Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 22

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 22 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 222019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

При этом граничное условие и(0,1) = 0 выполняется только при 1 > О. Из формулы (4.15) вытекает физический смысл функции ст(х, 6,1)'1. Функция сг1(х, С,1) дает значение температуры в точке х полубесконечного стержня в момент времени 1 > О, если в начальный момент 1 = 0 в точке х = с > 0 мгновенно выделяется количество тепла, равное ср =' р, а граничное сечение х = 0 все время поддерживается при нулевой температуре, для чего в точку х = — г, нужно поместить мгновенный точечный отрицательный источник.

2. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой для однородного граничного условия Неймана условия третьего рода: г и~ — — а и„, х,1Е й+, и(х, 0) = ~р(х), ди — — Ьи =0 дх .0 (4.22) (Л = сопв1). Предположим, что функция 1а(х) удовлетворяет условию согласова- ния начального и граничного условий у'(О) — Ьу(О) = О. 1а'(х) — Ь1а(х) = /(х), х < О, р(0) = 9Р(0), где правая часть уравнения имеет вид у(х) = -тт'(-х) + Ьт"(-х) (штрих есть производная по полному аргументу).

Решение задачи можно записать с помощью импульсной функции х у(х) = 1а(-х) + 2Ь е~1 «1р( — х) йх, х < О. о Итак, функция 1а(х) имеет вид /р(х), х>0, ~ у( — х) + 2Ь ( е"1' '11а( — х) Нх, х < О. 0 Из леммы вытекает, что решение задачи (4.22) можно записать в виде интеграла Пуассона (3.5) 183 Применим доказанную лемму. Для задачи (4.22) получаем ос —— = — Ь, а|=1, аь =О, Ь =2,3,...,Ф, Следовательно, Ф(х) = Ф (х) — Ь1а(х) и согласно лемме функцию 1с'(х) — Ьр(х) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным образом. Таким образом, функция ф'(х) — Ьф(х), где 1а(х) — продолжение у(х) на всю ось х — будет нечетной.

Очевидно, ф(х) = у(х) при х ) О. Для определения функции ф(х) при х < 0 получим задачу Коши где функция с (х, с, ~) определяется формулой (3.2). Запишем решение задачи (4.22) через функцию ~о(х): СО о и(х,2) = О(х,б,й)у2(б)22с+ 20(х,с,2)Щ)22с= о — 00 ОО о — а(хД, С) р(б) <б+ а(х,б, ~) р(-~) (б+ о — 00 о + 2Ь С(х,(,ф) Щ с~20 ')~2р( — х) 0Ь, Преобразуем второй и третий интегралы в правой части формулы. Во втором интеграле сделаем замену ( на — б: о ОО / 22(х, ч0, ~)у(-ч0) Ич0 = С(х, -ч0, 1)220(ч0) 22з0.

В третьем интеграле заменим х на — х и с на — с: о 0 2ь с(х2(2с) иб с~20 *22р( — х) 0)х = — 00 о 22) 00 — 2 2)22/ 22 20022*= о о = -2Ь р(х) Ых С(х, — б, й)е ~20 *2 д~. о Положив ц = ~ — х, будем иметь о 2Ь С(х2С2С) 2(С еа<4 ')у(-х) Ых = — 00 о = — 2Ь 2р(х) Нх с,(х,— х — я,Це ""йу= = — 2Ь С(х, — Ч вЂ” сьев)е аа 2)у у(() Нб. о о 184 В результате получаем следуюшее выражение для решения исходной задачи: »(*,2( = С«((а(*,« „2(+ а(*, -«,2(- о -221 а(,, «-22(,-"«2)2(«(«« о Обозначив 2«з(х,с« С) — «2(х«о 2 С) + 2«(х, о, С) — 2С«С(х, -С вЂ” й, С)е ао (С«С, о запишем решение в виде и(х,С) = Сз(х,(,С)у«(б)«СС'.

о Функция Сз(х,С,С) = ~е 2-22 +е 2"«вЂ” 2а2/яС 1 (4.23) — 2С«е Ж "" «С«С о 1 х = («С+ х+б+ 2азС«С), 2 а 1/С получаем о ,Су = 2а /С е ' ь «+( +«1" е ' (Сх = 2 222 а 2 С« / — С вЂ” «а««+Се+О«2 ф *+ ~ + 2а«/С является функцией Грина третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой. Преобразуем интеграл в формуле (4.23). Выделяя в показателе экспоненты полный квадрат и полагая Таким образом, иэ формулы (4.23) следует аэ(~,61) = а (*,61) — ' " '+*+ " 1 — Ф 3 2 / /х+ г+ 2агаг'л Л 2а С (4.24) где Ог(х,с,1) — функция Грина второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой, определяемая формулой (4.20).

Заметим, что функцию Грина Оз(х, с,1) можно записать в следующем виде: аз(х,6 г) = О(х,4,1) + а(х, — 61)— — Š— 2Ь С(х,п,1)с~и+э> йу, 2. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородными граничными условиями. Рассмотрим применение метода интегрального преобразования Фурье к решению начально-краевых задач для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородным граничным условием.

1. Начально-краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на полупрямой с граничным условием первого рода; г и1 — — а и хсрэ+, С>0, хай (4.25) и(х,О) = О, и(0, М) = д(С), 1 > О. Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье и что функция и(х,г) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ +со. Используем синуспреобраэование Фурье с ядром 61п Лх (см.

гл, 1, г 4).Обозначим образ Фурье функции и(х,г) через ЦЛ,1): Г2 / У(Л,1) = ~/ — / и((,1)в)пЛ~0(. л,/ о 186 Эта формула имеет простой физический смысл: для удовлетворения граничному условию третьего рода нужно в точку х = — б поместить источник, равный источнику, находящемуся в точке х = С, и, кроме того, добавить на отрицательной части действительной оси от — со до — С непрерывно распределенные источники, мощность которых экспоненциально стремится к нулю при й -+ — оо. Будем также предполагать, что выполнены условия возможности дифференцирования интеграла для П(Л, () по ( под знаком интеграла. Умножим уравнение задачи (4.25) на 7( — в(п Лх и проинтегрируем (2 (( я по х от О до +со: — ( а, (х, () вщ Лх с(х = аг)~ — ( и (х, () в(п Лх с(х . Проинтегрируем интеграл в правой части два раза по частям, учи- тывая граничное условие при х = О: и вспЛхс(х= Ли(О,() — Л~(7(Л,() =Л)с(() — Л (7(Л,().

/- о Принимая во внимание начальное условие, получаем следующую на- чальную задачу в пространстве образов: Пс+а Л и=д — гЛ)с((), (>О ЦЛ,О)аао. гг ~2 г Решение этой задачи можно записать с помощью импульсной функ- ции: с бс(Л () = — агЛ е ' л (' ~))с(т) с(т. о Для возвращения к оригиналу и(х, () используем формулу обратного синус-преобразования Фурье: Г2 с" и(х,() = )/ — ( ()(Л,() вспЛхс(Л = о — а Л (с т) вга Лх)с(т) с(Л с(т. о о Проинтегрируем внутренний интеграл по частям: 1' "" 'л' с -а Л (с-т) е а Ле ' (с т) в(пЛхс(Л = — вспЛх + о 2(( — т) о ( * е-а л (с т) совЛхсгЛ 2(( — т),/ о 187 и учтем, что (см. О 3) х*(ь т1 соя Лх,(Л = о р -а л (е-т)+злю 11 и тт,. > 2 2 а /à — т В результате получаем и(х,1) = — / е '" о-'> Йт.

à — а' — д(т) 2а Я / (1 — т)з(о о (4.26) Заметим, что формулу (4.26), выражающую решение задачи (4.25), можно переписать следующим образом: и(х,1) = / — Ит(х,1 — т)д(т) Йт, о (4.27) где функция Иг(х,1) = — / е ' ~Ь 2 ~г является решением вспомогательной начально-краевой задачи Иг, = а'Ит„, х Е И+, 1 > О, ИГ(х, 0) = О, Иг(0,1) = 1. Р~(и(х, С)] = Ь~]и(х, 1)], 0 < х < 1, 1 > О, 9пи — (х, О) = О, и = О, 1,..., гп — 1, д(» и(0,1) = д(1), И[и(1,1)] = О, 188 Интеграл (4.27) носит название интеграла Дюамеля.

