Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 33

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 33 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 332019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

и(т,//,С) =сов// г Ав соваЛвС, 1/т й=! где а(г, Лв) = Лот/1/'/2(Лвт) — фаз/2(Лот), ( 1 ") в 3 2( в ) 2 з/2( в )1 й /2(Лот) = а(гг, Лв),/«/2(Лот) — Ь(г1, Лв)Ж«/2(Лот), ~" (т~ Вь/2(Лвтг) — г, Вь/г(Лот!)) гв (1 ГХЙТ) В2 (Л~т2) 21 (1 (7 2,)т) В2/2(ЛМ тг) а(гд, Л1,) Ь(т1, Л1,) а(гг, Лв) Ь(гг, Л11) 286 Глава 7 КРАЕВЬГЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 1 1. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬПА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Рассмотрим уравнение Гельмгольца (1.1) Аи+ си = О, с = сопэ1 в полярной системе координат (г, Р) и построим его решения, представимые в виде и(г, у) = А(г)Ф(Р), (1.2) Подставляя (1.2) в уравнение (1.1) и разделяя переменные, получим г~~(гф) + сгзЯ ф" = — — = Л. В(г) Ф(у) Отсюда получаем уравнение для функции Я(г); г~й'+ гВ'+ (сг~ — Л)В = О и уравнение для функции Ф(р): (1.3) Ф" + ЛФ = О.

288 В этой главе рассматривается метод разделения переменных для решения краевых задач для уравнения Гельмгольца. В случае двух переменных изучаются краевые задачи внутри круга, вне круга и в круговом кольце, а в пространстве — внутри шара, вне шара и шаровом слое. Методика решения краевых задач для уравнения Гельмгольца имеет много общего с методикой решения задач для уравнения Лапласа, рассмотренной в гл. П1. Поэтому сначала рассмотрим частные решения уравнения Гельмгольца в полярных и сферических координатах, а затем будем из них строить решения краевых задач в соответствующих областях.

Поскольку переменная у — циклическая, функция Ф должна быть периодической с периодом 2в. Следовательно, для определения Ф(р) получена задача Штурма-Лиувилля с периодическим условием Ф" + АФ = О, О < р < 2х, Ф(у+ 21г) = Ф(у) при любом х, Ф(у) е О, рассмотренная в гл. П, 8 2. Ее решения имеют вид (совпр, Ф„(~с) = ~ . ' Л=Л„= Рв, п=о,1,..., ( ьйп п1о, Подставляя найденное значение А„в (1.3), получаем гзВ" + гВ'+ (сгз — пз) В = О, Рассмотрим теперь отдельно случаи с > О и с < О. Пусть с = Хв > О. Общее решение уравнения гзВп+ гВ! + (йтгт пв) — О можно записать в виде В=В„(г) =С1Ю„(йг)+СгИ.(йг) или в виде В = В„(г) = А1 НП1(хг) + А2Н(21(хг), где 1,(х), Н„(х), Н„1(х), Н„(х) — функции Бесселя, Неймана, Ханкеля первого и второго рода п-го порядка соответственно.

Таким образом, при с = хз уравнение Гельмгольца Ьи+х и=О имеет следующие серии решений: (1.4) (1.5) (1.6) 289 ) ) в(ппу. ( совпу, Решения 3„(йг) ~ . ограничены при г = О, решения (1.5) — (1.7) ( в)ппр при г -+ О неограничены. При г — + оо решения ( совпу, и(в)(г,1о) = НО)(Ь) ~ ( в1п пу удовлетворяют условиям излучения вида П) — — Йи( ) = о~ — (. д~~» дг " ~,,/г) ' а решения „<г)(„) Н<г)(»г) ( 1 в(п пу удовлетворяют условиям излучения вида и (2) — +(йи(г) = о Рассмотрим теперь случай с = — мв ( О. Общее решение уравнения гвНп + гЯ~ — (мзда 2+ пв)Я вЂ” О можно записать в виде В = К (г) = С1 1„(мг) + С2К„(мг), Ьи — мзи = О на плоскости имеет следующие серии решений: причем решения ( совпу, 1„(мг) ~, и = 0,1,...,со ~ в1ппу, (1.8) 290 где 1„(х) и К„(х) — функции Инфельда и Макдональда и-го порядка соответственно.

Следовательно, уравнение (' сов иво, К„(м) ~ . и=0,1,...,оо в(п и(о, (1.9) неограничены при т -+ О и равномерно стремятся к нулю при т -+ оо. 5 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи + й и = О ВКУтРи кРУРА Построив частные решения уравнения Гельмгольца в полярной системе координат, перейдем к рассмотрению краевых задач. Начнем с краевой задачи внутри круга: Ьи+ /сои = О в круге О < т < о, (2.1) а — +)уи = 1((о), (а)+ ()1) ~ О, а,)3 = сопв(.

(2.2) дт т=» Решение этой задачи будем строить в виде ряда по частным решениям (1.4), ограниченным при т = О; Ао Оо и(т, (о) = — Уо(»т) + У 1„(lст)(А» сов яр+ В„в(п п<р), (2.3) 2 »=1 коэффициенты которого определяются из граничного условия (2.2).

Подставляя (2.3) в граничное условие (2.2) и разлагая функцию у(р) в тригонометрический ряд, получим А„а — 1»(Ь ) + )уо»(/ст) д В„д 1„(1~) + )31„(Й~) д 1т(с) (2.4) — т(8) (2. 5) где у»(') и у»(') — коэффициенты Фурье функции у((о); у(') = — 1 Д(о) сов и(од(о, 1 о о» 1 Р У( ) = — / У(ч) в и ярда о (2.6) Если прн всех и = О, 1,..., со а)о3»(ка) + )17»()оа) ~ О, 291 ограничены при т = О и неограниченно возрастают при т -+ со, а решения то из (2.4) и (2.5) все коэффициенты А„и В„определяются одно- значно, и решение (2.3) имеет вид 1 (,) ув(Ь.) 2 в о/с,Я()6а) + Р Ув()са) ~.( ) + 6, (~„6 сова»6+ 1„6 вбил. (2.7) В этом случае решение краевой задачи (2.1), (2.2) существует и единственно. Если о/6~1(/са) + )1,6»(/са) = О при п = пв,то соотношения А»,(о)6,7„',Яа) + (16»,()6а)) = ~~~), В»6(о)61„,()6а) + (),)»6(ва)) = у(,) (2.8) (2.9) непротиворечивы лишь при условии 7'„', = Д', = О.

Если же хотя бы один из коэффициентов 7„, и Д, отличен от нуля, то соотноше- (С) (6) ння (2.8), (2.9) противоречивы, и исходная краевая задача (2.1), (2.2) решения не имеет. Условие оЫ„',(/са) + )1,6'„,()са) = О Ьи+ Ли = О в круге О < г < а, о — +)Зи( =О, ифО, ди (2.10) при этом )62 = Л(»",'). Таким образом, если )62 является собственным значением оператора Лапласа для круга, то краевая задача (2.1), (2.2) либо не имеет решения, либо решение существует, но неединственно.

Если (Д, )+),("„( ~ О, то решения краевой задачи (2.1), (2.2) не существует. (6) (6) Если Д»', = 7», = О, то из соотношений (2.4), (2.5) все коэффициенты А„н В„при и ф ив определяются однозначно, а коэффициенты А„, и В„, остаются произвольными. Поэтому решение краевой задачи в этом случае имеет вид и = (А„, сов па(6+ В„, в(пиву)У»,(lсг) + + ~~~, (Л»' совп~з+ ~» в1пп)6), (2.11) 1»()6г) (6) . )6 „(/6 ) где А„, и В„, — произвольные постоянные. 292 эквивалентно условию; )66 является собственным значением следую- щей задачи Штурма — Лиувнлля для круга: 5 3.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ йои = О ВНЕ КРУГА Для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения Ьи+ »ли = О на бесконечности нужно поставить дополнительное условие — условие излучения, выделяющее уходящую волну. Па плоскости условие излучения имеет внд либо ди . /1 — — йи =о~ — /) при т-~ со, (,/,) (3.1) либо ди . (1 — + йи = о~ — /) при т -+ оо.

дт ~,,/т/ (3.2) И то и другое условие выделяет единственное решение, но зтн решения различны. Рассмотрим, например, следующую задачу вне круга: Ьи+)о~и=О т>а, дт ди . (1 — — йи = о( — ( при т — + со. дт (,л/т,) Заметим, что коН» (яа) — ВН„(йа) ф О при действительных йа, ВР В) о и д при всех и = 0,1,...,оо.

Подстановка в граничное условие позволяет определить коэффициенты А» и В„; 1 — / Ц)о) соо пу ~Бр, и ~ О, о 2» 1 //()о)д~, о 2» 1 ( — 1 /()о) ощ п)о д)о. о А — У( ) Ао =/о 1») (3 А) В„= ~~*) 293 Решение поставленной задачи следует искать в виде разложения в ряд по системе решений (1.6), удовлетворяющих данному условию излучения: Н~1 )(йт) и = ) П), " < ) (А„сезар+В„о1ппу). (3.3) »-о ойН» (аа) — дН» (йа) Решение краевой задачи с условием на бесконечности вида (3.2) выражается через решения (1.7).

Например, краевая задача Гэи+ )с~и = О вне круга; г > а, и~ = Д(о), ди, /1 ( — + с(си = о~ — у( при г -+ со. дг ~„/г) имеет решение (е) Н( )(/са) „1 Н( ~((са) Н,")(йг) " Н(')(Ь) и = Ао о ) + ~ ~" (А соэтиР+ Вн э(пп(о), (3.5) Но' ()са) =1 Н"' ("а) где коэффициенты А„и В„определяются формулами (3.4). При изучении поведения функций Н„(х) при и -+ оо следует (1) учесть, что формула Н(')(х) — ( — (- ), и > О ,1'(и) ) х1 " е-ее к (,2 ) (3.6) определяет поведение функции Ханкеля не только при малых х, но описывает поведение Н„(х) и в том случае, когда и » х, т.е.

при (1) фиксированном аргументе х и и -+ со (на доказательстве этого утверждения мы не останавливаемся, отсылая читателя к специальной литературе, где можно найти более тонкие оценки' )). Отсюда следует, что Н(')(й.) Ы" при и -+ со. Н( )((са) (3.7) Эта оценка обеспечивает сходимость ряда (3.5) всюду вне круга (при г> а). Скос йеиссон Г.Н.

Теория бесселенмк функций. Ч. 1, 11. Мс ИЛ, 1949. 294 гДе Гя' и Д' выРажаютсЯ чеРез гРаничнУю фУнкцию У((о) фоРмУ- лами (3.4). Внешние задачи для уравнения с) и+ )с~и = О обычно называются задачами дифракции. Они появляются при излучении распространения и рассеяния волн различной природы. Остановимся на вопросе сходимости полученных рядов. В качестве примера возьмем разложение По при вычислении суммы ряда (3.5) следует иметь в виду следующее обстоятельство.

Оценка (3.7) справедлива при и » йг. Поэтому при йа» 1 большое количество начальных членов ряда (3.5) имеют одинаковый порядок (их число [Йг]), и члены ряда начинают существенно убывать при и > Лг. Это приводит к тому, что при вычислении ряда (3.5) приходится суммировать большое число членов ряда, что вызывает определенные трудности. Условие йа» 1 соответствует тому случаю, когда длина волны Л, связанная с волновым числом соотношением й = 2х/Л, мала по сравнению с радиусом круга а: а/Л» 1.

В этом случае часто используются специальные методы суммирования соответствующих рядов. В противоположном случае йа «1 при суммировании ряда (3.5) трудностей не возникает, и можно ограничиться несколькими первыми членами ряда. Аналогичный характер сходимости имеют ряды и для других задач дифракции (в том числе и трехмерных). 1 4. КРАЕВЫЕ ЗА,ЦАНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ й и = 0 В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ Пусть Р— круговое кольцо: а < с < 6, 0 < у < 2х. Рассмотрим краевую задачу Дирихле Ьи+/с~и = 0 в 11, и[„. =/ь(ь), и[,=ь = /2(Р) (4.1) (4.2) (4.3) Построенные ранее системы частных решений (1.4)-(1.7) ограничены в 77.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее