А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 8
Текст из файла (страница 8)
5. Решить задачу Штурма-Лиувилля для кольцевого сектора а < < т < 6, О < у < о с граничными условиями: дм ди а) и! = и! = О, †! = †! = О; ди ди дт !т=а дт !т»Ь ' !т»О ™!у=» в) и!„».= — "1„ь — — О, и!,=и! =О; дю О дп дп !т=а дт !т=Ь ' дЬО!Ю»О ду !т»» ).1,=.= 1,=.= 1,=.=,— "1,=.= 6. Решить задачу Штурма — Лиувилля для прямоугольного параллелепипеда О < х < а, О < у < Ь, О < х < о с граничными условиями: дп~ ди! а) и!,=о = п)у»о = О, — ! = — ! = О; м=а !у ь дх а о дум»» — "! =, ! ду!у=о,у=ь !л=о,к=с ди в) †! = О, Я вЂ полн поверхность параллелепипеда; дп У г) — ! = — =О, и =О; дп~ ди дп!»»0,»»а дп!у=о,у=ь ди д) — + Ьи! = О, Я вЂ” поверхность параллелепипеда, п — внешдп 5 няя нормаль, Ь = сопео.
Т. Решить задачу Штурма-Лнувилля для прямого кругового цилиндра О < т < а, О < ~р < 2я, О < х < ! с граничными условиями: дп 6) — ! = О, Я вЂ” полная поверхность цилиндра; дп У 63 д) и!,=О, — ! =и! =О. 8. Решить задачу Штурма-Лиувилля для сектора прямого кругового цилиндра: 0 < г < а, 0 < оо < а, 0 < х < 1 с граничными условиями: а) и! = О, Я вЂ” полная поверхность; ди~ б) — ) = О, Я вЂ” полная поверхность; дп !з в) и = О, и = О, — = 0; ди !с=к ' !ю=о,и=а ' дх 1,-о,,ы г и =0 — =0 и =0; ди !г=а ' д !у=о,у=а ' !я=о,лы ди~ ди !с=а ' !и=о дп [,„' !а=о,гы 9.
Решить задачу Штурма-Лиувилля для прямого кругового тора прямоугольного сечения: а < г < 6, 0 < 1о < 2х, 0 < х < ! с граничными условиями: а) условия Дирихле; б) условия Неймана; ди ди !с=а !с=о ' дх !зло дх !г=( ) и! = и! , = О, и! , = †" ! , = О; д) и!„= ! =ь О и!.=о и!.=г ди ди !с=а д, !с=о ' дх [~=о !~ы 10. Решить задачу Штурма-Лиувилля для шаровой оболочки а < < г < 6 с граничными условиями: .) .!„. =.!„, = в г) — ! = и! = О. Ответы. 1. а) о)п — "",(х+!), Л„= Я), и = 1,2,... б) соо ~~~(х+1), Ло —— ("~~ ), и = 0,1,2,...
в) о(п [к(и+ 1/2)(х+1)~, Л„= [$(и+ 1/2)~ г) соо [т,(п+ 1/2)(х+1)], Л„= [я(п+ 1/2)! и=0,1,2,... п= 0,1,2, в) (Увв(~/Лг)Ф.«(ГЛа) — У (итЛа)У«' (~/Лт))яп — '"~р, Л вЂ” корень уравнения Гл(у'..(Гль)уу- (Гл.) — у=-(/ла)м,'.(Гль)) =о; г) (У (й~т)И«в(~IЛа) — У«в(/Аа)М=(итог)) сов «" 1е, Л вЂ” корень уравнения Гл (у'.. ( Гль) у у=-( Гла) — у=-( Гла)и',.
( Гль)) = о; д) (Ув<„+дуг)(~/Лг)гАУх1«+гуг1(ъ/Ла) — Хв<„+цг1(ъ/Ла)х х Фв<„+гуг)(«/Лг)) в(п Н(п+ 1/2)~Р, Л вЂ” корень уравнения Уа1 +цг1(~ГЛЬ) Мх(е+гуг1(~/Ла) — Ух(„+цг)(ъ/Ла)Ха1„+гуг1(~/ЛЬ) = О. 6. а) в1п — '"хяп ~™усов ~~х, Л = ( — ") + ( е ) + ( —,~) г) сое — "х сов «уяп ~~х, Л = («") + ( е ) + ( —;~); д) з1п(г/Агх + Ьг) яп(~/Лгу+ 6г) в1п(~/Лззх+ Ьз), Л = Лг + Лг + Лз, Л„(и = 1,2,3) — корень уравнения г~~/Л„1„= +~~~«, 1г = а, .А.+В« 1г = Ь, 1з = с, сов е« = ., в(п е, = ~, и = 1, 2, 3.
( сов т~р,, г Т. а) У (,/ит) сов в1-х~ Л = и+ ( —,), и — корень урав- 1( в1п пир, пения,У (~/иа) = 0; ( сов туг, „„г 6) У«,(~/йг) сов Уу-х~, ' Л = и+ ( — ", ), и — корень урав- 1 яппир, пения ~/й/1 («/йа) = О', ( сов лир, г в) У (,/иг) в(п — ', х~ Л = и+ ( —;), и — корень уравне- 1 в1п пир, ния ~/й/1 ( /йа) = 0; ( совтр, г г) Х ( /иг) яп -', (/с + 1/2)х ( Л = и+ (-", (Ь + 1/2)), и— з!п тф, корень уравнения ~/й,У' (ь/йа) = 0; ( сов т~р, г д) 3„,Яит)сов-(х+1/2)х~, ' Л = и+ [к(в+ 1/2)), и— яп тгг, корень уравнения Уя(,/йа) = О. Л=и+(!в),и— -"(и + 1/2)!р, /71(!/ыа) = О. 9. а) (1е(!/иг)№ Циа) — 1„(ь/йа)№Циг)) е!и ~~ в~ 1 в1ппу!, Л = и+ ( —,), и — корень уравнения 1„Цид)№Циа) — 1„(!/иа)№(/ид) = О; Г совлу, б) [1„Ц ит)/!/„'Ц ив) — /1 (!/ыа)№ Цит)) сов фх( е!и и!р, Л = и+ ( —,), и — корень уравнения ~/Л [~УЦыд)И„'(/иа) — ~1Циа)М„'Цид)) = О; ! совп1а, в) [1е(!/иг)№(,,/йа) — 1е( /йа)№(,/йг)) сов !ее~ в!п и!а, Л = и + ( †, ), и — корень уравнения 1„Цид)№ Цыа) — 1„(!/иа)У„(~/ид) = О; 1 совпр, г) [1„Яиг)№(,/иа) — 1е(!/иа)№(!/иг)[в!п ! (8+ 1/2)х~ в!п п1а, Л = и+ (-!(Ъ + 1/2)), и — корень уравнения 1„(/ид)№ Циа) — 1„(/иа)№ЦиЬ) = О; ! сое и!р, д) [1е Цйт)1!еЦиа) — 1еЦив)№Цйт)) в!п '!" х~ в!п и!р, Л = и + ( †, ), и — корень уравнения те х !/и [1„(~/ид)№ Циа) — 1„( ~ив)№( /ыд) ) = О; 67 8.
а) 1 (ь/йг) в1п к!д-х е1п — '" !р, ния 1 (~/йа) = О; б) 1 (/иг)сов фхсое — "!р, ния !/и1',(!/иа) = О; в) 1еа (!/йг) сое ~™- х в!п — "!р, ния 1.е(!/иа) = О; г) 1 Яит) в!п т-х сов ~" !р, ния 1 (~/йа) = О; д) 1таЯит) в!и ~™хе!п — "!р, ния ~/й1',. ( /иа) = О; е) 121„+х!хД;/ит) е!п х!-хе!п корень уравнения 1 1„+! ,е г Л = и+ ( ! ), и — корень уравне- Л = и+ ( !е), и — корень уравне- Л = и+ ( —,), и — корень уравнетй Л = и+ ( ! ), и — корень уравне- Л = и+ ( —,), и — корень уравне- е) (ат(Л/йг)тл/а (Л/иа) — /а(л/йа) ЬУ„(Л/йг)) сое -', (Ь+ 1/2)2( ( етпп(В, Л = и+ [-;(Ь + 1/2)~, и — корень уравнения ,/и [/1 (,/иь)((т„( /иа) — 1„Циа)//„'Циь) = О.
.У„( /Ла) ЛУ„(~/Лг) ) — "ттт— а г )х Л вЂ” корень уравнения та+1/2(Л/ЛЬ)Фа+1/2(ЛГла) /а+1/2(ГЛа)Фюъ+1/2(ГЛЬ) = О; В .У„( /Ла) Ут (т/Лг) ) Иа а г х т(а лГа т(Ь лГЬ т(Ь лГЬ т(а,Га ( /ла) лт„( /л ) ) а г )х Л вЂ” корень уравнения ,(,/„+ц2(Гль) л„+,/,( Гла) /„. ц (чГла) ( Ф„+1/ (~Гль) ,Га ТЬ Гь (Ь лГЬ лГ .1„,,(/ль) лу„,,(/л )) Л вЂ” корень уравнения ( .У„+ / ( /Ла) ( улт„+1/ ()ГЛа) ))У„„„( ЛЬ) — — ( ец,(/Ль) " =О, т(а Л/а т(а /а 68 1О ' ('"+' *('/Л") "" ' "/л"' 10. а) а хР( )(саед) ( етпот(в, ао) ( У т 2(/Лг) Ю Ут т т(~/Ла) Юа а хР( )(сов 0)~ (, втппттут, Л вЂ” корень уравнения ( /„+ц2(.Гль) ( юв +1/2(лГла) в) ('У Ф ( /Лг) Ф ( УЛа) г а ( етптптут, ( З„,,(/Лг) ВУ„,,(/ЛЬ) ( сов пир, хР„( )(сов В) ~ е!п птьа, т( У +1/2(ЛГла) т( тт/ +1/2(ГЛЬ) — О Глава Я КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Уравнение Лапласа является простейшим уравнением эллиптического типа. При изучении краевых задач для уравнения Лапласа следует различать внутренние и внешние краевые задачи.
Граничные условия вытекают из су1цества той физической задачи, математической моделью которой является краевая задача для уравнения Лапласа. Наиболее часто встречаются граничные условия первого (задача Дирихле), второго (задача Неймана) или третьего рода. Пусть Р— конечная область, ограниченная замкнутой поверхностью (на плоскости — кривой) Ляпунова д. Классическим решением внутренней задачи Дирихле будем называть функцию и(М), непрерывную в замкнутой области Р, удовлетворяющую в открытой области Р уравнению Лапласа и принимающую на поверхности д заданные значения: и~ = ~(Р)~ц. Классическим решением внутренней второй или третьей краевой задачи будем называть функцию и(М), непрерывную вместе с первыми производными в замкнутой области Р, удовлетворяющую в открытой области Р уравнению Лапласа и удовлетворяющую на поверхности д заданным граничным условиям второго или третьего рода.
Классическое решение внутренней задачи Дирихле Ьи = О в Р, п~ = у(Р)ц и внутренней третьей краевой задачи =ОвР, — +1 ~ =1(Р)~, ди дп з где п — внешняя по отношению к области Р нормаль к поверхности о', л(Р) > О, И(Р)~О, единственно. Решение внутренней задачи Неймана ди~ О,Р, ~ =~(Р)), дп )5 существует лишь при условии у(Р)дд = О 69 (это условие необходимое и достаточное) и определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Для выделения единственного решения внешней краевой задачи следует поставить дополнительное условие, описывающее поведение искомой функции на бесконечности. Для уравнения Лапласа таким условием является требование, чтобы решение было регулярно на бесконечности. При этом понятие функции, регулярной на бесконечности, в двумерном (плоском) и трехмерном случаях формулируется по-разному.
В трехмерном случае функция и называется регулярной на бесконечности, если сушествует такая постоянная А > О, что вне некоторой сферы Я„(г > ге) имеют место неравенства А )и) < —, г А ) йгай и) < —. гз' На плоскости функция и называется регулярной на бесконечности, если она на бесконечности имеет конечный предел. В трехмерном случае для гармонической функции требование и:ФО при г — >оо эквивалентно требованию регулярности на бесконечности. В трехмерном случае решения первой, второй и третьей краевых задач, регулярные на бесконечности, единственны (для третьей краевой задачи ди — + Ьи~ = ~(Р)~з ди ~з при й(Р) > О, если н — внешняя по отношению к области В, нормаль к поверхности Я). На плоскости опять выделяется внешняя задача Неймана, решение которой существует не всегда, а если существует — то не единственно и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Для решения краевых задач для уравнения Лапласа используются различные методы (метод разделения переменных, метод функции Грина, метод интегральных уравнений, вариационные методы, численные методы и др.). В настоящем пособии рассматриваются метод разделения переменных и метод функции Грина. Рассмотрим метод разделения переменных решения краевых задач для уравнения Лапласа.
Этот метод применим в том случае, когда граница области совпадает с координатной поверхностью (или состоит из частей координатных поверхностей) криволинейной системы координат, которая допускает разделение переменных в уравнении Лапласа. В настоящей главе будут рассмотрены краевые задачи для уравнения Лапласа в круге и вне круга, в круговом кольце, в круговом и кольцевом секторах, в прямоугольнике, прямоугольном параллелепипеде и прямом круговом цилиндре, в цилиндрическом секторе, в круговом торе прямоугольного сечения и его секторе, в шаре, вне шара и в шаровом слое. 5 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
