А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ тРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Введем полярную систему координат (т, р) и построим частные решения уравнения Лапласа 1 д / ди1 1 дти Ьи= — — (т — ) + — — =О, тдт (, дт/ тг д~рг представимые в виде и(т, р) = В(т)Ф(Р) . Для этого искомый вид решения подставляем в уравнение Лапласа и разделяем переменные: (1.1) Отсюда получаем отдельно уравнения для В(т) и Ф(р). Рассмотрим сначала уравнение для Ф(гр): Ф" + ЛФ = О. Будем считать, что переменная гр изменяется от О до 2я (случай, когда переменная гр изменяется в меньшей области: О < 1р < о < 2я', соответствует решению уравнения Лапласа в секторе и будет рассмотрен в з 5). Если О < 1г < 2я, то решение (в силу непрерывности) должно быть периодично по р с периодом 2я.
Следовательио, для определения функции Ф(р) получаем одиомерную задачу ШтурмаЛиувилля с условиями периодичности Ф" + ЛФ = О, О < р < 2я, Ф(р+ 2я) = Ф(гр) при любом р, Ф(р)~О. Эта задача имеет решение (см. гл. 11, 1 2) Г соя ар, Ф=Ф„(1)=~, ' Л=Л„= ', =О,1,..., ип пр, Из (1.1) с учетом найденных значений А„получаем уравнение для В(г): г2 он+ гН п2 — О Это уравнение Эйлера' >, и общее решение его может быть записано в виде В = К(г) = С1г" + Сзг ", и ф О, Ве(г) = С1 + С21пг, и = О.
Следовательно, построены следующие серии частных решений урав- нения Лапласа: (8(пп221 ' а) (1.2) Эти решения ограничены при г -+ О и неограничены на бесконечно- сти. Общее решение уравнения Лапласа в круге О < г < а записыва- ется в виде разложения по этим решениям: и(г,1о) = — + ~~~ г" (А„сов п12+ В„81пп12). (1.3) Ао 2 н=1 1 ( соз п12 )( и„(г,уо) = — ~ . у, н = О, 1, шп пео б) (1А) Ао 1 н(г, 21) = — + ~~~ — (А„соа пео+ В„81п яр). (1.5) го н=1 в) Третья серия решений 1,)пг, " . ~, 1„.
~, =1 2,, (1б) Смл Тихонов А.Н., Ваонлоева А.Б., Свеыников А,Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. Этн решения ограничены на бесконечности н неограничены при г -+ О. Они используются при решении уравнения Лапласа вне круга. Об- щее решение уравнения Лапласа вне круга (г > а), ограниченное на бесконечности, может быть записано в виде неограничена как при г — > О, так и при т -+ оо. Она используется при решении уравнения Лапласа в круговом кольце а < г < Ь. 1 2. КРАЕВЫЕ ЗАДА»1И,ЦЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ВНУТРИ КРУГА Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга 0<г<а: (2.1) Ли=О вкругеО(г(а, Ви Р(и] = о — + ди~,п» = )'(~р), (о)+ ф ф О.
(2.2) Решение этой краевой задачи можно записать в виде разложения (1.3), коэффициенты которого определяются из граничного условия (2.2). Но вычисления оказываются проще, если решение задачи (2.1), (2.2) записать в виде и(г, Р) = — + ~ ~„(А„соз»1о+ В„япп1о) (2.3) тп »=1 (13 ф 0). Подставляя (2.3) в граничное условие (2.2), получаем Ао — + ~~1 (Ап соз п~Р + Вп Яп и Р) = 1(У).
2 »=1 А» = — ) Д~р) соз п~рНО1, Вп = — / у(~о) з1п пу»1(у, о о п = О, 1, 2,... Выпишем отдельно решения первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге. 1. Задача Дирихле: и~т»» = у(г) и — .1. ~~1 Н (Ап соз по»+ В» Яп пр). 2 ~а п=1 (2.5) 2. Задача Неймана: ~"„~„», = 1(1») и т и = ~ (А» соз »1о + В» з1п тир) + С, па -1 п=1 (2.6) тз Следовательно, Ап и Вп есть коэффициенты Фурье функции ~(1») по системе тригонометрических функций (созпО», яппи), которые вычисляются по формулам где С вЂ” произвольная постоянная. Напомним, что решение внутрен- ней задачи Неймана существует только при условии г» / Ум)др = О о (это условие необходимое и достаточное) и определяется с точностью до произвольной постоянной.
3. Третья краевая задача: — + Ьи~ = )(р), Ь = сапог, ди дг и = — + 5 „,(А«ооон~о+В«япир). (2.7) 26 (и+ аЬ)а« «=1 Коэффициенты в разложениях (2.5) — (2.7) определяются по формулам (2А). Остановимся кратко на вопросе о сходимости рядов (2.5) — (2.7). Если граничная функция 7'(у) абсолютно интегрируема, то ее коэффициенты Фурье, по крайней мере, ограничены, и, как видно из структуры указанных рядов, эти ряды будут в любой внутренней точке круга (г < а) сходиться не хуже, чем геометрическая прогрессия со знаменателем д = г)а.
При увеличении гладкости функции )(1о) сходимость указанных рядов улучшается. На получении строгих оценок скорости сходимости мы здесь не останавливаемся. 1 3. кРАВВые зАдА»7и для УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ВНЕ КРУГА Рассмотрим теперь внешнюю краевую задачу рзи = О вне круга (г > а), Р[и] = о — — р'и~ = Д~р), ди дг »=и и регулярна на бесконечности. Ао и(г,~р) = —— 2д + ~~~ '" (А«сооп1о+В„япи~р) = [,"-)[.«. Р[ — ) «+1 -~-( д)- а (А„сооп1р+ В„япп1о) (оп + да) и« «=1 Ао (3.1) Напомним, что в двумерном случае регулярность на бесконечности означает, что функция и имеет конечный предел при г -+ оо. Решение этой задачи можно записать в виде разложения (1.5). Но, как и для внутренней задачи, решение удобнее представить в виде (при д ф О). Коэффициенты А» и В» определяются из граничного условия и вычисляются по формулам 1 А» = — ( Д1о) соя п1оо(ог, о ог 1 В» = — / У(~р) я1пн~рг11о, о (3.2) п=0, 1, 2, Отдельно выпишем решения первой, второй и третьей краевых задач вне круга.
1. Задача Дирихле: и~ = ~(~р) (а=0, д= — 1), о = — + ~~ Н (А» соя пзбг+ В» я1п п~о). 2 ~г) »гн (3.3) 2. Задача Неймана: — / = Д(~р) ди дг г=а (а=1, д=0), »+1 и = — ~ — — (А» соя ног+ В» я1п п~р) + С, (ЗА) г» »=1 где С вЂ” произвольная постоянная. Опять напомним, что на плоско- сти внешняя задача Неймана разрешима лишь при условии и ее решение определяется с точностью до постоянного слагаемого.
ди 3. Третья краевая задача: — — Ьп = Д1о), (а = 1, д= Ь), ' дг (г»» »+1 о а и=- — — ~~ (А» соя п1о+ В» шп п1о). (3.5) 2Ь (и+ оЬ) " 1 4. КРАЕВЫЕ ЗА,ЦАНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ Разберем теперь решение краевой задачи для уравнения Лапласа внутри кругового кольца. Коэффициенты А» и В» в разложениях (3.3)-(3.5) являются коэффициентами Фурье функции Д1о) и вычисляются по формулам (3.2) . Рассмотрим сначала задачу Дирихле сьи=О вкольцеа<г<Ь, и!,л, = Л((а), и),=ь = Ь((а). Решение этой задачи можно записать в виде разложения по частным решениям (1.6). Но вычисления значительно упрощаются, если при каждом и построить систему фундаментальных решений (Вй (г), Вй (г)) уравнения (ь) 2Ви+ гВ' и2В = О, (4.3) удовлетворяющих граничным условиям В(а)(а) = О, В(~)(Ь) = О. Поскольку общее решение уравнения (4.3) имеет вид В= С)+С21пг В = Сьгг + Стг мы, подбирая коэффициенты С1 и С2, легко построим нужные реше- ния.
Они определяются с точностью до числового множителя, и их можно взять, например, в виде В(е )(г) = 1и —, Ь2л 2» В(ь)(г) г ъ и ф О. (а) (ь) Построив функции В„и В(, получаем систему частных решений уравнения Лапласа: и(а)(, ) В(а)(.) соелп» (ь)(г ) В(ь)(.) соаиУ и ~ О (а1пиу) ' " ' " ( е(пиьь( ' иь (г,(ь) = 1и —, (ь) г ие (г,)ь) = 1п —, (а) а (4.4) ограниченных внутри кольца и удовлетворяющих граничным условиям (4.5) Заметим, что и(")(„=ь )ь О, и„/ лафО. (ь) Вь()(г) = 1и —, а 2» а2п В(')( ) = гп при и = О, при и ф О, (4. 1) (4.2) .2«, 2« 1« — —" + Ъ „— (Ап соз па2+ Вп з1п п(а)+ 2 1п ь аг 62» а2» гп а п=1 1.2«1« — (Сп соа тиР + В«з1п п(2).
Ао 1п -', п(г,(о) = — —;+ 2 1п» 12« '~.': Ь2- «=1 (4.6) Подставляя (4.6) в граничное условие при г = а и учитывая (4.6), получаем Со — + ~ (С«сов«(а+ В«а1пп(2) = ~1((а). 2 «=1 Отсюда находим Сп и В«: 1 Сп аа — / у1(уа) СОЗП~ОИ(Г, о 2» 1 В« = — /( у1 ((а) ьйп п(21(у. о (4.7) Аналогичным образом, подставляя (4.6) в граничное условие при г = 6, находим коэффициенты Ап и Вп: 1 1' Ап — — — / 6((а) сов пух(р, о 1 Вп ап — / ~2((а) аШП(»И(а. о (4.8) Таким образом, построив предварительно радиальные функции (а) (ь> В„(г) и Яй (г), удовлетворяющие нужным однородным граничным условиям при г = а и г = 6, нам удалось «развязать» граничные условия, заданные при г = а и при г = 6.
Аналогичным образом можно поступать и при решении других краевых задач для уравнения Лапласа внутри кольца. При построении радиальных функций В„(г) для граничных условий второго рода следует иметь в виду, что при и = О не существует двух линейно независимых решений уравнения (4.3), одно нз кото- (Л('1 (»1 рых удовлетворяет условию ' = О, а другое — ' = О. Йг .«Ь Теперь решение краевой задачи (4.1), (4.2) можно записать в виде разложения по этим частным решениям: Обоим этим условиям удовлетворяет одно и то же решение Вь(т) = 1. При и ф.
0 нужную пару фундаментальных решений образуют функции т2» ) о2» т2» 1 Ь2» ВОО( ) = „ , ВИ)( ) = , ( Ф 0). Поэтому решение задачи Неймана внутри кольца а < т < Ь; !хи=О в кольце, ди) — = Л(р), =а ди — = Ь(ю) дт =ь удобно записывать в виде ряда Со Вй )(т) и(т,1а) = — 1пт+ ~~~~, (А„соэп)а+ В„а)впар)+ .= Л(а)'(Ь) В(ь)(т) + ~' '~, (Сп соэп)а+ 1)»э!пи)а) +сопзь, »пм В„(а) !ь)' (4.9) коэффициенты которого определяются из граничных условий по формулам (4.7), (4.8) при и ф О, коэффициент Сь равен а Ь Сь = - у! У Р) ЬР аа — у! У2(Р) ЬР, (4.10) а сопзь — произвольная постоянная.
Равенство (4.10) противоречия при произвольных функциях !2()а) и 72(р) не содержит, поскольку оно соответствует условию разрешимости задачи Неймана ди — ~!! = / (ЬУ2()а) — а~2()а))И)р = О. дп с о т2» о2» Ьп 1 (а) рт1» Ь2» О2» тп (а 2» ~Ь! Г! — (-) Ь 1- у (ь) ь- (ь) В„"(.) Л1»)(Ь) Рассмотрим вопрос о сходимости полученных рядов. Рассмотрим, для примера, ряд (4.6).
Поскольку при а < т < Ь д~ )(г) Ь2» 1.2» ап а» <(' '1 ЯЬ)( ) Ь2п а2п Г.» — ~1.) ,»Ьи = О, 0<»<8, 0<18<2л, Гà — 1Р и~ — и 2 Решение. Общее решение задачи Дирихле внутри круга можно записать в виде и= — +~~1 ~-) (Апсоапьо+В»81ппу). 2 а »=1 Коэффициенты ряда определяются из граничного условия по фор- мулам Гà — 1Р соа »1р Игр = О, 2 о 2» Гà — 22 1 81п »ГоИР = —. 2 и о 1 А» =— л 1 В» =— 1Г Следовательно, ] 1» п(г, 1Р) = à — ( — ) 81П »1Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
