А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Проверим выпол- нение граничного условия ие(х,С) = ) е ° «- ° > Ит, 2а /х,/ (С вЂ” т)зСг о Сделав в данном интеграле замену переменной интегрирования хйт 4а(С вЂ” т)зсг х 2а1/С вЂ” т ' получим и (х,С) = — ) е С и '(С вЂ” ) К, 1/х С' (, 4аг~г) откуда, переходя к пределу при х -г О,находим 1пп и (х, С) = — )' е С п(С)сСс = и(С) . .,0 — ,/х о иг — — а и„, хйгг г + и(х,О) = О, х б% ие — Сги! = — Сггг(С), С>0, (4.31) Ь = сопвг, С > О. 191 На строгом обосновании проведенных здесь формальных рассмотрений останавливаться не будем.
Аналогичным образом на физическом уровне строгости можно получить формулу (4.26) для граничной задачи Дирихле. 3. Начально-краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на полупрямой с граничным условием третьего рода: Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье и что функция и(х,1) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при * -+ +ос. Используем преобразование Фурье с ядром 12 Л сое Лх + Ь еш Лх г (4.32) Ч,lл +ь и обозначим образ Фурье функции и(х,1) через ЦЛ,1): У У /Л +Ьз о Напомним, что общие принципы выбора ядра интегрального преобразования Фурье для решения начально-краевых задач на полу- прямой изложены в гл.
1, 1 4. В частности, нетрудно убедиться, что ядро (4.32) является ограниченным решением уравнения К +ЛзК = = О, удовлетворяющим однородному граничному условию третьего рода К,(0, Л) — ЬК(0, Л) = О. Предположим, что для интеграла (4.33) выполнены условия возможности дифференцирования по параметру 1. Умножим обе части уравнения задачи (4.31) на К(х,1) и проинтегрируем по х от 0 до +ос: К(х, Л)и,(х,1) Их = а К(х, Л)и (х,1) ех. 1 о о Проинтегрируем правую часть уравнения два раза по частям и учтем граничное условие при х = 0 задачи (4.31): а ( К(х,Л)и, (х,1)Их=а )1 — ( и йх= з 1 з 12 Г ЛсоеЛх+Ьв(пЛх Ч /,/л +ь 12 ог,1 (и,(0,1) — Ьи(0,1)) — аглги(л 1) Ч,/л2+ ь — Ч вЂ” р(1) — л 11(л,1).
атлЬ Г2 Учитывая начальное условие задачи (4.31), получим начальную за- дачу для образа Фурье ЦЛ,1): и,+о Л 11= „Г-у(1), 1>О, г г ,,Д2 + Ьз Ч л Решение начальной задачи запишем с помощью импульсной функции с (Г(Л 1) -«Л (С-с) ( ) ( о Чтобы из пространства образов вернуться в пространство оригиналов, воспользуемся формулой обратного интегрального преобразования Фурье с ядром К(х, Л); 2 с ЛсовЛх+ЬвшЛх и(х,г) = — 1 а 2 (' )',~л«й,>Л совЛх+ ЛЬвсплх „ — /' л+ь о о Внутренний интеграл в правой части последней формулы запишем в виде суммы трех интегралов: рр ) Л сов Лх+ ЛЬяпЛх Лг + Ьг о СО +'"' с с =/ "" + е «Р 'ссовЛх е ' " Р '~совлх<КЛ вЂ” Ь 1 с4Л+ о а "Г е " й слвсплх Л +Ьг Ил.
о Получим необходимые для дальнейших преобразований формулы (4.34) и (4.35). а) Вычислим интеграл -аЛ е а сов Лх '1 = л2+Ь2 о Продифференцируем интеграл 11 по параметру ен / Л2+ Ь2 о +«а «с 2~/а с — ал 11 Л+ Ьг с аа + Ьгу а 193 поскольку +о« +о« о е «» сов»х1~» = — Яе е «» +'*» 11» = — е Учитывая, что 11(+со) = О, получим для 11(о) следующую задачу Коши: — — 6 11 = — — е е«, 11(+ос) = О. ~11 г ~Р Но 2»/а Решение задачи Коши записывается с помощью импульсной функции следующим образом: Г Ь, е 1 Ь,,> 2»/в о — *.~ -~"*+6) " 2~/з Преобразуем интеграл а « — Ь*.+ — ' (Ь 1 /' — Ь"+ — *' ( Ь 2»/в 26,/ 11 2»/и 4вв1г / а ~,-~'-Ь)(,.
* )„ « — „'/,-О~"-*' (оог-,— *)- о — ',„ /* О~ ~ (о".— — *)= Ь~/а+— г«« Ь~/а-— г /а 26,/ 2Л + оо +«о — — 2с)1 Ах+ е~*Ф 11»/о+ + е о«Ф Ь»/о —— Поскольку 11 = —,/хе~ 1, окончательно получим +оо )' е " совЛх 1 о «2сЬ) е ф Ь/ л ьэ ( вх 4Ь 21/а) — е хФ Ь1/о —— (4.34) б) Используя формулу (4.34), вычислим интеграл +со )' е аг ЛвгпЛх Лг+ Ьг о Поскольку д11 1г = — —, д» ' получаем Используя формулы (4.34), (4.35) и формулу +со / з з ./х -а А Р— т) Л дЛ а е "во н 2аф — 7 о получим +оо /' "' ,з гр ~Л совЛх+ЛЬмп Лг+Ь о 1/х 2 а 1/à — г 4аф — т 1 о +оо Ь,/х 1 Г й=.~ 4аф — т,/ о НЛ = 'о-» Щ+ — е 'Ж-.Т аЕ. 1г = — — е ~2вЬЬх — е Ф ~Ь1/а+ — ~+ й а вх х (4.35) + е хФ Ь1/а —— Таким образом, окончательное выражение для решения начально- краевой задачи (4.31) имеет вид С +со 2 в ~ /,с„с(с,)Л совЛх+Л)св(пЛх4 х сс,сс Лв+ 1со о о с +ОО Г '1;, сс с Ь е — 4-",-*ес — >,(~ ,/.-l,л=.
' ' ' /' о о (4.36) С помощью введенной в Ц 3 функции ошибок (см. (3.6)) ответ можно записать следующим образом: с ~/х,/ /à — т ~( о —,«„с1с:,~."'*'*Р- ~ -с( * ьг:)~) . \,2аф — т С физической точки зрения функция и(х, 1), определяемая формулой (4.36), представляет собой температуру в точке х в момент времени 1 полубесконечного стержня без источников тепла, если на конце стержня х = 0 происходит теплообмен с внешней средой, температура которой определяется заданной функцией ср(с). Начальная температура стержня равна нулю.
При сс = 0 получается граничное условие Неймана, которое соответствует заданному в точке х = 0 нулевому тепловому потоку. Температура стержня остается равной нулю. Случай у(г) = 0 соответствует теплообмену с внешней средой нулевой температуры. Из формулы (4.36) вытекает, что температура стержня в этом случае остается равной нулю. 3. Примеры решения задач Рассмотрим примеры решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности на полупрямой. 1. Рассмотреть процесс остывания полубесконечного стержня, начальная температура которого постоянная, а конец поддерживается при нулевой температуре. Решение. Процесс остывания стержня описывается следующей начально-краевой задачей: ис — — а~ивв, х Е Ж+, 1 > О, и(х, О) = Ц» и(0,1) = О.
196 Воспользуемся формулой (4.15), положив в ней у(1) = ((о = сапог: и(х,1) = / ~ е О ' — е <' )> 1(оса = — ((1 — (г), (4.37) =2.,Яl1 " ' ) =Л о где 1 (1= /е «* Нб, 2а1Л l о 1 ( 1ггЫ (г= — / е- . (б. 2а1(1,/ о Сделаем в интеграле (1 замену о = .1=4* . В результате получим гОи1 ' ОО ОО э 71 О ( О ( (1 = е ' но= / е ' ио — / е ' аозс О ОО1 о о — — 1+Ф где Ф(ы) — функция ошибок — определяется формулой (3.6). Аналогично с помощью замены о = -гхг- интеграл (г можно при- гО,7 вести к виду (г = — 1 — Ф В результате получим ( х и(х,1) = УоФ (— ~,2а1Л/ 197 Отметим, что начальные и граничные условия рассматриваемой задачи не являются согласованными (у(0) ф 0). На полупрямой !к+ функция 9г(х) = 1(о не имеет точек разрыва.
Поэтому при х б !к+ функция и(х,1) непрерывно примыкает к 1а(х): 1пп и = 1(о, посколь- 1-ОО >о ку 1пп е Ф(ы) = 1. Предельное значений при!-+ 0 в точке х = 0 зависит от способа перехода к пределу (ср. с п. 1 г 3). Если сначала перейти к пределу по 1, а затем по х, получим !пп и = 1(о. 1-+О, О-Ос+О Если сначала перейти к пределу по х, а затем по 1, будем иметь !пп и = О.
Одновременный переходк пределу при х -+ О+О, 1-+ 0 -ОО+О 1-ОО вдоль кривой — *. = ш, где ю > О, дает любое значение, заключенное гОиг между нулем и ((о. В точках полупрямой Ж+ температура и(х, 1), равная Уо при С = О, плавно спадает к нулю при 1-+ +ос.
2. Решить задачу об остывании полубесконечного стержня, если тепловой поток через конец х = 0 равен нулю, а начальная температура определяется кусочно-постоянной функцией (4.38) Решение. Начально-краевая задача, моделирующая процесс остывания стержня, имеет вид и1 = а~и~„х й 31+, 1 > О, и(х,О) = ~р(х), и (0,1) = О, где функция уо(1) определяется формулой (4.38). Воспользуемся фор- мулой (4.21).
Имеем 1 1 ( ы=ф. и(х,1) = — / 1е " +е «* ~р(1)И(= 2а~/Б,/ ~ о = — / 1о .*~ +е ~'~ / Ис = — (11+19), о где 11= — /е гч Н(, 2ат(( I о 1 1 1хтот' 19 — — — / е .* Н(. 2аД о Сделав в интеграле 11 замену о = -4=-7., перепишем его в виде оаио' — — +Ф В результате получим и(х,1) = — Ф вЂ” + Ф (4.39) 198 где Ф(ш) — функция ошибок (3.6). Интеграл 19 с помощью замены о = -4~~ может быть преобразован топо к следующему виду: 3. Рассмотреть процесс остывания полубесконечного стержня, на конце х = 0 которого происходит теплообмен с внешней средой нулевой температуры.
Начальная температура стержня постоянная и равна То. Решение. Начально-краевая задача, моделирующая процесс остывания стержня, имеет следующий вид: 2 ил =а иаа, х>0, 1>0, — — Ли~ = О. да дх =о и(х,О) = То, Воспользуемся формулой (4.23), положив в ней ссо(х) = То. и(х,м) = — / ) е ° *с +е ° ас 2а~б~сс,сс ( (4.40) — 2Л е ~ ~Уг Ь| д~. о Подсчитаем внутренний интеграл в формуле (4.40). Имеем (х+4+ с1)2 4(х+Е)Лаос+ 4Л2аос2 4а21 4а21 (21+ х+ В+ 2Ла2с)2 4а2$ Таким образом, положив в =,, получим +а+ 2ва С 2Л / е о (4.41) лл Лл л Сс = 2Ле 2 е'сЬ. сл лс С С 1= е~ е ' Ыв<Щ.
о .+с+ С Л 199 После подстановки (4.41) в формулу (4.40) необходимо подсчитать интеграл Проинтегрируем интеграл 1 по частям: Покажем, что верхняя подстановка в формуле (4.42) равна нулю. В самом деле < — Я+оа~Д)' -~з 1ип о~4 / е ' Но= 1ип „=О. 1-+оо / Е-+оо Ье "Е е+е+ва /г г,а Так как < ) — Ь( = — ((х+ ~)г + 4Ьга~1г -~ 4хЬагг), 2аф ) 4агг запишем еэ но+ (4.43) + — е — ~( е ~«ас = 1г+1г.
ЫХ41' Л 2аф! о Подсчитаем интегралы 1г и 1г. Имеем 1 1г — — —— Ь (4.44) — — 1 — Ф вЂ” + ЬаЛ 2а~/Г (4.45) гоо = — е'ч -'+а+аа,/Е гааг 1 1 1 ое <г~~~~+ Л) Ь 2а~/1 г( о (=о (4.42) 2О_#_+а /С / е ' <)о — / е ' Но где использована замена з = хт= . 2«и« Подсчитаем, наконец, два первых интеграла в формуле (4 40).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
