А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 37
Текст из файла (страница 37)
т ОН-пъ Вычитая (1.7) и (1.9), получим соотношение ьь у(В', у') Р„(сов 11)— — — 'Р1 1(сов В)Р1 1(сов В') сов т(~р — у') У Вй' = О, 2 (и — т)! ь~~ (и + 1'и)) Р„(совР) = Р„(сов В)Р„(сов В') + (и — и1)! +2 ~~ Р1 1(совВ)Р1 1(совВ')совт(р — 1р'), (и+ т)! (1.10) где соь13 = сов дсовВ'+ ыпВыпВ'соь(р — у') . Формула (1.10) обычно называется теоремой сложения для сферических функций. 1 2.
ТЕОРЕМЫ СЛОЭКЕНИЯ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФЗ~НК1~Ий Рассмотрим теперь простейшие теоремы сложения для цилиндрических функций, которые наиболее часто встречаются в приложениях. Для функции Ханкеля Н~'~ (х) справедливо интегральное представление Зоммерфельда Н(П(я) = — """ +'"ьв' Г 3 ) с, 323 справедливое для любой функции ~ Е Ьь(Н1 ) . В силу произвольности функции 1(В, 1ь) отсюда следует где контур Сг на комплексной плоскости у изображен на рис.
1. Напомним, что в силу теоремы Коши контур С~ может быть деформирован, но так, что его конусы уходят на бесконечность в заштрихованных на рисунке областях. Пусть М и Р— две точки на плоскости (х, У), полЯРные кооРдинаты котоРых (г, Р) и (гы Р~ ) соответственно. Расстояние между ними Рис. 2 Рис. 1 Для определенности будем считать, что г < гг.
В треугольнике ОМР (рис. 2) угол против стороны т обозначим К. Заметим, что 4 < и/2 при г < г~. Из ДОМР видно, что имеют место соотношения Всое "т' = г~ — гсоед, В51пт' = г81п)у. (2.1) Рассмотрим функцию НП1(Л) =--~.-'""" +ге 1р. 1 Г е Сделаем замену р = а — ф. Как было указано, сдвиг контура на величину 4 < я/2 не меняет значения интеграла. Позтому Я(1)(Д) е-ьниа1а-т)+пи(о-Я,1о 1 Г (2.2) с, Так как Вв(п(й — ф) = Вв)носова — Всов йв!пй = = в(па(т1 — тсовЯ вЂ” т сова втр = т1 вша — тв(п(а+ Д), из (2.2) получаем Н(1)(В) шФ -1т1иие+гтип(а+ГО+ш'" ~~й (2 3) 1 г с, Воспользуемся разложением плоской волны в ряд по функциям Бесселя ге ив(а+в) ~~, у ( ) 1п(а+д) (2.4) Подставляя разложение (2.4) в (2.3) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим НП)(В) и Е Г изей -а1ип а+~О +т)а г е = ~ „(т)е «=-оо с 1 Л„(т)Н„+„(т1)еыд .
Так при замене т на йт, т1 на йтм В на ггВ углы )у и ф не меняются, полученное соотношение можно записать в виде Н(П(ще'"т = ~~~ я„ят)Н~+~„(5т1)е'"д, т < т1 . (2.5) Соотношение (2.5) называется теоремой сложения Графа. При и = О соотношение (2.5) принимает вид НО'~(Щ = ~~~ /ифт)Нг1)Ятг)е'"В— е=-со = Ло(5т)НвЦ'~(lст1) + 2 ~~~ У„(йт)Н<П(lгт1) сов т4, т < т1 (2.6) 325 и представляет собой разложение цилиндрической волны с центром в точке Р по цилиндрическим волнам с центром в точке О. Выделяя действительную часть, из (2.6) находим .7а(ЙВ) = 36(хг)3о(хг1) + 2 ~~~ .1„Яг)7„(Ь1) соат4.
Вг)2 (В) 2 1 е(н (1) ,Я х1'В' (2.7) где В = гольца , является решением уравнения Гельм- Ли+и=О, удовлетворяющем условию излучения на бесконечности ди . /1( — — (и=о~-! при г-е оо. дг Следовательно, при г1 > г она может быть представлена в виде раз- ложения по частным решениям уравнения Гельмгольца 1 у 7„+г)2(г)Ра(соя()): ~/г 1/2 (В) Уа+1/2 (г) а„" Р„(сов Я, ь=о г < г1 .
