А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 33
Текст из файла (страница 33)
и(т,//,С) =сов// г Ав соваЛвС, 1/т й=! где а(г, Лв) = Лот/1/'/2(Лвт) — фаз/2(Лот), ( 1 ") в 3 2( в ) 2 з/2( в )1 й /2(Лот) = а(гг, Лв),/«/2(Лот) — Ь(г1, Лв)Ж«/2(Лот), ~" (т~ Вь/2(Лвтг) — г, Вь/г(Лот!)) гв (1 ГХЙТ) В2 (Л~т2) 21 (1 (7 2,)т) В2/2(ЛМ тг) а(гд, Л1,) Ь(т1, Л1,) а(гг, Лв) Ь(гг, Л11) 286 Глава 7 КРАЕВЬГЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 1 1. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬПА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Рассмотрим уравнение Гельмгольца (1.1) Аи+ си = О, с = сопэ1 в полярной системе координат (г, Р) и построим его решения, представимые в виде и(г, у) = А(г)Ф(Р), (1.2) Подставляя (1.2) в уравнение (1.1) и разделяя переменные, получим г~~(гф) + сгзЯ ф" = — — = Л. В(г) Ф(у) Отсюда получаем уравнение для функции Я(г); г~й'+ гВ'+ (сг~ — Л)В = О и уравнение для функции Ф(р): (1.3) Ф" + ЛФ = О.
288 В этой главе рассматривается метод разделения переменных для решения краевых задач для уравнения Гельмгольца. В случае двух переменных изучаются краевые задачи внутри круга, вне круга и в круговом кольце, а в пространстве — внутри шара, вне шара и шаровом слое. Методика решения краевых задач для уравнения Гельмгольца имеет много общего с методикой решения задач для уравнения Лапласа, рассмотренной в гл. П1. Поэтому сначала рассмотрим частные решения уравнения Гельмгольца в полярных и сферических координатах, а затем будем из них строить решения краевых задач в соответствующих областях.
Поскольку переменная у — циклическая, функция Ф должна быть периодической с периодом 2в. Следовательно, для определения Ф(р) получена задача Штурма-Лиувилля с периодическим условием Ф" + АФ = О, О < р < 2х, Ф(у+ 21г) = Ф(у) при любом х, Ф(у) е О, рассмотренная в гл. П, 8 2. Ее решения имеют вид (совпр, Ф„(~с) = ~ . ' Л=Л„= Рв, п=о,1,..., ( ьйп п1о, Подставляя найденное значение А„в (1.3), получаем гзВ" + гВ'+ (сгз — пз) В = О, Рассмотрим теперь отдельно случаи с > О и с < О. Пусть с = Хв > О. Общее решение уравнения гзВп+ гВ! + (йтгт пв) — О можно записать в виде В=В„(г) =С1Ю„(йг)+СгИ.(йг) или в виде В = В„(г) = А1 НП1(хг) + А2Н(21(хг), где 1,(х), Н„(х), Н„1(х), Н„(х) — функции Бесселя, Неймана, Ханкеля первого и второго рода п-го порядка соответственно.
Таким образом, при с = хз уравнение Гельмгольца Ьи+х и=О имеет следующие серии решений: (1.4) (1.5) (1.6) 289 ) ) в(ппу. ( совпу, Решения 3„(йг) ~ . ограничены при г = О, решения (1.5) — (1.7) ( в)ппр при г -+ О неограничены. При г — + оо решения ( совпу, и(в)(г,1о) = НО)(Ь) ~ ( в1п пу удовлетворяют условиям излучения вида П) — — Йи( ) = о~ — (. д~~» дг " ~,,/г) ' а решения „<г)(„) Н<г)(»г) ( 1 в(п пу удовлетворяют условиям излучения вида и (2) — +(йи(г) = о Рассмотрим теперь случай с = — мв ( О. Общее решение уравнения гвНп + гЯ~ — (мзда 2+ пв)Я вЂ” О можно записать в виде В = К (г) = С1 1„(мг) + С2К„(мг), Ьи — мзи = О на плоскости имеет следующие серии решений: причем решения ( совпу, 1„(мг) ~, и = 0,1,...,со ~ в1ппу, (1.8) 290 где 1„(х) и К„(х) — функции Инфельда и Макдональда и-го порядка соответственно.
Следовательно, уравнение (' сов иво, К„(м) ~ . и=0,1,...,оо в(п и(о, (1.9) неограничены при т -+ О и равномерно стремятся к нулю при т -+ оо. 5 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи + й и = О ВКУтРи кРУРА Построив частные решения уравнения Гельмгольца в полярной системе координат, перейдем к рассмотрению краевых задач. Начнем с краевой задачи внутри круга: Ьи+ /сои = О в круге О < т < о, (2.1) а — +)уи = 1((о), (а)+ ()1) ~ О, а,)3 = сопв(.
(2.2) дт т=» Решение этой задачи будем строить в виде ряда по частным решениям (1.4), ограниченным при т = О; Ао Оо и(т, (о) = — Уо(»т) + У 1„(lст)(А» сов яр+ В„в(п п<р), (2.3) 2 »=1 коэффициенты которого определяются из граничного условия (2.2).
Подставляя (2.3) в граничное условие (2.2) и разлагая функцию у(р) в тригонометрический ряд, получим А„а — 1»(Ь ) + )уо»(/ст) д В„д 1„(1~) + )31„(Й~) д 1т(с) (2.4) — т(8) (2. 5) где у»(') и у»(') — коэффициенты Фурье функции у((о); у(') = — 1 Д(о) сов и(од(о, 1 о о» 1 Р У( ) = — / У(ч) в и ярда о (2.6) Если прн всех и = О, 1,..., со а)о3»(ка) + )17»()оа) ~ О, 291 ограничены при т = О и неограниченно возрастают при т -+ со, а решения то из (2.4) и (2.5) все коэффициенты А„и В„определяются одно- значно, и решение (2.3) имеет вид 1 (,) ув(Ь.) 2 в о/с,Я()6а) + Р Ув()са) ~.( ) + 6, (~„6 сова»6+ 1„6 вбил. (2.7) В этом случае решение краевой задачи (2.1), (2.2) существует и единственно. Если о/6~1(/са) + )1,6»(/са) = О при п = пв,то соотношения А»,(о)6,7„',Яа) + (16»,()6а)) = ~~~), В»6(о)61„,()6а) + (),)»6(ва)) = у(,) (2.8) (2.9) непротиворечивы лишь при условии 7'„', = Д', = О.
Если же хотя бы один из коэффициентов 7„, и Д, отличен от нуля, то соотноше- (С) (6) ння (2.8), (2.9) противоречивы, и исходная краевая задача (2.1), (2.2) решения не имеет. Условие оЫ„',(/са) + )1,6'„,()са) = О Ьи+ Ли = О в круге О < г < а, о — +)Зи( =О, ифО, ди (2.10) при этом )62 = Л(»",'). Таким образом, если )62 является собственным значением оператора Лапласа для круга, то краевая задача (2.1), (2.2) либо не имеет решения, либо решение существует, но неединственно.
Если (Д, )+),("„( ~ О, то решения краевой задачи (2.1), (2.2) не существует. (6) (6) Если Д»', = 7», = О, то из соотношений (2.4), (2.5) все коэффициенты А„н В„при и ф ив определяются однозначно, а коэффициенты А„, и В„, остаются произвольными. Поэтому решение краевой задачи в этом случае имеет вид и = (А„, сов па(6+ В„, в(пиву)У»,(lсг) + + ~~~, (Л»' совп~з+ ~» в1пп)6), (2.11) 1»()6г) (6) . )6 „(/6 ) где А„, и В„, — произвольные постоянные. 292 эквивалентно условию; )66 является собственным значением следую- щей задачи Штурма — Лиувнлля для круга: 5 3.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ йои = О ВНЕ КРУГА Для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения Ьи+ »ли = О на бесконечности нужно поставить дополнительное условие — условие излучения, выделяющее уходящую волну. Па плоскости условие излучения имеет внд либо ди . /1 — — йи =о~ — /) при т-~ со, (,/,) (3.1) либо ди . (1 — + йи = о~ — /) при т -+ оо.
дт ~,,/т/ (3.2) И то и другое условие выделяет единственное решение, но зтн решения различны. Рассмотрим, например, следующую задачу вне круга: Ьи+)о~и=О т>а, дт ди . (1 — — йи = о( — ( при т — + со. дт (,л/т,) Заметим, что коН» (яа) — ВН„(йа) ф О при действительных йа, ВР В) о и д при всех и = 0,1,...,оо.
Подстановка в граничное условие позволяет определить коэффициенты А» и В„; 1 — / Ц)о) соо пу ~Бр, и ~ О, о 2» 1 //()о)д~, о 2» 1 ( — 1 /()о) ощ п)о д)о. о А — У( ) Ао =/о 1») (3 А) В„= ~~*) 293 Решение поставленной задачи следует искать в виде разложения в ряд по системе решений (1.6), удовлетворяющих данному условию излучения: Н~1 )(йт) и = ) П), " < ) (А„сезар+В„о1ппу). (3.3) »-о ойН» (аа) — дН» (йа) Решение краевой задачи с условием на бесконечности вида (3.2) выражается через решения (1.7).
Например, краевая задача Гэи+ )с~и = О вне круга; г > а, и~ = Д(о), ди, /1 ( — + с(си = о~ — у( при г -+ со. дг ~„/г) имеет решение (е) Н( )(/са) „1 Н( ~((са) Н,")(йг) " Н(')(Ь) и = Ао о ) + ~ ~" (А соэтиР+ Вн э(пп(о), (3.5) Но' ()са) =1 Н"' ("а) где коэффициенты А„и В„определяются формулами (3.4). При изучении поведения функций Н„(х) при и -+ оо следует (1) учесть, что формула Н(')(х) — ( — (- ), и > О ,1'(и) ) х1 " е-ее к (,2 ) (3.6) определяет поведение функции Ханкеля не только при малых х, но описывает поведение Н„(х) и в том случае, когда и » х, т.е.
при (1) фиксированном аргументе х и и -+ со (на доказательстве этого утверждения мы не останавливаемся, отсылая читателя к специальной литературе, где можно найти более тонкие оценки' )). Отсюда следует, что Н(')(й.) Ы" при и -+ со. Н( )((са) (3.7) Эта оценка обеспечивает сходимость ряда (3.5) всюду вне круга (при г> а). Скос йеиссон Г.Н.
Теория бесселенмк функций. Ч. 1, 11. Мс ИЛ, 1949. 294 гДе Гя' и Д' выРажаютсЯ чеРез гРаничнУю фУнкцию У((о) фоРмУ- лами (3.4). Внешние задачи для уравнения с) и+ )с~и = О обычно называются задачами дифракции. Они появляются при излучении распространения и рассеяния волн различной природы. Остановимся на вопросе сходимости полученных рядов. В качестве примера возьмем разложение По при вычислении суммы ряда (3.5) следует иметь в виду следующее обстоятельство.
Оценка (3.7) справедлива при и » йг. Поэтому при йа» 1 большое количество начальных членов ряда (3.5) имеют одинаковый порядок (их число [Йг]), и члены ряда начинают существенно убывать при и > Лг. Это приводит к тому, что при вычислении ряда (3.5) приходится суммировать большое число членов ряда, что вызывает определенные трудности. Условие йа» 1 соответствует тому случаю, когда длина волны Л, связанная с волновым числом соотношением й = 2х/Л, мала по сравнению с радиусом круга а: а/Л» 1.
В этом случае часто используются специальные методы суммирования соответствующих рядов. В противоположном случае йа «1 при суммировании ряда (3.5) трудностей не возникает, и можно ограничиться несколькими первыми членами ряда. Аналогичный характер сходимости имеют ряды и для других задач дифракции (в том числе и трехмерных). 1 4. КРАЕВЫЕ ЗА,ЦАНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ й и = 0 В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ Пусть Р— круговое кольцо: а < с < 6, 0 < у < 2х. Рассмотрим краевую задачу Дирихле Ьи+/с~и = 0 в 11, и[„. =/ь(ь), и[,=ь = /2(Р) (4.1) (4.2) (4.3) Построенные ранее системы частных решений (1.4)-(1.7) ограничены в 77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
