как и для круга, отдельно первую, вторую и третью краевые задачи. Для задачи Дирихле (а = О, д = 1) собственные значения определяются уравнением ~„+г)г) г .).+г)г(и) = О, Л = ~"' а Поэтому ! 2 2 1 а, 2 1е+1/2) ~- / +1/2 — 2 (У +1/г) (/'ь ) /г 1 Для задачи Неймана (о = 1, д = 0) собственные значения определяются уравнением 1 рУ.'+ / (д) — -У.+1/2(р) = О. 2 Следовательно, ! 1 2 г и(в+ ") 1 г )а+юг) ~-'/в+1/2 = 1 1 +1/2) ~л)1/2(/12 ). (13.13) Для третьей краевой задачи (о = 1, д = Ь) собственные значения Л определяются уравнением / 1л+1/г) 12 /2,/„+1/2(/2)+ ) аЬ вЂ” - ]./„+1/2(/2) = О, Л= ~ Ф /' 1~ ~д, 2) а 1 [ а ] и(п + 1) + аЬ(1 — аЬ) 1 1„+1/2) /' ь+1/ 1 2 '~ [ )о+1/2)], ~ и+1/2 /'ь (13.14) или 4[/э ] ( + 2) 2 1~+1/2) )г г ( 1э+1/г) г (-'~" +'/г 2 + (1 2аЬ)г (у +1/2) (/'ь ).
з (13.15) Формула (13.14) удобна при малых, а формула (13.15) — при больших Ь. 5 14. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ШАРОВОГО СЛОЯ Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для шарового слоя Р (а < г < Ь): /Ли+Ли = 0 в Р, (14.1) ди Р1[и] = о1 — — дги дг (14.2) ди /22[и] = ог — — дги дг (14.3) и(г, )), 1/г) ф О, [о;[+ [д1] ~ О, 1 = 1, 2.
Выражение для квадрата нормы, так же как и для круга, для третьей краевой задачи можно записать по-разному: Записывая решение в виде и = Н(г)и(В, р), подставляя в уравнение (14.1) и разделяя переменные, получим за- дачу Штурма — Лиувилля для функции е(0, 1р) на сфере г = а: Ьвве+вве=О, 0<0<я, 0<др<2л, ! !!в=о < е(В, дг) = е(0, р+ 2л), е(0, 1р) е 0 (14.4) и задачу Штурма — Лиувилля для функции Я(г) на отрезке а < г < Ь: (14.5) дИ Рд[В] = ад— Аг (14.6) =О, (14.7) гд а (Д!фО, в=1,2. Собственными функциями задачи (14.4) являются сферические функции е = е„(В,уд) = У„д 1(В,~р), а собственные значения равны вв = вв„= п(и + 1), и = О, 1,..., пд = О, 1,..., и. Общее решение уравнения (14.5) при гг = п(п+ 1) имеет вид У„+цг(дГЛ ) Л„„„(Л') Л= С вЂ” +С (14.8) Подставляя (14.8) в граничные условия (14.6), (14.7), получим < Сдрд(Л, а) + Сгдд(Л, а) = О, Сдрг(Л, Ь) + Сгвг(Л, Ь) = О, (14.9) 53 дИ РгЩ = аг— Йг К(г) ф О, !ав(+ — ДВ + (уг1д где Приравнивая нулю определитель системы (14.9), получаем дисперси- онное уравнение для определения Л р1(Л, а) д1(Л, а) р,(Л,Ь) 42(Л,Ь) (14.10) Из (14.9) имеем р1(Л,а) 91(Л,а) Полагая С1 = а1(Л, а), собственную функцию запишем согласно (14.8) в виде /У = " д1(Л а) — " р (Л,а), (14.11) 1 т или, учитывая (14.10), ввиде /2 Р1(, ) «+1/2('Г") (Л Ь) «+1/г(~Г ) (Л Ь) (14 12) Таким образом, собственные функции шарового слоя можно записать в виде а ь~~(т,д,)») = ~»+1/2( ) ( )»+1/2(1Г ) ( ) 1 )( т и = О, 1,..., п1 = О, 1, ..., и, /с = 1, 2, ..., (14.13) где Л = ˄— Ь-й корень уравнения (14.10) при каждом фикси(«+1/2) раввином и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
