А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 20
Текст из файла (страница 20)
2го /Л 5. Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса го, если начальная температура шара равна Уо, а внутрь шара через его поверхность подается постоянный тепловой поток о. Решение. Введем сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром шара. В силу условий задачи температура шара будет функцией радиуса и времени и = и(т,г), для которой получается следующая начально-краевая задача: и,=о к»и, г 0<г<го, г)0, и(~=о = ~го, к — =о, г0 где й — коэффициент теплопроводности. Будем искать решение в виде и = о(т,1) + ш(г,1), где функцию ш(г,1) выберем следующим образом: ш(г,1) = — — + Д1), г гг к 2го — сСЯ = — сСЯ ф 0.
При любой функции С(С) функция ис(г, С) удовлетворяет гранично- му условию задачи. Для функции и(г,С) получается неоднородное уравнение Подберем функцию ((С) так, чтобы выражение в круглых скобках З оз было равно нулю. Получим ДС) = — С+ С, где постоянную С Ь'а определим ниже. Итак, ис(г, С) = — ~ — + За С + С. (тт Ьо (2 Начальное условие для функции и(т, С) имеет вид д" и~с=а —— Ссо — — — С. 2/сто дг' Полагая С = (Со, получим Ы ~с=о 2Ьа ' В результате для функции и(г, С) получается начально-краевая задача для однородного уравнения с неоднородным начальным и однородным граничным условиями ( дои 2 ди ) ис=азС вЂ” +- — ) 0<г<го, С>0, (дтт гдг) ' ог' и) ди — =О.
дт „, Введя функцию т'(г, С) = ги(г, С), получим для нее начально-краевую задачу на отрезке К=а 1',„, 3 0<г<то, С>0, д*сс 1 — — — И =О. дт го ~ =со Заметим, что в отличие от предыдущей задачи функцию нс нельзя вы- бирать как решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в шаре Ксс, поскольку для этой задачи не будет выполняться необходимое условие разрешимости Решение этой задачи будем искать в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля В" + ЛВ= О, В),=О, 0 ( т ( го, 1 В' — — В) =О, ГО г=го ок~ггЛ то =;/Л„то (и = 1,2,...) . Воспользовавшись формулой (1.5), получим ог(г,о) = ~~о С„е ' ~"~ь(п~/Л„г+ Сот.
о он Из начального условия для функции Цг,1) определим коэффициен- ты разложения: тз Цо-о = ~~о С ьш ъ/Л т+ Сог'= — —, 21ого откуда го )' г4 Ч о Й Зуго 10/с ' о'г Со = 21гто 7 ) го о го о то Л соьо/Х го 2йго )) ып п=1,2, При вычислении коэффициентов С„(п = 1,2,... ) мы воспользова- лись трансцендентным уравнением для собственных значений и вы- ражением для квадрата нормы: го !) ып ~/Л„~()~ = / в~~~/Л„о1г = — ь(п~1/Л„~~. 2 о 168 рассмотренной в гл. П. Система собственных функций имеет вид (т, ып~/Х„г), причем собственной функции Во(т) = г соответствует собственное значение Ло — — О, а собственные значения Л„, и = 1,2,..., соответствующие собственным функциям В„(т) = ь(п~/Л„г, являются решением трансцендентного уравнения Таким образом, для функции Ъ'(г,г) получается выражение хго „г Л„~ сов;/Л„го откуда получим и = го + — г' = Уо + — ~ — + За 1 (— г ) г 1огоЛ 2 2о ~- е ' ""' вт1/Л„г Зйго Его „г Л„~ сов~/Х„го где ˄— и-й корень уравнении гй~/Л„го — — ~/Х„го.
В В. ЗАДАЧИ ДЛЯ в'РАБНЕНИЯ ТЕПЛОПРОБОДНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ Рассмотрим начальную задачу на бесконечной прямой В~ для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Введем обозначения П = йг х (О, +со), П— : мг х [О, +оо) . Начальная задача ставится следующим образом: ио =а и, +У(х,г), (х,г) б П, и(х, 0) = ог(х) х б м'. (3.1) Классическим решением задачи (3.1) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой называется функции а(х,г), непрерывная в замкнутой области й, имеющая непрерывные поизводные первого порядка по 1 и второго порядка по х в открытой области П, удовлетворяющая в й уравнению теплопроводности и при 1 -+ 0 начальному условию. Если функция 1о(х) непрерывна и ограничена в Вг, а функция /(х,г) непрерывна по совокупности аргументов и ограничена в Й, то задача (3.1) имеет единственное классическое решение.
В случае менее гладких функций 1о(х) и /(х, 1) задача (3.1) может иметь обобщенное решение. Для решения начальной задачи (3.1) удобно использовать метод интегрального преобразования Фурье. Общая схема применения метода интегрального преобразования Фурье к решению начальных задач на бесконечной прямой приведена в гл. 1. В качестве примера в данном параграфе с помощью преобразования Фурье рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой и запишем для ее решения формулу Пуассона. Для решения задачи (3.1) применим преобразование Фурье с ядром е с"х. Обозначим через (С(Л,С), Г(Л,С) и Ф(Л) образы Фурье функций и(х, С), С(х, С) и у(х) соответственно (С(Л,С) = — и(Я,С)с и' Н4, 1 ъ'2~г ./ Г(Л, С) = — / Дб, С)е ц' Иб, 1 Г ~/2я,/ Ф(л) = — / ~р(б)е ц'и».
1 Г ~/2~г / Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье (это заведомо выполнимо для классического решения задачи (3.1)) и что функция и(х, С) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ ~ос. Предположим также, что интеграл для СС(Л, С) можно дифференцировать по переменной С под знаком интеграла. Умножим уравнение теплопроводности и начальное условие на -4-е с~~ и проинтегрируем по х от — оо до +со. Проинтегрировав ~г затем полученный в правой части интеграл дважды по частям и учитывая, что подстановки на ~ос обратятся в нуль, получим следующую задачу Коши в пространстве образов: (С, + азЛССС = Р, с > О, о'и=о = Ф(Л).
Решение этой задачи записывается с помощью импульсной функции в следующем виде: о'(Л,С) = е ' Р ')г(Л,г)йт+ Ф(Л)е ' " '. а Подставим выражения для образов Фурье Р(Л, С) и Ф(Л) и вернемся к оригиналу, используя формулу обратного преобразования Фурье.
170 Меняя порядок интегрирования, получим и(х, С) = — / СС(Л,С)е'лкгСЛ = 1 С' ,/2к,l г оо оо / / — 'л'Сг- 1+глСе-б),СЛ сг(с ) С С + 2к,С О -оо — со е — е*л*г+'лСе-б),СЛ „(б),СВ „С ~2к ОС Обозначим С(х,б,С) = — 1 е л г+'лСк С1гСЛ 2к „С Используя интеграл' ) /" г Е ~+С~ОЫЛгк ~ Е о будем иметь 1 Са-..)Лг- 0(х,б,С) = е 2ал/кС (3.2) Функция С(х, б, С), определяемая формулой (3.2), называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. Итак, решение задачи (3.1) представляется формулой МО=/С оц,гж- )дг, )гег:,/о<,ггг(г)ге.
(гг) О -со Отметим, что в силу линейности задачи (3.1) решение (3.3) предста- вляет сумму решений двух задач. Функция г оо и(х, С) = / / 6(х,б, С вЂ” т)Я,т) сЦгСт О -оо (3.4) Смл Сеешкиков А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции ио математической физике. Мл Изд-ио МГУ, 1999. дает решение начальной задачи для неоднородного уравнения тепло- проводности с однородным начальным условием (р(х) = О), а функ- ция и(х, 1) = С(х, б, 1)у(б) о(б (3.5) (г.
*> . Начальной задачей, описывающей процесс остывания стержня, явля- ется задача для однородного уравнения теплопроводности ио = а и„, (х,1) Е Й и), = у(х) . Решение. Воспользуемся формулой (3.5) и сделаем замену =Иу: и(х,о) = — / е ~.о р(б)ас = 2а~Ля 2 Л сО = — '/ "" — '1 — ОО т,+т, 7; т,-Р2 ~е*оЬ— о / *- *5*. о Учтем теперь, что имеет место формула (интеграл Пуассона) 1-" =Ф, о 172 — решение задачи для однородного уравнения теплопроводности (о(х, о) = О) с неоднородным начальным условием. Интеграл (3.5) называется интегралом Пуассона. Рассмотрим примеры решения начальных задач для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.
1. Решить задачу об остывании однородного бесконечного стержня, если тепловой режим определяется кусочно-постоянной начальной функцией следующего вида: и введем функцию ошибок Ф(ш) = — / е ' Нг. о (3.6) Очевидно, Ф(0) = О, Ф(+со) = 1. Легко показать, что функция Ф(ш) нечетнаи: — м я 2 /',е 2 /' — — — е ' Н( — х) = — — е ' еЬ= — Ф(ш). Т1 + Тг Тг — Тг и(х,!) = 2 2 1,2а~у! г) (3.7) Отметим, что начальная функции гг(х) не является непрерывной, а претерпевает разрыв в точке х = О.
В этом случае решение задачи Коши, представимое интегралом Пуассона (3.5), уже не будет классическим, а имеет особую точку х = О. Проанализируем поведение решения задачи Коши для уравнении теплопроводности в особой точке, используя формулу (3.7). Пусть х > О. Тогда, переходя к пределу при ! -+ О, получим, что — ~ -+ +ос, Ф( — У~.) -+ 1 и 1ппо +о е>о и(х, !) = Тг. Пусть х < О. Тогда — ~~7 -т — оо, Ф( — *~;) -+ — 1 и !ппг-+о, <оп = Ть Перейдем в формуле (3.7) к пределу сначала при х -+ О, а затем при ! -+ О.
В результате будем иметь 1пп, +о е +о и(х, !) = -гхг-г. Из приведенных т т рассуждений вытекает, что значение решения задачи Коши в особой точке х = 0 в начальный момент времени г = 0 зависит от способа перехода к пределу: !пп и = Тг, !пп и = Тг, 1пп и = Тг + Тг г +о ' е-+о ' -~о 2 -~о+о е-+о-о о-+о Более того, если рассмотреть одновременный переход к пределу при х -+ О, ! -+ 0 вдоль кривой — * = ш, где ш Е Йг, то с помощью ге>'1 формулы (3.7) получим Тг+Тг Тг — Тг х 1пп и(х,!) = — Ф(ш), — = ш -~о ' 2 2 2а~Л е-~о Отсюда Ф(-оо) = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
