А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для решения поставленной задачи удобнее использовать систе- мы действительных решений у„(яг), Ф„(Ь.) ( сов пР, и('1(г, Р) = Л<'1(г) ~ . ( яппр (4.4) Г сов пу, .1 1(,.) =<1() ~ ~ яппР, (4.5) 295 При этом, как было указано при рассмотрении аналогичной задачи для уравнения Лапласа (см. гл. П, з 4), удобно из этих систем построить две другие системы, одна из которых удовлетворяет однородному условию г = а, а другая — однородному условию при г = 6. Такими системами являются где Я(")(т) = а'„(кт)И„(ко) — а',а(lса)))(„(1т), Я(Ь)(т) = 3„(ат)Х„(И) — а' ()СЬ)Х ()Ст), и(а)( О и(ь)( О Решение краевой задачи (4.1)-(4.3) будем искать в виде " В(')(т) и = ~~~ ( (А„соеп(с+ В„э(пи(а1+ »»0 ~» (~) В(Ь)(т) + ~ ) (С„соэпьг+ О„э(пи(а). (4.6) В(')(е) Подставляя (4.6) в граничное условие (4.2) и разлагая уг ((с) в тригонометрический ряд, получим, учитывая, что Я„= О, соотношения (а) С„= У~'„), (4.7) где (г» и 1,„— коэффипиенты Фурье функпии уг (р).
Аналогичным (с) (Б) образом из граничного условия (4.3) получаем .4 = гсг (с) (4.8) ~г„и ~㻠— коэффициенты Фурье функции Уг(ус). (с) ( ) Разрешимость краевой задачи (4.1)-(4.3) исследуется аналогично тому, как это сделано в г 2, поэтому здесь не будем проводить подробный анализ (который читатель легко может провести самостоятельно), а укажем лишь окончательный результат. Если йг не является собственным значением задачи Штурма— Лиувилля для кольца гьи+Аи = О в В, и~, = О, и~ „ = О, и ~ О, (4.9) то В„"'(6) ф О и В (а) )Е О при всех п = О, 1,..., оо, все коэффициенты А„, В„, С„, Р» однозначно определяются из (4.7) и (4.8). Краевая задача (4.1) — (4.3) имеет и при этом единственное решение, которое представляется формулой са (а) и = г (уг„соэ пас + (г„з(п п(с) + ч В» (~) (с) () »се сс» (а) 296 аа (ь) + ~~~ < (~д(„) сов п<а+ ~д(„) эдип<а). (4.10) а=в В~ (а) Если <ад является собственным значением задачи (4.9), то краевая задача (4.1) — (4.3) либо не имеет решения, либо решение существует, но неединственно.
В этом случае при некотором целом значении и = пв В(') (Ь) — В(ь) (а) — О /ад — Л(" ) ЕСЛИ ХОтя бЫ ОДИН ИЗ КОЭффнцнсптОВ ФурЬЕ Уд„,, Дда,, д'да, И д 2„, НЕ (а) (а) (а) (Б) равен нулю, то исходная краевая задача (4.1) — (4.3) не имеет решения. Условием разрешимости при )ад = Л(„",') является требование У('„), = У~(„'), = Х~('„), = У~(„'), —— О. Решение при этом имеет вид В» (д ) (а) (а) [ада с'два<а + ада вдп пда) + (а) . „к„,1 В„')(Ь) Ва (г) <ь) + [~д„совпуд+1д„вдппд<д) + () .
В„(а) + В(;) (г) (А„, сов пеуд+ В„, вдп по9д) + + В<~~(г)(С„, созову+ Ва, вдп пеьд), где А„„В„„С„, и Р„, — произвольные постоянные. Аналогичным образом решаются и другие краевые задачи для уравнения Ьи+ <ада = 0 внутри кругового кольца. 5 Ь. КРАЕВЫЕ ВАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хди = 0 ВНУТРИ КРУГА Краевые задачи для уравнения дхи — хди = 0 несколько проще, чем краевые задачи для уравнения дав+ 1~и = О. Это связано с тем, что при достаточно гладких (непрерывных) граничных функциях первая, вторая и третья (при Ь > 0) задачи всегда имеют единственное решение. Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для круга д'.ди — хди = О, О < г < а, и[„. = У(Р).
297 Решение этой задачи будем искать в виде ряда по частным решениям (1.8), ограниченным при г = 0: и = Ао + ~ ~" (А» сов пр+ В» яп пр). (5.1) 1о(хг) 1»(хг) 1о(ха) 1»(ха) »=1 Подставляя (5.1) в граничное условие и разлагая Д22) в тригономе- трический ряд, сразу находим коэффициенты А„=,1~'1 = — / ~(~р) сов п(вйр, а о 2» Ао=(о 2 о 2» () 11 В» = ~~'1 = — / ~((о) вш п(2 Ьр, и = 1,2,...,оо, (5.2) и = 1,2,...,со. о Аналогичным образом решаются вторая и третья задачи. Например, третья краевая задача Аи — хви=О, 0<г<а, ди — + Ьи~ = 1((о), Ь = сопво > О, дг !а=а имеет решение 1о (хг) х1о(ха) + 51о(хо) 1» (х1') + ~, (А» сов п12+ В» япп(о), »=1 (5.3) 1 в.
кРАеВые 3АдАни для тгРАВНЕНИЯ сви — хви = 0 ВНЕ КРЕЙГА Для выделения единственного решения данной краевой задачи для уравнения»ви — хви = 0 следует поставить дополнительное условие равномерного стремления решения к нулю на бесконечности. Рассмотрим внешнюю краевую задачу для круга Аи — хоп=О, г>а, 298 где коэффициенты А» и В» определяются формулами (5.2). При Ь = 0 формула (5.3) дает решение задачи Неймана. ди о — — )Уи!т — о=О, /о!+ф)фО, о>0, )3>0, дг и ~ 0 при г -+ оо.
Решение этой задачи строится в виде ряда по частным решениям (1.9), удовлетворяюшим условиям на бесконечности: Ко(хг) и = Ао охКо(ха) — )тКо (ха) К„(х г) + от, " (А„сов ар+ Во в1п ттр), о он (6.1) коэффициенты которого находятся из граничного условия и опреде- ляются формулами (5.2). 5 7. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хти = 0 В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ Пусть Р— круговое кольцо: а < г < Ь, 0 < 1о < 2я. Рассмотрим задачу Аи — хоп = 0 в Р, и~„.=ЯР), и(, ь=Л(р) (в)птир (вшпр, где В~~)(т) = 1о(хт)Ко(ха) — 1„(ха)К„(хг), В®(т) = !о(хт)Ко(хЬ) — 1о(хЬ)Ко(хт), причем В~;~(а) = О, ВЙ(Ь) = О.
Решение исходной задачи будем искать в виде оо В(о)(т) и = ~~~ " (А„сов ар+ В„в)ппр) + Р(о)(Ь) оо В(о) ( + ~ ~",) (С„сов ар+ П„в1п р). В~()( ) 299 Для облегчения определения коэффициентов разложения из систем частных решений (1.8) и (1.9) построим две другие системы решений, одна из которых удовлетворяет нулевому граничному решению при г = а, другая — при г = Ь. Таковыми являются системы решений Подставляя в граничное условие, сразу определяем коэффициенты А„= у,'„, в„= у,'„, с„= у,'„, и„= у,'„, (с) (в) (с) (в) где Уд„, У „— коэффициенты Фурье функции У1()с), (с) (в) У('„), У('„) — коэффициенты Фурье функции Ут((г).
5 6. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ всРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Для того чтобы построить решения краевых задач для уравнения Гельмгольца внутри шара, вне шара и в шаровом слое, построим методом разделения частные решения уравнения Гельмгольца сви+ си = О, с = сопз( в сферической системе координат (т, (), )с), представимые в виде и(т, д,(г) = В(г)и((), сс). Подставляя искомый вид решения в уравнение Гельмгольца и разде- ляя переменные, получим — г — + стгВ В(т) и((), (с) где Ьа„и — сферический оператор Лапласа. Отсюда получаем урав- нение для В(г): ~г — + (св — Л)В = 0 и г~(В~ г (.(, (ту' (8.1) и уравнение для функции е(д, (с): ь +л =о.
(8.2) Решение уравнения (8.2) должно быть периодичным по (с с периодом 2я и ограниченным при д = 0 и й = я. Это дает задачу Штурма— Лиувилля Ьвги+ Ли = О, О < () < я, О < (с < 2я, зоо Аналогичным образом строятся решения других краевых задач для уравнения ваи — вски = 0 внутри кругового кольца. с(д, р+ 2в) = и(д, р) при всех д и р, /в(О,~р)! < оо, )е(х,(с)! < оо, в(д,(с) )е О. У„(~) (д, у) = Р(м) (сов д) 1 в1пго(с, причем ганя Л„= 2п+ 1.
