Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 20

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 20 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 202019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

2го /Л 5. Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса го, если начальная температура шара равна Уо, а внутрь шара через его поверхность подается постоянный тепловой поток о. Решение. Введем сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром шара. В силу условий задачи температура шара будет функцией радиуса и времени и = и(т,г), для которой получается следующая начально-краевая задача: и,=о к»и, г 0<г<го, г)0, и(~=о = ~го, к — =о, г0 где й — коэффициент теплопроводности. Будем искать решение в виде и = о(т,1) + ш(г,1), где функцию ш(г,1) выберем следующим образом: ш(г,1) = — — + Д1), г гг к 2го — сСЯ = — сСЯ ф 0.

При любой функции С(С) функция ис(г, С) удовлетворяет гранично- му условию задачи. Для функции и(г,С) получается неоднородное уравнение Подберем функцию ((С) так, чтобы выражение в круглых скобках З оз было равно нулю. Получим ДС) = — С+ С, где постоянную С Ь'а определим ниже. Итак, ис(г, С) = — ~ — + За С + С. (тт Ьо (2 Начальное условие для функции и(т, С) имеет вид д" и~с=а —— Ссо — — — С. 2/сто дг' Полагая С = (Со, получим Ы ~с=о 2Ьа ' В результате для функции и(г, С) получается начально-краевая задача для однородного уравнения с неоднородным начальным и однородным граничным условиями ( дои 2 ди ) ис=азС вЂ” +- — ) 0<г<го, С>0, (дтт гдг) ' ог' и) ди — =О.

дт „, Введя функцию т'(г, С) = ги(г, С), получим для нее начально-краевую задачу на отрезке К=а 1',„, 3 0<г<то, С>0, д*сс 1 — — — И =О. дт го ~ =со Заметим, что в отличие от предыдущей задачи функцию нс нельзя вы- бирать как решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в шаре Ксс, поскольку для этой задачи не будет выполняться необходимое условие разрешимости Решение этой задачи будем искать в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля В" + ЛВ= О, В),=О, 0 ( т ( го, 1 В' — — В) =О, ГО г=го ок~ггЛ то =;/Л„то (и = 1,2,...) . Воспользовавшись формулой (1.5), получим ог(г,о) = ~~о С„е ' ~"~ь(п~/Л„г+ Сот.

о он Из начального условия для функции Цг,1) определим коэффициен- ты разложения: тз Цо-о = ~~о С ьш ъ/Л т+ Сог'= — —, 21ого откуда го )' г4 Ч о Й Зуго 10/с ' о'г Со = 21гто 7 ) го о го о то Л соьо/Х го 2йго )) ып п=1,2, При вычислении коэффициентов С„(п = 1,2,... ) мы воспользова- лись трансцендентным уравнением для собственных значений и вы- ражением для квадрата нормы: го !) ып ~/Л„~()~ = / в~~~/Л„о1г = — ь(п~1/Л„~~. 2 о 168 рассмотренной в гл. П. Система собственных функций имеет вид (т, ып~/Х„г), причем собственной функции Во(т) = г соответствует собственное значение Ло — — О, а собственные значения Л„, и = 1,2,..., соответствующие собственным функциям В„(т) = ь(п~/Л„г, являются решением трансцендентного уравнения Таким образом, для функции Ъ'(г,г) получается выражение хго „г Л„~ сов;/Л„го откуда получим и = го + — г' = Уо + — ~ — + За 1 (— г ) г 1огоЛ 2 2о ~- е ' ""' вт1/Л„г Зйго Его „г Л„~ сов~/Х„го где ˄— и-й корень уравнении гй~/Л„го — — ~/Х„го.

В В. ЗАДАЧИ ДЛЯ в'РАБНЕНИЯ ТЕПЛОПРОБОДНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ Рассмотрим начальную задачу на бесконечной прямой В~ для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Введем обозначения П = йг х (О, +со), П— : мг х [О, +оо) . Начальная задача ставится следующим образом: ио =а и, +У(х,г), (х,г) б П, и(х, 0) = ог(х) х б м'. (3.1) Классическим решением задачи (3.1) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой называется функции а(х,г), непрерывная в замкнутой области й, имеющая непрерывные поизводные первого порядка по 1 и второго порядка по х в открытой области П, удовлетворяющая в й уравнению теплопроводности и при 1 -+ 0 начальному условию. Если функция 1о(х) непрерывна и ограничена в Вг, а функция /(х,г) непрерывна по совокупности аргументов и ограничена в Й, то задача (3.1) имеет единственное классическое решение.

В случае менее гладких функций 1о(х) и /(х, 1) задача (3.1) может иметь обобщенное решение. Для решения начальной задачи (3.1) удобно использовать метод интегрального преобразования Фурье. Общая схема применения метода интегрального преобразования Фурье к решению начальных задач на бесконечной прямой приведена в гл. 1. В качестве примера в данном параграфе с помощью преобразования Фурье рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой и запишем для ее решения формулу Пуассона. Для решения задачи (3.1) применим преобразование Фурье с ядром е с"х. Обозначим через (С(Л,С), Г(Л,С) и Ф(Л) образы Фурье функций и(х, С), С(х, С) и у(х) соответственно (С(Л,С) = — и(Я,С)с и' Н4, 1 ъ'2~г ./ Г(Л, С) = — / Дб, С)е ц' Иб, 1 Г ~/2я,/ Ф(л) = — / ~р(б)е ц'и».

1 Г ~/2~г / Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье (это заведомо выполнимо для классического решения задачи (3.1)) и что функция и(х, С) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ ~ос. Предположим также, что интеграл для СС(Л, С) можно дифференцировать по переменной С под знаком интеграла. Умножим уравнение теплопроводности и начальное условие на -4-е с~~ и проинтегрируем по х от — оо до +со. Проинтегрировав ~г затем полученный в правой части интеграл дважды по частям и учитывая, что подстановки на ~ос обратятся в нуль, получим следующую задачу Коши в пространстве образов: (С, + азЛССС = Р, с > О, о'и=о = Ф(Л).

Решение этой задачи записывается с помощью импульсной функции в следующем виде: о'(Л,С) = е ' Р ')г(Л,г)йт+ Ф(Л)е ' " '. а Подставим выражения для образов Фурье Р(Л, С) и Ф(Л) и вернемся к оригиналу, используя формулу обратного преобразования Фурье.

170 Меняя порядок интегрирования, получим и(х, С) = — / СС(Л,С)е'лкгСЛ = 1 С' ,/2к,l г оо оо / / — 'л'Сг- 1+глСе-б),СЛ сг(с ) С С + 2к,С О -оо — со е — е*л*г+'лСе-б),СЛ „(б),СВ „С ~2к ОС Обозначим С(х,б,С) = — 1 е л г+'лСк С1гСЛ 2к „С Используя интеграл' ) /" г Е ~+С~ОЫЛгк ~ Е о будем иметь 1 Са-..)Лг- 0(х,б,С) = е 2ал/кС (3.2) Функция С(х, б, С), определяемая формулой (3.2), называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. Итак, решение задачи (3.1) представляется формулой МО=/С оц,гж- )дг, )гег:,/о<,ггг(г)ге.

(гг) О -со Отметим, что в силу линейности задачи (3.1) решение (3.3) предста- вляет сумму решений двух задач. Функция г оо и(х, С) = / / 6(х,б, С вЂ” т)Я,т) сЦгСт О -оо (3.4) Смл Сеешкиков А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции ио математической физике. Мл Изд-ио МГУ, 1999. дает решение начальной задачи для неоднородного уравнения тепло- проводности с однородным начальным условием (р(х) = О), а функ- ция и(х, 1) = С(х, б, 1)у(б) о(б (3.5) (г.

*> . Начальной задачей, описывающей процесс остывания стержня, явля- ется задача для однородного уравнения теплопроводности ио = а и„, (х,1) Е Й и), = у(х) . Решение. Воспользуемся формулой (3.5) и сделаем замену =Иу: и(х,о) = — / е ~.о р(б)ас = 2а~Ля 2 Л сО = — '/ "" — '1 — ОО т,+т, 7; т,-Р2 ~е*оЬ— о / *- *5*. о Учтем теперь, что имеет место формула (интеграл Пуассона) 1-" =Ф, о 172 — решение задачи для однородного уравнения теплопроводности (о(х, о) = О) с неоднородным начальным условием. Интеграл (3.5) называется интегралом Пуассона. Рассмотрим примеры решения начальных задач для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.

1. Решить задачу об остывании однородного бесконечного стержня, если тепловой режим определяется кусочно-постоянной начальной функцией следующего вида: и введем функцию ошибок Ф(ш) = — / е ' Нг. о (3.6) Очевидно, Ф(0) = О, Ф(+со) = 1. Легко показать, что функция Ф(ш) нечетнаи: — м я 2 /',е 2 /' — — — е ' Н( — х) = — — е ' еЬ= — Ф(ш). Т1 + Тг Тг — Тг и(х,!) = 2 2 1,2а~у! г) (3.7) Отметим, что начальная функции гг(х) не является непрерывной, а претерпевает разрыв в точке х = О.

В этом случае решение задачи Коши, представимое интегралом Пуассона (3.5), уже не будет классическим, а имеет особую точку х = О. Проанализируем поведение решения задачи Коши для уравнении теплопроводности в особой точке, используя формулу (3.7). Пусть х > О. Тогда, переходя к пределу при ! -+ О, получим, что — ~ -+ +ос, Ф( — У~.) -+ 1 и 1ппо +о е>о и(х, !) = Тг. Пусть х < О. Тогда — ~~7 -т — оо, Ф( — *~;) -+ — 1 и !ппг-+о, <оп = Ть Перейдем в формуле (3.7) к пределу сначала при х -+ О, а затем при ! -+ О.

В результате будем иметь 1пп, +о е +о и(х, !) = -гхг-г. Из приведенных т т рассуждений вытекает, что значение решения задачи Коши в особой точке х = 0 в начальный момент времени г = 0 зависит от способа перехода к пределу: !пп и = Тг, !пп и = Тг, 1пп и = Тг + Тг г +о ' е-+о ' -~о 2 -~о+о е-+о-о о-+о Более того, если рассмотреть одновременный переход к пределу при х -+ О, ! -+ 0 вдоль кривой — * = ш, где ш Е Йг, то с помощью ге>'1 формулы (3.7) получим Тг+Тг Тг — Тг х 1пп и(х,!) = — Ф(ш), — = ш -~о ' 2 2 2а~Л е-~о Отсюда Ф(-оо) = — 1.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее