А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 7
Текст из файла (страница 7)
р1(Л, а) = о11ГЛ1„'+1/2(1ГЛа) — ()У1 + а1(л, а) = о1 Гль/„'+ /2(Гла) — (/у1 + рг (Л, Ь) — о 2ъ Л /«) 1/2 ( 1ГЛЬ) + (/уг дг(Л, Ь) = аг /ЛХ„'+1/2(ъГЛЬ) + (/Уг— 2 ) /»+1/ а11 2а/ а11 ) /)/»+1/г(1Гла), 2а/ 2Ь) ~ + / (~ЛЬ) 2Ь) ~»+1/2(' Л ). Вычислим квадрат нормы собственной функции: )~нводдд~~ = А„ь(г)У„(В, г)г ьйпВд1Вд1ддд)т = а о о ь / (У~ д д!г(д/Лю )гд(Л, а) — М„+д1г(ъГЛг)рд(Л, а)) д.Нгх а г х У„1~1 (д,ддд)о)пйЮд)1о = о о = ПВ" ~~'И .1-)И' (14.14) Квадрат нормы функции В о вычисляется так же, как в г 7.
Окон- чательная формула имеет вид >> >> д ~~п(д )~ (( ~ )д д(, ( +1/дг)1 )' ( ("~ 1/д) )1) одлд) Л=Л1"+ д 1. о 5 дв. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ФгдНКЦИИ ДЛЯ КРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА Как уже ранее отмечалось, собственные функции с физической точки зрения представляют собой те виды установившихся колебаний, которые в данной области могут существовать без «подкачки» энергии извне. В квантовой механике задачи Штурма-Лнувилля возникают при вычислении уровней энергии стационарных состояний частицы в некотором силовом поле.
Стационарное состояние частицы, находящейся в поле потенциальных сил, описывается стационарным уравнением Шредингера дЛддд+ —.(Š— У(пд))дд' = О, 2дд вг (15.1) 55 где и — постоянная Нланка; дд — масса частицы, У(дп) — ее потенциальная энергия в силовом поле, д)д — волновая функция. В этом уравнении Š— полная энергия частицы — играет роль собственного значения, подлежащего определению. Непосредственный физический смысл имеет не сама волновая функция 1у, а величина (щг, которая истолковывается в статистическом духе: выражение (ЩгИхИудг представляет собой вероятность пребывания частицы в элементарном объеме ИхИудг в точке (х, у,г) пространства. В соответствии с этим нормировка собственных функций к единице, которая неоднократно использовалась ранее в целях математической простоты, теперь приобретает иной смысл и имеет фундаментальное значение. Условие нормировки ~,У ~ г,~~,1„,1 (15.2) означает, что частица находится в какой-либо точке пространства и вероятность найти частицу где-нибудь в пространстве равна единице (достоверное событие).
Условие нормировки (15.2) налагает также определенные условия на убывание волновой функции на бесконечности. Таким образом, задача состоит в определении тех значений параметра Е (уровней энергии), при которых уравнение (15.1) имеет неправильное решение, удовлетворяющее условию (15.2). Рассмотрим несколько простейших задач. 1. Рармоиический осциллятор. Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора имеет вид (15. 3) ~гУ~г3х 1 (15.4) Итак, задача состоит в определении собственных значений Е и соб- ственных функций 4~ уравнении (15.3), удовлетворяющих условию (15.4). Введя безразмерные переменные 2Š— хо= —, Л= —, хо ~( ды йы перепишем уравнение (15.3) в виде Зги — +(Л ог)4=0, ,юг (15.5) где ы — собственная частота (циклическая) осциллятора.
Условие нормировки имеет вид Условие нормировки принимает вид Уравнение (15.5) есть уравнение для функции Эрмита') (см.также приложение 1 5), которое имеет ненулевое решение, интегрируемое с квадратом на всей оси з, лишь при Л = Л„= 2п+1, и это решение имеет вид Се 3 Н„К) 11Н„! ! где Н„(е) — многочлен Эрмита, ОН„'Π— его норма, причем 'ОНнй~ = / е о На(С)о(с, = 2ап(1/к.
Используя условие нормировки, находим С: 1 С= —. з/ко Возврашаясь к старым переменным, получаем следующие собствен- ные функции и собственные значения: 1Ло 1/2ап!з/к ~,ео/ 1~ Е„= Ььо и+ -(, и =0,1,2,... 2/ ' Число и, определяюшее номер уровня энергии, называется главным квантовым числом. В низшем квантовом состоянии при и = О энергия осциллятора отлична от нуля и равна 1 Ео = -Воо. 2 См. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Снецианьнме функции математическая физики. Мо Наука, 1984.
2. Вычисление уровней энергии ротатора со свободной осью. Ротатором называется частица, вращающаяся на одном и том же расстоянии вокруг неподвижного центра в пространстве. Поскольку потенциальная энергия У ротатора сохраняет одно и тоже значение при всех положениях вращающейся частицы, то можно считать У = О.
Поэтому уравнение Шредингера для ротатора имеет вид Ь4+ — ЕФ = О. 2р йт (15.6) Введя сферическую систему (г, д, у) с началом координат в неподвиж- ном центре и учитывая, что для ротатора д~ — =0 дг из (15.6) получаем уравнение Ь~~~+ЛЮ =О, (15.7) где Л = 27Е/Ьт, Г = ргт — момент инерции. Таким образом, приходим к задаче на собственные значения для уравнения (15.7) с естественным условием ограниченности и условием нормировки: ге э / Ц'э(пВОЫ~ =1. а о Собственные значения сферического оператора Лапласа являются (см.
1 13) Л„= п(п+ 1), п = 0,1,..., а нормированные собственные функции имеют внд ,дг -:-пг= )! ,.> ~ а. Феп~( ~р) = Р~ (сов э) 1 2гю(п + гп)( 1, 8!пуф, йт Е„= — п(п+1), в=0,1,2... Заметим, что каждый уровень имеет (2п+1)-кратное вырождение, т.е. ему соответствует 2п+ 1 линейно независимая собственная функпия. вв где с = ~ ' и = 0,1,2,..., т = 0,1,2,...,п, Р„(я)— ( 1, Ф О, присоединенные функции Лежандра. Отсюда получаем формулу для квантованных значений энергии ротатора: 3.
Математическая модель водородоподобного атома— движение электрона в кулоновском поле ядра. В атоме водорода электрон находится в электростатическом поле ядра (протона), так что потенциал У имеет вид е~ П= —— где г — расстояние электрона от ядра, -е — заряд электрона, е— заряд ядра. Уравнение Шредингера имеет вид 2д l ег~ Ьф+ — '( Е+ — ) т' = О. 5 (, ° ) (15.8) Будем искать отрицательные значения Е (уровни энергии), при ко- торых существует непрерывное во всем пространстве решение напи- санного уравнения, удовлетворяющее условию нормировки: (ф)тс1'г' = 1 (15.9) Введем сферическую систему координат (г, 9, у) с началом в ядре и будем искать решение уравнения (15.8) в виде Яг, д, 1э) = В(г) э(0, У) .
(15.10) Подставляя (15.10) в (15.8) и разделяя переменные, получим уравне- ния для Я и щ НгЯ 2 сИ (2д/ его х1 — +- — +~ — ~Е+ — ) — — ~В=О (15.11) Йгт г Й ~ Лт 1, . ) гт ~ (15.12) ~аэто+ яе = О, где я — параметр разделения. Уравнение (15.12) вместе с условием ограниченности при В = 0 и 0 = т и периодичности по у с периодом 2т дают задачу Штурма— Лиувилля для сферического оператора Лапласа, собственными значениями которой являются а собственными функциями будут сферические функции ш (В,1о) = У,1 (В,1р) = Р, (соеВ)( ~ 91п гп1р, 1 = О, 1, 2, ..., уп = О, 1, ..., 1. Рассмотрим теперь уравнение (15.11) для Щг).
Перейдем к без- РаЗМЕРИЫМ ПЕРЕМЕННЫМ: Р = —,, Е = в.-, ГДЕ а = -„-;У, Ее = ЛГ = — ', д Я Л* при этом будем помнить, что определяются отрицательные уровни энергии, т.е. е < О. Уравнение (15.11) принимает вид (РЯ 2 сЩ ( 2 1(1-1- 1) ) — + — — + ~26+ — — — г) 11= 0 Врг р с1р '1 р рг ) Введя новую неизвестную функцию у соотношением 1 11 = — у, получим уравнение Игу 1ф ( 2 а ( — + — — +~26+ — — — ) у=О, Ирг рИр ( р 4рг) (15.13) где а = 21+ 1. Сделав замену переменной х = р~/-36 (е < 0), приведем уравнение (15.13) к стандартному виду: г1 и ге х а Л ху + у~+ ~~Л вЂ” — — — ) у= О, 4 4х) (15.14) 1 где Л =— л/ — 26 Уравнение (15.14) есть уравнение обобщенных функций Лагерра'1.
Оно имеет интегрируемое с квадратом на [О, оо) решение при Л=Л„,=п,+, п„=0,1,2..., а+1 2 и это решение имеет вид а о у(х) = х г е г Ь (х), (15.15) 60 См. НикиВорое А.Ф., Уоороо В.В. Специальные функции математической физики. Мо Наука, 1964. где Е„, (я) — обобщенный полинам Лаггера. ( ) Поскольку о = 21 + 1 (1 = О, 1,... ), о+1 Л«, — — и,+ =и„+(+1=и, и =1,2, 2 Целое число и называется главным квантовым числом, и, — радиальным квантовым числом, 1 — азимутальным квантовым числом. Уровни энергии (отрицательные) определяются из соотношения 1 Л=Л„„= — =и, тт=1,2,..., ~-2е откуда !те Е =еЕа=-— 25аит ' и=1,2, Они зависят только от главного квантового числа и.
Возвращаясь к старым переменным, собственные функции запишем в виде где коэффициент С определяется из условия нормировки (15.9). Под- ставляя (15.16) в (15.9), найдем С: с= 2Лз1т (и ! 1)! (2!+ 1)(! ж ~ ~ ~ 3 | 2 и) 2и(и+1)! 2яе (1+ ти)! где еа — — 2 и е„, = 1, ти 11 О. Число ти (ти = О, 1,2,...,1) называется магнитным квантовым числом. Так как и, всегда неотрицательно (и, = О, 1,2,... ), при фиксированном и в силу соотношения и=и,+1+1 «-1 ~(21+ 1) = 1+ 3+ 5+ + (2и — 1) = и нш 61 квантовое число ! не может быть больше и — 1 (! = О, 1, 2,..., и — 1).
Поэтому при определенном значении главного квантового числа и число 1 может принимать и значений (1 = О, 1,..., и — 1), а каждому значению 1 соответствует 21+ 1 значений ти. Отсюда следует, что заданному энергетическому уровню Е„, т.е, заданному значению и, соответствует различных собственных функций. Таким образом, каждый энергетический уровень имеет вырождение кратности по.
Итак, нами найдены отрицательные уровни энергии. Особенностью уравнения (15.8) является то, что всякое положительное число Е является собственным значением уравнения (15.8), т.е. это уравнение имеет непрерывный спектр положительных собственных значений. Исследование этого случая выходит за рамки настоящего пособия, и его можно найти в специальной литературе.
о тв. зАдАчи для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Найти собственные значения и собственные функции отрезка -1 < х < 1 при граничных условиях: а) и( — !) = и(1) = О; б) — (-1) = — (1) = О; ь!х ах в) и(-1) = — (1) = О; Ыи дх г) — ( — !) = и(1) = О. о!и дх 2.
Решить задачу Штурма-Лиувилля для прямоугольника О < < х < а, О < у < о с граничными условиями: в=о дх ~*=а ' э=о ду ~о-ь в) — > = — ! =О, — =и =О. ди~ ди! ди дх !*=о дх !*=а ' ду (о=о (о=ь г) по переменной х — периодические граничные условия с периодом а .! =. = ! =. = д) периодические граничные условия по обеим переменным: по х — с периодом а, по у — с периодом 6. 3. Решить задачу Штурма — Лнувилля для кругового сектора О < < г < а, О < у < о с граничными условиями: дп ~э= д) — +Ьи! =О, и! =и! =О, Ь=сопей. ди 4. Решить задачу Штурма — Лиувилля для кругового кольца а < < т < Ь, О < у < 2я с граничными условиями: а)и! =О, — ! =О; в) — +Ьи! =О, и! „=О, Ь=сопзй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
