Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 35

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 35 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 352019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Если при й = Л, хоти бы один из коэффициентов у„, и у„, («с) (с) (с) отличен от нуля, то поставленная задача решения не имеет. 1 10. КРАЕВЬ$Е ЗА)ЛАЧИ ДЛЯ вРАВнениЯ Ьи + )сги = О Вне ШАРА ди )'1Л вЂ” — Йи = о -) при т -+ со, дт 1,т) Для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения оси+ )сги = О на бесконечности ставится дополнительное условие — условие излучения, выделяющее уходящую волну. В трехмерном случае условие излучения записывается либо в виде либо в виде ди . /11 — +Йи=о[-) приг — Фсо.

дт [т] И то и другое условие на бесконечности выделяет единственное решение внешней краевой задачи, но эти решения различны. При достаточно гладких граничных функциях решения внешних задач для шара всегда существуют и единственны. Решение задачи Ьи + (о~и = 0 вне шара г > а, Р[и] = о — — )уи~ =,ЦВ, у), ди ]о)+ф)~0, о>0, )3>0, ди . )11 — — Йи=о[-) приг-?оо дг [,т) имеет вид г 1~зН( ) ~ (ят) и — ~~, ' ~ "и у Р( )(сооВ)Ц~;,),созга(о+ф] шит~о), =о -о Р 1а '~~Н„+,~з()га)) (10.1) где ~„,„и (а,„определяются формулами (9.1), (9.2). (с) (л) Чтобы получить решение краевой задачи с другим условием на бесконечности ди .

/11 — +Йи=од приг-+со, дт ~,т] нужно в формуле (10.1) функции Ханкеля первого рода Н„+ ~з(я) (\) заменить функциями Ханкеля второго рода Н„+ (я). (г) 5 ш. кРАеВые зАдАчи для РРАВнения Ьи+ йои = 0 В ШАРОВОМ СЛОЕ Краевая задача для уравнения Ьи+ язи = 0 внутри шарового слоя рассматривается так же, как соответствующая краевая задача внутри кругового кольца, разобранная в 1 4. Рассмотрим задачу Ьи + я~и = 0 в слое а < г < 6, (11,1) Р1[и] = о1 — — )у1и) = 11(В,(о), [о1]+ [)г1] ф О, ди (11.2) 305 ди Рг[п] = — ог д + дгп!.=ь = Л(В,)а), !аг!+ !дг! Ф О.

()).з) Для того чтобы развязать граничные условия, заданные при т = а и при т = 6, удобно построить две серии частных решений уравнения Ьи+ 6~и = О так, что все решения одной серии удовлетворяют однородному граничному условию при т = а, а все решения второй серии — однородному граничному условию при т = 6. Этот прием уже неоднократно использовался в предыдуших параграфах (см., например, г 4). Итак, используя решение (8.5), построим решения, удовлетворяющие граничному условию Эти решения можно взять в виде и~~)(т, В, ьг) = Я~~~)(т)Р~~)(сов В) г ), Б!и тп)г, где с,)( ) У +цг(6т) „) сс +цг(6т) [Л+ 2'] .+»(~.), дг + — 1 уе+цг(/са) 2аз 9г(сс, а) = аг/сЛ„'+цг()са)— Рг()с с') = с"16У ацг(6е) (ь) Рг [и~ )1 = ог — + дгп< )!„-ь = О.

ь) дп„ ь т Они имеют вид и~~)(т, В, сь) = Яь()(т)Р< )(соьВД ), з(п спст, где рд Юпацг(йт) )с) +цг(6т) т т 306 (штрих, как обычно, обозначает производную по полному аргументу). Аналогично строим вторую серию решений и„(т> В, у), удовлетво<ь) ряюших однородному граничному условию при т = 6: Чг(О,6) = ог(с)ц„'чцг()с6)+ [)гг 261)Б(п+цгЯ6) Рг()с, 6) = ог)с ( ч цг((С6) + [)гг ] Упе цг()С6) Теперь решение краевой задачи (11.1)-(11.3) запишем в виде разло- жения по этим решениям; и = ~~~ ~~~ В(')(Б )Р(м)(сов д) (А»„, сов т(О+ В»,„ми пир) + »=О попо оо п + ~~~ ~ ~В( )(г)Р(по)(совд) (С»по совт(О+.0» в(пт(О).

=О =О В» (г) (а) (с) (Б) [" 1 , Р» (совд) [~г„~ совт(О+ ~г„~в(пт(о) + Р, В,",(6)~ " Вп (г) (,п) (с) (ь) (Б) ["' > „Р» (сов д) (~,„сов пг(О + Л„ягг ог(с), Рг В(, )(аЦ и=о»о»о +ЕЕ где У,„, У,п,и и Уг„, гг„— коэффициенты ФУРье фУнкций 1г(д, (о) (С) (Б) (С) (Б) и /г(д, уо) соответственно при разложении их по системе сферических функций. Формулы для их вычисления аналогичны формулам (9.1), (9.2). Если 6 = Л„„ где Л„, — собственное значение соответствующей задачи Штурма-Лиувилля для шарового слоя, и хотя бы один из коэффициентов уг„,, у,„,, уг„,, уг„, отличен от нуля, то поста- (С) (Б) (С) (Б) вленная задача (11.1)-(11.3) решения не имеет. ЕСЛИ 6 = Лп, И ВСЕ КОЭФфицнсптм Ли по~ А»о»о~ Лооп~ Бог»опо г (й обращаются в нуль, то решение существует, но неединственно.

Оно имеет вид оа и (а) и — ~~~ ~~~ Р» (сов д) ( 7г»ои сов тго + (г»Б» вш т(О)Б + Вп(г) () ((с) (Б) »=О попо Рг В» (6) (а) »впо зот Коэффициенты А»„, и В»,„определяются из граничного условия при Г = 6, Кезффнпноптм С»м И Рпп, — ИЗ ГРаниЧИОГО УСЛОВИЯ ПРИ и = О. Далее приводим только окончательные результаты без подробных объяснений и выкладок. Если (сг не является собственным значением соответствующей задачи Штурма — Лиувилля для шарового слоя, то все коэффициенты определяются однозначно из граничных условий, и решение имеет вид со и (6) + ~', ~~' г г Р( )(сов В) (Угп, сов ту+ Угв в)в~у(+ =в Р [Рьв (а)1 Г (ь) «о +)тв(;)(г) ~ ~Р~~)(совВ)(А,„совпьу+В,„в)пту), где А,„и В,„— произвольные коэффициенты.

(Заметим, что при Й = )(„, функции г(„, (г) и А„, (г) становятся линейно зависимыми.) г (О (а) (ь) в гг. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хгп = О ВНУТРИ ШАРА Как и в двумерном случае, внутренние краевые задачи (первая, вторая и третья при й ) О) для уравнения 6)и — хги = О имеют единственное решение. Выпишем эти решения. Рассмотрим задачу внутри шара Ьи — хгп = О в шаре О < г < а, Р[и] = о — + ))и~ = 1(В, у) . ди Решение этой задачи представляется в виде разложения по частным решениям (8.7), ограниченным при г = О, и может быть записано в виде во в гуг и=~~ г 1„+г)г(хг) Р (совВ)(1' сов ту+1 ' впту) =о Р [а-г)г1в+г)г(ха)] где 1„, и 1„— коэффициенты Фурье функции 1(В,у) по системе (в) (Б) сферических функций, вычисляемые по формулам (9.1), (9.2).

5 гз. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ дЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хгп = О ВНЕ ШАРА Для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения Ьи — хги = О на бесконечности ставится дополнительное условие: и ~ О при г 6 оо . Приведем решение внешней краевой задачи для шара. Рассмотрим задачу Ьи — хгп = О вне шара: г ) а, Р[п] = о — — )3и~ = 1(В,у), ди ду в к в 308 и =~ О при г -+ со . Решение этой задачи строится в виде разложения по частным решениям (8.8), удовлетворяющим условиям на бесконечности, и имеет вид г 1)гК (х~) и(г,В,(в) =~~~ ~~~ Р( )(совВ) х х () ( ) совпир+ 1( ) в(ппг(в), где г„, и г'„определяются формулами (9.1), (9.2). (в) (8) 5 гв.

кРАБВые 3АдА'Хи для иРАВнения Ьи — хги = О В ШАРОВОМ СЛОЕ Рассмотрим краевую задачу Ьи — хги = О в шаровом слое а < г < б, Рг[и] = ог — — )уги! = ЯВ,~р), [ог[+ !)Вд! ф О, ди Рг[и]= — агу +)уги! =Ь(В,р), [ог[+[дг[~О ди Для решения этой задачи сначала построим частные решения урав- нения Ьи — хги = О аналогично тому, как это сделано в 1 11. Пусть и( )(г, В,(в) = )г(„)(г)Р( )(сов В) ~ 1 в(ппир, где гэ+г)г(хг) К,+г)г(хг) г г Чг(х а) = огх~~ +г!г(ха) [)гг+ 2 ] К+Иг(ха) Г ог) рг(х, а) = огх1,+,1г(ха) — [А + — ] 1 +г)г(ха). 2а] Функции и„(г, В, р) есть частные решения уравнения Ьи — х и = О, (а) г удовлетворяющие граничному условию д (а) Рг [ (')~ = , ди" — дг (')! = О. зов Аналогичным образом строим функции и( (ь) (')(.,В,р) =В(ь)(.)Р( )«В)~, ( зтп пир, где йг(х, 6) = ог хК„'+112(х6) + ()тг — — 1 Ко+1|2(х6), »6/ рг(х, 6) = огх1„'+1)2(х6) + ()уг — — ) 1»+1(г(х6).

Функции и„(г, (),(о) удовлетворяют однородному граничному усло(ь) вию при г = 6: (ь) Рг ~и(о)1 = ог — +)уги(~) =О. Решение поставленной краевой задачи может быть получено в виде (все необходимые вычисления читатель легко может проделать самостоятельно) оо и (а) и = ~~~ ~~~ Рп (СОЗ 6) 1 11»,п СОЗ т(О + 11»п, Отц та(О)Ь+ () п=о тахо Рг Вй (6) оо и (Ь) + ~~' ~, Рп (соеа) (Ап ~озтп(о+ Угп, я~та(о), К, (т) („,) () =о =о Рт [В„О(а)1 где 11»,„, 11„и 12„,,12„— коэффициенты Фурье функций 11 и (о) (а) (о) (а) 12 соответственно по системе сфеРических фУнкций. 5 1В.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ гтРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА Рассмотрим некоторые примеры решения краевых задач для уравнения Гельмгольца. 1. Внутри круга г < а решить задачу (зи — хги = О, и),-» = !Отп(о). Общее решение задачи Дирихле для данного уравнения имеет вид 1О(хг) х 1~(хг) и(г,(о) = Ао + аг (Апсозп~Р+ Вп мпп(о) 1о(ха) 1,(ха) п»ц З1О Определяем коэффициенты А„и В„: Ао — — — / )в(п1а)41а= — / в(п1ай~р= —, 2я,/ 7Г о о 1 Г 1 А„= — ( ) в)п гг ( сов п1а <йр = — / ) вш 1г ( сов п1р Нар = о о (, ) (1+ (-1)"), 2 гв в 1 Г,, 1 В„= — 1 (яика)яппрйр= — 1 (вшгг(в(ппугйуг= О, так как подынтегрвльная функция нечетна.

Следовательно, 2 1в(хт) 2 ч 1+(-1)" 1»(хт) и— сов п~р, я 1в(ха) я пг — 1 1„(ха) или 2 1о(кг) 4 т 1гв(хт) сов2(ор я 1в(ха) я ~ ага(ха) 4вг — 1 2. Решить вне круга задачу Ьи — и=О, т>а, да — =яп ~р, дт „, и ~ О при т -+ оо . Общее решение задачи Неймана для этого уравнения вне круга можно записать в виде К„(х ) и(т,1а) = ~ ", (А„савау+В„яппуг). в=в В данном случае коэффициенты разложения проще определить не путем вычисления соответствующих интегралов, а разлагая граничную функцию яп р: 1г яп 1а= ~-(1 — сов2вг)~ = — (1 — 2сов2гг+сов~2р) = (2 ~ 4 3 = — — — сов 2~р + — сов 4 р .

8 2 8 Подставляя общее решение в граничное условие, получаем ди — (А„сов п(о + В„в)п п(о) =о 3 1 1 = — — — сов2(о+ -сов4~р. 8 2 8 Отсюда сразу находим 3 1 1 Ао= —, Аг=--, Ав= —, 8' 2' 8' все остальные коэффициенты равны нулю. Следовательно, решение имеет внд 3 Ко(хт) 1 Кг(хт) 1 Кв(хт) 8 «Ко(ха) 2 «Кг(ха) 8 «К~в(ха) На примере решения этой задачи отметим, что если граничная функция задана в виде ряда Фурье, то решение задачи выписывается сразу, без вычисления каких-либо интегралов. 3.

Внутри круга единичного радиуса решить задачу Ьи+ )г(г ) и = О, 0 < т < 1, з' и)т — в = в1пф+ сов (р, г где (г, — первый ненулевой корень уравнения (з) ЬЬ) =0 Общее решение написанного уравнения внутри круга имеет вид и(т,)о) = ~ У„~рг т~ (А„сова(о+ В„в)пи(о). р (з) 1 «=о г (з)' В данном случае /сг = )г(, ) совпадает с собственным значением задачи Штурма — «Чиувилля внутри единичного круга. Поэтому для существования решения необходимо отсутствие третьей гармоники Фурье в граничной функции. Так как г ~((о) = в)п р + сов р = — + гйп у + — сов 2р 2 2 зг2 (третья гармоника отсутствует), решение рассматриваемой задачи существует, но неединственно. Решение имеет вид 1 1о (д1 1г) А (и', 'г) 2 ( (з1) ( <з)) + — г т соз2у+ 1з(р1, 1г) (АзсозЗр+ Взз1пЗу~, ) где Аз и Вз — произвольные постоянные.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее