А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Положим Л = д~, где р действительно. Тогда К (х) =Х (х) =Се (4.4) Собственные функции (4.3) можно отнормировать «на Б-функциюас Х~~(х)Х~(х)Нх = 6(д — и), (4.5) где Б(11) — б-функция Дирака, а черта означает знак комплексного сопряжения. Такая нормировка обычно применяется для собственных функций непрерывного спектра. Используя известное разложение д-функции в интеграл Фурье Ю(о — )у) = — / е' 1 ~1ИЛ, гх а2я,/ находим значение нормировочного коэффициента Таким образом, нормированные собственные функции имеют вид (4.6) ям (4.6): 18 Теперь будем искать решение исходной задачи (4.1), (4.2) в виде интегрального разложения по нормированным собственным функци- Представление решения в виде (4.7) соответствует его разложению в тригонометрический интеграл Фурье, ядром которого является собственная функция Х+(х) = +е'"'. Функция (7 называется образом Фурье функции и, которая называется оригиналом.
Чтобы из соотношения (4.7) выразить Цд,1) через и(х,1), умножим обе части равенства (4,7) на Х~~(х) и проинтегрируем по х от — со до со. Учитывая нормировку (4.5), получаем 1 (7(,1) = — ~У -' * (,1)И*. 1/2я (4.8) Соотношения (4.7) и (4.8) называются интегральными преобразованиями Фурье.
При этом переход от оригинала к образу по формуле (4.8) называется прямым преобразованием Фурье, а переход от образа к оригиналу по формуле (4.7) — обратным преобразованием Фурье. Для существования преобразования Фурье функции вещественного переменного 7'(х) достаточно, чтобы функция у(х) была непрерывна всюду, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого ряда, а интеграл )7'(х) ) Ых 1 — / е '" Рд(и)йх = — ! е '" и (х,1) Нх+ — ! е " ~Их. 1/2х l Проинтегрируем первый интеграл в правой части формулы два раза по частям, учитывая, что в силу предположения о поведении функции и и ее частных производных на бесконечности подстановки на хоо обратятся в нуль.
Учитывая, что 1 — е '"*Р,(н)нх = Р,(17(р,1)), с/2я 19 сходился. В дальнейшем будем предполагать, что функция и(х,1) вместе со своими производными до второго порядка достаточно быстро убывает при х -+ шоо. Получим задачу в пространстве образов для определения Цд, 1). Умножим уравнение (4.1) на Х+(х) и проинтегрируем по х от — оо до +со: и обозначая 1 Е(Р,$) = = / 7"(х,1)е '"*Нх, ~/2 як получаем уравнение для функции У(д,1): д'У а,(1) —.
+ р У = г'(р,1), 1 > О. ~»н Аналогичным образом из начальных условий (4.2) получаем началь- ные условия для функции У(д,1): где 1 Г ф (д) = — ~рд(х)е ь» ~/2~г д'У ~~.' е (1) —,,; + д'У = Р, 1 > О, 1=1 д»У — =Ф», 1=0,1,...,гн — 1, дс (4.9) (4.10) в которой р является параметром. Решение втой задачи Коши было рассмотрено в 1 1. Определив функцию Цр,1), решение исходной задачи (4.1), (4,2) получим с помощью формулы (4.7).
Аналогичным образом можно использовать интегральное преобразование Фурье для решения задач на полубесконечной прямой х > О. В качестве ядра интегрального преобразования Фурье на полупрямой х > 0 нужно брать собственную функцию соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, в случае граничного условия Дирикле используется синус-преобразование Фурье, при котором переход от оригинала 7'(х) к изображению Р('1(Л) осуществляется по формуле РОО(Л) = )/ — / 7(х)ашЛхИх, Г2 Г а Таким образом, для определения функции У(р,1) получаем следующую задачу Коши: а обратный переход — по формуле у(х) = ~/ — / Ф'~(Л) а(пЛхНЛ. /2 Р о Ядро синус-преобразования Фурье К(х, Л) = /~ а1п Лх является решением уравнения Х" + Л~Х = 0 и удовлетворяет однородному граничному условию Дирихле К(0, Л) = О. В случае граничного условия Неймана используется косинус-преобразование Фурье, при котором формулы прямого и обратного преобразований имеют соответственно вид Р~') (Л) = ) à — / ~(х) сов Лх Их l2 1 о ~(х) = ~/ — / ГОО(Л) сов ЛхсКЛ.
Г2 о Ядро косинус-преобразования Фурье К = Лаосов Лх является решением уравнения Х" + Л~Х = О, удовлетворяющим однородному граничному условию Неймана при х = О. Применяются интегральные преобразования Фурье и с более сложными ядрами. Например, в случае граничного условия третьего рода и — Ьи) ао =О, Ь=сопвФ>0, используется преобразование с ядром ) 2 ЛсовЛх+ Ьв1пЛх 'т' я Яг~.йг для которого формулы прямого и обратного преобразований имеют вид Г2 Г ЛсовЛх+Ьв1пЛх Г~~ Нх '" -~~я! о ,)=.ГТ„Л)- +'- „ Ух/ Д2 ~ йз о Мы рассмотрим применение интегрального преобразования Фурье к одномерным задачам.
Аналогично используется интегральное преобразование Фурье в случае многих пространственных переменных. Причем в многомерном случае можно производить преобразование Фурье по части пространственных переменных, получая в результате дифференциальное уравнение в пространственной области меньшей размерности. Кроме интегрального преобразования Фурье при решении начально-краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов в неограниченной области используются и другие интегральные преобразования.
Например, если козффициенты а; оператора Р, 1и] являются постоянными, удобно использовать интегральное преобразование Лапласа' >. Смл Свешников А.Д, Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. Мл Наука, 19Т9. Глава 2 ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ Как было показано в гл. 1, если известны полные наборы собственных значений и собственных функций данной области для соответствующей краевой задачи, то решение начально-краевой задачи для уравнений гиперболического и параболического типов и краевой задачи для эллиптического уравнения может быть построено в виде ряда.
В настоящей главе построены собственные функции и собственные значения оператора Лапласа для основных канонических областей (отрезок, прямоугольник, прямоугольный параллелепипед, круг, круговой сектор, круговое кольцо, сектор кругового кольца, прямой круговой цилиндр и его сектор, круговой тор прямоугольного сечения и его сектор, шар, шаровой слой).
Напомним еще раз, что задача Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа имеет следующий вид (р(М) = 1): Ли+Ли=О вР, Р[и)[ = О, и х О, где Р[и] = о ф+,Ои, и — внешняя к области Р нормаль к поверхности з, [о[+ [д[ ф О (всюду в дальнейшем предполагается, что а и 13— постоянные). Заметим, что собственные значения Л„оператора Ьи = гЛи+ си, где с = сопзг, получаются из собственных значений Л„оператора Лапласа для соответствующей краевой задачи в результате сдвига на величину -с: Л„= ˄— с. При решении задачи Штурма — Лиувилля с граничными условиями Дирихле (о = О, р = 1) для оператора с постоянными коэффициентами Ьи = Аи+ 6|и, + Ьги„+ Ьзи, + си удобно сделать замену неизвестной функции ( 1 и = ехр — -(Ьгх+ 6гу+ 6зг) г, 2 Тогда задача Ьи+ Ли = 0 в.0, и)з = О, и ф 0 переходит в следующую задачу для функции и $2 + уг + $2;, Д + Л+ 1 2 3 0 П 4 и)з =О, ифО, собственные значения которой выражаются через собственные значения оператора Лапласа.
Перейдем к рассмотрению задачи Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа (Ьи = Ди, р = 1) в конкретных областях. 1 2. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ: ОТРЕЗОК В одномерном случае рассмотрим общую схему нахождения собственных функций и собственных значений следующей задачи Штурма — Лиувилля: И / иуЛ Ьу+ Лру = — 1 lс(х) — ) — ду+ Лру = О, 0 < х <1, Их ( Их) Рг(у) = од — Ау~ е — — О, )ог)+)А) Ф 0 Ну ф Рг(у) — = аг +Ргу(~, = О, ~аг~+)112) ~ О. (1.1) (1.
2) (1.3) у(х) = Сгуг(х, Л) + Сгуг(х, Л). (1.4) Подставляя (1.4) в граничные условия (1.2), (1.3), получим Сг(огуг(0, Л) — 112у2(0, Л)) + Сг(агуг(0, Л) — Ауг(0, Л)) = О, (1.5) Сг(огуг(1, Л) + 12гу1(1, Л)) + Сг(огуг(1, Л) + )угуг(1, Л)) = О. Соотношения (1.5) представляют собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно Сг и Сг. Эта система Обозначим через (у1 (х, Л), уг(х, Л)) фундаментальную систему реше- ний уравнения (1.1). Фундаментальные решения уд и уг зависят от Л как от параметра.
Общее решение уравнения (1.1) можно записать в виде имеет ненулевое решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю: агуг(0, Л) — Дуг(0, Л) агут(0, Л) — Дуг(0, Л) агуг(1, Л) + !чгу~(! Л) агут(1~ Л) + )угуг(1, Л) = О. (1.6) Рг(уг)~ = О, Рг(уг)~ = 1. Тогда, подставляя (1.4) в граничное условие (1.2), сразу находим Сг = О. Следовательно, собственная функция, согласно (1.4), должна представляться в виде у(х) = Сг уг (х, Л) . Подстановка в граничное условие (1.3) дает дисперсионное уравнение для Л: Фг Рг(уг) = аг — (х, Л) + ~9гуг(х, Л)/~, = О.
Рассмотрим теперь частный случай Ьу = у". В этом случае общее решение (1.4) может быть записано в виде у(х) = Сг созз/Лх+ Сгз1пз/Лх, (р= 1). (1.7) Коэффициенты Сг и Сг определяются из системы — СгД + Сгагз/Л = О, Сг ( — азз/Л в1п ~/Л! + )7г соз ~/Л!) + + Сг(агз/Л соз ~/Л! + )Уг з1п ~/Л!) = О. (1.8) Уравнение (1.6) имеет вид (агагЛ вЂ” )уг!уг) 18 ъгЛ! = ~/Л(аг)уз + А аз) (1.9) 25 Соотношение (1.6) представляет собой уравнение для определения собственных значений Л.
Это уравнение называется дисперсионным. Пусть (Л„) — корни уравнения (1.6). Каждому Л„соответствует ненулевое решение уравнения (1.5) и, следовательно, ненулевое решение уравнения (1.1), представимое в виде (1.4). Выше был рассмотрен общий алгоритм построения собственных значений и собственных функций. В ряде случаев его можно упростить. Пусть фундаментальная система уравнения (1.1) выбрана так, что на одном из концов отрезка, например при х = О, функции уг (х, Л) и уг(х, Л) удовлетворяют граничным условиям Легко убедиться (например, графическим методом), что уравнение (1.9) имеет бесконечное счетное множество корней (Л„), .
Для ка- ждого корня Л„находим ненулевое решение системы (1.8): где С вЂ” произвольная постоянная, отличная от нуля (С ф О). Вели- чина +ЛУ=О, 0<х<1, агУ Ргу/ е = 0 агУ + фгу/ — 0 можно записать в виде Д з1п ~/Л„х + а1 ~Д„сов ~/Х„х уь (х)— ;л.итг*, (1.11) при этом 1 (Ааг+)1га~)(Лза1аг+ А)1г) 2 2 (Л„аг + )Угг)(Л„аг г+ )Згг) где ˄— корни уравнения (1.9). Формулу (1.11) для собственной функции можно привести к виду у„(х) = з(п(ь/Л„х+б„), где величина б„определяется соотношениями Р~ . аг~/Л соз 6„=, з(п 6„= ,д. Т+7' " д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
