А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 25
Текст из файла (страница 25)
5. Решить начально-краевую задачу в круге: и~ —— с5и, г Е (0,5), р Е [0,2л], С Е (О,+оо), и(т, ср, 0) = О, г Е [О, 5), Со Е [О, 2л], и(5, 1о, С) = 8, ~р Е [О, 2л], С Е [О, +оо). 6. Решить начально-краевую задачу в круге: и1 = а Ьи, т Е (О,го), гр Е [0,2л], С Е (О,+оо), и(г, ~р, 0) = (Со, г Е [О, го), у Е [О, 2л], и (го,гр, С) = Л((Го+ аС вЂ” и), 1о Е [0,2л], С Е [О,+со). 7.
Решить начально-краевую задачу в круговом кольце: ис = а~Ли, т Е (гс, гт), ~р Е [О, 2л], С Е (О, +со), и(г, Р, 0) = (Го, г Е (гм гт), У Е [О, 2л], и„(гю1т,С) — Л|и(зс,Со,С)=0, 1рЕ[0,2л], (гюСг,С) + Лти(гр,~рС) = О, С Е [О,+оо). 8. Решить начально-краевую задачу в шаре: и,=а Ьи, МЕК"', СЕ(0,+оо), и(М,О) = (Со, М Е К"', и,[ = Л((Го+ аС вЂ” и), С Е [О,+оо).
9. Решить начально-краевую задачу в шаре: и~ = Ьи, М Е К , 1 Е (О, +со), и(М, 0) = 1, М Е К, и! з = 2, С Е (О, +со). 10. Решить начально-краевую задачу в шаре: и, = Ьи, М Е К, 8 Е (О, +со), и(М, 0) = О, М Е К, и„/ = Рт (совв)з)пу. 11. Решить начально-краевую задачу в шаре: ие — — Ьи, М Е К , С Е (О, +со), и(М, 0) = О, М Е К~, (и, + и)( = 5, 8 Е (О, +оо).
12. Решить начальную закачу на бесконечной прямой: иф —— 1~и~~, х Е Й, 1 Е (О, +оо), и(х,О) = е ' *, х Е Й . 13. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и~ — — ~и„, х ЕЙ, 8 Е (О,+оо), и(х,О) = е ' зшх, х Е Й'. 14. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: ис = ихх, х Е Й, 1 Е (О, +оо), и(х,О) = хе ', х Е Й~. 15. Решить начальную задачу иа бесконечной прямой: и, = и +вша, х ЕЙ~, С Е (О+со), и(х,О) = е ', х Е Й~. 16. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: ис = и„, х Е Й, С Е (О, +ос), и(х,О) =зш2х, х ЕЙ'. 17. Решить начально-краевую задачу на полупрямой; и6 — — а и»» — Ле "~, Л>0, и(х,О) = О, х б )й+, и(0, С) = СУо, С Е (О, +оо).
хаий~, С Е(0,+со), 18. Решить начально-краевую задачу на полупрямой: и6 = аги,, х Е )»~, С б (О, +со), и(х, О) = О, х Е )и~, и (О, С) = — о, С Е (О, +оо). 19. Решить начально-краевую задачу на полупрямой: и6 = а и, — Л(и — СУг), х Е )»+, С Е (О, +оо), и(х,О) = СУ1, х б )а~, и(0, С) = СУо, С Е (О, +со). Ответы. 60 — «» В *6 «»» 1. и(х,С) = г(5 — х)С вЂ” ф у ~~(1 — е (»Ув) ')вгп — "*.
»=1 2. и(х,С) = 2+ х+ г 2 г( — ~~:-~е (») 6вгпяих. «=1 3. и(х, С) = 3(1 — е ') (1 — Яг) + + 6 ~,' -„-+-1)-+"г(е " 6 — е ')вгп)6»х, »=1 16«)1 1 (6«) 4. и(т,у6,С)=2 ~„е 1«) ' ' ' 'вгпоо, 1 ) '6Уг()61 611(р1 т) »6=1 )6(1 ) (,У(()6~ ))) где,У1()61 ) = 0 (та = 1,2,...). Уо (н" ат) 5. и(т,С) = 8+16 2;,в е 1""Ув) ' »= и'УоЬ.) где,Уо(р») = 0 (и = 1, 2,... ).
где е Уо()6») + ЛУо(р») = 0 (и = 1,2,...). 214 6. 6,6)=6 6 66 6 —.1: "6-) .=1 Р'. Уо(Р») (и.' + Л'то) Глава 6 ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ Уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа используются при рассмотрении колебательных процессов различного вида. В данной главе изучаются методы решения начально-краевых задач для уравнения колебаний с постоянными коэффициентами в основных областях, как ограниченных, так и неограниченных. Пусть задана ограниченная область Р с кусочно-гладкой границей о. Начально-краевая задача для уравнения колебаний в области Р заключается в определении в цилиндре Я = Р х [О,оо) функции и(М, 1), удовлетворяющей уравнению колебаний, двум начальным и граничному условиям: и„= азии+ у(М,~), (М,~) б г) и/, = у(М), ис!, = Ф(М), ,ч + )у~!з р(Р, 1) [ген [а[+ффО, где и — внешняя по отношению к области Р нормаль к поверхности Я.
