Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 13

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 13 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 132019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

~Ь ~,(.") Ь ' 3. Решить уравнение Лапласа внутри сектора кругового цилиндра О < г < а, О < у < к~, О < т < Ь с граничными условиями и[ =и! =и[ =и[ =О, и! = г4а)п41о. Решение. Поскольку при г = 0 задано нулевое граничное условие, то решение поставленной задачи можно записать в виде и = ~~~ 2 А„(1~Ль )т) А„ььйп4пу, =о а=1 еЬ |/А~ "1Ь где Л(га" 1 — корни уравнения .уа„( /Л~~")а) = О. Решение.

Электростатический потенциал и является решением следующей краевой задачи; Заметим, что разложение решения проводится по собственным функциям задачи Дирикле для сектора с углом раствора о = которые имеют вид Ув„(Д"~г) в(п4пр, и = 0,1,..., й = 1,2,. Коэффициенты ряда определяются из граничного условия при в = 6 и равны 1 Аиь— х )! Ува(~/Л~, "1г)()в() в1п 4п~р))в а УУ 'У (Д~)ц 4рь4 ~ ~ Ф= Заг г У4(ъ~ Лв г) г = л1 а'(У)в(ЛАЛИ") ) Л/Л~'~ (У)т(ЛГЛ(й~а) Следовательно, У РО У1в1 2аз Ув(а)уЛв ) вЬ)у Лв в у ~ — 1 4. Решить уравнение Лапласа внутри тора прямоугольного сечения: а < г < 6, 0 < р < 2к, 0 < в < 6 с граничными условиями ди) ди — — =О, д ~,, д и(„, = О, и! в — — совЗ~р.

Ре~иеиие. Граничные условия при в = 0 и в = Ь являются однородными граничными условиями второго рода, а при г = а и г = 6 граничные функции не зависят от ю Поэтому данная задача вырождается в краевую задачу для уравнения Лапласа внутри кольца а<г<6: Ьви = О, а < г < 6, 0 < р < 2к и(„= О, и~ = совЗ~р, 105 решение которой может быть записано в виде (см.

(4.6)) (а) фа) и = — + ~ (Аа сов ар+ В„з(пар), 2 В( )(Ь) „, В5;)(Ь) где В~( )(г) = 1и-",, В(а )(г) =" Из граничных условий находим В„= О, А„= О, Аз=1. 0=1,2, яфЗ, Следовательно, ьз ге — ае и = — созЗР. г 6 — а 1 то. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Для построения решений краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре, вне шара и в шаровом слое необходимы специальные решения, называемые шаровыми функциями. Позтому сначала построим эти решения.

Введем сферическую систему координат (г, д, у). Найдем решения уравнения Лапласа, представимые в виде и(г,д,)а)= В(г)е(а,1а). где О) Ое) 1 Яг„ Ьг, и = —,— ~з)пд — ) +— з(пВВВ'Л ЭВ) з(п'ВВР— сферический оператор Лапласа. Отсюда получаем краевую зада- чу для определения е()), р); Ьгг,е+ Ле = О, О < й < л, О < )а < 2л, е()г,у) = е(д,гр+ 2гг), ) е(г) ~ 'Р) (г е „! < оо е Ф О (10.1) )06 Подставляя искомый вид решения в уравнение Лапласа и разделяя переменные, получим и уравнение для функции В(г) гон" + 2гл' — ЛЛ = 0 (10.2) Задача (10.1) есть задача Штурма — Лиувилля для сферического опе- ратора Лапласа, собственные значения и собственные функции кото- рой имеют вид ) сов тР, Л = Лп = п(и+ 1), о = оп =Р(м)(совВ) ~ в(п т(о, и = 0,1,...,оо, т = 0,1,...,п, где Рп (х) — присоединенные (~п) функции Лежандра.

Общее решение уравнения (10.2) при Л = и(и + 1) имеет вид Я(г) = С1гп+ Сзг (и+'). Таким образом, построены два семейства решений уравнения Лапла- са: 1 сов т(о, ге Р( ) (сов В) ~ 81п гп(о, Р( )( В)( у~+ъ и ( вш т(о Функции первого семейства ограничены при г = О, функции второго семейства — при г -+ оо. 1 11. КРАЕВЫЕ ЗАДАптИ,(1ЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ШАРЕ Теперь перейдем к решению краевой задачи для уравнения Лапласа внутри шара: Ли=О вшаре(0<г<а) Р1 [и) = о1 — + )11 и(, = у (В, (о), (о1) + ф1 ) ~ О. (11.1) оо и гп и = ~~~ ~~~ Р(м)(сов В) (Ап совт(о+ Вп в(пт(о), (11.2) п=вп1=0 ( ) г=а коэффициенты которого определяются из граничного условия: 1 1 Г Ап„, = — / / 1(В, р)Рй ) (сов В) сов т(о в(п В ВВ В(о, 1 о о оп 1 Г Вп,„= — / / ~(В,Р)Р~п~(совВ)в!пт~781ПВЮ~6р, г (11.3) (11.4) о о Решение этой задачи (поскольку оно ограничено при г = 0) будем строить в виде ряда по шаровым функциям: где Мг = [[Рв( 1[[ [[сов гп1г[[, Фг = [[Р1~1[[ [[в1п тпгг[[.