Рассмотрим уравнение (8.1) при Л = п(п+ 1): гвене + 2гЯ + (сг~ — п(п+ 1)) Н = О. (8.3) Введем новую функцию соотношением В(г) = —. у(1) Тогда уравнение (8.3) примет вид гву" + гу'+ (сгв — (и+1/2) ] у= О. (8.4) Рассмотрим отдельно случаи: с > О и с < О. Пусть с = )сз > О. Тогда общее решение уравнения (8.4) можно записать в виде у = С 1„+~)~(йг) + СгУ„+1(г(хг) или в виде у = А1Н + (йг) + АзН +. (ьг), (1) (г) где Х„+1)г(х), ))(в+цг(х), Н„+ ( (х), Н„+ )в(х) — функции Бес- (1) (в) селя, Неймана, Ханкеля первого и второго рода порядка (и + 1/2) соответственно.
Таким образом, для уравнения построены четыре серии частных решений: ) +1)г(хг) ( ) °, ~п+цг(хг) ( ). )„(д,р), У„- (д,р), (8.5) зот Собственными значениями этой задачи являются Л = Л„= п(п+ 1), и = О, 1,..., оо, а собственными функциями — сферические функции У( )(В,у), У( )(В,(г), (8.6) и=0,1,...,оо, пг=0,1,...,п. Решения у( )(в ограничены при т = О, решения остальных трех серий неограничены при г -+ О. Решения удовлетворяет условию излучения в виде диет .
(П (1'~ (1) — Йи„= о(- ~ при г -+ оо, дг 1т/ а решения удовлетворяют при г -+ оо условию (г) (1 1 (2) +Йи„= о При с = — «г ( 0 уравнение (8.3) имеет вид т2у" + ту' [хгтг+ (и+ 1/2)21 у — О Его общее решение у = С11 +цг(хт) + СгК +цг(хт), где 1„+1)г(я) и к„+1(2(я) — функции инфельда и макдональда порядка (и + 1/2) соответственно. Следовательно, для уравнения Ьи-х~и= 0 построены две серии частных решений: 1 +1/2( т)у( )(в ) и к +1!2( т)у( )(в ) г 302 п=0,1,...,оо, та=0,1,...,п. Решения 1 ~1+с7в(сст)Ул ~(д ср) (8.7) равномерно стремятся к нулю при т — > со и неограничены при т -+ О.
5 9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ в~и = 0 ВНУТРИ ШАРА Решение краевых задач для уравнения Гельмгольца в трехмерном случае проводится полностью аналогично тому, как это сделано в двумерном случае. Поэтому в этом и последующих параграфах будут приведены окончательные результаты без подробных выкладок и объяснений. Начнем обзор результатов с внутренней краевой задачи для шара. Рассмотрим краевую задачу сап+ сс~и = 0 в шаре 0 < т < а, ои Р(и) = а — + 17и),— = у(д, р) . Решение этой задачи представляется в виде разложения по частным решениям, ограниченным при т = 0: ло л и = ~~,л — у„.ьцт (йт) Рл~~1(сов д) (А„~ сов сир + В„„, в(п пир) ~/т в=в л1=0 Коэффициенты А„и В„определяются из граничного условия.
Разложим функцию у(д, р) в ряд по сферическим функциям: у(д,р) = ~~~ ~ Р(~)(совд)(ф~ совт~р+ф~ вспту), л=влл=с где вл л — 7(а, ЯР~ 1(совЯсовспав1п13пдсса, о о (9.1) зоз ограничены при т = 0 и неограниченно возрастают при т -+ оо, а решения 1 — К„+с~в(сст)У~ 1(д, ~р) (8.8) 2»',,), = — г 7(д, а)Р( ~(сов д) в1п ига в1п))1(д1(а, (9.2) о о ))(2 = ц Р (~) (сов )2) / ) г ) / сов то а ) ! г, Фгг = ! ) Р (™) (сов д) ) / г ! / О1п та а ) ! г Если вг не совпадает ни с одним собственным значением задачи Штурма — Лиувилля внутри шара: Ьо+ Лв = О в шаре О < т < а, Р(в)/ =О, О)еО, (9.3) то все коэффициенты А„и В„определяются однозначно, и реше- ние имеет вид т-1)г и = ~ ' ~ ~Р«(совд)()»,„совпир+У»,„вгппг(с) У»+1/2(й ) (с«) (с) (с) 2-с Р (о-1/2У„+ )~()со)] Если )сг = Л1("'), где Л)("') — собственное значение задачи (9.3), т.е. корень уравнения 11 / 1 1 а — ) =,У»с+1)г (ГЛО)) + )2 — )«,+1)2(ГЛО) = О и все 1„, = О и )»,,„= О, то решение существует, но неединственно (с) (с) и имеет следующий вид: Р (совр)(Д«;„сов тпус+ Д«',„в1п пг(о) »=О »я»с + »2 Р„, (СОВ В)(А», СОВ ттиР+ В„, В1втПР), у«с+1/2(й1) % (,») т=О где А„, и В„, — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
