А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Получим = 1 — =1,)у —,).УС= уу у уу 1 — 21*:,. Р у — * = 1 )У вЂ” У у)2 — 2211* * .У ,'. 11) -'; С. Следовательно, у»+1 с' — Р„),) = 1,)1 — ° -:- 212 — 22, У 1) -;- С. о+1 Подставляя сюда 2 = О, находим С = — 1п(1 — х). Таким образом, »»в 332 В приложениях достаточно часто встречается следующий ряд: в1пха(х ~1) 1 — (в ~1) Е яп 2 ««и В 4. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ Ф«'НКЦИИ е ««,уо(Ьх)г1х.
о Для вычисления этого интеграла воспользуемся интегральным пред- ставлением функции Бесселя 1 .7о(х) = — ! е о«ног«0у. 2я! -« Получим 1 -««,1 / -го«вгпв 1 2в -/ о « 1 ,1 / -(«аль«гав)«,1 2я о 1Р 2к,/ а+гЬв1п1« — « к « 1 /' агар г 1 Ь в(п угЬр 2я «Г аз+ Ьвв(пз1р 2х.г ав+Ьвв)пв р «/в 2а )' аФ я ./ аг+Ьзв(п'1р ~(аг+Ьг' о е ' Уо(Ьх)ггх о ззз Рассмотрим несколько определенных интегралов, содержащих цилиндрические функции. Эти примеры интересны и сами по себе (т.е. как конкретные интегралы) и поучительны с методической точки зрения. 1. В качестве первого примера рассмотрим интеграл поскольку / 6в)ногир аг+ Ьгвбп 1о в силу нечетности подынтегральной функции.
Таким образом, 1 е '*Уо(6х)~Ух = удг+ Ьг о (4.1) Поскольку ОО СО уг (е Л (Ьх)е ~ ех = — — ~ Ло(Ьх) Ие «» = — — — г е Лг(Ьх)Нх, о о о из (4.1) получим е ~Лг(Ъх) Их = — ( 1— (4.2) / 00 1, Ь> Ло(Ъх) сових Йх = /Ь~ — и~ О, Ь<и; (4.3) СО О, 6>и, Ло(ьх) в1п их Нх = 1 Ъ юг — Ь~ (4.4) 1 Ь' 6>и, Лг(Ьх) сових Нх = о (4. 5) -(1 — ), 6<; ( 6>и, .ЦЬх) в(п их Нх = Ь~/Ь~ — и~ о О, Ь< и.
2. В качестве второго примера вычислим интеграл Вебера е ~ ~ Ле(Ьх)х "+ Нх (и >О, Ь>0, Веп> — 1) о ЗЗ4 Полагая в (4.1) и (4.2) а = 1и и разделяя действительную и мнимую части, получаем ряд полезных формул: Для его вычисления воспользуемся разложением функции Бесселя .7„(6х) в степенной ряд. Получим „(6 ~ +22 СО "' - ' " 1= " ) ) = е 'Ь гк(6х)х+ их=1 е *х к 61Г( 6 ) и=а о о ( 1) 6 -а а* 2Й+2к+1 1, аа Ь к ' а+22 к 61Г(и+ 6+ 1) 2 Поскольку 1 1 Г 1 ь+ Г(6+и+ 1) гь+2к+1,1 2 дгь+2к+2 / 2а / е 1 ~~ 2 2а+2+2 о о имеем е ' ',7„(6х)х ~* (2дг)к+1 Е х! х=о о ь* 6к ааа (2д2)и+1 Таким образом, 00 ь* 6" аааа к+1 Яка е а *,7 (бх)х"е дх = а (4.8) 3.
Рассмотрим теперь часто встречаюШийся р в п иложениях интеграл Сонина-Гегенбауэра К ( ~/*' + у') / ( г 6„2)а, о К (х) е-*аьа-ки,1п 1 Г 2 (4.7) — е" = 1 Пол чим Сначала преобразуем (4.7), сделав замену — е = 1. Получим к.(е= -'(1) ~. а6-"-'а. о (4.8) 335 Для вычисления этого интеграла удобно использовать интегральное представление функции Макдональда Теперь воспользуемся представлением (4.8) для вычисления интег- рала Сонина-Гегенбауэра Ки( ~+У )«(О )х" «гх = 1 (.г+ уз)а о -2+ l ' / го+1 о о 2У+1! ги+',~ (используется интеграл Вебера (4.6)) »» О / е 1«» — » о а«» н»» — » о У-У-1 — К ( ~/дг+6~) д«»~ у Таким образом, ,«(6) И 1 (.г+ уг)а о У-У-1 = — ( ~ +~ К„,,(у|/аз+~ ).
(4.2) д«»1 у Получим из формулы (4.9) ряд следствий. Пусть р = 1/2. Так как Кгуг(г) = — е ', можем записать /; —. ,— 1/*'+И' .«у(6х)х"~'«Ь = /х2 + у2 о ззе +г/г Г( ) К~<.цг(у,/а~ + б ). (4,10) = Ъ вЂ” Ь,/аз+ Ь ) При и = 0 из (4.10) получим Е-а /а +у е -ууаа+6~ /о(бх) 1х = /хг + уг ь/аг+бг ' о (4.11) Если учесть, что при и > 0 и г -у 0 (-) ( )( ~- К„(г) 2з(п хи Г( — и+ 1) 2 12/ (4.12) и в формуле (4.10) при и+ г > 0 перейти к пределу при у -+ О, то получим 1'.--ар*и" а*= ' г( +-,).
а, .~а) о (4.13) Нх = ~ — ) — К„„,(бу) "=(Г'''-- /„(Ьх)х"+г / Ь г" ~ у (хг + уг)и '1 2у) Р(д) о (4.14) Отсюда при и = О, д = — получаем з Уо(бх)х~(х е оо ( .г 4 уг)з1г о А при и = О, у = г из (4.14) находим х.Уо(бх) Нх е /хг1уг У о 4. Остановимся также на двух неопределенных интегралах, содержащих функции Бесселя, которые часто встречаются при решении различных задач.
Интеграл ) х'+'/,(х) Нх вычисляется путем использования фор- мулы — (х о'„(х)) = х".7„г(х). ~Ь ззт Формула (4.13) является обобшением (4.1). Если в (4.9) перейти к пределу при а -+ 0 и учесть поведение функции К„(г) при г -+ О, то найдем Отсюда сразу получаем х"+',7„(х) с(х = х"+,7 41(х). / "'. Рассмотрим второй интеграл х + ,У,(х))1х. Для вычисления этого интеграла используем рекуррентную формулу У.(х) = У+1(х)+2Уч+ (х) Получим *"+'.Г(*) с* = У *"+' ( 2„, (*) 2 22„', (*) ) с* = = х'+3 Уч+3 (х) + 2х~+~,Уч+1(х) — 2(и + 3) ~ х'+~,7„+1(х) с(х = = х"+~,7 +з(х) + 2х"+~ч"„+1(х) — 2(и+ 3)х~~~/ч+г(х) Если воспользоваться другой рекуррентной формулой 2ч Уч+1(х) = — Х (х) — У 1(х) и выРазить |„+з(х) и,У„+г(х) чеРез,А,+1(х) и У„(х), полУчим х +зУ (х)с(х 2х +г 7 (х)+х +зУ+1(х) 4(и+1)х"+17„+1(х).
Аналогичным образом можно вычислять и другие интегралы вида ] х"+1" +1,У„(х) с(х при целом 72. 1 Ь. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 1. Формулы векторного анализа 1. йч(иа) = ийч а+ айгас1 и. 2. 8гас((ии) = ийгас(и+ ийгас)и. 3. гоС(иа) = игоСа+ [йгас1и,а]. 4. йч[а,Ь] = ЬгоСа — агоСЪ. 5. гоС[а,Ь] = (Ь, 27)а — (а,))7)Ь+айчЬ вЂ” Ьсйча.
6. 8гас((а, Ь) = (Ь, "ч)а+ (а,'2г)Ь+ [Ь, гоСа]+ [а, гоСЪ]. 7. гоСгоСа = йгас)йча — 173а. 8. гоС йгас) и = О. 9. йчгоСа= О. 338 1 ( д д д 2. ь(1» а = ~ — (аьЬгьз) + — (агЬзЬь) + — (азЬььг) Ьььгьз 1, дхь дхг дхз 1 ( д д 3.
гоФ а = — ь( — (азьз) — — (агьг) еь + Ьгьз ( дхг дхз ( д д + — Ф вЂ” (аьЬь) — — (азьз) ег+ Ьзьь (дхз дхь 1 ( д д -1. — ~ — (агЬг) — — (аьЬь) ез Ьььг ~ дхь дхг 1 ( д /Ьгьз ди 'Ф 4. ьзи = ь(1ч ига»(и = Ььь»Ьз (дхь ~, Ьь дхь,/ Ььеь д дхь Ььаь Ьгег Ьзез д д 1 5. гоФа = Ьььгьз дх2 дХЗ Ьгаг Ьзаз Частные случаи 1. Декартовы прямоугольные координаты (х, у, ») ь =ь =ь ди ди — е„+ — е„ ду" д»*' дай да, + —, ду д» ' ди йгаь(и = — е + дх да« Йча = — + дх е д дх О« ез е, д д ду д» аз а, тоФа = дги дги дги ьзи = — + — + —. де' ду' д»' ' 2.
Цилиндрические координаты (г, ьр, «): Ь2 — — Ьу-г, ЬЗ вЂ” ьь — 11 Ь =Ь„=1, 339 «ьифференциальнме операции в криволинейных орта»ональних координатах Пусть (хь, хг, хз) — ортогональные криволинейные координаты, еь, ег, ез — единичные векторы этой системы координат, Ьь, Ьг, Ьз— коэффициенты Ламе. 1 ди 1 ди 1 ди 1. Хгас(и = — — еь+ — — ег+ — — ез. Ьь дхь Ьг дхг Ьз дхз Х = Г' С08 сР, Д = т 81П Са, « = «, ди 1 ди ди кгас( и = — е„+ — — е„+ — е„ дт" гдр" д« 1 д 1дсг да« Йга = — — (га,) + — — ~ + —, гдг ' тдр д«' те„е, д д др д« аз а, е, д дг а« го$а =— 1 г 1 д / ди1 1 дзи дзи сЛи = — — ~г — ) + — — + —.
« дт ~, дг) гз дсрз д«з ' 3. Сферические координаты (т, В, ср): Лг — — Лг = 1, Лз = Лг = г, Лз = Лт = тип В, х = те(п В сов ср, у = тз!и Ваш р, « = т сов В, ди 1ди 1 ди кгас! и = — е, + — — ее + —,— е„, дг ' г дВ гв!ПВдсг 1 д з 1 д 1 дат Йг а = — — (г а,) ++ —,— (ав 81П В) + т' дг ' тз(ПВдВ тзшВ д!р ' е, гев тз!ПВег д д д дг дВ др а, тае г вш Ват 1 го1 а— г 8(ПВ сЛи = — — (г — ) + — савв„,и, 1 д гди 1 тз дт дг тз 1 д / .
ди 1 1 дзи Ьв„,и = —,— ~81П — ) + вшВдВ ~, дВ) егпзВдсрз' 11. Спепиалъные функпии 1. Гамма-функция Эйлера: а) Г(«) = е '1* 'аз, Ке«> О; о б) Г(«+ 1) = «Г(«), Г(1) = 1, Г(п+ 1) = и., Г(з) = ~/х, Г п+-(=~/х = — (2П вЂ” 1)!1, Г(«)Г(1 — «) = —, 11 (2П)! с/х 2) 28" и! 2" згп х« в) асимптотическое представление при х -+ со: Г(х + 1) = ~/2хх — 1+ — + 0 —, * > О / Л" и! ж /2хп ( — ), и » 1 (формула Стирлинга). 1,8/ у(х) = Сг,7и(х) + СзФ„(х) у(х) = СгНи01(х) + СзНи1~1(х).
или Определитель Вронского ] Уг(х) Уг(х) «' И' [уи(х), Фи(в)] =— ,[НОВ( ) 1з1( )] 4г' И [ ~ю (х)~ у-и(х)]— у 1т (2) Г(гп+ 1)Г(гп+ и+ 1) Поведение при х -+ 0 (х > 0): ,У„(х) м ( — ), и> О, 2 х — 1и— 2' Н„(х) вв и=О, -')(~) и=О, и>0; в) соотношения между различными цилиндрическими функциями: ,у„(г) совки — у „(х) и (х)— вш ли 00(,) У-и( ) — '"У.( ) 1в(п ли 2. Цилиндрические функции: а) уравнение Бесселя 2 'з у + — у'+ ~1 — — ) у = О. и 1 и ~ *)- Любая пара из следующих функций: (.1„(х), Ми(х), Н~1 1(х), Н~1 1(х) ) образует фундаментальную систему решений уравнения Бесселя при любых и. Наиболее удобно общее решение уравнения Бесселя записывать в виде (г1 е у (х) у- (х) г а)п яи Н('1(х) = 3„(х) + 1М,(г), Н„ (е) = Уи(х) — ~Ар(х), Н( )(г) — еВ™Н( )(х) Н(')(з) = е " Н1т)(х), У „(Ф) = ( — 1)"УО(е); г) рекуррентные соотношения я формулы дифференцирования: Я„(г) + Я ~~(х) = — Я (с), 2я г Е„~(г) — Я,.ь~(х) = 2Я,'(г), — '[ -"г„(х)] = -.— г„+,( ), Нх ~» -' — ") [ "г,( )] = "-"г.
„(.), г Нт с Ха --' — '~ [.-"г„(.)] = .-1"-")г„+„( ), х пх где я„(х) — любая из функций у„(з), Ф„(г), Н1 ' 1(г); д) интегральное представление: е-~зная+о т 1 г 2я,/ О Н(ц»(,~ Г,-м и"+ш.и~ \ к „1 Сь, (Сш См Ст --. см. рис. 1 на с. 324) У„(х) = — г ехр(1хв)п1е — 1пу)Н1г = — / соа(гвш 1о — пу)пу; 1 У 1 2з,/ — к о е) асимптотическое представление при х -+ со: ~2 / ям у„(г) = ]1 — сов [с — — — — + 0(» ~), Чте [, 2 4) 342 12, / яи я1 а Х,(х) = )1 — е1п~х — — — — )+0(х т), Чях ~, 2 4) Н( 1(х) = ~Г е '1' ~ ° 1+0(х ~), Ч ях ж) хЯ (х)Ых = — Е„(х)+ 1 — — Я„(х) где Я„(х) — произвольная цилиндрическая функция; 12 Г2 з) Уцз(х) = \„~ — 81пх, Мг(х) = — ~/ — соех, 12 У цт(х) = ~ — соек, Ф (х) = ~( — е)их, ях и ях Н( ' 1(ю) = ~ — е~д' т)> 1п -1/2 (х) — ~( ~ .,1./ ~~'.-цг(х) = ~/ — х" ~-- — ) з1п., Ч1ьг) Г2 „/ 1 Н~" ам Н ()=Ч вЂ” "' — -'- -Цг ~/ .
~ х)( я=0,1.. и) теоремы сложения: Н"1 ((р) е=е /Р Я=~~ — 2 Р 1, "<Р, »=0 ййгв~пе '~ ~ ~у ~1 ) \ед и( «=0 3. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента: а) дифференциальное уравнение хер" + *„' — (хз + ~) З4З НеО ~(йя) = яе(Мг)Не» яр) + 2 ~~~ ' у„яг)Н~ 1яр) сое пА е=1 г(р, обшее решение: у(х) = С~1„(х) + СгКе(х), 1 определитель Вронского: И'[1„(х), К,(х)] = — —; х б) 1„(х) = ю' "У„(ы), К„(х) = — е ' 11(ц(т); 2 в) 1 (х) = 7 ~""' г (от+ г)Г(гн+ и+ поведение при х -е 0 (х > 0): /„(х) в (-), и> О, х — )п-, 2' г =О, К,(х) ж (-), и> О, интегральное представление: Ке(х) = — / е ~«ье-~«~~и, Кех > О; -ееье-ки 2 / г) рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования: 2и 1~,.(-1(х) 1м-1(Ф) — 1 (х)~ 1 .+~(х) + 1 -г(х) = 21 (х) 1о(х) 1~(х) К„~.~(х) — К„~(х) = — К„(х), 2и К„+~(х) + К„,(х) = -2К„'(х), Ке(х) = — К~(х), 1 „()=1„(), К-~ (х) — Ки(х)~ д) 1~/г(х) = 1-~/г(х) = Кг!г(х) = 1„цз( ) = Ке -1/2 (х)— 344 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