В том случае, если решается задача Неймана, следует иметь в виду, что решение существует лишь при условии г у(В,Р)в(пВВВду = О о о Рг[и) = 01 — + дги[ = 7(В), ди (11.5) то и решение соответствующей краевой задачи не будет зависеть от 1в (имеет осевую симметрию) и может быть записано в виде СЮ тв и =" А„Р„(сов В), , Р,[ "][ (11.6) где А„= ! ~(В) Р„(сов В) вш В ВВ. 2п+1 Г 2 о (11.7) Выражение (11.6) получается из (11.2), если учесть, что А„в=А„, А„=В„=О притпфО. $1г. ИРАВВъге зАдАми для УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ВНЕ ШАРА Решение внешней краевой задачи: Ьн = О вне шара (т ) а) ди Рг[п) = ог — дги[ = ~(В, у), дт (12.1) и=10 при т-+со 108 и определяется с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому суммирование в (11.2) начинается с и = 1, а коэффициент Авв остается произвольным.

Если граничное условие (11.1) не зависит от угла 1в, т.е, имеет вид представляется в виде ряда «=0 юл=в г(гвэт) ~г=а х Р1 1(сов В) (А„совпгьг+ В„вшпгР), (12.2) коэффициенты которого определяются из граничного условия и да- ются формулами (11.3). 6 гв. кРАеВые зАДАчи ДлЯ УРАВнениЯ ЛАПЛАСА В ШАРОВОМ СЛОЕ Ли=0, а<т<6, и1,=. = ~г(В,р), и),=ь = Уг(В,ьг) (13.1) Построим сначала решение уравнения (10.2) при Л = п(п + 1), удо- влетворяющее однородному граничному условию при т = а.

Таким решением является функция га+г га+г гь(г) = В~'1(г) = Аналогично строится решение, удовлетворяющее однородному усло- вию Дирихле при г = 6: 6га+г гга+ь Л1ь1(„) Таким образом, получаем семейство решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих однородному условию Дирихле при г = а: ~~~~ (г, В, ьг) = Я~;1(т)Р1~1(сов В)( 1 в)п пир, (13.2) и семейство решений, удовлетворяющих однородному условию при г=6: и„,п(г, В, Ьг) = К,„(г)Р„(сов В) ' (13.3) 1 в)п игла. При решении краевой задачи внутри шарового слоя (а < г < 6) используются оба семейства решений (10.3).

При этом удобно вначале построить из них две другие серии решений аналогично тому, как это сделано при решении уравнения Лапласа в круговом кольце. Для определенности рассмотрим задачу Дирихле в шаровом слое: Решение краевой задачи (13.1) теперь можно представить в виде разложения по семействам решений (13.2) и (13.3) н записать следукпцим образом: с»» л1») ( и = ~~ ~~~~, Р~~~(совВ) (А„сов пир+ В» в1пгп1о) + »=отл=о В» '(3) 1ь) + ~» ~~~ 1 ) Р~ ~(совВ) (С„соотнес+ Р„в1пта)о). »=о»1=0 В' '(а) (13.4) Коэффициенты А„и В„определяются из граничного условия при г = 6, а коэффициенты С„и Є— из граничного условия при г = а.

Формулы для коэффициентов аналогичны формулам (11.3), (11.4). При решении задачи с другими граничными условиями следует предварительно построить семейство решений, удовлетворяющих нужному однородному граничному условию при г = а, и семейство решений, удовлетворяющих однородному условию при г = 6.

Например, решения, удовлетворяющие граничному условию ди — =О, дт „, можно взять в виде (и+ 1)то»+г+ пав»+1 Т~~)(т) = и = О, 1, Рассмотрим теперь примеры решения задач. 1. Найти искажение однородного электрического поля Ео при помещении в него идеально проводящего шара радиуса а. Решение. Электростатический потенциал и вне шара представим в виде и = ив+и, где ио — потенциал поля Ео, о — потенциал, связанный с присутствием шара.

Введем сферическую систему координат (г, В, у) с началом в центре шара и осью в, направленной вдоль поля Ео. Тогда ио = — Ео» = — Еог сов В. На границе шара (при г = а) полное электростатическое поле Е = = - йгЫ и удовлетворяет условию [и, Е]]„ , = [е„, Е]]„ , = — [е„ игам(ио + о)][„ , = О. Отсюда 1д 1 д — — (по+ е) =, — (ио+е) = О гдВ гв(пВ д1о или (ио+и)! = О (постоянная считается равной нулю, поскольку потенциал определен с точностью до сопв1). Следовательно, для функции е получаем внешнюю задачу: Ье = О вне шара, е! = -ио)„, = ЕоасовВ, е =Ф О при г -е со.

Решение этой задачи не зависит от переменной р. Поэтому его можно записать в виде е = ~~~ А„(-) Р„(сов В). «=о Из граничного условия, учитывая, что сов В = Рг(сов В), находим А1 = Еоа, А„= О, и ф 1. Следовательно, аз е = Ео —,Р1 (сов В) = Ео — сов О, г~ г2 а искажение электрического поля Е = — игам е = Ео — (2 сов 0 е„+ вш 0 ео ). Потенциал полного поля вне шара равен и = ио + е = — Ео(г — — ) сов В. 2. Найти электростатический потенциал внутри сферы, верхняя половина которой (О < 0 < к~) заряжена до потенциала Уо, а нижняя (~ < 0 < я) заземлена, Уо — — сопвФ. Решение. Для потенциала и внутри сферы получаем задачу Ьи = О внутри сферы; 2 Решение этой задачи имеет аксиальную симметрию (не зависит от !о) и может быть записано в виде и = ~ ~(-) А„Р„(сов В). о=о Коэффициенты А„определяются из граничного условия по формуле А„= — / у(В)Р„(совВ)в!пВЮ = Уо ( Р„(х) Нх.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее