Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 38

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 38 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 382019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Получим = 1 — =1,)у —,).УС= уу у уу 1 — 21*:,. Р у — * = 1 )У вЂ” У у)2 — 2211* * .У ,'. 11) -'; С. Следовательно, у»+1 с' — Р„),) = 1,)1 — ° -:- 212 — 22, У 1) -;- С. о+1 Подставляя сюда 2 = О, находим С = — 1п(1 — х). Таким образом, »»в 332 В приложениях достаточно часто встречается следующий ряд: в1пха(х ~1) 1 — (в ~1) Е яп 2 ««и В 4. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ Ф«'НКЦИИ е ««,уо(Ьх)г1х.

о Для вычисления этого интеграла воспользуемся интегральным пред- ставлением функции Бесселя 1 .7о(х) = — ! е о«ног«0у. 2я! -« Получим 1 -««,1 / -го«вгпв 1 2в -/ о « 1 ,1 / -(«аль«гав)«,1 2я о 1Р 2к,/ а+гЬв1п1« — « к « 1 /' агар г 1 Ь в(п угЬр 2я «Г аз+ Ьвв(пз1р 2х.г ав+Ьвв)пв р «/в 2а )' аФ я ./ аг+Ьзв(п'1р ~(аг+Ьг' о е ' Уо(Ьх)ггх о ззз Рассмотрим несколько определенных интегралов, содержащих цилиндрические функции. Эти примеры интересны и сами по себе (т.е. как конкретные интегралы) и поучительны с методической точки зрения. 1. В качестве первого примера рассмотрим интеграл поскольку / 6в)ногир аг+ Ьгвбп 1о в силу нечетности подынтегральной функции.

Таким образом, 1 е '*Уо(6х)~Ух = удг+ Ьг о (4.1) Поскольку ОО СО уг (е Л (Ьх)е ~ ех = — — ~ Ло(Ьх) Ие «» = — — — г е Лг(Ьх)Нх, о о о из (4.1) получим е ~Лг(Ъх) Их = — ( 1— (4.2) / 00 1, Ь> Ло(Ъх) сових Йх = /Ь~ — и~ О, Ь<и; (4.3) СО О, 6>и, Ло(ьх) в1п их Нх = 1 Ъ юг — Ь~ (4.4) 1 Ь' 6>и, Лг(Ьх) сових Нх = о (4. 5) -(1 — ), 6<; ( 6>и, .ЦЬх) в(п их Нх = Ь~/Ь~ — и~ о О, Ь< и.

2. В качестве второго примера вычислим интеграл Вебера е ~ ~ Ле(Ьх)х "+ Нх (и >О, Ь>0, Веп> — 1) о ЗЗ4 Полагая в (4.1) и (4.2) а = 1и и разделяя действительную и мнимую части, получаем ряд полезных формул: Для его вычисления воспользуемся разложением функции Бесселя .7„(6х) в степенной ряд. Получим „(6 ~ +22 СО "' - ' " 1= " ) ) = е 'Ь гк(6х)х+ их=1 е *х к 61Г( 6 ) и=а о о ( 1) 6 -а а* 2Й+2к+1 1, аа Ь к ' а+22 к 61Г(и+ 6+ 1) 2 Поскольку 1 1 Г 1 ь+ Г(6+и+ 1) гь+2к+1,1 2 дгь+2к+2 / 2а / е 1 ~~ 2 2а+2+2 о о имеем е ' ',7„(6х)х ~* (2дг)к+1 Е х! х=о о ь* 6к ааа (2д2)и+1 Таким образом, 00 ь* 6" аааа к+1 Яка е а *,7 (бх)х"е дх = а (4.8) 3.

Рассмотрим теперь часто встречаюШийся р в п иложениях интеграл Сонина-Гегенбауэра К ( ~/*' + у') / ( г 6„2)а, о К (х) е-*аьа-ки,1п 1 Г 2 (4.7) — е" = 1 Пол чим Сначала преобразуем (4.7), сделав замену — е = 1. Получим к.(е= -'(1) ~. а6-"-'а. о (4.8) 335 Для вычисления этого интеграла удобно использовать интегральное представление функции Макдональда Теперь воспользуемся представлением (4.8) для вычисления интег- рала Сонина-Гегенбауэра Ки( ~+У )«(О )х" «гх = 1 (.г+ уз)а о -2+ l ' / го+1 о о 2У+1! ги+',~ (используется интеграл Вебера (4.6)) »» О / е 1«» — » о а«» н»» — » о У-У-1 — К ( ~/дг+6~) д«»~ у Таким образом, ,«(6) И 1 (.г+ уг)а о У-У-1 = — ( ~ +~ К„,,(у|/аз+~ ).

(4.2) д«»1 у Получим из формулы (4.9) ряд следствий. Пусть р = 1/2. Так как Кгуг(г) = — е ', можем записать /; —. ,— 1/*'+И' .«у(6х)х"~'«Ь = /х2 + у2 о ззе +г/г Г( ) К~<.цг(у,/а~ + б ). (4,10) = Ъ вЂ” Ь,/аз+ Ь ) При и = 0 из (4.10) получим Е-а /а +у е -ууаа+6~ /о(бх) 1х = /хг + уг ь/аг+бг ' о (4.11) Если учесть, что при и > 0 и г -у 0 (-) ( )( ~- К„(г) 2з(п хи Г( — и+ 1) 2 12/ (4.12) и в формуле (4.10) при и+ г > 0 перейти к пределу при у -+ О, то получим 1'.--ар*и" а*= ' г( +-,).

а, .~а) о (4.13) Нх = ~ — ) — К„„,(бу) "=(Г'''-- /„(Ьх)х"+г / Ь г" ~ у (хг + уг)и '1 2у) Р(д) о (4.14) Отсюда при и = О, д = — получаем з Уо(бх)х~(х е оо ( .г 4 уг)з1г о А при и = О, у = г из (4.14) находим х.Уо(бх) Нх е /хг1уг У о 4. Остановимся также на двух неопределенных интегралах, содержащих функции Бесселя, которые часто встречаются при решении различных задач.

Интеграл ) х'+'/,(х) Нх вычисляется путем использования фор- мулы — (х о'„(х)) = х".7„г(х). ~Ь ззт Формула (4.13) является обобшением (4.1). Если в (4.9) перейти к пределу при а -+ 0 и учесть поведение функции К„(г) при г -+ О, то найдем Отсюда сразу получаем х"+',7„(х) с(х = х"+,7 41(х). / "'. Рассмотрим второй интеграл х + ,У,(х))1х. Для вычисления этого интеграла используем рекуррентную формулу У.(х) = У+1(х)+2Уч+ (х) Получим *"+'.Г(*) с* = У *"+' ( 2„, (*) 2 22„', (*) ) с* = = х'+3 Уч+3 (х) + 2х~+~,Уч+1(х) — 2(и + 3) ~ х'+~,7„+1(х) с(х = = х"+~,7 +з(х) + 2х"+~ч"„+1(х) — 2(и+ 3)х~~~/ч+г(х) Если воспользоваться другой рекуррентной формулой 2ч Уч+1(х) = — Х (х) — У 1(х) и выРазить |„+з(х) и,У„+г(х) чеРез,А,+1(х) и У„(х), полУчим х +зУ (х)с(х 2х +г 7 (х)+х +зУ+1(х) 4(и+1)х"+17„+1(х).

Аналогичным образом можно вычислять и другие интегралы вида ] х"+1" +1,У„(х) с(х при целом 72. 1 Ь. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 1. Формулы векторного анализа 1. йч(иа) = ийч а+ айгас1 и. 2. 8гас((ии) = ийгас(и+ ийгас)и. 3. гоС(иа) = игоСа+ [йгас1и,а]. 4. йч[а,Ь] = ЬгоСа — агоСЪ. 5. гоС[а,Ь] = (Ь, 27)а — (а,))7)Ь+айчЬ вЂ” Ьсйча.

6. 8гас((а, Ь) = (Ь, "ч)а+ (а,'2г)Ь+ [Ь, гоСа]+ [а, гоСЪ]. 7. гоСгоСа = йгас)йча — 173а. 8. гоС йгас) и = О. 9. йчгоСа= О. 338 1 ( д д д 2. ь(1» а = ~ — (аьЬгьз) + — (агЬзЬь) + — (азЬььг) Ьььгьз 1, дхь дхг дхз 1 ( д д 3.

гоФ а = — ь( — (азьз) — — (агьг) еь + Ьгьз ( дхг дхз ( д д + — Ф вЂ” (аьЬь) — — (азьз) ег+ Ьзьь (дхз дхь 1 ( д д -1. — ~ — (агЬг) — — (аьЬь) ез Ьььг ~ дхь дхг 1 ( д /Ьгьз ди 'Ф 4. ьзи = ь(1ч ига»(и = Ььь»Ьз (дхь ~, Ьь дхь,/ Ььеь д дхь Ььаь Ьгег Ьзез д д 1 5. гоФа = Ьььгьз дх2 дХЗ Ьгаг Ьзаз Частные случаи 1. Декартовы прямоугольные координаты (х, у, ») ь =ь =ь ди ди — е„+ — е„ ду" д»*' дай да, + —, ду д» ' ди йгаь(и = — е + дх да« Йча = — + дх е д дх О« ез е, д д ду д» аз а, тоФа = дги дги дги ьзи = — + — + —. де' ду' д»' ' 2.

Цилиндрические координаты (г, ьр, «): Ь2 — — Ьу-г, ЬЗ вЂ” ьь — 11 Ь =Ь„=1, 339 «ьифференциальнме операции в криволинейных орта»ональних координатах Пусть (хь, хг, хз) — ортогональные криволинейные координаты, еь, ег, ез — единичные векторы этой системы координат, Ьь, Ьг, Ьз— коэффициенты Ламе. 1 ди 1 ди 1 ди 1. Хгас(и = — — еь+ — — ег+ — — ез. Ьь дхь Ьг дхг Ьз дхз Х = Г' С08 сР, Д = т 81П Са, « = «, ди 1 ди ди кгас( и = — е„+ — — е„+ — е„ дт" гдр" д« 1 д 1дсг да« Йга = — — (га,) + — — ~ + —, гдг ' тдр д«' те„е, д д др д« аз а, е, д дг а« го$а =— 1 г 1 д / ди1 1 дзи дзи сЛи = — — ~г — ) + — — + —.

« дт ~, дг) гз дсрз д«з ' 3. Сферические координаты (т, В, ср): Лг — — Лг = 1, Лз = Лг = г, Лз = Лт = тип В, х = те(п В сов ср, у = тз!и Ваш р, « = т сов В, ди 1ди 1 ди кгас! и = — е, + — — ее + —,— е„, дг ' г дВ гв!ПВдсг 1 д з 1 д 1 дат Йг а = — — (г а,) ++ —,— (ав 81П В) + т' дг ' тз(ПВдВ тзшВ д!р ' е, гев тз!ПВег д д д дг дВ др а, тае г вш Ват 1 го1 а— г 8(ПВ сЛи = — — (г — ) + — савв„,и, 1 д гди 1 тз дт дг тз 1 д / .

ди 1 1 дзи Ьв„,и = —,— ~81П — ) + вшВдВ ~, дВ) егпзВдсрз' 11. Спепиалъные функпии 1. Гамма-функция Эйлера: а) Г(«) = е '1* 'аз, Ке«> О; о б) Г(«+ 1) = «Г(«), Г(1) = 1, Г(п+ 1) = и., Г(з) = ~/х, Г п+-(=~/х = — (2П вЂ” 1)!1, Г(«)Г(1 — «) = —, 11 (2П)! с/х 2) 28" и! 2" згп х« в) асимптотическое представление при х -+ со: Г(х + 1) = ~/2хх — 1+ — + 0 —, * > О / Л" и! ж /2хп ( — ), и » 1 (формула Стирлинга). 1,8/ у(х) = Сг,7и(х) + СзФ„(х) у(х) = СгНи01(х) + СзНи1~1(х).

или Определитель Вронского ] Уг(х) Уг(х) «' И' [уи(х), Фи(в)] =— ,[НОВ( ) 1з1( )] 4г' И [ ~ю (х)~ у-и(х)]— у 1т (2) Г(гп+ 1)Г(гп+ и+ 1) Поведение при х -+ 0 (х > 0): ,У„(х) м ( — ), и> О, 2 х — 1и— 2' Н„(х) вв и=О, -')(~) и=О, и>0; в) соотношения между различными цилиндрическими функциями: ,у„(г) совки — у „(х) и (х)— вш ли 00(,) У-и( ) — '"У.( ) 1в(п ли 2. Цилиндрические функции: а) уравнение Бесселя 2 'з у + — у'+ ~1 — — ) у = О. и 1 и ~ *)- Любая пара из следующих функций: (.1„(х), Ми(х), Н~1 1(х), Н~1 1(х) ) образует фундаментальную систему решений уравнения Бесселя при любых и. Наиболее удобно общее решение уравнения Бесселя записывать в виде (г1 е у (х) у- (х) г а)п яи Н('1(х) = 3„(х) + 1М,(г), Н„ (е) = Уи(х) — ~Ар(х), Н( )(г) — еВ™Н( )(х) Н(')(з) = е " Н1т)(х), У „(Ф) = ( — 1)"УО(е); г) рекуррентные соотношения я формулы дифференцирования: Я„(г) + Я ~~(х) = — Я (с), 2я г Е„~(г) — Я,.ь~(х) = 2Я,'(г), — '[ -"г„(х)] = -.— г„+,( ), Нх ~» -' — ") [ "г,( )] = "-"г.

„(.), г Нт с Ха --' — '~ [.-"г„(.)] = .-1"-")г„+„( ), х пх где я„(х) — любая из функций у„(з), Ф„(г), Н1 ' 1(г); д) интегральное представление: е-~зная+о т 1 г 2я,/ О Н(ц»(,~ Г,-м и"+ш.и~ \ к „1 Сь, (Сш См Ст --. см. рис. 1 на с. 324) У„(х) = — г ехр(1хв)п1е — 1пу)Н1г = — / соа(гвш 1о — пу)пу; 1 У 1 2з,/ — к о е) асимптотическое представление при х -+ со: ~2 / ям у„(г) = ]1 — сов [с — — — — + 0(» ~), Чте [, 2 4) 342 12, / яи я1 а Х,(х) = )1 — е1п~х — — — — )+0(х т), Чях ~, 2 4) Н( 1(х) = ~Г е '1' ~ ° 1+0(х ~), Ч ях ж) хЯ (х)Ых = — Е„(х)+ 1 — — Я„(х) где Я„(х) — произвольная цилиндрическая функция; 12 Г2 з) Уцз(х) = \„~ — 81пх, Мг(х) = — ~/ — соех, 12 У цт(х) = ~ — соек, Ф (х) = ~( — е)их, ях и ях Н( ' 1(ю) = ~ — е~д' т)> 1п -1/2 (х) — ~( ~ .,1./ ~~'.-цг(х) = ~/ — х" ~-- — ) з1п., Ч1ьг) Г2 „/ 1 Н~" ам Н ()=Ч вЂ” "' — -'- -Цг ~/ .

~ х)( я=0,1.. и) теоремы сложения: Н"1 ((р) е=е /Р Я=~~ — 2 Р 1, "<Р, »=0 ййгв~пе '~ ~ ~у ~1 ) \ед и( «=0 3. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента: а) дифференциальное уравнение хер" + *„' — (хз + ~) З4З НеО ~(йя) = яе(Мг)Не» яр) + 2 ~~~ ' у„яг)Н~ 1яр) сое пА е=1 г(р, обшее решение: у(х) = С~1„(х) + СгКе(х), 1 определитель Вронского: И'[1„(х), К,(х)] = — —; х б) 1„(х) = ю' "У„(ы), К„(х) = — е ' 11(ц(т); 2 в) 1 (х) = 7 ~""' г (от+ г)Г(гн+ и+ поведение при х -е 0 (х > 0): /„(х) в (-), и> О, х — )п-, 2' г =О, К,(х) ж (-), и> О, интегральное представление: Ке(х) = — / е ~«ье-~«~~и, Кех > О; -ееье-ки 2 / г) рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования: 2и 1~,.(-1(х) 1м-1(Ф) — 1 (х)~ 1 .+~(х) + 1 -г(х) = 21 (х) 1о(х) 1~(х) К„~.~(х) — К„~(х) = — К„(х), 2и К„+~(х) + К„,(х) = -2К„'(х), Ке(х) = — К~(х), 1 „()=1„(), К-~ (х) — Ки(х)~ д) 1~/г(х) = 1-~/г(х) = Кг!г(х) = 1„цз( ) = Ке -1/2 (х)— 344 6.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6372
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее