Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 23

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 23 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 232019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Проверим выпол- нение граничного условия ие(х,С) = ) е ° «- ° > Ит, 2а /х,/ (С вЂ” т)зСг о Сделав в данном интеграле замену переменной интегрирования хйт 4а(С вЂ” т)зсг х 2а1/С вЂ” т ' получим и (х,С) = — ) е С и '(С вЂ” ) К, 1/х С' (, 4аг~г) откуда, переходя к пределу при х -г О,находим 1пп и (х, С) = — )' е С п(С)сСс = и(С) . .,0 — ,/х о иг — — а и„, хйгг г + и(х,О) = О, х б% ие — Сги! = — Сггг(С), С>0, (4.31) Ь = сопвг, С > О. 191 На строгом обосновании проведенных здесь формальных рассмотрений останавливаться не будем.

Аналогичным образом на физическом уровне строгости можно получить формулу (4.26) для граничной задачи Дирихле. 3. Начально-краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на полупрямой с граничным условием третьего рода: Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье и что функция и(х,1) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при * -+ +ос. Используем преобразование Фурье с ядром 12 Л сое Лх + Ь еш Лх г (4.32) Ч,lл +ь и обозначим образ Фурье функции и(х,1) через ЦЛ,1): У У /Л +Ьз о Напомним, что общие принципы выбора ядра интегрального преобразования Фурье для решения начально-краевых задач на полу- прямой изложены в гл.

1, 1 4. В частности, нетрудно убедиться, что ядро (4.32) является ограниченным решением уравнения К +ЛзК = = О, удовлетворяющим однородному граничному условию третьего рода К,(0, Л) — ЬК(0, Л) = О. Предположим, что для интеграла (4.33) выполнены условия возможности дифференцирования по параметру 1. Умножим обе части уравнения задачи (4.31) на К(х,1) и проинтегрируем по х от 0 до +ос: К(х, Л)и,(х,1) Их = а К(х, Л)и (х,1) ех. 1 о о Проинтегрируем правую часть уравнения два раза по частям и учтем граничное условие при х = 0 задачи (4.31): а ( К(х,Л)и, (х,1)Их=а )1 — ( и йх= з 1 з 12 Г ЛсоеЛх+Ьв(пЛх Ч /,/л +ь 12 ог,1 (и,(0,1) — Ьи(0,1)) — аглги(л 1) Ч,/л2+ ь — Ч вЂ” р(1) — л 11(л,1).

атлЬ Г2 Учитывая начальное условие задачи (4.31), получим начальную за- дачу для образа Фурье ЦЛ,1): и,+о Л 11= „Г-у(1), 1>О, г г ,,Д2 + Ьз Ч л Решение начальной задачи запишем с помощью импульсной функции с (Г(Л 1) -«Л (С-с) ( ) ( о Чтобы из пространства образов вернуться в пространство оригиналов, воспользуемся формулой обратного интегрального преобразования Фурье с ядром К(х, Л); 2 с ЛсовЛх+ЬвшЛх и(х,г) = — 1 а 2 (' )',~л«й,>Л совЛх+ ЛЬвсплх „ — /' л+ь о о Внутренний интеграл в правой части последней формулы запишем в виде суммы трех интегралов: рр ) Л сов Лх+ ЛЬяпЛх Лг + Ьг о СО +'"' с с =/ "" + е «Р 'ссовЛх е ' " Р '~совлх<КЛ вЂ” Ь 1 с4Л+ о а "Г е " й слвсплх Л +Ьг Ил.

о Получим необходимые для дальнейших преобразований формулы (4.34) и (4.35). а) Вычислим интеграл -аЛ е а сов Лх '1 = л2+Ь2 о Продифференцируем интеграл 11 по параметру ен / Л2+ Ь2 о +«а «с 2~/а с — ал 11 Л+ Ьг с аа + Ьгу а 193 поскольку +о« +о« о е «» сов»х1~» = — Яе е «» +'*» 11» = — е Учитывая, что 11(+со) = О, получим для 11(о) следующую задачу Коши: — — 6 11 = — — е е«, 11(+ос) = О. ~11 г ~Р Но 2»/а Решение задачи Коши записывается с помощью импульсной функции следующим образом: Г Ь, е 1 Ь,,> 2»/в о — *.~ -~"*+6) " 2~/з Преобразуем интеграл а « — Ь*.+ — ' (Ь 1 /' — Ь"+ — *' ( Ь 2»/в 26,/ 11 2»/и 4вв1г / а ~,-~'-Ь)(,.

* )„ « — „'/,-О~"-*' (оог-,— *)- о — ',„ /* О~ ~ (о".— — *)= Ь~/а+— г«« Ь~/а-— г /а 26,/ 2Л + оо +«о — — 2с)1 Ах+ е~*Ф 11»/о+ + е о«Ф Ь»/о —— Поскольку 11 = —,/хе~ 1, окончательно получим +оо )' е " совЛх 1 о «2сЬ) е ф Ь/ л ьэ ( вх 4Ь 21/а) — е хФ Ь1/о —— (4.34) б) Используя формулу (4.34), вычислим интеграл +со )' е аг ЛвгпЛх Лг+ Ьг о Поскольку д11 1г = — —, д» ' получаем Используя формулы (4.34), (4.35) и формулу +со / з з ./х -а А Р— т) Л дЛ а е "во н 2аф — 7 о получим +оо /' "' ,з гр ~Л совЛх+ЛЬмп Лг+Ь о 1/х 2 а 1/à — г 4аф — т 1 о +оо Ь,/х 1 Г й=.~ 4аф — т,/ о НЛ = 'о-» Щ+ — е 'Ж-.Т аЕ. 1г = — — е ~2вЬЬх — е Ф ~Ь1/а+ — ~+ й а вх х (4.35) + е хФ Ь1/а —— Таким образом, окончательное выражение для решения начально- краевой задачи (4.31) имеет вид С +со 2 в ~ /,с„с(с,)Л совЛх+Л)св(пЛх4 х сс,сс Лв+ 1со о о с +ОО Г '1;, сс с Ь е — 4-",-*ес — >,(~ ,/.-l,л=.

' ' ' /' о о (4.36) С помощью введенной в Ц 3 функции ошибок (см. (3.6)) ответ можно записать следующим образом: с ~/х,/ /à — т ~( о —,«„с1с:,~."'*'*Р- ~ -с( * ьг:)~) . \,2аф — т С физической точки зрения функция и(х, 1), определяемая формулой (4.36), представляет собой температуру в точке х в момент времени 1 полубесконечного стержня без источников тепла, если на конце стержня х = 0 происходит теплообмен с внешней средой, температура которой определяется заданной функцией ср(с). Начальная температура стержня равна нулю.

При сс = 0 получается граничное условие Неймана, которое соответствует заданному в точке х = 0 нулевому тепловому потоку. Температура стержня остается равной нулю. Случай у(г) = 0 соответствует теплообмену с внешней средой нулевой температуры. Из формулы (4.36) вытекает, что температура стержня в этом случае остается равной нулю. 3. Примеры решения задач Рассмотрим примеры решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности на полупрямой. 1. Рассмотреть процесс остывания полубесконечного стержня, начальная температура которого постоянная, а конец поддерживается при нулевой температуре. Решение. Процесс остывания стержня описывается следующей начально-краевой задачей: ис — — а~ивв, х Е Ж+, 1 > О, и(х, О) = Ц» и(0,1) = О.

196 Воспользуемся формулой (4.15), положив в ней у(1) = ((о = сапог: и(х,1) = / ~ е О ' — е <' )> 1(оса = — ((1 — (г), (4.37) =2.,Яl1 " ' ) =Л о где 1 (1= /е «* Нб, 2а1Л l о 1 ( 1ггЫ (г= — / е- . (б. 2а1(1,/ о Сделаем в интеграле (1 замену о = .1=4* . В результате получим гОи1 ' ОО ОО э 71 О ( О ( (1 = е ' но= / е ' ио — / е ' аозс О ОО1 о о — — 1+Ф где Ф(ы) — функция ошибок — определяется формулой (3.6). Аналогично с помощью замены о = -гхг- интеграл (г можно при- гО,7 вести к виду (г = — 1 — Ф В результате получим ( х и(х,1) = УоФ (— ~,2а1Л/ 197 Отметим, что начальные и граничные условия рассматриваемой задачи не являются согласованными (у(0) ф 0). На полупрямой !к+ функция 9г(х) = 1(о не имеет точек разрыва.

Поэтому при х б !к+ функция и(х,1) непрерывно примыкает к 1а(х): 1пп и = 1(о, посколь- 1-ОО >о ку 1пп е Ф(ы) = 1. Предельное значений при!-+ 0 в точке х = 0 зависит от способа перехода к пределу (ср. с п. 1 г 3). Если сначала перейти к пределу по 1, а затем по х, получим !пп и = 1(о. 1-+О, О-Ос+О Если сначала перейти к пределу по х, а затем по 1, будем иметь !пп и = О.

Одновременный переходк пределу при х -+ О+О, 1-+ 0 -ОО+О 1-ОО вдоль кривой — *. = ш, где ю > О, дает любое значение, заключенное гОиг между нулем и ((о. В точках полупрямой Ж+ температура и(х, 1), равная Уо при С = О, плавно спадает к нулю при 1-+ +ос.

2. Решить задачу об остывании полубесконечного стержня, если тепловой поток через конец х = 0 равен нулю, а начальная температура определяется кусочно-постоянной функцией (4.38) Решение. Начально-краевая задача, моделирующая процесс остывания стержня, имеет вид и1 = а~и~„х й 31+, 1 > О, и(х,О) = ~р(х), и (0,1) = О, где функция уо(1) определяется формулой (4.38). Воспользуемся фор- мулой (4.21).

Имеем 1 1 ( ы=ф. и(х,1) = — / 1е " +е «* ~р(1)И(= 2а~/Б,/ ~ о = — / 1о .*~ +е ~'~ / Ис = — (11+19), о где 11= — /е гч Н(, 2ат(( I о 1 1 1хтот' 19 — — — / е .* Н(. 2аД о Сделав в интеграле 11 замену о = -4=-7., перепишем его в виде оаио' — — +Ф В результате получим и(х,1) = — Ф вЂ” + Ф (4.39) 198 где Ф(ш) — функция ошибок (3.6). Интеграл 19 с помощью замены о = -4~~ может быть преобразован топо к следующему виду: 3. Рассмотреть процесс остывания полубесконечного стержня, на конце х = 0 которого происходит теплообмен с внешней средой нулевой температуры.

Начальная температура стержня постоянная и равна То. Решение. Начально-краевая задача, моделирующая процесс остывания стержня, имеет следующий вид: 2 ил =а иаа, х>0, 1>0, — — Ли~ = О. да дх =о и(х,О) = То, Воспользуемся формулой (4.23), положив в ней ссо(х) = То. и(х,м) = — / ) е ° *с +е ° ас 2а~б~сс,сс ( (4.40) — 2Л е ~ ~Уг Ь| д~. о Подсчитаем внутренний интеграл в формуле (4.40). Имеем (х+4+ с1)2 4(х+Е)Лаос+ 4Л2аос2 4а21 4а21 (21+ х+ В+ 2Ла2с)2 4а2$ Таким образом, положив в =,, получим +а+ 2ва С 2Л / е о (4.41) лл Лл л Сс = 2Ле 2 е'сЬ. сл лс С С 1= е~ е ' Ыв<Щ.

о .+с+ С Л 199 После подстановки (4.41) в формулу (4.40) необходимо подсчитать интеграл Проинтегрируем интеграл 1 по частям: Покажем, что верхняя подстановка в формуле (4.42) равна нулю. В самом деле < — Я+оа~Д)' -~з 1ип о~4 / е ' Но= 1ип „=О. 1-+оо / Е-+оо Ье "Е е+е+ва /г г,а Так как < ) — Ь( = — ((х+ ~)г + 4Ьга~1г -~ 4хЬагг), 2аф ) 4агг запишем еэ но+ (4.43) + — е — ~( е ~«ас = 1г+1г.

ЫХ41' Л 2аф! о Подсчитаем интегралы 1г и 1г. Имеем 1 1г — — —— Ь (4.44) — — 1 — Ф вЂ” + ЬаЛ 2а~/Г (4.45) гоо = — е'ч -'+а+аа,/Е гааг 1 1 1 ое <г~~~~+ Л) Ь 2а~/1 г( о (=о (4.42) 2О_#_+а /С / е ' <)о — / е ' Но где использована замена з = хт= . 2«и« Подсчитаем, наконец, два первых интеграла в формуле (4 40).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее