Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 29

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 29 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 292019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

2а,/ (3.10) о о-оСс-с1 251 Для вычисления внутреннего интеграла в фигурных скобках вос- пользуемся формулой (3.4). В результате будем иметь Из формул (3.5) и (3.9) следует формула для решение задачи (3.1) для неоднородного уравнения колебаний на бесконечной прямой с неоднородными начальными условиями: и(х,С) = ссг(х + аС) + са(х — аС) 2 + е+ас с *+с(с-с) + 2 '('(О К+ — 4~ И, ) К. (3.11) е-ас е х-а(с-с) исс=а и,.— с и, -сю< я<со, С>О, г и'(=е = р(х) " 1),=е = йх) (3.12) Решение. Для решения этой задачи используем преобразование Фурье.

Пусть ЦЛ, С) = — с и(х, С)е с«х с(х. «/2х у Применяя к уравнению и начальным условиям преобразование Фу- рье, аналогично тому как это сделано в предыдущих задачах, полу- чаем задачу Коши для образа У(Л, С): Усс+ (а Л + с~)У = О, С > О, (С),н, = Ф(Л), Ц,н, = й(Л), (3.13) где Ф(Л) = — са(х)е с«*с)х, «/2сс У 1 9)(Л) = — / с(с(х)е с«*с(х. ,2. / Решение задачи (3.13) имеет вид ср,С = Со >г ~~ ~~~-,- ср)"" "П с с '. 2о2 Рассмотрим теперь задачу Коши для несколько более сложного уравнения гиперболического типа. 3. Решить следующую задачу; Для определения функции и(х,1) используем обратное преобразова- ние Фурье (,1) = — ~Г (Г(Л,1) '" (Л= 1 ь/2сг г,„г Отсс~СО с) = — ) с'(О)с) ьтсрь и-;-О)с) 1сс. 1/2з Введем обозначения ° )*Ось — .'"О)с)-.сас'+"юсс„ 1 00 ио(х,1) = — / есхач)(Л) а)Л.

Преобразуем выражение для ио(х,1). Подставляя явное выражение для )р(Л), получаем 00 2 1 ) 0101)' »)*,О = — )' О)С)СС )' " 2х,/ ! Для дальнейших преобразований используем формулу ° ) / всп а~/Ь~ + Ло ,со(Ь~/а~ — хо) соеЛхс(х = с/б~+ Ло о Согласно этой формуле ОС ОЬЗОСР| с ,/РУ:ь ь с У -ас Поэтому Со ОС 00 = — ',1 ЫО СС 10 С. (-'~5 р-'*') С 10 -ае-"0 СС 4з а,/ — 00 — ОС 00 *1 См., напримерс Граошьпеан И.С., Резник И.М.

Таблиим интегралов, сумм, рядов и произведений. Мл Наука, 1971. 253 Поскольку — е '~с~ ~+') ал = Б(( — х+ в), 2х -'1 можем записать ас 00 ив — — асс сс Р— — 1 дв се)'(()в(( — х+ в) Н( = Од аС ( — ( Уе с)((Р— — )ф(х — в)Нв= -ас а+аС , / „.„.(.,~:т'.')'),. а-ас Заметим, что ,)*,д) = — ( — / ""а)д) дд( С ) Поэтому решение можно записать в виде и(х,С) = — — / )р((),Уе( с Р— 1 ад+ дй 2а,/ а а-ас +,— ' ~ д)ос.(а)гд'-)*,с) )а.

Вычислив производную в первом слагаемом, получим )р(х + а1) + ))))(х — ас) и(х,с) = а+ад ад 2 (Х Я (~) а-аС вЂ” д)С)А(,ф' — *, )дс. )3.~4) 2в4 Заметим, что при с = 0 написанная формула переходит в формулу Даламбера. 1 4. ЭА,ЦАчИ ДЛЯ УРАБНЕНИЯ кОлеБАний нА пОлтспРямОЙ Начально-краевая задача для уравнений колебаний на полубесконечной прямой х > 0 с граничными условиями первого, второго и третьего рода ставится следующим образом: ип = а~и, + У(х, С), х > О, С > О, и/, = ~р(х), ис!, = Ф(х), ° + Суп ~., = д(С), где )а)+ ф ф О. При а = О, СЗ = 1 получается задача Дирихле, при а = 1, Су = 0 — задача Неймана, при а ~ О, СЗ ф 0 — третья краевая задача. Классическим решением начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний на полуограниченной прямой называется функция и(х, С), непрерывная вместе с первыми производными в замкнутой области Йв — — Й+ х [О, оо), имеющая непрерывные производные второго порядка в открытой области П~, удовлетворяющая в Пв уравнению колебаний, начальным и граничному условиям.

Классическое решение начально-краевой задачи может существовать лишь при выполнении условий согласования начальных и граничных условий а~р'(0) + СУр(0) = р(0), атУ(0) + Слг(0) = и'(0). В силу линейности начально-краевой задачи можно провести ее редукцию и представить решение и(х, С) в виде суммы и = и~ + ию где и~ (х, С) — решение задачи с однородными граничными условиями и и~(х, С) — решение задачи для однородного уравнения с однородными начальными и неоднородными граничными условиями.

Редукцию можно продолжить и представить функцию и~(х, С) в виде суммы двух функций — решений начально-краевых задач для однородного и неоднородного уравнений. 1. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничными условиями.

При решении начально-краевых задач на полупрямой для уравнения колебаний с однородными граничными условиями используются различные методы: метод интегрального преобразования Фурье, 255 метод распространяющихся волн, метод продолжения и др. В следующем пункте, посвященном решению начально-краевых задач с неоднородными граничными условиями, рассматривается применение метода интегрального преобразования Фурье и метода распространяющихся волн. В настоящем пункте излагаются основные положения метода продолжения, весьма удобного и эффективного в случае однородных граничных условий. Для изложения основных положений метода продолжения нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Пусть функции )е(х), с)с(х) н 1(х, С) определены прн -со < < х< со, С > О, имеют ограниченные производные по х до ))с-го порядка а линейные комбинации Ф(х) = ~~',акср~ )(х) ср(х) = ~~с акс))1 )(х), о к=о г'(х,С) = с ак дку(х,С) к=о где ак = сопок, lс = 0,1,...,Ж,нечетные относительно точки х = О. Тогда функция О(х, С) = )а(х + аС) + ср(х — аС) 2 + акаС С а+а(с-.) О а-а)с-с) а-«С удовлетворяет условию дки(х,С) дх к=о (4.2) да и(х, С) 1 с)к ,Ск дхк 2 ССхк = — 7 ак — )а(х + ас) + — У ак — )а(х — аС) + 2 а ССхк к=о к=о к с «Сс- ) ССкс)с(х+ О 1 Г /' ч дкУ(х+ (,т) дх" о -«Сс-т) (4.3) ас + —,' ~ -ас 266 Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию из производ- ных функции О(х, С), сделав в интегралах формулы (4.1) замену б на г, + х: Учтем,что С"с(с(х+ 6) с("Ф(х+ () д»Г(х+ (, г) д»Г(х+(, г) ссхк = ссб» дхк — д»» подставим эти выражения в последнюю формулу и заменим в инте- гралах с на б — х; д»и(х, С) 1 )ч ак ' = — ) ак — Ф(х+ аС) + — ~ ໠— с)с(х — ОС) + дхк 2 с(х» 2 с(х» К=О »=О »=О х+аС ~, С х+а(С-х) ) К=О К=О х-аС О х-а(С-с) Положив х = О, получим д»и(х, С) Ф(аС) + Ф( — аС) к-о =О С а(С-с) аС + — ! Ф(4) с(4 + — / с(г ~ Р((,г) с(4 О, (4.4) 1 Г 1 2а! 2а с -аС О -а(С-с) поскольку функции Ф(х), Ф(х) и г(х,С) по аргументу х являются нечетными.

° исс — — а~и + Г(х,С), 0<х< со, и(х, 0) = (О(х), ис(х, 0) = Ф(х), да и ас,— = О. дхк »=О х=е С>0, (4.5) Продолжим функции у(х), с(с(х) и Г(х, С) на отрицательную полуось х < 0 так, чтобы функции Ф(х) = ~~с а»Ф(»)(х), Ф(х) = ~ ~а»с(с(~)(х), К=О К=О г"(х,С) = ~~с ас, д~Дх, С) К=О (4.6) 257 Приведенная лемма позволяет сформулировать следующий метод решения начально-краевых задач для уравнения колебаний на полу- прямой в случае однородных граничных условий. Пусть необходимо решить следующую начально-краевую задачу: где ср(х), 1(с(х), 7(х, С) — продолжения соответственно функций 1р(х), с)с(х), 7'(х, С) на всю прямую х, были нечетными.

Покажем, что функция и(х, С) = асс(х+ аС) + ср(х — аС) 2 + х+ас с х+а(с-с) + — ' )" сссссс~ — '1'с. 1' ссс, ссс (4.7) е х-а(с-т) при х > 0 является решением задачи (4.5). В самом деле, функция и(х, С) удовлетворяет неоднородному уравнению колебаний на бесконечной прямой -со < х < со (см. з' 3) и, следовательно, на полупрямой х > О, поскольку С (х, С) = С (х, С) при х > О. Функция и(х,С) удовлетворяет начальным условиям задачи (4.5), поскольку 1а(х) = са(х), с))(х) = с)с(х) при х > О.

И наконец, функция и(х, С) удовлетворяет граничному условию задачи (4.5) в силу леммы. Таким образом, и(х, С)— : 0(х, С), х > О. Приведем примеры использования метода продолжения для решения начально-краевых задач. 1. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничным условием Дирихле исс — ази, х>0, С>0, и(х, 0) = 1р(х), ис(х, 0) = с))(х), и(0, С) = О. (4.8) у(х), х>0, ~ с((х), х>0, 1а( ) = С(х) = (4.0) -ссс(-х), х < О, ( -с)с(-х), х < О. ж Перепишем формулу (4.1) при 7(х, С) = 0: х+аС сса(х+ аС) + ф(х — аС) 1 2а (4.10) х-аС 2в8 Воспользуемся леммой.

Поскольку для граничного условия Дирихле коэффициенты в формуле (4.2) имеют вид ае = 1, аь = О, lс = 1,2,..., сСС, будем иметь Ф(х) = ссс(х), сх(х) = с)с(х), и, для того чтобы решение задачи (4.8) можно было бы представить в виде (4.1), функции ус(х) и ссс(х) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным образом: выразив функции Ф и ф через функции ~р и са соответственно по формулам (4.9). Если выполнены условия х + аС > х — аС > О, то Ф(х ж аС) = 1а(х х аС), ф(х ш аС) = Ф(х ж аС). Если х — аС < О, то ф(х — аС) = — у(аС вЂ” х) и ф(х — аС) = — Ф(аС вЂ” х). Поэтому формула для решения задачи принимает вид х+аС ср(х+ аС) + 1а(х — аС) 1 / 2 2а / х-аС при 0 < С < —, х > О, — а' а+ ха ~р(х + аС) — 1р(аС вЂ” х) 1 + — ~ Ф(с)Сс 2 2а,/ и(х, С) = (4.11) аС-х х при — <С,х>0. Последнюю формулу можно переписать в более компактном виде: х+аС у(х+ аС) + ~р()аС вЂ” х)) вкп(х — аС) 1 с и(х, С)— + — ~' ФЫ)К, 2 2а,/ )х-ай С>О, х>О, где вйп(х) — сигнум-функция Кронекера, определяемая следующим образом: вйп(х) = 1, еслих>0, О, если х = О, — 1, солих<0.

2. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничным условием Неймана им = а~и„, х > О, С > О, (4.12) и(х, 0) = вх(х), ис(х, 0) = Ф(х), и (О, С) = О. 259 Снова воспользуемся леммой. Для граничного условия Неймана коэффициенты в формуле (4.2) равны ае = О, а1 — — 1, ав = О, й = 2, 3,...,сх'. Поэтому согласно формуле (4.6) Ф(х) = ф'(х), Ф(х) = 4'(х), и, для того чтобы решение задачи (4.12) можно было бы представить в виде формулы Даламбера (4.10), функции р'(х) и Ф'(х) нужно продолжить на отрицательную полуось х < 0 нечетным образом. По- скольку производная четной функции есть функция нечетная, функ- ции у(х) и О'(х) следует продолжить на отрицательную полуось чет- ным образом: ) оо(х), х>0, ) ~(х), х>0, ~ 1о( — х), х < О, ~~ (~( — х), х < О. Записывая решение задачи (4.12) в виде (4.10) и переходя от функций 1о и а(~ к функциям 1о и ~Р аналогично тому, как это было сделано в случае граничных условий Дирихле, получим ответ: «+«Ф ~р(х+ аС) + ~р(х — аС) 1 )о 2 2а,/ «-аФ при 0 < С < —, х > О, х — а' «+а1 аа-« 2 2а и(х,С) = о при — <С<со,х>0, х ив (4.13) который можно записать более компактно: и(х, С) = ~р(х + аС) + р((аС вЂ” х)) 2 + «+«Ф («-ай 1 ( +-( (а(еа~- к*-.о С' аюа), 2а (,/ о с>0, х>0.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее