А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ттрн Уравнение (1.9) имеет нулевое решение Ло = О. Ему будет соответствовать ненулевая функция уо(х), определяемая (1.11), если Д = 0 и ~вг — — О, и эта функция равна 1. Следовательно, при Ле = 0 ))уо))г = 1. представляет собой норму собственной функции. Если постоянная выбрана так, что М„= 1, то собственные функции у„(х) будут ортонормированными.
Итак, ненормированные собственные функции задачи Штурма— Лиувилля Выделим частные случаи. 1. Граничные условия; у(0) = у(1) = 0 (ог = ог = О, Д = )3г — — 1), тяотг г у„(х) = е1п ~/Л„х, Л„= ! — ), !!у )! в = 1,2,...,оо. 2. Граничные условия: у'(0) = у'(1) = О, (аг — — аг = 1, Д = Рг = 0), у„(х) = сок ~/Л„х, Л„= ( — ), !!у„)!~ = -(1+ Б„о), и = О, 1,..., оо. Заметим, что в этом случае существует нулевое собственное значение Ле = О, которому соответствует собственная функция уе(х) = 1.
3. Граничные условия: у(0) = у'(1) = 0 (аг = Рг = 0 А = аг = 1), и = О, 1, 2,..., оо. 4. Граничные условия: р'(0) = р(1) = О, (Д = аг = О, Рг = ог = 1), г 1 !!ре )! и = 0,1,...,оо. 5. Граничные условия: у(0) = О, у'+ Ьгу!, = 0 (ад — — О, 13д = 1, ог = 1~ Рг Иг)~ г 1 Иг уюз(х) = яп ~/Лах, ))уе!! = + и = 1,2,...,со, Л„ — корни уравнения 6. Граничные условия: у'(0) = О, у'(1) + Ьгу(1) = 0 ()у, = О, о, = 1, ог=1 Рг=Иг), у„(х) = сов~/Л„х, !!у„)!г = — ч-, в = 1 2,, оо Ьг 2 2(Л„ + Игг)' ˄— корни уравнения 1~д/Л1 = —.
Ьг Л Т. Граничные условия: у'(0) — Ьду(0) = О, у(1) = 0 (ад — — 1, !уд = Ьд, аг = О, ддг = 1), г ! Ьд Оу»)) = — + 2„Ьг,, в = 1,2,...,оо, у»(х) = 8дп д/Л»»(! х) Л„ — корни уравнения /Х дк /Л1=- —. Ь г ! Ьд У»(х) =совД/Л»»(1 — х), 0У»)! = — +, г,~ в=1,2,...,оо, 2 2(Л„ + Ьг)' Л„ — корни уравнения дк,/Х! = —. Ь д/Л' 9. Граничные условия: у'(0) — Ьду(0), у'(1) + Ьгу(1) = 0 (ад = 1 Д = Ьд, аг = 1, Рг = Ьг).
у„(х) = (Ьд эдп д/Л»х+ д/Л» »соа д/Л»»х), 1 /Л„+ Ьд г ! 1 (Ьд + Ьг)(Л„+ ЬдЬг) 2 2 (Л„+ Ьгд)(Л + Ьг) ' ˄— корни уравнения ЬЬ' Л вЂ” ЬдЬг Заметим, что в этом случае собственную функцию можно записать также в виде 1дг8дпд/Х»(1 х) + д/Х» со8д/Х»(1 — х) у„(х)— дуЛ„+ Ьг где ˄— корни уравнения 1К д/Л! = д/Л Л+Ь,Ь ' 28 8. Граничные условия: у'(0) — Ьду(0) = О, у'(!) = О (ад = 1, !Уд = Ьд, аг = 1, Рг = О), 1 2. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ: ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Рассмотрим задачу Ш1турм-Ллнувилл на отрезке [О, 1] с условием периодичности ун+Лу=О, 0<я<1, у(х) = у(х +1) при любом х б [О, 1], у(х) у: О.
(2.1) (2.2) у(х) = Се сов~/Л!+ Све1п~/Л! (2.3) подставим в условия (2.2): Сесое~ГЛ(х+1) +Сзв1п~/Л(х+1) = Сев)п~/Ля+ Стсов~/Лх. Воспользовавшись линейной независимостью функций сеет/Лх и е1п ~/Лх, отсюда получим Се (сов ч'Л! — 1) + Се в1п~/Л! = О, -Се в( и т/а! + Сз (сов т/Л1 — 1) = О. (2.4) Система (2.4) имеет ненулевое решение только при условии сое ъ/Л! — 1 в(п чГЛ1 =О, — 8!П 1/Л! сов 1Я вЂ” 1 или сов Л1 = 1. Отсюда находим Л„= (~~"), и = 0,1,2,...,оо. При найденных значениях Л„система (2.4) имеет два линейно независимых ненулевых решения: [т) 0 и Се = т!21 1 (2.5) Подставляя (2.5) в (2.3), находим собственные функции у;., 1(х) = 81п ~/Л„х. у!е1(х) = сов ~/Л„х, 29 Условия периодичности (2.2) можно заменить граничными условиями у(0) = у(!) у'(О) = у'(1).
Обшее решение уравнения (2.1): Заметим, что собственному значению Ао = 0 соответствует одна собственная функция уе(х): — 1, в то время как все ненулевые собственные значения А„имеют ранг, равный двум. Таким образом, задача (2.1), (2.2) с периодическими граничными условиями имеет следующие наборы собственных значений и собственных функций: (2лп1 хг (2.6) соз -Г- х, г» уо(х) — 11 уп (х)— 1 81п г'"х (2.7) г 1 2' п = 1,2,...,оо.
1 сое пх При!=2л А„=п, у (х) = ~ ., уа=1 81п пх 1 8. ООБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольнике: где а;, д1 — постоянные, причем )аь) + )Д( ф О. Задачу (3.1)-(3.3) будем решать методом разделения переменных.
Найдем ненулевые решения уравнения (3.1), представимые в виде и(х, у) = Х(х)У(у) ф О. (3.4) Подставляя (3.4) в уравнение (3.1) и разделяя переменные, получим Х"(х) Рп(у) — А=-д. Х(х) У(у) Следовательно, для функции Х(х) и У(у) получаем одномерные за- дачи Штурма-Лиувилля для отрезка: Х" + УХ = О, 0 < х < а, Р1(Х)/, , О, Рг(ХЯ = О, зо 1зи+Аи=О, 0< ди Р1(и) = а1 — — дги~ = О, ди Рз(и) = аз 9 дзи~„е = О, х<а, 0<у<Ь, (3.1) ди Рг(и) = аг — + дги~ = О, (3.2) ди Р4(и) = а4 — + д4и) = О, (3.3) 8=8 У" + аУ = О, 0 < у < Ь, Р.(У)/„», = О, Р,(У)/„», = О, где а = Л вЂ” р. Решив каждую из этих задач, собственные функции задачи (3.1) — (3.3) найдем согласно (1.11), а собственные значения Л вычислим по формуле Л = р + ю Таким образом, справедливо следуюшее утверждение: собственные функции оператора Лапласа для прямоугольника равны произведению собственных функций по каждой переменной с соответствующими граничными условиями и„= К„(х)У (у), а собственные значения равны сумме собственных значений одномерных задач Л»»1 — И» + ~т ° В качестве примера приведем собственные функции и собственные значения для задач Дирихле и Неймана: а) задача Дирихле и~ = О, где С вЂ” контур прямоугольника; яп, ят и„(х,у) = е1п — хзш — у, а Ь л„= ( — ") +~ —;), п,т=1,2,..., ))и»п~О = О 81п хО )) Б1п ф а Ь 4 б) задача Неймана Уе„"-~с = О, где и — внешнЯЯ ноРмаль к контУРУ прямоугольника: яп ят и„(х, у) = сов — хсоз — у, а Ь Л„= ( — ) +( — ), п,т=0,1,2,..., ~) „О =1)К„))'ОУ !!'.
Ьи+61и +Ьтиэ+си+Ли=О, 0<я<а, 0<у<6, (35) и1с О, (3.6) где С вЂ” граница прямоугольника. Собственные функции и собственные значения для других граничных условий легко выписать, используя результаты 6 1. Рассмотрим также задачу Штурма-Лиувилля для оператора Ьи = с и+ Ь1и~ + Ьтиэ + си (6ю 6ю с — постоянные) в прямоугольнике: Как было указано ранее, удобно ввести новую неизвестную функцию в(х, у) следующим соотношением: и = е-Ь(ь1еььгв)„(х у) (3.7) Тогда для функции в получаем задачу и„(х,у) = е ь ' ' в(п — хв(п — у, »(ь! +ь,в1 . Яп . Ягп а Ь Л~т = ( — ) + ~ — ) — с+ -(Ь, + Ьг), причем при е < О и = 1,2,., пг = 1,2,..., а при с > О начальные значения и и пь выбираются так, чтобы Л„> О.
При граничных условиях второго и третьего рода рассмотрение проводится аналогично, следует только при замене (3.7) преобразо- вать и граничное условие. В 4. ООБСТВЕННЫЕ Фв'НКЦИИ ПРЯМО в'ГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Задача Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольном параллелепипеде ямеет вид Ьи+ Ли = О, О < х < а, О < у < Ь, О < г < е, ! ди = О, Рг(и) = а»вЂ +,Зги~ = О, е=в дх )я=а ди Рг ( и) = а1 — — дг и дх ди Рз(и) = аз — — дзи ду ди Р4(и) = ав — + рви = О, ду д=ь =О, в=о д.
= О, Рв(и) = ав — +дви~ = О, «=0 дг )л=е ди Рв(и) = ав — — дви дг а;, дь = сопев, )а;)+ )Д) ф О, 1= 1,2,...,6. Используя результаты 1 3, легко показать, что собственные функции и собственные значения для прямоугольного параллелепипеда имеют вид и„ь(», у, г) = Х„(х)У,„(у)Яь(г), Лить = р» + ь'м + ге»1 Ьв+рв=О, О<х<а, О<у<Ь, в(с — -О, в~О, ь'+ь* где введено обозначение д = Л + с — -»ь», решение которой только что было рассмотрено. Следовательно, собственные значения и собственные функции за- дачи (3.5), (3.6) имеют вид где (Х„(х), д„), (У„,(у), и„,), (хг(г), гть) — собственные функции и собственные значения соответствующих одномерных задач Штурма— Лиувилля по каждой переменной. На доказательстве этого утверждения мы не останавливаемся, поскольку оно полностью аналогично приведенному в г 3.
5 3. ООВстВенные Фг~нкцни кРнГА Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для круга К,: Ьи+ Аи'= О, (х, у) б К„ ди о — + ди~ = О, )о)+ Щ ф О, и ф О. с (5.1) (5.2) Введем полярную систему координат (г, 1а) с началом в центре круга К,. Напомним, что оператор Лапласа в полярной системе координат равен д / ди'1 1 дги Ьи = — — ( т — ~ + — —. т дт ~, дт) ггдрг' Собственную функцию будем искать в виде и(г,~р) = Й~г)ф(~р) ф О. (5 3) г-4 (тф) + лггй фа и (5.4) В(г) ф( р) Поскольку собственная функция должна быть периодической по ~р с периодом 2к, то для Ф получаем задачу Штурма — Лиувилля Ф" + иф = О, О < 1а < 2я, Ф(1г) = Ф(~р+ 2я), решение которой имеет вид (см.
г 2) Ф=ф„(1а) =( 1 ьбпп1а, г ц — ~'» — в (5.5) и = 0,1,2,...,оо. При каждом и = иг получаем задачу для В(т): г — 1 г — ) + (Лг — и )Я = О, О < г < а. а' / аИ'г г г дт 1 ат) (5.6) зз Уравнение (5.1) запишем в полярной системе координат, подставим в него (5.3) и разделим переменные. Получим Функция В должна удовлетворять граничному условию а — +)УВ = О, )а)+ ф ф О, ~И Й г=а вытекающему из (5.2), и естественному условию ограниченности при г=О: !В(0)/ < со, поскольку г = 0 является особой точкой уравнения (5.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