Поставленная начально-краевая задача является математической моделью процесса колебаний объема Р в отсутствие сопротивления под действием внешней силы, распределенной в пространстве и времени с плотностью р(МЩМ,~), где р(М) — плотность тела Р, с заданными начальными условиями и режимом на границе. Классическим решением начально-краевой задачи для уравнения колебаний называется функция и(М, 1), непрерывная вместе с первыми производными в замкнутом цилиндре Ь), имеющая непрерывные производные второго порядка в открытом цилиндре Я,,„удовлетворяющая в Я, уравнению, двум начальным условиям и граничному условию. Если граничное условие является условием Дирихле (о = О), то непрерывность первых производных по М в замкнутом цилиндре не требуется. 217 Начально-краевая задача с граничными условиями первого, второго и третьего рода (третья краевая задача ф+Сси~ = Сс(Р, С), Р Е д при Сс > 0) имеет единственное классическое решение.
Для сушествования классического решения необходимо (но недостаточно) выполнения условия согласования начальных и граничного условий следующего вида: а — +ду)з — — Сс(Р,О)(р з, а — +дФ)з =Ссс(Р,О))геж Если функции 1(М, С), ср(М), сссс(М), Сс(Р, С) удовлетворяют определенным условиям гладкости, то начально-краевая задача имеет классическое решение, в случае меньшей гладкости задача может иметь обобшенное решение. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний в неограниченной области будут рассмотрены ниже. Как было показано в гл.
1, можно провести редукцию общей начально-краевой задачи и представить ее решение в виде суммы и(М,С) =ис(М,С)+иг(М,С), где ис(М,С) — решение неоднородного уравнения с неоднородными начальными н однородным граничным условиями имс —— агс.'сис+ 1(М, С), (М, С) Е С"У и ~с с=С(М), и ), с=йМ), дис а — +дис~ =О, дп а иг(М, С) — решение однородного уравнения с однородными началь- ными и неоднородными граничными условиями игсс = а ссиг, (М,С) Е Се' и /с =О, игс!, =О, д +д" 'й =р(Рс))е,' 5 1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ С ОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ исс = а сап+1(М,С). (М,С) Е СУ и!с е = ~(М), ис1с а=4(М), а — + Суи / = О, /а / + ф ф О, а, Сс = сопзС . дп (1.1) 218 Рассмотрим начально-краевую задачу с однородными граничными условиями Таким образом, решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний в случае однородных граничных условий записывается в следующем виде: <мо = г р„..„Я + — ".",Я) л<м>.~ С «=1 а~/Х л с .~Й ..(м)1""'м""' '1.(.~м, л=1 о (1.4) ии - а Сап+ ЯМ)81по1С, (М,С) Е Я~, и)1 =О, и1/1 =О, и! =О. Решение этой эаДачи пРеДставлиетсЯ фоРмУлой (1.4) пРи 81« = 1Г« О, которую мы запишем следующим образом: и(М,С) = ~~~ ил(С)вл(М), «=1 где с 1 в1па~/Х„(С вЂ” т) ил(С) = У„ / " юпмтоСт, а1/~„ о А =,,Гт..(Ю СР .- Пв.!Р/' (1.5) гго где значения сл(г), 1ал и 1(1„определяются формулами (1.2) и (1.3).
Первое слагаемое в формуле (1.4) представляет собой решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями, а второе слагаемое — решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и однородным граничным условиями.
1 81пыС ) Пусть функция 1'(М,С) имеет вид 1(М)~ ). Физически это ~ сов1мС)' соответствует процессу колебаний объема 0 под действием периоди- Г 81пмС ) ческой силы, распределенной с плотностью р(М)С (М) С( 1совмС ) Предположим, сопротивление отсутствует, в начальный момент тело находилось в состоянии покоя и его граница остается неподвижной в процессе колебаний. Начально-краевая задача, моделирующая процесс таких колебаний, ставится следующим образом (для определенности рассмотрим случай синусоидальной зависимости от времени); Отсюда сразу видно, что если ~„, = О, то и»,(1) = О, Поэтому если у'(М) ортогональна к собственной функции э»,(М), то гармоника номера пе в объеме Р не возбуждается, какова бы ни была частота внешней силы.
Введем обозначение; иг„=а1/Х„. Величины го„являются собственными частотами области Р. Вычислим и»(1): 1 - ( и»(1) = — у» ~ (соз(аг„1 — (ы» + го)т) — соз(ы»1+ (го — го»)г) ) г(г. 2ог„",/ о Если аг ф ы», то у„ог„зги аг1 — иг 81 и иг„1 ,„2,2 Если ог = го», то применяя правило Лопиталя'1, получим и»(1) = — — 1 сов го„1. А 2ы» Таким образом, коэффициент и»,(1) номера пв будет неограниченно нарастать со временем (линейно по 1) только в том случае, когда ог = ы»ь и Д»е ф О.
В этом случае наступает явление резонанса. Итак, решение исходной задачи имеет вид; а) если иг ф ы» при всех п = 1,2,...,то оз ~ «,~п ОГ» ШПОГ1 МШПГ4»1 ы ы2-ы2 » » (1.6) где у„задано соотношением (1.6); б) если ы = ы»„то У» Ы» 81ПГгГ1 — Ы81ПЫ»1 У»о (М, 1) ~ — в„(М) — — 1 с „.1в». (М), »»1 .~-Ф'. (1.7) значение Д„, также определено формулой (1.5). Еще раз подчеркнем, что для наступления резонанса, т.е. неограниченного нарастания колебаний со временем под действием внешней 221 Смл Ильин В.А., Поз»лк Э.Г. Основы математического анализа.
Ч. 1. М.: Наука, 1982. периодической силы Г(М) в(пос1, необходимо выполнение двух усло- вий: ос = ос„, = ал/Л„ю и Г, ф О. Рассмотрим примеры решения начально-краевых задач для урав- нения колебаний в ограниченных областях. 1. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке 0 < х < 1: асс = а~и„, О < х < 1, 1) О, !с=о О, и,!с=о яп — х, и! =о и!, =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
