А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следовательно, для определеняя Н(г) получается задача Штурма-Лиувилля ггН»+ гВ'+ (Лг~ — п~)Н = О, 0 < г < а, (5.7) а — +)УВ =О, )а)+ ф ф О, сВ (5.8) йг »=а (5.9) !В(0)) < оо, В(г) ф О. Уравнение (5.7) заменой х = г~/Л приводится к уравнению Бесселя п-го порядка: х~у»+ху'+(х — и )у = О. Поэтому общее решение уравнения (5.7) можно записать в виде В(г) = В»(г) = С,У„(~юг) + С~77„( ГЛг). Учитывая неограниченность функции М»(ъ'Лг) при г -+ 0 и условие (5.9), находим Сз = О.
Будем считать С1 = 1, поскольку собственная функция определяется с точностью до числового множителя, который определяется из условия нормировки. Поэтому собственная функция задачи (5.7) — (5.9) имеет вид В»(г) =,7„(~IЛг). (5.10) Подставляя (5.10) в граничное условие (5.8), получим днсперсионное уравнение для определения собственных значений Л; а~/Л~У (~IЛа) + Д.7»(~/Ла) = О, (5.11) где штрих обозначает производную функции Бесселя по полному аргументу.
Обозначим р = ~/Ла. Тогда собственные функции и собственные значения задачи (5.7)-(5.9) можно записать в виде (») (») ° 2 а а где до — Й-й корень уравнения (8) од~У (д) + (Уа 7 (д) О (5.13) при фиксированном и = О, 1, 2,... Таким образом, собственные функции круга имеют вид ( соо тир, иио(г, р) = У„(Л(Л„г) ~, 81п про, (5.14) 1=1,2,..., и = О, 1, 2,..., (8)~ 2 а собственные значения равны Ло () 'д а Найдем норму собственной функции (5.14): ()и„о((~ = и2„(г, у)) г Агар = ()1„((2))Ф„()2.
(5.15) о о г2(х) (х, где Я„(х) — произвольная цилиндрическая функция. Имеем г=(' гпе*ю*= /гпеа( — *) х2 = — г„(х) + г„(х)г.(х) ~х. 3 Используя уравнение Бесселя хтг„"+ хг„'+ (х'- и2)г. = О, находим х~Е = — х~Я" — х~„' + и~У„= — х — (х~„') + и~Я„. Их Поскольку норма Ф„(Ф„= соо п(о или Ф„= 8)п п22) известна, остается найти )!у )!.
Чтобы найти (),7„)), вычислим интеграл Поэтому 1 = — Я„(х) + / хЯ„' — (хУ')Ых — и Я„Я' Их = г 2 2 = — г + — г — — г. х 2 х,г и и 9 и 2 и' Итак ~~~(х)хая = — ~~„' (х) + (1 — — ) ~~~(х) . (5.16) Полученная формула позволяет вычислить квадрат нормы функции Бесселя для соответствующей краевой задачи: ))У„)('= ~,т„'( ГЛ.).( = — 1 .т„'(*) (*= Л / о о = — (~1~(а»ГЛ) + (1 — — ) Х~(а»УЛ)).
(5.1Т) Рассмотрим теперь первую, вторую и третью краевые задачи отдельно. Для задачи Дирихле (а = О, Ф = 1) собственные значения определяются (согласно (5.13)) из уравнения (п) 2 .У'„()2) = О, Л = Следовательно, г )1М' = — 4'(и»"~) (5.18) (и) ° 2 н.т„'(р) = О, Л=1 — "" )) Следовательно, Я ~ ( (и))2 ( и Й (5.19) Для задачи Неймана (а = 1, )г = 0) собственные значения определяются из уравнения Для третьей краевой задачи (а = 1, )1 = Ь) собственные значения определяются из уравнения д,т„'(д) + аЬ,7„(д) = О. Следовательно, (Дь )+ — („) о(Д ) ат поЬ3 — по (о) 3 (е) 3 (5.20) !!1 ))3 = (5.21) Формула (5.20) удобна для вычислений при малых Ь (Ь -+ 0), а фор- мула (5.21) — при больших Ь (Л -+ оо). Непосредственно видно, что при Л -+ 0 формула (5.20) переходит в (5.19), а при Ь -+ со (5.21) переходит в (5.18). 5 е.
сОБстВенные Функции КРУГОВОГО СЕКТОРА Пусть П вЂ” круговой сектор: 0 < г < а, 0 < (р < а; С вЂ” граница области 0. Задача Ш1турм-Ллнувилл имеет вид Г3и+ Ьи = 0 в В, дп Р(п) = иод + дои!„, = О, !ао!+ !до! Ф О, ди Р1(п) = а1 — — д1п! = О, !а1!+ Щ Ф О, ди Рг(п) = аг~ +дги! =О, !ат!+ Щ ф О, где и — единичная нормаль (внешняя) к С, ао, ро, ам ды СОП3( . Представляя функцию и в виде (6.1) (6.2) (6.3) (6.4) гойе+ гЯ'+ (Лгт — ио)Я = О, 0 < г < а, сИ Р(Я) = ао — +доЯ!„, = О, !В(0)! < оо, В(г) ф О.
(6.5) (6.6) и = В(г) Ф(~р), подставляя ее в (6.1)-(6.4) и разделяя переменные, получим отдельно задачи для Н(г) и Ф(<р): Ф" +иФ=О, 0<~р<о, Р(Ф) =о Ф вЂ” АФ( =О, Рг(Ф) = атФ'+))гФ~ = О, Ф(() ~О. (6.7) (6.8) Задача (6.7), (6.8) есть задача Штурма-Лиувилля для отрезка, рассмотренная в 1 2. Ее собственные значении п„и собственные функции Ф„((а) определяются формулами (2.6) и (2.7). Задача для В(г) также рассмотрена ранее (см. 1 5). Ограниченное решение уравнения (6.5) имеет вид В(г) = Н (г) = С.7,„(Лг).
(6.9) о~ГЛУ„„(~l'Ла) + ф,)„„(./Ла) = О, (6.10) где штрих обозначает производную функции Бесселя по полному ар- гументу. Таким образом, решение задачи (6.5), (6.6) можно записать в виде / (а„) („) г Я(.) = Л„(.) =.7„„~— " '.), Л = Л„'"' = ~ — "' ), а ) а где рь — Й-й корень уравнения (и„) ор7..(Ю+)7ау .(р) = 0 (6.11) при фиксированном и. Квадрат нормы функции Л„(г) выражается формулами (5.18) — (5.21) (в зависимости от типа краевой задачи), в которых и следует заменить на и„. Итак, собственные функции задачи Штурма-Лиувилля для кругового сектора имеют вид .
(",е=~..(Д"' ) Ф (и) где функции Ф„((а) определяются формулой (2.7), а собственные зна° (к„), г чения Ль — — ~ (, где р — корни уравнения (6.11). (.-) рь ('-) а Подставляя (6.9) в граничное условие (6.6), получаем уравнение для определения собственного значения Л: Ь г. ООВсГВенные Функции КРУГОВОГО КОЛЬЦА Перейдем к вычислению собственных функций кругового кольца. Пусть 11 — круговое кольцо: а < г < Ь, 0 < у < 2я. Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля Ли+Ли = 0 в.0, (7.1) (Т.2) (7.3) Представляя решение в виде и(г, Р) = В(г)Ф(гг), подставляя в уравнение (7.1) и разделяя переменные, получаем задачи для функций В и Ф: Задача (7.7), (7.8) решена в Я 2.
Ее собственные значения г н соб- ственные функции Ф соответственно равны (7.9) и =0,1,2,... В(г) = Сг.7„(~IЛг) + СгХ„(Лг). (7.10) (7.11) ди Рг(и) = аг — — д1и~ = О, ди Рг(и) = аг — +дг~/ = О, и ф О. ггВ" +гВ'+(Лг — и )В=О, 0<г<Ь, Рг(В) = а1В' — ддВ/ = О, Р~(В) = агВ'+ дгВ~ = 0 Ф" + иФ = О, 0 < гг < 2я, Ф(гр) = Ф(1г+ 2к) при любом Р. Г соз тмр и=и„=п, Ф=Ф„(1г)=~ зш п1Г Общее решение уравнения (7.4) при г = иг имеет вид Подставляя (7.10) в граничные условия (7.5), (Т.б), получим < СгРг(Ю (ГЛа)) + СгРг(М~(ГХа)) = О, СгРг[уа(~IЛЬ)] + СгРг~Ип(ГЛЬ)) = 01 (7.4) (7.5) (7.6) (7.7) (7.8) где Рг [Ю„( ГЛа)] = аг ъ/ЛУ„'(ъУЛа) — Д У„(~IЛа), Рг[У„(ъ~ЛЬ)] = аг'ГЛ1„(ГЛЬ) + УУгУ (ГЛЬ), Рг[У„( /Ла)] Рг[Х„(ъУЛа)] (7.12) Рг[Уэ(ГЛЬ)] Рг[Мп(~IЛЬ)] При выполнении условия (7.12) из системы (7.11) находим , У'[~-(~ГЛ ) РДХ„(ъ/Ла)] (7.13) Подставляя (7.13) в (7.11) и выбирая Сг = Рг[Ф„(ъ/Ла)], ненулевое решение задачи (7.4) — (7.6) запишем в виде Я(г) = К(г) = .У„(~/Лт)Рг[Ф„(/Ла)] — И (ГЛг)Рг[У (ГЛа)] (7.14) или, учитыван (7.12), в виде Л„( ) =~'~~" ( ~'лЦУ„( ГЛ.)РгРт„(ГЛЬ)]- Рг[У„(~/ЛЬ)] — УУ„(ъГЛ» ) Рг [У„(.ГЛЬ)] ~ .
(7.15) Значение Л = Ль~ ~ определяется из уравнения (7.12) при каждом фиксированном и = О, 1,... Подсчитаем квадрат нормы В (г): ь ]]П ]]г Пг„,1„ а Для этого воспользуемся формулой (см. (5.16)) ь „г г иг ь гг(ГЛ.)~Ус= —" г„"(ъ/Л )+ 1 — — ', гг(ГЛ.) а Рг[ЬУ„(~ГЛа)] и Рг~Х„(ъ'ЛЬ)] определяются аналогичным образом. Си- стема (7.11) относительно Сд и Сг имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю: где Яг(г/Лг) — любое решение уравнения Бесселя: гг~" + гЯ„'+ (Лгг — г г)Я„= О. Итак, ь Пл,в П вЂ” — Я„ЬГлг) + 1 — — Вг (гГлг) — л„(ГЛЬ)+ 1 — —, л„'( Гль)— — — г~«(гГЛа) + 1 — — г ггл(ъ Ла) Поскольку л„( Гль) =(~„(Гль)Р,р„(ГЛЬ)] - ы„(ГЛЬ)Р,у„(ГЛЬ)]) '[ и( л')] ,у„( ГЛЬ) [ог ГЛМ„'( ГЛЬ) + ()гх„( /ЛЬ)]— Р,[,1„(,ГЛЬ)] ~ " — ь~п(Гль)[аг'Глгп(Гль) + ~згли(4Аь)]) = Рг[Д («ГЛа)] Рг[,1 (ъГЛЬ)] Рг [,7„(Гла)] 2 Рг[1„(гГль)] Яь ' Б„'( Гль) = '[ и( )] (л„'(Гль)Рцм„(Гль)] — ы„'(Гль)Ру„(Гль)]) (напомним, что штрих обозначает производную по полному аргумен- ту) ')] [у„'(Гль)[о, Гли„'(Гль) + р,и„(Гль)]- Р [ю (ъГль)] — м„'(Гль) [ог Глл( Гль) + б,,т„( Гль)]) = Рг [ Уп (гГЛа)] ' [1 (гГЛЬ)] Рг[.У«(1ГЛа)] 2л Рг[1«( Гль)],,Гль 11«(гГла ) = а„)ьк ( Гл 2 г 2 Гл ' где И'[У„, №] — якобиан функции 1„(х) и №(х), равный,г,, получим ~~й ~~г 2 Рг(Уи(Ло)) дг (7.16) Таким образом, собственные функции кругового кольца можно запи- сать в виде и «(т,ьг) = Л (Л~Л~, ~т)~ 1 в(ппьг, Ь=1,2,..., п=0,1,2,..., где В„( /Лд" т) определяется формулой (7.14) или (7.15), а собственные значения Л~~" ~ есть корни уравнения (7.12): 1!ива!!'= Р.!! 11Ф41'.
Тогда В = Ю ( ГЛт)г7 (ГЛе) — №(ъГЛт),7„(~ГЛа) = ') (Л„( ГЛ.)№ ( ГЛЬ) — № (ГЛт)7„( ГЛЬ)), ,т„(~Гль) где Л = Лв( 1 есть Ь-й корень уравнения (7.17) .к„( Гле) №( Гла) .7„(,ГЛЬ) №н(,ГЛЬ) ' г 2 1 4(ъГла) — х~~(ъ~ль) яг л .7г(,ГЛЬ) В случае граничных условий Неймана на обеих границах (ад = аг — — 1 дг=Рг=О) (7.18) ди ди~ — — =О, дт „, дт~тьь В„=,Глр„(Гл )Ь7„'(Гла) — 7ч (Л )7„'(ЛеН = =,Гл ° у„( Гл )87„'( Гль) — ь1 (Лт) 7.'(ГльН (7 20) .7„(~ГЛЬ) Выделим отдельно случаи граничных условий первого и второго рода. Пусть на обеих границах (т = а, т = Ь) выполняются граничные условия Дирихле (аг = О, аг = О, д1 = — 1, дг — 1) и! = О, и~ „ = О.
где Л = Ль — Ь-й корень уравнения Л(~1 (~/ЛЬ)Ф„'(Ла) — 11~л (ГАЬ)Ю„'(ъ/Ла)) = О, (7.21) ~г д. и иг и Заметим, что в етом случае уравнение (7.21) имеет нулевой корень (Л = О), т.е. существует нулевое собственное значение. Написанные выражения для собственных функций справедливы при Л ~ О. Нулевому собственному значению соответствует собственная функция, равная единице. Ь в. сОВстВенные ФункЦии КРУГОВОГО КОЛЬЦЕВОГО СЕКТОРА Пусть Р— круговой кольцевой сектор: а < г < Ь, 0 < гг < а. Соответствующая задача Штурма — Лиувилля имеет вид (8.1) Ли+Ли=О вВ, ди Рг(и) = аг — — дги дг (8.2) ди Рг(и) = аг — + дги дг (8.3) =О, ди Рз()= з — — дз др (8.4) =О, ди РЯ(и) ая + д4и дег и(г, Яг) ф О, (а;) + (Д( ~ О, 1 (8.5) =О, = 1,2,3,4.
Представляя решение в виде и = й(г)Ф(яг) ф" +иФ = О, (8.6) Рз(Ф) = О, РЯ(Ф) = 0 яз и разделяя переменные, получаем задачу Штурма-Лиувилля для отрезка 0 < ~р < а: и задачу Штурма — Лиувилля на отрезке для оператора Бесселя: г~В»+ г~й+ (Лт — и)Я = О, а < т < Ь, Р1(В) = О, Рз(В) = О, (8.7) »=Ь каждая из которых была подробно рассмотрена выше (см. з 1 и 7).
Следовательно, собственные функции кругового кольцевого сектора имеют вид и ь(т,1ь) = й„(ъйг)Ф„(у), где В„= .7„(ГЛ»)Р,[Х» (~IЛаи — 19» (ГЛг)Р1[7» (ъГАа)] = (7» (АНГЛ»)Рз[Ф» (1/ЛЬ)] Фа (АНГЛ»)Рз~Л» (УЛЬ)]) Р,[,7„„( /ЛЬ)] (8.8) Рз зьп,Я» У + аз~~~ соз,Яп ~Р Фп(у)— ,с; 7+4 (8.9) гд廄— и-й корень уравнения (см. з 1, (1.8) и (1.11)) (аза4и — ~3здь) Щйь/»о = У'й(аздь+ дзаь), (8.10) Л = Ль~ "~ — Ь-й корень уравнения Р1 [Х~„(~ГЛа)] Р1 [Л»„(~/Ла)] (8.11) Р,[7.„(,ГЛЬ)] Рз[)7»„( ГЛЬ)] Явные выражения для Ф„для всех возможных случаев граничных условий при у = 0 и уь = о выписаны в З 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