(2.8) Коэффициенты а„не зависят от г и )у. Определим коэффициенты а„. Из (2.8) имеем (1) )а+(!г(г) 2п+ 1 Г В1)г (В) а„" — ( Р„(созЯа1п)Ус)У= 2 ./ ~/В о Г 2п+ 1 Г Вх(г (В) 2,/ ~Я Р„(х) пх, В = гз + г( — 2гг(х . 326 Это соотношение справедливо при любых г и г1. Заметим, что соотношение (2.6) справедливо и при комплексных значениях В, г, г1 и т), связанных между собой соотношениями (2.1) при условии (г! < (г1 !. Теперь выведем другую теорему сложения позволяющую получить разложение сферической волны. Функция Воспользовавшись явным представлением полиномов Лежандра по формуле Родрига, получим /а+1/2(г) 2п+1 1 / Н1/2(В) 1(п а -1 Полученный интеграл и раз проинтегрируем по частям, учитывая, что все внеинтегральные подстановки обратятся в нуль.
Поэтому / +1 (1) Н1/2 (В) Ы 2» / 2 д Н1/2 (В) / /В 1(ха < 2 )и 1 ( )» /< 2 1)» дх" 1/В 1(Х . Поскольку для произвольной функции д гг,де — е(В) = — — —, дх В дВ' можем записать У' Н,/2(В) /' 1 д У')Н,/2(В) ~ Используя формулу 1 с~ Я„(х) 2„.11(х) х дх ха х"+1 справедливую для любой цилиндрической функции Я„(х) (см.
~ 5), получим < 1 д Н1/2 (В) Н +Ц2 (В) , а Н(1) В Н(1) В дВ) В1/г В»+1/г Следовательно, / +1/г(") 2п+1( — 1)" (гг1) г 1" +1/г( ) ~ +- Н() В /г 2 2вп( Ни+1/2 -1 Теперь обе части равенства (2.9) разделим на г" и перейдем к пределу при г -+ оо, учитывая при этом, что а„от г не зависит. Так как 327 2'»+цг(") 1пп , О т»+Чг 2 +1!гГ(п.( 1 (.Ц ' Н +1/г (~) Н +1(г("1) (1) (1) 1пп г1~ г-+О !т»+1!г,/»1 из (2.9) получаем 2) 2 -.'-1(-1) 1 ( ( » Нрй (2,) 2 2 2» и! 1/е! — 1 Поскольку Г(п+ 1) Г(г) /( ' — )" =(- " (эг — 1) ((х = ( — 1)» Г(п+ -) г) -1 получаем Н( ) (»1) (2.10) Подставляя найденное значение а» в (2.8) и учитывая (2. (), получаем е' 1 Н»+цг("1),У»+1)г(с) (\) »=О Г < т1 .
Заменяя е на )Ог, »1 на )2г1, перепишем соотношение (2.11) в виде Н(1) Г < Г1 Соотношение (2.12) является частным случаем теоремы сложения Гегенбауэра. Представляет интерес предельная форма теоремы сложения, получаюшаяся из (2.12) при »1 -+ оо.Имеем г ~ Н( (1т1) 2 2 2» (г 21-+»2 Я 1(геп2н Ч я)2 2»+1 Поэтому из (2.12) получим е (~"'»2(г = 1 — ~~2 ( — 2)») и+ -~)1».~1(г()2т)Р»(соз)1), (2.13) 328 или, заменяя 11 на х — (У: Соотношения (2.13) и (2.14) дают разложение плоской волны по сферическим волнам.
В заключение приведем без вывода полную теорему сложения Ге- генбауэра = 2"Г(м) ~~( (и ) "+" "+" С"(сов(7) (2.15) (,.К).— где о„(х) — произвольная цилиндрическая функция порядка и, ~„"(х) — полипом Гегенбауэра, В = то+ т — 2тт1 сов)7, т < т1, и > --'. В этом случае, когда о,(х) = 1„(х), ограничение т < т1 излишне. Доказательство этой формулы можно провести аналогично тому, как это сделано в данном параграфе при и = —. Аналогичные формулы можно получить и для функций Бесселя чисто мнимого аргумента.
Используя соотношения 1 (х) = е ( 1.7„(вх), К„(х) = — е( в И~1 1(вх) ', получаем из формул (2.6) и (2.12), считая х = вм: Ко (мВ) = 1о(мт)КО(мт1) + + 2 ~~( 1„(мт)К„(мт1) сов п(у, т < т1, (2.16) о=в -мп п=о т<т1, (2.17) 5 3, ОЪ1ММИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ Рассмотрим суммирование некоторых рядов, которые встречаются при решении краевых задач для уравнения Лапласа. 329 где А= Эти соотношения используются при построении в виде рядов функций Грина оператора Ьи — мви.
Для любого комплексного в, такого, что )д! < 1, справедливо соотношение 1 ~.я" = —, »=0 Подставляя 4 = 1е'в, где 1 действительно и ф < 1, и разделяя дей- ствительную и мнимую части, получим 1 — 1сов1р = 7 1» сов тмр, 1 — 21 сов у + Р »»а 1в)п ~р 1 81П В~р. 1 — 21 сов р + Р ~-' (3.1) (3.2) Используя (3.1), находим 1 — Р 1+ 2~1" совтмр = 1 — 21сов~р+ Р »=1 (3.3) Соотношение (3.2) проинтегрируем по ~р: 1 в»совпр — 1п(1 — 21~ю р+1~) +С = — ~~ 1» —.
2 и Подставляя сюда 1 = О и используя разложение 1» 1п(1-1) =-Е-, (11 <1, »»1 определяем постоянную С: С= О. Следовательно, 1п(1 — 21сов1»+1~) = -2~ 1» —. и »=1 (3.4) 1 1и =1и — + у 1 — 1 совпр> гд<г. г' + гв — 2гго сов р г, г ззо Формула (3.4) позволяет построить разложение фундаментального решения уравнения Лапласа на плоскости в тригонометрический ряд. Действительно, пусть 1 = гв(г < 1. Тогда из (3.4) получаем: которая представляет собой определение производящей функции для полиномов Лежандра. Отсюда сразу имеем — ( — ) РУ(соз О) 2 »=Π— ( — ) Р»(сое В), »=О ГО < Г, (3.6) гз + гΠ— 2гге соз д ГО > Г. Теперь рассмотрим следующие два ряда: Е» М»+1 — Р„(х) и ~ — Р»(х), и и+1 »=1 »=О которые встречаются при построении функции Грина для внутренней и внешней задач Неймана для уравнения Лапласа в случае сферы. Для вычисления суммы первого ряда обе части разложения = 1.1 Ь' 2" У„[О 1 — 21* -.'- 1 разделим на $ и проинтегрируем по 1: 12Л вЂ” — 2»212 1 Отсюда 1» Г 211 ь; -У.
(О = -1 1.. 1' 1 1 1 — 21*21'' »УМ Для вмчисления интеграла воспользуемся подстановкой Эйлера у = У 2 — 2212* * У 1 1 1-.'- 1. Тогда =2/, =1п — +С= »2 — 22 21 2 У вЂ” 1 У 11 1(х + 1) = 1п + С. 1 — *1.', УУ вЂ” 21 .', 1 ззт В трехмерном случае разложение фундаментального решения уравнения Лапласа 1/В по полиномам Лежандра получается из формулы , =Г1"У<О,!11<1, (3.5) 1 †21* Следовательно, у» х+1 '5 — Р„(х) = 1и * + С. 1 — 1 '; у)У вЂ” 2211* * -У '; 11 Для определения С подставим $ = О. Получим х+1 С = — !и —.
2 Таким образом, »=1 Аналогичным образом вычисляется второй ряд: 1»+! ~ — Р„(х). »»в Для вычисления суммы этого ряда разложение (3.5) проинтегрируем по 1. Получим Для вычисления интеграла опять используем подстановку Эйлера у = у!У вЂ” 2221* *2 У 11.', 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
