Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 34

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 34 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 342019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Для решения поставленной задачи удобнее использовать систе- мы действительных решений у„(яг), Ф„(Ь.) ( сов пР, и('1(г, Р) = Л<'1(г) ~ . ( яппр (4.4) Г сов пу, .1 1(,.) =<1() ~ ~ яппР, (4.5) 295 При этом, как было указано при рассмотрении аналогичной задачи для уравнения Лапласа (см. гл. П, з 4), удобно из этих систем построить две другие системы, одна из которых удовлетворяет однородному условию г = а, а другая — однородному условию при г = 6. Такими системами являются где Я(")(т) = а'„(кт)И„(ко) — а',а(lса)))(„(1т), Я(Ь)(т) = 3„(ат)Х„(И) — а' ()СЬ)Х ()Ст), и(а)( О и(ь)( О Решение краевой задачи (4.1)-(4.3) будем искать в виде " В(')(т) и = ~~~ ( (А„соеп(с+ В„э(пи(а1+ »»0 ~» (~) В(Ь)(т) + ~ ) (С„соэпьг+ О„э(пи(а). (4.6) В(')(е) Подставляя (4.6) в граничное условие (4.2) и разлагая уг ((с) в тригонометрический ряд, получим, учитывая, что Я„= О, соотношения (а) С„= У~'„), (4.7) где (г» и 1,„— коэффипиенты Фурье функпии уг (р).

Аналогичным (с) (Б) образом из граничного условия (4.3) получаем .4 = гсг (с) (4.8) ~г„и ~㻠— коэффициенты Фурье функции Уг(ус). (с) ( ) Разрешимость краевой задачи (4.1)-(4.3) исследуется аналогично тому, как это сделано в г 2, поэтому здесь не будем проводить подробный анализ (который читатель легко может провести самостоятельно), а укажем лишь окончательный результат. Если йг не является собственным значением задачи Штурма— Лиувилля для кольца гьи+Аи = О в В, и~, = О, и~ „ = О, и ~ О, (4.9) то В„"'(6) ф О и В (а) )Е О при всех п = О, 1,..., оо, все коэффициенты А„, В„, С„, Р» однозначно определяются из (4.7) и (4.8). Краевая задача (4.1) — (4.3) имеет и при этом единственное решение, которое представляется формулой са (а) и = г (уг„соэ пас + (г„з(п п(с) + ч В» (~) (с) () »се сс» (а) 296 аа (ь) + ~~~ < (~д(„) сов п<а+ ~д(„) эдип<а). (4.10) а=в В~ (а) Если <ад является собственным значением задачи (4.9), то краевая задача (4.1) — (4.3) либо не имеет решения, либо решение существует, но неединственно.

В этом случае при некотором целом значении и = пв В(') (Ь) — В(ь) (а) — О /ад — Л(" ) ЕСЛИ ХОтя бЫ ОДИН ИЗ КОЭффнцнсптОВ ФурЬЕ Уд„,, Дда,, д'да, И д 2„, НЕ (а) (а) (а) (Б) равен нулю, то исходная краевая задача (4.1) — (4.3) не имеет решения. Условием разрешимости при )ад = Л(„",') является требование У('„), = У~(„'), = Х~('„), = У~(„'), —— О. Решение при этом имеет вид В» (д ) (а) (а) [ада с'два<а + ада вдп пда) + (а) . „к„,1 В„')(Ь) Ва (г) <ь) + [~д„совпуд+1д„вдппд<д) + () .

В„(а) + В(;) (г) (А„, сов пеуд+ В„, вдп по9д) + + В<~~(г)(С„, созову+ Ва, вдп пеьд), где А„„В„„С„, и Р„, — произвольные постоянные. Аналогичным образом решаются и другие краевые задачи для уравнения Ьи+ <ада = 0 внутри кругового кольца. 5 Ь. КРАЕВЫЕ ВАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хди = 0 ВНУТРИ КРУГА Краевые задачи для уравнения дхи — хди = 0 несколько проще, чем краевые задачи для уравнения дав+ 1~и = О. Это связано с тем, что при достаточно гладких (непрерывных) граничных функциях первая, вторая и третья (при Ь > 0) задачи всегда имеют единственное решение. Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для круга д'.ди — хди = О, О < г < а, и[„. = У(Р).

297 Решение этой задачи будем искать в виде ряда по частным решениям (1.8), ограниченным при г = 0: и = Ао + ~ ~" (А» сов пр+ В» яп пр). (5.1) 1о(хг) 1»(хг) 1о(ха) 1»(ха) »=1 Подставляя (5.1) в граничное условие и разлагая Д22) в тригономе- трический ряд, сразу находим коэффициенты А„=,1~'1 = — / ~(~р) сов п(вйр, а о 2» Ао=(о 2 о 2» () 11 В» = ~~'1 = — / ~((о) вш п(2 Ьр, и = 1,2,...,оо, (5.2) и = 1,2,...,со. о Аналогичным образом решаются вторая и третья задачи. Например, третья краевая задача Аи — хви=О, 0<г<а, ди — + Ьи~ = 1((о), Ь = сопво > О, дг !а=а имеет решение 1о (хг) х1о(ха) + 51о(хо) 1» (х1') + ~, (А» сов п12+ В» япп(о), »=1 (5.3) 1 в.

кРАеВые 3АдАни для тгРАВНЕНИЯ сви — хви = 0 ВНЕ КРЕЙГА Для выделения единственного решения данной краевой задачи для уравнения»ви — хви = 0 следует поставить дополнительное условие равномерного стремления решения к нулю на бесконечности. Рассмотрим внешнюю краевую задачу для круга Аи — хоп=О, г>а, 298 где коэффициенты А» и В» определяются формулами (5.2). При Ь = 0 формула (5.3) дает решение задачи Неймана. ди о — — )Уи!т — о=О, /о!+ф)фО, о>0, )3>0, дг и ~ 0 при г -+ оо.

Решение этой задачи строится в виде ряда по частным решениям (1.9), удовлетворяюшим условиям на бесконечности: Ко(хг) и = Ао охКо(ха) — )тКо (ха) К„(х г) + от, " (А„сов ар+ Во в1п ттр), о он (6.1) коэффициенты которого находятся из граничного условия и опреде- ляются формулами (5.2). 5 7. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хти = 0 В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ Пусть Р— круговое кольцо: а < г < Ь, 0 < 1о < 2я. Рассмотрим задачу Аи — хоп = 0 в Р, и~„.=ЯР), и(, ь=Л(р) (в)птир (вшпр, где В~~)(т) = 1о(хт)Ко(ха) — 1„(ха)К„(хг), В®(т) = !о(хт)Ко(хЬ) — 1о(хЬ)Ко(хт), причем В~;~(а) = О, ВЙ(Ь) = О.

Решение исходной задачи будем искать в виде оо В(о)(т) и = ~~~ " (А„сов ар+ В„в)ппр) + Р(о)(Ь) оо В(о) ( + ~ ~",) (С„сов ар+ П„в1п р). В~()( ) 299 Для облегчения определения коэффициентов разложения из систем частных решений (1.8) и (1.9) построим две другие системы решений, одна из которых удовлетворяет нулевому граничному решению при г = а, другая — при г = Ь. Таковыми являются системы решений Подставляя в граничное условие, сразу определяем коэффициенты А„= у,'„, в„= у,'„, с„= у,'„, и„= у,'„, (с) (в) (с) (в) где Уд„, У „— коэффициенты Фурье функции У1()с), (с) (в) У('„), У('„) — коэффициенты Фурье функции Ут((г).

5 6. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ всРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Для того чтобы построить решения краевых задач для уравнения Гельмгольца внутри шара, вне шара и в шаровом слое, построим методом разделения частные решения уравнения Гельмгольца сви+ си = О, с = сопз( в сферической системе координат (т, (), )с), представимые в виде и(т, д,(г) = В(г)и((), сс). Подставляя искомый вид решения в уравнение Гельмгольца и разде- ляя переменные, получим — г — + стгВ В(т) и((), (с) где Ьа„и — сферический оператор Лапласа. Отсюда получаем урав- нение для В(г): ~г — + (св — Л)В = 0 и г~(В~ г (.(, (ту' (8.1) и уравнение для функции е(д, (с): ь +л =о.

(8.2) Решение уравнения (8.2) должно быть периодичным по (с с периодом 2я и ограниченным при д = 0 и й = я. Это дает задачу Штурма— Лиувилля Ьвги+ Ли = О, О < () < я, О < (с < 2я, зоо Аналогичным образом строятся решения других краевых задач для уравнения ваи — вски = 0 внутри кругового кольца. с(д, р+ 2в) = и(д, р) при всех д и р, /в(О,~р)! < оо, )е(х,(с)! < оо, в(д,(с) )е О. У„(~) (д, у) = Р(м) (сов д) 1 в1пго(с, причем ганя Л„= 2п+ 1.

Рассмотрим уравнение (8.1) при Л = п(п+ 1): гвене + 2гЯ + (сг~ — п(п+ 1)) Н = О. (8.3) Введем новую функцию соотношением В(г) = —. у(1) Тогда уравнение (8.3) примет вид гву" + гу'+ (сгв — (и+1/2) ] у= О. (8.4) Рассмотрим отдельно случаи: с > О и с < О. Пусть с = )сз > О. Тогда общее решение уравнения (8.4) можно записать в виде у = С 1„+~)~(йг) + СгУ„+1(г(хг) или в виде у = А1Н + (йг) + АзН +. (ьг), (1) (г) где Х„+1)г(х), ))(в+цг(х), Н„+ ( (х), Н„+ )в(х) — функции Бес- (1) (в) селя, Неймана, Ханкеля первого и второго рода порядка (и + 1/2) соответственно.

Таким образом, для уравнения построены четыре серии частных решений: ) +1)г(хг) ( ) °, ~п+цг(хг) ( ). )„(д,р), У„- (д,р), (8.5) зот Собственными значениями этой задачи являются Л = Л„= п(п+ 1), и = О, 1,..., оо, а собственными функциями — сферические функции У( )(В,у), У( )(В,(г), (8.6) и=0,1,...,оо, пг=0,1,...,п. Решения у( )(в ограничены при т = О, решения остальных трех серий неограничены при г -+ О. Решения удовлетворяет условию излучения в виде диет .

(П (1'~ (1) — Йи„= о(- ~ при г -+ оо, дг 1т/ а решения удовлетворяют при г -+ оо условию (г) (1 1 (2) +Йи„= о При с = — «г ( 0 уравнение (8.3) имеет вид т2у" + ту' [хгтг+ (и+ 1/2)21 у — О Его общее решение у = С11 +цг(хт) + СгК +цг(хт), где 1„+1)г(я) и к„+1(2(я) — функции инфельда и макдональда порядка (и + 1/2) соответственно. Следовательно, для уравнения Ьи-х~и= 0 построены две серии частных решений: 1 +1/2( т)у( )(в ) и к +1!2( т)у( )(в ) г 302 п=0,1,...,оо, та=0,1,...,п. Решения 1 ~1+с7в(сст)Ул ~(д ср) (8.7) равномерно стремятся к нулю при т — > со и неограничены при т -+ О.

5 9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ в~и = 0 ВНУТРИ ШАРА Решение краевых задач для уравнения Гельмгольца в трехмерном случае проводится полностью аналогично тому, как это сделано в двумерном случае. Поэтому в этом и последующих параграфах будут приведены окончательные результаты без подробных выкладок и объяснений. Начнем обзор результатов с внутренней краевой задачи для шара. Рассмотрим краевую задачу сап+ сс~и = 0 в шаре 0 < т < а, ои Р(и) = а — + 17и),— = у(д, р) . Решение этой задачи представляется в виде разложения по частным решениям, ограниченным при т = 0: ло л и = ~~,л — у„.ьцт (йт) Рл~~1(сов д) (А„~ сов сир + В„„, в(п пир) ~/т в=в л1=0 Коэффициенты А„и В„определяются из граничного условия.

Разложим функцию у(д, р) в ряд по сферическим функциям: у(д,р) = ~~~ ~ Р(~)(совд)(ф~ совт~р+ф~ вспту), л=влл=с где вл л — 7(а, ЯР~ 1(совЯсовспав1п13пдсса, о о (9.1) зоз ограничены при т = 0 и неограниченно возрастают при т -+ оо, а решения 1 — К„+с~в(сст)У~ 1(д, ~р) (8.8) 2»',,), = — г 7(д, а)Р( ~(сов д) в1п ига в1п))1(д1(а, (9.2) о о ))(2 = ц Р (~) (сов )2) / ) г ) / сов то а ) ! г, Фгг = ! ) Р (™) (сов д) ) / г ! / О1п та а ) ! г Если вг не совпадает ни с одним собственным значением задачи Штурма — Лиувилля внутри шара: Ьо+ Лв = О в шаре О < т < а, Р(в)/ =О, О)еО, (9.3) то все коэффициенты А„и В„определяются однозначно, и реше- ние имеет вид т-1)г и = ~ ' ~ ~Р«(совд)()»,„совпир+У»,„вгппг(с) У»+1/2(й ) (с«) (с) (с) 2-с Р (о-1/2У„+ )~()со)] Если )сг = Л1("'), где Л)("') — собственное значение задачи (9.3), т.е. корень уравнения 11 / 1 1 а — ) =,У»с+1)г (ГЛО)) + )2 — )«,+1)2(ГЛО) = О и все 1„, = О и )»,,„= О, то решение существует, но неединственно (с) (с) и имеет следующий вид: Р (совр)(Д«;„сов тпус+ Д«',„в1п пг(о) »=О »я»с + »2 Р„, (СОВ В)(А», СОВ ттиР+ В„, В1втПР), у«с+1/2(й1) % (,») т=О где А„, и В„, — произвольные постоянные.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее