А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(1.4) Ьи = Йч(/с(М) игаса и) — д(М)и. Определение. Те значения параметра Л, при которых существует нетривиальное решение краевой задачи Ьи+Лре=О в П, Р(и~~ц — — О, где РИ = а ф+де, и — внешняя к области В нормаль к поверхности Я, ~а) + ф! ф О, называются собственными значениями оператора Ь в области 11, а соответствующие им нетривиальные решения— собственными функциями. Перечислим основные свойства собственных значений и собственных функций. 1.
Существует бесконечное множество собственных значений (Л„) и собственных функций (и„(М)); собственные значения при увеличении номера и неограниченно возрастают. Каждому собственному значению соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций, т.е. ранг всех собственных значений конечен. Напомним основные определения и свойства собственных функций и собственных значений.
Пусть Р— конечная область, ограниченная замкнутой поверхностью Я (на плоскости — замкнутой кривой С). Пусть в области Р задан эллиптический оператор Ьи: В дальнейшем будем считать, что в последовательности (Лп) каждое собственное значение повторяется столько раз, каков его ранг. 2. При й > О собственные значения задачи Дирихле (о = О, )1 = 1) положительны: Лп > О при всех и. 3. Собственные функции ортогональны между собой в области 11 с весом р(м): п(м) (М)р(М)Л' = О, ~ т. и 4. Теорема разложимости Стеклова. Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в В функция у(М), удовлетворяющая однородному граничному условию, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям данной краевой задачи: 1(м) = ~~~ 1»еп(м), Л, =, Ь»РА~' и — ~~ ~1 и Заметим, что собственные функции представляют собой собственные колебания, которые могут существовать в данной области (отрезке, мембране или объеме) без подвода энергии бесконечно долго.
Решение начально-краевой задачи (1.1)-(1.3) будем искать в виде разложения в ряд по собственным функциям задачи (1.4): и(М,1) = ~ ~ип(1)еп(м), п=1 (1.5) ри„Р1(ип) = ~ ~ип(1)ЬЕ„+ У(М,1). (1.6) п=1 »»1 Поскольку Ье„= — Л„ре„, то, умножив (1.6) на е (М) и проинтегрировав по области Р, получим, в силу ортогональности системы ( (М)) РДи„)+ Л и„= ~„(1), и = 1,2,...,со, коэффициенты которого а»(1) зависят от переменной 1. Чтобы опре- делить коэффициенты ип(1), подставим ряд (1.5) в уравнение (1.1) (предполагая, что ряд можно почленно дифференцировать нужное число раз). Получим где У.(1) = у(Я ')го(1") (РЕ.
и Отметим, что здесь у ($) отличается от коэффициента Фурье в разложении у (М, с) в ряд по ортонормированной с весом р(М) системе (о„(М)), если р(М) ф 1. Домножив начальные условия (1.3) на рго(М) и проинтегрировав по области 1л, получим начальные условия для функций и (1): дс'н ~с=о — = (срь ) „, 1 = О, 1,..., пс — 1, и = 1, 2,..., со, где (1.7) (срь)„= рь(М)ео(М)рЫ1'. и Таким образом, для определения коэффициентов и (1) при каждом и = 1, 2,..., оо получаем задачу Коши (1.8) Рс(н„) + А,н„= У„(1), д н„~ — = (сро)„, 1о = О, 1,...,пс — 1.
(1.8) Уравнение (1.8) есть обыкновенное линейное дифференциальное уравнение пс-го порядка. Кго общее решение может быть записано в виде нь-1 с но = у,с„гснь)соль ) сл )с, ооо) 1 у=о о где С вЂ” произвольные постоянные, (Т„у(с))~ — фундаментальная система решений, К (1, г) — импульсная функция Коши*1 для уравнения (1.8). Будем считать, что фундаментальная система Т „(1) выбрана так, что она удовлетворяет начальным условиям (~" ~ 1, у'=й, —,Т„у(1) = буь = ( и = О, 1,..., т — 1.
Сыл Тнхоное А.Н., Васильева А.Б., Сеенсннное А.Г. Дифференциальные урввнения. Мл Нвунв, 1985. Подставляя (1.10) в начальные условия (1.9) и учитывая, что интегральное слагаемое в (1.10) удовлетворяет нулевым начальным условиям, получим Сму = (1 1),. (1.11) Итак, решение задачи (1.1) — (1.3) имеет вид (1.5), где функции и„(1) определяются формулами (1.10), (1.11) и (1.7).
Выпишем выражения решений для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами 1 ди Рс(и) = — —. аз й' Следовательно, уравнение (1.8) имеет вид 1 с1и„ вЂ” — + Лми„= у (1). ао а'1 (1.12) Общее решение однородного уравнения: 0„(1) = С„е ' ""', Импульсная функция Коши К„(1, т) = К„(1 — т) = е ' «" 0 '1. Поэтому общее решение уравнения (1.12) записывается в виде и (1) = С е ' ""'+ / е ' ""С' '1я„(т)с1г, 1 = а~1м. о ис = аос,"«и+ 1(М,1) в П, о — +суп! =О, )а)+ффО, ассмо = оо(М) (1.13) (1.14) (1.15) может быть записано в виде Ом 00 с .см,~с = «'с„.-""рсмс-,-« .„смс/.-"'м'-'>«с сс .
э=1 «=1 о (1.16) Таким образом, решение начально-краевой задачи для уравнения те- плопроводности с однородным граничным условием где (Л„) и ( тв(гп)1 — собственные значения и собственные функции задачи Ш1турм-Линувилл Ьи+ Ли = О в Р, ди о — +)Ь =О, и(М) фО, дп 1 Г 1 Св тв г/ тивдК гв(") г / гивд1 й й (1.17) Заметим, что первый ряд в (1.16) представляет решение однородного уравнения с заданным начальным условием, второй — решение неоднородного уравнения с нулевым начальным условием.
Для уравнения колебаний с постоянными коэффициентами 1 дги рг(и) = — —. аг д12 ' Уравнение (1.8) принимает вид 1,~ги — — + Л,и„= У. (1). аг Нгг (1.18) Общее решение однородного уравнения: в)п а~/Х,г ив(1) = С,всова~/Л,г+ Сш ~т/7, импульсная функция Коши: К„(т,т) = К„(1 — т) = вш а~/Л„(1 — т) аь/Л, Поэтому общее решение уравнения (1.18) записывается в виде в1паь/Л 1 Г вша/Л (1 — т)— и„(1) =С„всова,/Л,1+С,г ' + 1 ' ~,(т)йт, а~/Л„г а ~/Л о Уи=а Л,. 2 им = а Ьи+ /(М,г) в П, а — + ди =О, )о)+ффО, дп и)с в = ~Р(М), и~1с в = 6(М) Таким образом, решение начально-краевой задачи для уравнения ко- лебаний с однородным граничным условием может быть записано в виде и(М,1) = У ~А„соаас/А„1+В„" 1и„(М)+ аш а с/Л„11 ачсЛ„) 00 с , ~.„снс/"-"~"' 'с.с,сс,, сс= с о (1.19) где (Л„) и (е„(М)) — собственные значения и собственные функции задачи (1.17), 1 Асс = 'р» = / срисс сйс, й В.=Ф.= '4..
1 сс — и — )) )З / сс .о Д(т) = / 1(М,т)и„(М) с(К 1 й Первый ряд в (1.19) дает решение однородного уравнения с заданны- ми начальными условиями, второй — решение неоднородного урав- нения с нулевыми начальными условиями. 1 2. НЕОДНОРОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ рРс(и) = Ви, (2. 1) ди а + ди р(Р, с))рез, дн да и =О, сс= 0,1,,т — 1. дсь (2.2) (2. 3) Решение этой задачи будем искать в виде и = и(М,1) + 1'(М,1), где (с'(М,1) — новая неизвестная функция, а функция Р'(М,г) выбрана так, чтобы она удовлетворяла неоднородному граничному условию (2.2): дЪ' + с'~ с'(' с ~)1сРез дп Решение начально-краевой задачи с неоднородным граничным условием можно свести к случаю, рассмотренному в предыдущем параграфе. Действительно, рассмотрим задачу с неоднородным граничным условием и обладала нужным числом непрерывных производных по М и 1.
Тогда для функции У(М, 1) получаем задачу рР1М=т+У(М,1) в П, до' а — +ди! =О, дп дат д" У ~ й = О, 1,...,П1 1, д1" , , дС" ~, ,' где ДМ,1) = ьУ вЂ” рР,(У). Эта задача рассмотрена в 1 1. 5 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЦЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Решение внутренней краевой задачи для эллиптического уравнения также может быть построено в виде ряда по собственным функциям соответствуюшей задачи Штурма — Лиувилля. Рассмотрим краевую задачу для неоднородного уравнения (3.1) Ли+си = — у в Р с однородным граничным условием а — + ди(з — — О, (а)+ ф ф О, ди дп (3. 2) где Ьи = Йт(к кгаг( и) — ди, с = сопе1, Заметим, что собственные функции этой задачи ортогональны с весом р=1. Решение задачи (3.1), (3,2) может быть разложено в ряд по собственным функциям задачи (3.3): (3.4) п=1 15 Пусть (Л„)~ и (е„(М))', — системы собственных значений и ор- тонормированных собственных функций следующей задачи Штурма— Лиувилля: Ье+ Ае = О в 11, а — +де)з =О, (а)+фф О, д.
(3.3) дп е(М) ф О. причем для коэффициентов а„имеем формулу а„= /и(М)е„(М) ИИ и Коэффициенты а„разложения (3.4) определим энергетическим методом. Для этого уравнение (3.1) домножим на е„(М) и проинтегрируем по области О: е„Ьи ~й~ + с е„иа ' = — уе„ИИ Используя вторую формулу Грина и учитывая однородные гранич- ные условия, получим (3 5) (˄— с)а„= у„, и = 1,2,...,оо, где У» =3пУе Л' Из соотношения (3.5) вытекают следующие утверждения. 1. Пусть с ф Л„при всех н = 1,2,...,оо. Тогда а„= —, и=1,2,...,оо У» ˄— с' и решение принимает вид и(М) = ~ " е„(М). У.
«=1 В этом случае решение единственно. 2. Пусть при и = пе, Л„, = с, й = 1,2,...,р, где р = гап3Лео. Если хотя бы одно у„", ф О, то соотношение (3.5) при н = пе теряет смысл. (ь1 Это означает, что в этом случае (Д„, ф 0) задача (3.1), (3.2) решения 1й) не имеет. Если же все Д, = О, то все коэффициенты а„, кроме а„, определяются однозначно: ໠— 1 и т= не~ У» ˄— с коэффициент а„, неопределен, и решение принимает вид и = ~~~ е„(М) + ~~~ а1,1е(,1(М), В=1 где р = ганя Л„,, и„, (М) — собственные функции, соответствующие (й) (й) собственному значению Л„„а„, — произвольные постоянные.
В этом (й) случае решение существует, но не единственно. Таким образом, при с = Л„, необходимым условием разрешимости задачи (3.1), (3.2) является выполнение равенств Ги(",) д1с = О, /с = 1, 2,..., р, и 5 4. МЕ'ГОД ИН'ГЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ При решении начально-краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов с постоянными по пространственным переменным коэффициентами в неограниченной области можно использовать различные интегральные преобразования. Рассмотрим одномерную начально-краевую задачу на бесконечной прямой: Рс(и) = и„+ у(х, (), — оо < х < со, ( > О, д" и — = (ой(х), lс = О, 1,..., ис — 1, сйо (4.1) (4.2) где оператор Рс имеет вид дс д'' с=о Будем искать ограниченные решения этой задачи.
Рассмотрим прежде всего задачу Штурма —,Лиувилля, соответствующую задаче (4.1), (4.2): найти значения параметра Л, при котором уравнение Х" + ЛХ = 0 гт т.е. правая часть У(М) должна быть ортогональна всем собственным функциям, соответствующим собственному значению Л„,, Это условие является также и достаточным условием разрешимости задачи (3.1), (3,2). Общую краевую задачу (с неоднородным граничным условием) для эллиптического уравнения аналогично тому, как это сделано в о 2, можно свести к задаче (3.1), (3.2). Этот метод используется для построения в виде ряда функции Грина для внутренних краевых задач, о чем несколько подробнее сказано в гл.
П1. на всей оси — оо < х < оо имеет ненулевые ограниченные решения. Легко видеть, что ограниченные решения существуют при любом нео- трицательном Л и имеют вид Х+(х) = Се+"У"*, С = сопаг. (4.3) При Л < 0 решения будут неограниченными. Таким образом, рассматриваемая задача Штурма — Лиувилля имеет непрерывный спектр: любое неотрицательное число Л является собственным значением, которому соответствуют две линейно независимые собственные функции (4.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