Приведенный пример является частным случаем общего метода решения данного класса линейных начально-краевых задач, известного под названием принципа Дюамеля. Дадим его формальную схему для достаточно общего случая. Пусть требуется построить решение следующей начально-краевой задачи: где Рс — линейный дифференциальный оператор, содержащий частные производные по ! до порядка тп, А — линейный дифференциальный оператор второго порядКа по переменной х. Решение ищется на отрезке [О, !], включая и случай ! = +со.

Граничное условие при х = ! обеспечивает единственность решения задачи, !сС вЂ” оператор граничного условия. Согласно принципу Дюамеля, решением поставленной задачи является интеграл Дюамеля с" д и(х,!) = / — И'(х,! — т)сс(т) с!т, (4.28) р(!) =1: Рс[И'] = Ь,[И'], 0 < х < 1, ! > О, дсс И, — (х,О) =О, п=0,1,...,пс — 1, д!сс Ис(0,!) = 1, !1![Ит(1,!)] =О. Чтобы проверить справедливость высказанного утверждения, вос- пользовавшись очевидным соотношением дИ' дИ' — (х, ! — т) = — — (х, ! — т) д! ' дт и вычисляя интеграл по частям, получим в предположении существо- вания производной функции !с(!); Г д н(х, !) = — ! — И'(х, ! — т) р(т) с!т = ,/ дт о с с = — )4с(х, ! — т) сс(т) + / Ис(х, ! — т)1с'(т) с4т = о о с = р(0) И!(х, !) + И'(х, ! — т)р'(т) с!т. о (4.29) Подстановка на верхнем пределе равна нулю в силу начального усло- вия И'(х, 0) = О. Дифференцируя формулу (4.29), получим д"и д" Ис 1 д" Ит(х,! — т) — = !с(0) — +/ !с'(т) с!т, п = 0,1,2,...,тп.

д!и = д!е / д!и о 189 а где функция Ис(х, !) в свою очередь определена как решение исходной начально-краевой задачи для частного случая граничного условия Аналогично с д" и д" И' Г д" И'(.,1 — т), — = д(0) — +/ ' сс'(т) с1т, й = 1,2. дх" дх" ! дх" о и(0,1) = сс(0)Ис(0,1) + И'(0,1 — т)р'(т) с1т = о = 1с(0) + 1с'(т) с1т = 1с(1). о 2.

Начально-краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на полупрямой с граничным условием второго рода: 2 ис = а и е, хб3с+, 1>0, хаий и(х,О) = О, ди — = и(1), дх., (4.30) 1 > О. Аналогично тому как это было сделано в случае граничного условия Дирихле, задачу (4.30) можно решить, применяя интегральное косинус-преобразование Фурье с ядром соэ Лх.

Предлагаем читателю проделать эту работу самостоятельно. Мы построим решение данной задачи, исходя из физических соображений, а затем проверим удовлетворение им требуемым условиям. Граничное условие означает, что задан поток тепла, втекающего в стержень через сечение х = О, причем плотность потока, в силу закона Ньютона, определяется выражением — 1си (0,1) = — 1си(1), где й — коэффициент теплопроводности, связанный с коэффициентом температуропроводности а~ соотношением х = а'р.

Поэтому в силу принципа суперпозиции, воспользовавшись выражением 190 Из полученных соотношений в силу линейности уравнения следует, что интеграл Дюамеля (4.28) удовлетворяет исходному однородному уравнению при 0 < х < 1, 1 > О. Выполнения нулевых начальных и однородного граничного условий при х = 1 также очевидно. Остается проверить выполнение неоднородного граничного условия при х = О. В силу граничного условия Ис(0,1) = 1 имеем для функции Грина 61(х, с, С) (4.20) полуограниченного стержня при с = О, можно записать решение поставленной задачи в виде с и(х, С) = — а ) Сг(х, О, С вЂ” т) и(т) Ит = о с = - — ) е ° «-о — Нт. а Г а.'. и(т) Я) 1/С-т о Очевидно, что это выражение удовлетворяет в области П+ однород- ному уравнению и нулевым начальным условиям.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее