А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если при й = Л, хоти бы один из коэффициентов у„, и у„, («с) (с) (с) отличен от нуля, то поставленная задача решения не имеет. 1 10. КРАЕВЬ$Е ЗА)ЛАЧИ ДЛЯ вРАВнениЯ Ьи + )сги = О Вне ШАРА ди )'1Л вЂ” — Йи = о -) при т -+ со, дт 1,т) Для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения оси+ )сги = О на бесконечности ставится дополнительное условие — условие излучения, выделяющее уходящую волну. В трехмерном случае условие излучения записывается либо в виде либо в виде ди . /11 — +Йи=о[-) приг — Фсо.
дт [т] И то и другое условие на бесконечности выделяет единственное решение внешней краевой задачи, но эти решения различны. При достаточно гладких граничных функциях решения внешних задач для шара всегда существуют и единственны. Решение задачи Ьи + (о~и = 0 вне шара г > а, Р[и] = о — — )уи~ =,ЦВ, у), ди ]о)+ф)~0, о>0, )3>0, ди . )11 — — Йи=о[-) приг-?оо дг [,т) имеет вид г 1~зН( ) ~ (ят) и — ~~, ' ~ "и у Р( )(сооВ)Ц~;,),созга(о+ф] шит~о), =о -о Р 1а '~~Н„+,~з()га)) (10.1) где ~„,„и (а,„определяются формулами (9.1), (9.2). (с) (л) Чтобы получить решение краевой задачи с другим условием на бесконечности ди .
/11 — +Йи=од приг-+со, дт ~,т] нужно в формуле (10.1) функции Ханкеля первого рода Н„+ ~з(я) (\) заменить функциями Ханкеля второго рода Н„+ (я). (г) 5 ш. кРАеВые зАдАчи для РРАВнения Ьи+ йои = 0 В ШАРОВОМ СЛОЕ Краевая задача для уравнения Ьи+ язи = 0 внутри шарового слоя рассматривается так же, как соответствующая краевая задача внутри кругового кольца, разобранная в 1 4. Рассмотрим задачу Ьи + я~и = 0 в слое а < г < 6, (11,1) Р1[и] = о1 — — )у1и) = 11(В,(о), [о1]+ [)г1] ф О, ди (11.2) 305 ди Рг[п] = — ог д + дгп!.=ь = Л(В,)а), !аг!+ !дг! Ф О.
()).з) Для того чтобы развязать граничные условия, заданные при т = а и при т = 6, удобно построить две серии частных решений уравнения Ьи+ 6~и = О так, что все решения одной серии удовлетворяют однородному граничному условию при т = а, а все решения второй серии — однородному граничному условию при т = 6. Этот прием уже неоднократно использовался в предыдуших параграфах (см., например, г 4). Итак, используя решение (8.5), построим решения, удовлетворяющие граничному условию Эти решения можно взять в виде и~~)(т, В, ьг) = Я~~~)(т)Р~~)(сов В) г ), Б!и тп)г, где с,)( ) У +цг(6т) „) сс +цг(6т) [Л+ 2'] .+»(~.), дг + — 1 уе+цг(/са) 2аз 9г(сс, а) = аг/сЛ„'+цг()са)— Рг()с с') = с"16У ацг(6е) (ь) Рг [и~ )1 = ог — + дгп< )!„-ь = О.
ь) дп„ ь т Они имеют вид и~~)(т, В, сь) = Яь()(т)Р< )(соьВД ), з(п спст, где рд Юпацг(йт) )с) +цг(6т) т т 306 (штрих, как обычно, обозначает производную по полному аргументу). Аналогично строим вторую серию решений и„(т> В, у), удовлетво<ь) ряюших однородному граничному условию при т = 6: Чг(О,6) = ог(с)ц„'чцг()с6)+ [)гг 261)Б(п+цгЯ6) Рг()с, 6) = ог)с ( ч цг((С6) + [)гг ] Упе цг()С6) Теперь решение краевой задачи (11.1)-(11.3) запишем в виде разло- жения по этим решениям; и = ~~~ ~~~ В(')(Б )Р(м)(сов д) (А»„, сов т(О+ В»,„ми пир) + »=О попо оо п + ~~~ ~ ~В( )(г)Р(по)(совд) (С»по совт(О+.0» в(пт(О).
=О =О В» (г) (а) (с) (Б) [" 1 , Р» (совд) [~г„~ совт(О+ ~г„~в(пт(о) + Р, В,",(6)~ " Вп (г) (,п) (с) (ь) (Б) ["' > „Р» (сов д) (~,„сов пг(О + Л„ягг ог(с), Рг В(, )(аЦ и=о»о»о +ЕЕ где У,„, У,п,и и Уг„, гг„— коэффициенты ФУРье фУнкций 1г(д, (о) (С) (Б) (С) (Б) и /г(д, уо) соответственно при разложении их по системе сферических функций. Формулы для их вычисления аналогичны формулам (9.1), (9.2). Если 6 = Л„„ где Л„, — собственное значение соответствующей задачи Штурма-Лиувилля для шарового слоя, и хотя бы один из коэффициентов уг„,, у,„,, уг„,, уг„, отличен от нуля, то поста- (С) (Б) (С) (Б) вленная задача (11.1)-(11.3) решения не имеет. ЕСЛИ 6 = Лп, И ВСЕ КОЭФфицнсптм Ли по~ А»о»о~ Лооп~ Бог»опо г (й обращаются в нуль, то решение существует, но неединственно.
Оно имеет вид оа и (а) и — ~~~ ~~~ Р» (сов д) ( 7г»ои сов тго + (г»Б» вш т(О)Б + Вп(г) () ((с) (Б) »=О попо Рг В» (6) (а) »впо зот Коэффициенты А»„, и В»,„определяются из граничного условия при Г = 6, Кезффнпноптм С»м И Рпп, — ИЗ ГРаниЧИОГО УСЛОВИЯ ПРИ и = О. Далее приводим только окончательные результаты без подробных объяснений и выкладок. Если (сг не является собственным значением соответствующей задачи Штурма — Лиувилля для шарового слоя, то все коэффициенты определяются однозначно из граничных условий, и решение имеет вид со и (6) + ~', ~~' г г Р( )(сов В) (Угп, сов ту+ Угв в)в~у(+ =в Р [Рьв (а)1 Г (ь) «о +)тв(;)(г) ~ ~Р~~)(совВ)(А,„совпьу+В,„в)пту), где А,„и В,„— произвольные коэффициенты.
(Заметим, что при Й = )(„, функции г(„, (г) и А„, (г) становятся линейно зависимыми.) г (О (а) (ь) в гг. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хгп = О ВНУТРИ ШАРА Как и в двумерном случае, внутренние краевые задачи (первая, вторая и третья при й ) О) для уравнения 6)и — хги = О имеют единственное решение. Выпишем эти решения. Рассмотрим задачу внутри шара Ьи — хгп = О в шаре О < г < а, Р[и] = о — + ))и~ = 1(В, у) . ди Решение этой задачи представляется в виде разложения по частным решениям (8.7), ограниченным при г = О, и может быть записано в виде во в гуг и=~~ г 1„+г)г(хг) Р (совВ)(1' сов ту+1 ' впту) =о Р [а-г)г1в+г)г(ха)] где 1„, и 1„— коэффициенты Фурье функции 1(В,у) по системе (в) (Б) сферических функций, вычисляемые по формулам (9.1), (9.2).
5 гз. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ дЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хгп = О ВНЕ ШАРА Для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения Ьи — хги = О на бесконечности ставится дополнительное условие: и ~ О при г 6 оо . Приведем решение внешней краевой задачи для шара. Рассмотрим задачу Ьи — хгп = О вне шара: г ) а, Р[п] = о — — )3и~ = 1(В,у), ди ду в к в 308 и =~ О при г -+ со . Решение этой задачи строится в виде разложения по частным решениям (8.8), удовлетворяющим условиям на бесконечности, и имеет вид г 1)гК (х~) и(г,В,(в) =~~~ ~~~ Р( )(совВ) х х () ( ) совпир+ 1( ) в(ппг(в), где г„, и г'„определяются формулами (9.1), (9.2). (в) (8) 5 гв.
кРАБВые 3АдА'Хи для иРАВнения Ьи — хги = О В ШАРОВОМ СЛОЕ Рассмотрим краевую задачу Ьи — хги = О в шаровом слое а < г < б, Рг[и] = ог — — )уги! = ЯВ,~р), [ог[+ !)Вд! ф О, ди Рг[и]= — агу +)уги! =Ь(В,р), [ог[+[дг[~О ди Для решения этой задачи сначала построим частные решения урав- нения Ьи — хги = О аналогично тому, как это сделано в 1 11. Пусть и( )(г, В,(в) = )г(„)(г)Р( )(сов В) ~ 1 в(ппир, где гэ+г)г(хг) К,+г)г(хг) г г Чг(х а) = огх~~ +г!г(ха) [)гг+ 2 ] К+Иг(ха) Г ог) рг(х, а) = огх1,+,1г(ха) — [А + — ] 1 +г)г(ха). 2а] Функции и„(г, В, р) есть частные решения уравнения Ьи — х и = О, (а) г удовлетворяющие граничному условию д (а) Рг [ (')~ = , ди" — дг (')! = О. зов Аналогичным образом строим функции и( (ь) (')(.,В,р) =В(ь)(.)Р( )«В)~, ( зтп пир, где йг(х, 6) = ог хК„'+112(х6) + ()тг — — 1 Ко+1|2(х6), »6/ рг(х, 6) = огх1„'+1)2(х6) + ()уг — — ) 1»+1(г(х6).
Функции и„(г, (),(о) удовлетворяют однородному граничному усло(ь) вию при г = 6: (ь) Рг ~и(о)1 = ог — +)уги(~) =О. Решение поставленной краевой задачи может быть получено в виде (все необходимые вычисления читатель легко может проделать самостоятельно) оо и (а) и = ~~~ ~~~ Рп (СОЗ 6) 1 11»,п СОЗ т(О + 11»п, Отц та(О)Ь+ () п=о тахо Рг Вй (6) оо и (Ь) + ~~' ~, Рп (соеа) (Ап ~озтп(о+ Угп, я~та(о), К, (т) („,) () =о =о Рт [В„О(а)1 где 11»,„, 11„и 12„,,12„— коэффициенты Фурье функций 11 и (о) (а) (о) (а) 12 соответственно по системе сфеРических фУнкций. 5 1В.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ гтРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА Рассмотрим некоторые примеры решения краевых задач для уравнения Гельмгольца. 1. Внутри круга г < а решить задачу (зи — хги = О, и),-» = !Отп(о). Общее решение задачи Дирихле для данного уравнения имеет вид 1О(хг) х 1~(хг) и(г,(о) = Ао + аг (Апсозп~Р+ Вп мпп(о) 1о(ха) 1,(ха) п»ц З1О Определяем коэффициенты А„и В„: Ао — — — / )в(п1а)41а= — / в(п1ай~р= —, 2я,/ 7Г о о 1 Г 1 А„= — ( ) в)п гг ( сов п1а <йр = — / ) вш 1г ( сов п1р Нар = о о (, ) (1+ (-1)"), 2 гв в 1 Г,, 1 В„= — 1 (яика)яппрйр= — 1 (вшгг(в(ппугйуг= О, так как подынтегрвльная функция нечетна.
Следовательно, 2 1в(хт) 2 ч 1+(-1)" 1»(хт) и— сов п~р, я 1в(ха) я пг — 1 1„(ха) или 2 1о(кг) 4 т 1гв(хт) сов2(ор я 1в(ха) я ~ ага(ха) 4вг — 1 2. Решить вне круга задачу Ьи — и=О, т>а, да — =яп ~р, дт „, и ~ О при т -+ оо . Общее решение задачи Неймана для этого уравнения вне круга можно записать в виде К„(х ) и(т,1а) = ~ ", (А„савау+В„яппуг). в=в В данном случае коэффициенты разложения проще определить не путем вычисления соответствующих интегралов, а разлагая граничную функцию яп р: 1г яп 1а= ~-(1 — сов2вг)~ = — (1 — 2сов2гг+сов~2р) = (2 ~ 4 3 = — — — сов 2~р + — сов 4 р .
8 2 8 Подставляя общее решение в граничное условие, получаем ди — (А„сов п(о + В„в)п п(о) =о 3 1 1 = — — — сов2(о+ -сов4~р. 8 2 8 Отсюда сразу находим 3 1 1 Ао= —, Аг=--, Ав= —, 8' 2' 8' все остальные коэффициенты равны нулю. Следовательно, решение имеет внд 3 Ко(хт) 1 Кг(хт) 1 Кв(хт) 8 «Ко(ха) 2 «Кг(ха) 8 «К~в(ха) На примере решения этой задачи отметим, что если граничная функция задана в виде ряда Фурье, то решение задачи выписывается сразу, без вычисления каких-либо интегралов. 3.
Внутри круга единичного радиуса решить задачу Ьи+ )г(г ) и = О, 0 < т < 1, з' и)т — в = в1пф+ сов (р, г где (г, — первый ненулевой корень уравнения (з) ЬЬ) =0 Общее решение написанного уравнения внутри круга имеет вид и(т,)о) = ~ У„~рг т~ (А„сова(о+ В„в)пи(о). р (з) 1 «=о г (з)' В данном случае /сг = )г(, ) совпадает с собственным значением задачи Штурма — «Чиувилля внутри единичного круга. Поэтому для существования решения необходимо отсутствие третьей гармоники Фурье в граничной функции. Так как г ~((о) = в)п р + сов р = — + гйп у + — сов 2р 2 2 зг2 (третья гармоника отсутствует), решение рассматриваемой задачи существует, но неединственно. Решение имеет вид 1 1о (д1 1г) А (и', 'г) 2 ( (з1) ( <з)) + — г т соз2у+ 1з(р1, 1г) (АзсозЗр+ Взз1пЗу~, ) где Аз и Вз — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
