Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 36

Файл №1125167 А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU)) 36 страницаА.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167) страница 362019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

4. Построить функцию Грина задачи Дирихле для оператора Ьи+Й и вне сферы. Функция Грина имеет вид 1 еганммо С=— +е, 4я Вмм, (15.1) где е есть решение задачи 1с~е = О вне сферы: г ) а, 1 егап"'мо 4я Вммц мея е)„ (15.2) де — — 1ке = о — при г -+ оо . дг ~,г) Для решения этой задачи введем сферическую систему координат (г, е, 1е) с началом в центре сферы и осью з, проходящей через точку Ме.

Тогда точка Ме имеет координаты (го, О, О) и Вммо = гз+ газ — 2ггесозВ. Решение задачи (15.2) имеет вид г '" Га Не+1 /з(Ь.) """ = ~'Ч ~ Н„'Ц1цз(й ) (15.3) ОЭ е'"и е) = ~~~ А„Р„(созе) = —— 4яВ «ьа «=а згз Здесь учтено, что в выбранной системе координат решение задачи (15.2) имеет осевую симметрию, т.е. не зависит от угла у. Коэффи- циенты разложения А„определяются из граничного условия Для определения коэффициентов А» воспользуемся теоремой сложе- ния (см. приложение, г 2) с"" 1 у»+гас)»+г( (г) — ~ав в. Подставляя написанное разложение в граничное условие, получаем оэ оо (г) А»Р»(совВ) = -- ~~~ (и+ 1/2) Р„(сов В) .

о»+г)г()оа) Н»+цг(»гв) »=0 »=0 ЪГа Фо Отсюда сразу находим коэффициенты А»: 1 У»+г()оа) Н э()ого) (г) Подставляя коэффициенты А» в (15.3), получаем решение ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ |~ о Н»+ Ягв) (г) и+ — — д в,у»+г(уса) х 2,/гв Н (1а) Н„+цг(йг) (г) х Р»(совВ), оо в= 4 «=0 (15.5) а функция Грина определяется формулой (15.1). Функцию Грина можно записать в произвольной сферической системе координат с началом в центре сферы. Пусть М = (г,В,(о), Мв = (гв, Вв, воо) Тогда Р„(совЯ = Р»(совВ)Р»(совВв) + Нмм, = сов)У = совд сов до + в)пдвш Вв сов(У вЂ” ~Рв), ~ с)впммо С=— 4и ( Лмм, 1'~ Н„+г()огв) (г) (15. 6) а выражение для Р„(сов )1) может быть записано по теореме сложения (см, приложение, г 1) а +2 ~ ~Р1 1(соей)Р( 1(созда)созга(у — уе). (и+ тп)) У=е' '+и, где и — потенциал скоростей рассеянного сферой тела. Введем сферическую систему координат (г,д, ~о) с началом в центре сферы и ось х — вдоль направления распространения плоской волны.

Будем считать, что плоская волна еы' распространяется в направлении, противоположном положительному направлению оси х (т.е. волна падает на "северный" полюс сферы). Тем самым предполагается временная зависимость е' '. Граничное условие на поверхности абсолютно твердой (непроницаемой) сферы имеет вид дУ (п,йгадЦ!, = — = О. дп Следовательно, для определения рассеянного поля и получаем краевую задачу Ьи+ кти = 0 при г > а, пь е дг „ , дг (15.7) ди /1 1 — + Йи = о ( - 1 при г -э оо дг ~г) (вид условия излучения выбран исходя из временной зависимости еьм) Згв Рассмотренная задача о построении функции Грина имеет простой физический смысл: сферическая волна с центром в точке Ме падает на абсолютно мягкую сферу. Первое слагаемое в формуле (15.6) представляет потенциал скоростей точечного источника, расположенного в точке Мо и создающего сферическую волну, второе слагаемое — потенциал скоростей рассеянной сферой волны (дифрагированная волна).

Поэтому эта задача называется также задачей о дифракции сферической волны на абсолютно мягкой сфере. 5. Рассмотрим задачу дифракции плоской волны на абсолютно жесткой сфере. Пусть плоская волна, потенциал скоростей которой имеет вид е'"', падает на абсолютно твердую сферу радиуса а. Найти полное волновое поле вне сферы. Потенциал скоростей полного волнового поля У вне сферы представим в виде Задача (15.Т) имеет осевую симметрию. Следовательно, ее решение не зависит от ог и может быть записано в виде г-'!гн1г1 Яг) (15.8) Прежде чем подставить общее решение (15.8) в граничное условие, разложим плоскую волну есв'"' по полиномам Лежандра, использовав вырожденную теорему сложения (см. приложение, г 2) п=о Подставляя теперь (15,8) и (15.9) в граничное условие, получим А«Рп(совВ) = — ~( — ~~~ сп(и+ -) — Рп(совВ).

~2я,„сс 1'1 д Уп+ссг(/са) 2) да ~/а «=о =о Отсюда находим коэффициенты Ап: 1') д 1«+с~гЯа) 1 = — суС вЂ” сп ~и+ -) lс ~ 1„' (/са) — —.7«+Пг(/са) Подставляя найденные коэффициенты Ап в (15.8), получаем рассе- янное поле в виде 2в' ~ .„с 1 1 (а с,с+цг(сса) г1й у«+с/г("а) Х г х Н„+гав(йг)Р«(сов В) . 6. Внутри сферы г < а решить задачу с."си — и = О, и~ = сов2В+в(пВв1псо. Общее решение внутренней задачи Дирихле для этого уравнения имеет вид и — ~~ ~~ Р„~ (совВ) (А„,„совпгог+В„,„в(пспу) .

ч чп ~/а1«+с/г(г) =о по и+ сг Чтобы определить коэффициенты, нужно граничную функцию разложить по сферическим функциям. Из граничного условия сразу видно, что отличны от нуля будут только коэффициенты А„о и В„1. Теперь сов 2В разложим по полиномам Лежандра Р„(сов В), а зги Вв по присоединенным функциям Р( (сов В): (1) 4 1 сов 20 = 2 совг  — 1 = — Рг(сов В) — -Ро(сов В), 3 3 згпВ = Р1( )(совВ).

1 /а 11/г(т) 4 /а 1з/г(т) и = —— + -)/— Рг(совВ) 3 )// т 11/г(а) 3 )// т 1я/г(а) + ~( — Р1 (совВ) згп(о. Га1з/г(т) (П т 1з/г(а) Т. Вне сферы т > а решить задачу Ли+и=О, — = совВ+ зги Всов2ог, ди г дт „, ди . /1( — — ги = о ~-1( при т -+ оо . дт (т( Поскольку совВ = Р1(совВ), зги~ Всов2(г = -Рг (совВ) сов2(о, (г) 3 решение поставленной задачи имеет вид т-1/гн(1) (т) 1 згп В сов 2(о . я/г а-1/г/1Ю (а) да- в/! ] „- /гн(1) (т) и = созВ+ д [а / Из( )г(а)) г 1З. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Решить внутри круга т < а задачу г.'1и — гс~и = О, и),—, = зяпог, — я < ог < 11. з(т Следовательно, Аоо = — 1, Аго = з, Вы = 1, все остальные коэффициенты равны нулю.

Таким образом решение имеет вид 2. Решить вне круга т > а задачу 12и + Гс~и = О, и! — = !Ч 1, — сг < Р < ГГ, ди, сс 1 — + Йи = о ~ — (, т -+ оо. дт ~,,/т) 3, Построить функцию Грина внутренней задачи Дирихле для оператора сзи — хги внутри круга. 4. Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора Гзи — хги внутри круга. 5. Построить функцию Грина задачи Дирихле для оператора Ьи — х и вне круга. г 6. Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора Гзи — ха и вне круга.

Т. Решить двумерную задачу дифракции плоской волны на абсолютно жесткой окружности. 8. Построить функцию Грина задачи Дирихле для оператора Ьи+ (сги вне круга для условий на бесконечности: ди СГ 1 лс а) — — сйи=о~ — ); д ~ЛР б) — +йи = о а) — — йи=о ди /1 1 б) — +йи= о~ — ). дт („/т) ' 10. Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора сии+ )сги вне сферы с условиями на бесконечности: ди, /1'1 а) — — Йи = о(-); д. (т) ' б) — + с/си = о Ответы.

1„1~.1 л и 7„7или~) иис 3. 1 ~Ко(хЛ) — у~ф1о(хто)Ко(ха)— — 2 ~., уЯ1и(хто)К (ха)сони(у — сра)~, В = тг + та — 2тта соз(со — ГРо) . 318 9. Решить плоскую задачу дифракции волны от точечного источника на абсолютно жесткой окружности с условиями на бесконечности: 4 0', [Ко(хй) — 1«е(("— ;)110(хго)1о(х)')— — 2 Е -уРф1»(хго)1»(х~) сова(р — ~ро)], »=1 5 о0 е [Ко(хТ вЂ” у~~„-~уКо(хго)Ко(хг)— -2 Е д"-'Я Кп(«его) Кп(мг) сов и(~о — (ро)), »=1 — „, [КО(хН) -+ни~»,КО(хго)КО(хг)— — 2 Е Й(("„—.))Кп(хго)К»(хг) сов п((р — ро)], »=1 7. 0(('""" и — — 0( — '-) — Н'( ~(Ь) — ~, —,0 — -) — Нй ~((ег) сов тмр.

Н( ) ()«а) „— 1 Н( ) (йа) е + й Жа)-Н(')Я а)Н(')(Ю -.(р- .); »,Н„'(В ) Не — г(1 ~ — «Ва) — Н„~~(ИГО)Н„)ЯГ) СОВ»(!р — !рО), 1Н.' (Оа) ) +«(«(йа) Н +«)г(о а) Н +««()\«) («) («) п сов 0) Н(г) (йа) '/ге (г) ), (г) п(сов р +«/г е! 10.а) 1 ['д — ггг 2' (и п=1 )0[ В +"'Е(" »=1 В= сов)д = совдсовдо+ в!гада!пдосов(!р — (ро) ПРИЛОЖЕНИЕ При применении специальных функций для решения краевых задач часто используются формулы, которые обычно называются формулами сложения. В этом приложении выведены формулы сложения для сферических функций и простейшие формулы сложения для цилиндрических функций. 5 Г.

ФОРМУЛА СЛО2КЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Сферические функции Р( 1(совВ)совггир, Р1 1(совд)вшгп1в, о=0,1,...,со, т=0,1,2,...,п, являются собственными функциями следующей задачи Штурма— Лиувилля: Ьвгэ+Ле=О, 0<В<к, 0<вг<2я, и(д, <р + 2гг) = и(д, р) при всех В и р, /е(0, вг) / < оо, !е(я, р) / < со, соответствующими собственному значению Л = Л„= п(я+1), причем гапк Л„= 2п+ 1. Сферическая гармоника У„(д, 1в) есть линейная комбинация собственных функций этой задачи, соответствуюгцих одному собственному значению Л„: и У„(д, р) = А„дР„(созВ) + ~ ~Р1~1(совд) (А„совт~р+ В„вшоир).

в~ж1 Пусть М(В, у) и Мг(дг, ~рг) — две точки на единичной сфере, сов,д = сов В сов дг + з1пдвгпдд сов(вг — 1рг) . Угол )У есть угол между радиусами, проведенными в точки М и Мг. 320 Рассмотрим функцию пь = т Рь(соад). По переменным (г, д, 1р) она удовлетворяет уравнению Лапласа. Отсюда вытекает, что Рь(соз,9) есть сферическая гармоника, соответствующая собственному значению Ль = й(й+ 1). Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой. Следовательно, гт т / У„(д, р)Рь(сов д) айаг = О при и ~ й. (1.1) Пусть 5„— сфера радиуса а с центром в начале координат.

Согласно третьей формуле Грина т" У„= — У ~ — т" У вЂ” т" У вЂ” дК - (1 2) 4я,1т ) Ямр дп " дп Вмр) На сфере Я~: г" У„(0, 1р))з —— а" У„(д, 1т), д „д дп " з да — т" Уп = — а"У„(д, ~р) = па" Уп(0, 1р) Используя разложения производящей функции для полиномов Ле- жандра, получим 1 1 ,.» — — Рь(соад), (г ( а), ~ 2тт Позтому д 1 ~ д 1 — — — =-Е( + ) —,"„"(-д) дп Лмр ~р з да Ямр „а~~~ Подставляя найденные значения в формулу (1.2), получим г ть Г ,"ттрн=2 1/[ .~~~от[в,,т)тт„т)а~,,с. (1.3) 321 Учитывая условие ортогональности (1.1), из (1.3) находим У„(В, р) = — ~ ~ Р„(совЯУ„(Вы~р2)[)йв„,, (1,4) 2п+1 Г [ о о ~(В, [р) = ~~~ АГАВ,РО(совВ) + п=о ~ П А А Р[ ~[ В[[А„ПАВ„А Р[) = АП= 1 1„(В, р), (1.5) В=о где У„(В, р) — сферическая гармоника.

Коэффициенты разложения определяются формулами — 2' / 1(В', у[')Р(<1(совВ') соотг'Ый', Ф„,у у о о 2  — 1 / 1(В', [р')Р1 1(сов В') яп [т[р' Йй', ААПАП В У о о 2ке„, (и+ т)[ 2п+ 1 (и — т)[ ' А„ (1.6) ВППА Умножая соотношение Р(В',~') ='~ У,(В', р') в=о на Р„(сов Я и интегрируя по единичной сфере по переменным (В', [р'), получим, учитывая (1.4): 2В У„(В, р) = ~ ~ 1(В',уР)Р„( В) ай', 2п+ 1 4 ,/,/ ' " (1.7) о о сов )У = сов В сов В' + яп В ип В' сов(ОР— ОВ) . 322 Пусть ДВ, 1О) — произвольная функция, интегрируемая с квадратом на единичной сфере; 2 е ьв(52), где Я2 — сфераединичногорадиуса. Она может быть разложена в ряд по сферическим функциям: Поскольку п Уь(В,~Р) =АььРь(совВ)+ ~~1 Рь ~(совВ)(АатсоьттиР+В„ыпт1ь), п~=1 (1.8) подставляя в (1,8) значения коэффициентов А„и В„, определенных формулами (1.6),получим ьь я 1ь(В, р) = / / У(В', р') х (1.9) х ~~~ — Р1 1(совВ)Р( 1(совВ') совт(1ь — ~р') В11'.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее