А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При этом граничное условие и(0,1) = 0 выполняется только при 1 > О. Из формулы (4.15) вытекает физический смысл функции ст(х, 6,1)'1. Функция сг1(х, С,1) дает значение температуры в точке х полубесконечного стержня в момент времени 1 > О, если в начальный момент 1 = 0 в точке х = с > 0 мгновенно выделяется количество тепла, равное ср =' р, а граничное сечение х = 0 все время поддерживается при нулевой температуре, для чего в точку х = — г, нужно поместить мгновенный точечный отрицательный источник.
2. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой для однородного граничного условия Неймана условия третьего рода: г и~ — — а и„, х,1Е й+, и(х, 0) = ~р(х), ди — — Ьи =0 дх .0 (4.22) (Л = сопв1). Предположим, что функция 1а(х) удовлетворяет условию согласова- ния начального и граничного условий у'(О) — Ьу(О) = О. 1а'(х) — Ь1а(х) = /(х), х < О, р(0) = 9Р(0), где правая часть уравнения имеет вид у(х) = -тт'(-х) + Ьт"(-х) (штрих есть производная по полному аргументу).
Решение задачи можно записать с помощью импульсной функции х у(х) = 1а(-х) + 2Ь е~1 «1р( — х) йх, х < О. о Итак, функция 1а(х) имеет вид /р(х), х>0, ~ у( — х) + 2Ь ( е"1' '11а( — х) Нх, х < О. 0 Из леммы вытекает, что решение задачи (4.22) можно записать в виде интеграла Пуассона (3.5) 183 Применим доказанную лемму. Для задачи (4.22) получаем ос —— = — Ь, а|=1, аь =О, Ь =2,3,...,Ф, Следовательно, Ф(х) = Ф (х) — Ь1а(х) и согласно лемме функцию 1с'(х) — Ьр(х) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным образом. Таким образом, функция ф'(х) — Ьф(х), где 1а(х) — продолжение у(х) на всю ось х — будет нечетной.
Очевидно, ф(х) = у(х) при х ) О. Для определения функции ф(х) при х < 0 получим задачу Коши где функция с (х, с, ~) определяется формулой (3.2). Запишем решение задачи (4.22) через функцию ~о(х): СО о и(х,2) = О(х,б,й)у2(б)22с+ 20(х,с,2)Щ)22с= о — 00 ОО о — а(хД, С) р(б) <б+ а(х,б, ~) р(-~) (б+ о — 00 о + 2Ь С(х,(,ф) Щ с~20 ')~2р( — х) 0Ь, Преобразуем второй и третий интегралы в правой части формулы. Во втором интеграле сделаем замену ( на — б: о ОО / 22(х, ч0, ~)у(-ч0) Ич0 = С(х, -ч0, 1)220(ч0) 22з0.
В третьем интеграле заменим х на — х и с на — с: о 0 2ь с(х2(2с) иб с~20 *22р( — х) 0)х = — 00 о 22) 00 — 2 2)22/ 22 20022*= о о = -2Ь р(х) Ых С(х, — б, й)е ~20 *2 д~. о Положив ц = ~ — х, будем иметь о 2Ь С(х2С2С) 2(С еа<4 ')у(-х) Ых = — 00 о = — 2Ь 2р(х) Нх с,(х,— х — я,Це ""йу= = — 2Ь С(х, — Ч вЂ” сьев)е аа 2)у у(() Нб. о о 184 В результате получаем следуюшее выражение для решения исходной задачи: »(*,2( = С«((а(*,« „2(+ а(*, -«,2(- о -221 а(,, «-22(,-"«2)2(«(«« о Обозначив 2«з(х,с« С) — «2(х«о 2 С) + 2«(х, о, С) — 2С«С(х, -С вЂ” й, С)е ао (С«С, о запишем решение в виде и(х,С) = Сз(х,(,С)у«(б)«СС'.
о Функция Сз(х,С,С) = ~е 2-22 +е 2"«вЂ” 2а2/яС 1 (4.23) — 2С«е Ж "" «С«С о 1 х = («С+ х+б+ 2азС«С), 2 а 1/С получаем о ,Су = 2а /С е ' ь «+( +«1" е ' (Сх = 2 222 а 2 С« / — С вЂ” «а««+Се+О«2 ф *+ ~ + 2а«/С является функцией Грина третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой. Преобразуем интеграл в формуле (4.23). Выделяя в показателе экспоненты полный квадрат и полагая Таким образом, иэ формулы (4.23) следует аэ(~,61) = а (*,61) — ' " '+*+ " 1 — Ф 3 2 / /х+ г+ 2агаг'л Л 2а С (4.24) где Ог(х,с,1) — функция Грина второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой, определяемая формулой (4.20).
Заметим, что функцию Грина Оз(х, с,1) можно записать в следующем виде: аз(х,6 г) = О(х,4,1) + а(х, — 61)— — Š— 2Ь С(х,п,1)с~и+э> йу, 2. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородными граничными условиями. Рассмотрим применение метода интегрального преобразования Фурье к решению начально-краевых задач для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородным граничным условием.
1. Начально-краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на полупрямой с граничным условием первого рода; г и1 — — а и хсрэ+, С>0, хай (4.25) и(х,О) = О, и(0, М) = д(С), 1 > О. Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье и что функция и(х,г) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ +со. Используем синуспреобраэование Фурье с ядром 61п Лх (см.
гл, 1, г 4).Обозначим образ Фурье функции и(х,г) через ЦЛ,1): Г2 / У(Л,1) = ~/ — / и((,1)в)пЛ~0(. л,/ о 186 Эта формула имеет простой физический смысл: для удовлетворения граничному условию третьего рода нужно в точку х = — б поместить источник, равный источнику, находящемуся в точке х = С, и, кроме того, добавить на отрицательной части действительной оси от — со до — С непрерывно распределенные источники, мощность которых экспоненциально стремится к нулю при й -+ — оо. Будем также предполагать, что выполнены условия возможности дифференцирования интеграла для П(Л, () по ( под знаком интеграла. Умножим уравнение задачи (4.25) на 7( — в(п Лх и проинтегрируем (2 (( я по х от О до +со: — ( а, (х, () вщ Лх с(х = аг)~ — ( и (х, () в(п Лх с(х . Проинтегрируем интеграл в правой части два раза по частям, учи- тывая граничное условие при х = О: и вспЛхс(х= Ли(О,() — Л~(7(Л,() =Л)с(() — Л (7(Л,().
/- о Принимая во внимание начальное условие, получаем следующую на- чальную задачу в пространстве образов: Пс+а Л и=д — гЛ)с((), (>О ЦЛ,О)аао. гг ~2 г Решение этой задачи можно записать с помощью импульсной функ- ции: с бс(Л () = — агЛ е ' л (' ~))с(т) с(т. о Для возвращения к оригиналу и(х, () используем формулу обратного синус-преобразования Фурье: Г2 с" и(х,() = )/ — ( ()(Л,() вспЛхс(Л = о — а Л (с т) вга Лх)с(т) с(Л с(т. о о Проинтегрируем внутренний интеграл по частям: 1' "" 'л' с -а Л (с-т) е а Ле ' (с т) в(пЛхс(Л = — вспЛх + о 2(( — т) о ( * е-а л (с т) совЛхсгЛ 2(( — т),/ о 187 и учтем, что (см. О 3) х*(ь т1 соя Лх,(Л = о р -а л (е-т)+злю 11 и тт,. > 2 2 а /à — т В результате получаем и(х,1) = — / е '" о-'> Йт.
à — а' — д(т) 2а Я / (1 — т)з(о о (4.26) Заметим, что формулу (4.26), выражающую решение задачи (4.25), можно переписать следующим образом: и(х,1) = / — Ит(х,1 — т)д(т) Йт, о (4.27) где функция Иг(х,1) = — / е ' ~Ь 2 ~г является решением вспомогательной начально-краевой задачи Иг, = а'Ит„, х Е И+, 1 > О, ИГ(х, 0) = О, Иг(0,1) = 1. Р~(и(х, С)] = Ь~]и(х, 1)], 0 < х < 1, 1 > О, 9пи — (х, О) = О, и = О, 1,..., гп — 1, д(» и(0,1) = д(1), И[и(1,1)] = О, 188 Интеграл (4.27) носит название интеграла Дюамеля.
Приведенный пример является частным случаем общего метода решения данного класса линейных начально-краевых задач, известного под названием принципа Дюамеля. Дадим его формальную схему для достаточно общего случая. Пусть требуется построить решение следующей начально-краевой задачи: где Рс — линейный дифференциальный оператор, содержащий частные производные по ! до порядка тп, А — линейный дифференциальный оператор второго порядКа по переменной х. Решение ищется на отрезке [О, !], включая и случай ! = +со.
Граничное условие при х = ! обеспечивает единственность решения задачи, !сС вЂ” оператор граничного условия. Согласно принципу Дюамеля, решением поставленной задачи является интеграл Дюамеля с" д и(х,!) = / — И'(х,! — т)сс(т) с!т, (4.28) р(!) =1: Рс[И'] = Ь,[И'], 0 < х < 1, ! > О, дсс И, — (х,О) =О, п=0,1,...,пс — 1, д!сс Ис(0,!) = 1, !1![Ит(1,!)] =О. Чтобы проверить справедливость высказанного утверждения, вос- пользовавшись очевидным соотношением дИ' дИ' — (х, ! — т) = — — (х, ! — т) д! ' дт и вычисляя интеграл по частям, получим в предположении существо- вания производной функции !с(!); Г д н(х, !) = — ! — И'(х, ! — т) р(т) с!т = ,/ дт о с с = — )4с(х, ! — т) сс(т) + / Ис(х, ! — т)1с'(т) с4т = о о с = р(0) И!(х, !) + И'(х, ! — т)р'(т) с!т. о (4.29) Подстановка на верхнем пределе равна нулю в силу начального усло- вия И'(х, 0) = О. Дифференцируя формулу (4.29), получим д"и д" Ис 1 д" Ит(х,! — т) — = !с(0) — +/ !с'(т) с!т, п = 0,1,2,...,тп.
д!и = д!е / д!и о 189 а где функция Ис(х, !) в свою очередь определена как решение исходной начально-краевой задачи для частного случая граничного условия Аналогично с д" и д" И' Г д" И'(.,1 — т), — = д(0) — +/ ' сс'(т) с1т, й = 1,2. дх" дх" ! дх" о и(0,1) = сс(0)Ис(0,1) + И'(0,1 — т)р'(т) с1т = о = 1с(0) + 1с'(т) с1т = 1с(1). о 2.
Начально-краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на полупрямой с граничным условием второго рода: 2 ис = а и е, хб3с+, 1>0, хаий и(х,О) = О, ди — = и(1), дх., (4.30) 1 > О. Аналогично тому как это было сделано в случае граничного условия Дирихле, задачу (4.30) можно решить, применяя интегральное косинус-преобразование Фурье с ядром соэ Лх.
Предлагаем читателю проделать эту работу самостоятельно. Мы построим решение данной задачи, исходя из физических соображений, а затем проверим удовлетворение им требуемым условиям. Граничное условие означает, что задан поток тепла, втекающего в стержень через сечение х = О, причем плотность потока, в силу закона Ньютона, определяется выражением — 1си (0,1) = — 1си(1), где й — коэффициент теплопроводности, связанный с коэффициентом температуропроводности а~ соотношением х = а'р.
Поэтому в силу принципа суперпозиции, воспользовавшись выражением 190 Из полученных соотношений в силу линейности уравнения следует, что интеграл Дюамеля (4.28) удовлетворяет исходному однородному уравнению при 0 < х < 1, 1 > О. Выполнения нулевых начальных и однородного граничного условий при х = 1 также очевидно. Остается проверить выполнение неоднородного граничного условия при х = О. В силу граничного условия Ис(0,1) = 1 имеем для функции Грина 61(х, с, С) (4.20) полуограниченного стержня при с = О, можно записать решение поставленной задачи в виде с и(х, С) = — а ) Сг(х, О, С вЂ” т) и(т) Ит = о с = - — ) е ° «-о — Нт. а Г а.'. и(т) Я) 1/С-т о Очевидно, что это выражение удовлетворяет в области П+ однород- ному уравнению и нулевым начальным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
