А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 36
Текст из файла (страница 36)
4. Построить функцию Грина задачи Дирихле для оператора Ьи+Й и вне сферы. Функция Грина имеет вид 1 еганммо С=— +е, 4я Вмм, (15.1) где е есть решение задачи 1с~е = О вне сферы: г ) а, 1 егап"'мо 4я Вммц мея е)„ (15.2) де — — 1ке = о — при г -+ оо . дг ~,г) Для решения этой задачи введем сферическую систему координат (г, е, 1е) с началом в центре сферы и осью з, проходящей через точку Ме.
Тогда точка Ме имеет координаты (го, О, О) и Вммо = гз+ газ — 2ггесозВ. Решение задачи (15.2) имеет вид г '" Га Не+1 /з(Ь.) """ = ~'Ч ~ Н„'Ц1цз(й ) (15.3) ОЭ е'"и е) = ~~~ А„Р„(созе) = —— 4яВ «ьа «=а згз Здесь учтено, что в выбранной системе координат решение задачи (15.2) имеет осевую симметрию, т.е. не зависит от угла у. Коэффи- циенты разложения А„определяются из граничного условия Для определения коэффициентов А» воспользуемся теоремой сложе- ния (см. приложение, г 2) с"" 1 у»+гас)»+г( (г) — ~ав в. Подставляя написанное разложение в граничное условие, получаем оэ оо (г) А»Р»(совВ) = -- ~~~ (и+ 1/2) Р„(сов В) .
о»+г)г()оа) Н»+цг(»гв) »=0 »=0 ЪГа Фо Отсюда сразу находим коэффициенты А»: 1 У»+г()оа) Н э()ого) (г) Подставляя коэффициенты А» в (15.3), получаем решение ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ |~ о Н»+ Ягв) (г) и+ — — д в,у»+г(уса) х 2,/гв Н (1а) Н„+цг(йг) (г) х Р»(совВ), оо в= 4 «=0 (15.5) а функция Грина определяется формулой (15.1). Функцию Грина можно записать в произвольной сферической системе координат с началом в центре сферы. Пусть М = (г,В,(о), Мв = (гв, Вв, воо) Тогда Р„(совЯ = Р»(совВ)Р»(совВв) + Нмм, = сов)У = совд сов до + в)пдвш Вв сов(У вЂ” ~Рв), ~ с)впммо С=— 4и ( Лмм, 1'~ Н„+г()огв) (г) (15. 6) а выражение для Р„(сов )1) может быть записано по теореме сложения (см, приложение, г 1) а +2 ~ ~Р1 1(соей)Р( 1(созда)созга(у — уе). (и+ тп)) У=е' '+и, где и — потенциал скоростей рассеянного сферой тела. Введем сферическую систему координат (г,д, ~о) с началом в центре сферы и ось х — вдоль направления распространения плоской волны.
Будем считать, что плоская волна еы' распространяется в направлении, противоположном положительному направлению оси х (т.е. волна падает на "северный" полюс сферы). Тем самым предполагается временная зависимость е' '. Граничное условие на поверхности абсолютно твердой (непроницаемой) сферы имеет вид дУ (п,йгадЦ!, = — = О. дп Следовательно, для определения рассеянного поля и получаем краевую задачу Ьи+ кти = 0 при г > а, пь е дг „ , дг (15.7) ди /1 1 — + Йи = о ( - 1 при г -э оо дг ~г) (вид условия излучения выбран исходя из временной зависимости еьм) Згв Рассмотренная задача о построении функции Грина имеет простой физический смысл: сферическая волна с центром в точке Ме падает на абсолютно мягкую сферу. Первое слагаемое в формуле (15.6) представляет потенциал скоростей точечного источника, расположенного в точке Мо и создающего сферическую волну, второе слагаемое — потенциал скоростей рассеянной сферой волны (дифрагированная волна).
Поэтому эта задача называется также задачей о дифракции сферической волны на абсолютно мягкой сфере. 5. Рассмотрим задачу дифракции плоской волны на абсолютно жесткой сфере. Пусть плоская волна, потенциал скоростей которой имеет вид е'"', падает на абсолютно твердую сферу радиуса а. Найти полное волновое поле вне сферы. Потенциал скоростей полного волнового поля У вне сферы представим в виде Задача (15.Т) имеет осевую симметрию. Следовательно, ее решение не зависит от ог и может быть записано в виде г-'!гн1г1 Яг) (15.8) Прежде чем подставить общее решение (15.8) в граничное условие, разложим плоскую волну есв'"' по полиномам Лежандра, использовав вырожденную теорему сложения (см. приложение, г 2) п=о Подставляя теперь (15,8) и (15.9) в граничное условие, получим А«Рп(совВ) = — ~( — ~~~ сп(и+ -) — Рп(совВ).
~2я,„сс 1'1 д Уп+ссг(/са) 2) да ~/а «=о =о Отсюда находим коэффициенты Ап: 1') д 1«+с~гЯа) 1 = — суС вЂ” сп ~и+ -) lс ~ 1„' (/са) — —.7«+Пг(/са) Подставляя найденные коэффициенты Ап в (15.8), получаем рассе- янное поле в виде 2в' ~ .„с 1 1 (а с,с+цг(сса) г1й у«+с/г("а) Х г х Н„+гав(йг)Р«(сов В) . 6. Внутри сферы г < а решить задачу с."си — и = О, и~ = сов2В+в(пВв1псо. Общее решение внутренней задачи Дирихле для этого уравнения имеет вид и — ~~ ~~ Р„~ (совВ) (А„,„совпгог+В„,„в(пспу) .
ч чп ~/а1«+с/г(г) =о по и+ сг Чтобы определить коэффициенты, нужно граничную функцию разложить по сферическим функциям. Из граничного условия сразу видно, что отличны от нуля будут только коэффициенты А„о и В„1. Теперь сов 2В разложим по полиномам Лежандра Р„(сов В), а зги Вв по присоединенным функциям Р( (сов В): (1) 4 1 сов 20 = 2 совг  — 1 = — Рг(сов В) — -Ро(сов В), 3 3 згпВ = Р1( )(совВ).
1 /а 11/г(т) 4 /а 1з/г(т) и = —— + -)/— Рг(совВ) 3 )// т 11/г(а) 3 )// т 1я/г(а) + ~( — Р1 (совВ) згп(о. Га1з/г(т) (П т 1з/г(а) Т. Вне сферы т > а решить задачу Ли+и=О, — = совВ+ зги Всов2ог, ди г дт „, ди . /1( — — ги = о ~-1( при т -+ оо . дт (т( Поскольку совВ = Р1(совВ), зги~ Всов2(г = -Рг (совВ) сов2(о, (г) 3 решение поставленной задачи имеет вид т-1/гн(1) (т) 1 згп В сов 2(о . я/г а-1/г/1Ю (а) да- в/! ] „- /гн(1) (т) и = созВ+ д [а / Из( )г(а)) г 1З. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Решить внутри круга т < а задачу г.'1и — гс~и = О, и),—, = зяпог, — я < ог < 11. з(т Следовательно, Аоо = — 1, Аго = з, Вы = 1, все остальные коэффициенты равны нулю.
Таким образом решение имеет вид 2. Решить вне круга т > а задачу 12и + Гс~и = О, и! — = !Ч 1, — сг < Р < ГГ, ди, сс 1 — + Йи = о ~ — (, т -+ оо. дт ~,,/т) 3, Построить функцию Грина внутренней задачи Дирихле для оператора сзи — хги внутри круга. 4. Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора Гзи — хги внутри круга. 5. Построить функцию Грина задачи Дирихле для оператора Ьи — х и вне круга. г 6. Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора Гзи — ха и вне круга.
Т. Решить двумерную задачу дифракции плоской волны на абсолютно жесткой окружности. 8. Построить функцию Грина задачи Дирихле для оператора Ьи+ (сги вне круга для условий на бесконечности: ди СГ 1 лс а) — — сйи=о~ — ); д ~ЛР б) — +йи = о а) — — йи=о ди /1 1 б) — +йи= о~ — ). дт („/т) ' 10. Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора сии+ )сги вне сферы с условиями на бесконечности: ди, /1'1 а) — — Йи = о(-); д. (т) ' б) — + с/си = о Ответы.
1„1~.1 л и 7„7или~) иис 3. 1 ~Ко(хЛ) — у~ф1о(хто)Ко(ха)— — 2 ~., уЯ1и(хто)К (ха)сони(у — сра)~, В = тг + та — 2тта соз(со — ГРо) . 318 9. Решить плоскую задачу дифракции волны от точечного источника на абсолютно жесткой окружности с условиями на бесконечности: 4 0', [Ко(хй) — 1«е(("— ;)110(хго)1о(х)')— — 2 Е -уРф1»(хго)1»(х~) сова(р — ~ро)], »=1 5 о0 е [Ко(хТ вЂ” у~~„-~уКо(хго)Ко(хг)— -2 Е д"-'Я Кп(«его) Кп(мг) сов и(~о — (ро)), »=1 — „, [КО(хН) -+ни~»,КО(хго)КО(хг)— — 2 Е Й(("„—.))Кп(хго)К»(хг) сов п((р — ро)], »=1 7. 0(('""" и — — 0( — '-) — Н'( ~(Ь) — ~, —,0 — -) — Нй ~((ег) сов тмр.
Н( ) ()«а) „— 1 Н( ) (йа) е + й Жа)-Н(')Я а)Н(')(Ю -.(р- .); »,Н„'(В ) Не — г(1 ~ — «Ва) — Н„~~(ИГО)Н„)ЯГ) СОВ»(!р — !рО), 1Н.' (Оа) ) +«(«(йа) Н +«)г(о а) Н +««()\«) («) («) п сов 0) Н(г) (йа) '/ге (г) ), (г) п(сов р +«/г е! 10.а) 1 ['д — ггг 2' (и п=1 )0[ В +"'Е(" »=1 В= сов)д = совдсовдо+ в!гада!пдосов(!р — (ро) ПРИЛОЖЕНИЕ При применении специальных функций для решения краевых задач часто используются формулы, которые обычно называются формулами сложения. В этом приложении выведены формулы сложения для сферических функций и простейшие формулы сложения для цилиндрических функций. 5 Г.
ФОРМУЛА СЛО2КЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Сферические функции Р( 1(совВ)совггир, Р1 1(совд)вшгп1в, о=0,1,...,со, т=0,1,2,...,п, являются собственными функциями следующей задачи Штурма— Лиувилля: Ьвгэ+Ле=О, 0<В<к, 0<вг<2я, и(д, <р + 2гг) = и(д, р) при всех В и р, /е(0, вг) / < оо, !е(я, р) / < со, соответствующими собственному значению Л = Л„= п(я+1), причем гапк Л„= 2п+ 1. Сферическая гармоника У„(д, 1в) есть линейная комбинация собственных функций этой задачи, соответствуюгцих одному собственному значению Л„: и У„(д, р) = А„дР„(созВ) + ~ ~Р1~1(совд) (А„совт~р+ В„вшоир).
в~ж1 Пусть М(В, у) и Мг(дг, ~рг) — две точки на единичной сфере, сов,д = сов В сов дг + з1пдвгпдд сов(вг — 1рг) . Угол )У есть угол между радиусами, проведенными в точки М и Мг. 320 Рассмотрим функцию пь = т Рь(соад). По переменным (г, д, 1р) она удовлетворяет уравнению Лапласа. Отсюда вытекает, что Рь(соз,9) есть сферическая гармоника, соответствующая собственному значению Ль = й(й+ 1). Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой. Следовательно, гт т / У„(д, р)Рь(сов д) айаг = О при и ~ й. (1.1) Пусть 5„— сфера радиуса а с центром в начале координат.
Согласно третьей формуле Грина т" У„= — У ~ — т" У вЂ” т" У вЂ” дК - (1 2) 4я,1т ) Ямр дп " дп Вмр) На сфере Я~: г" У„(0, 1р))з —— а" У„(д, 1т), д „д дп " з да — т" Уп = — а"У„(д, ~р) = па" Уп(0, 1р) Используя разложения производящей функции для полиномов Ле- жандра, получим 1 1 ,.» — — Рь(соад), (г ( а), ~ 2тт Позтому д 1 ~ д 1 — — — =-Е( + ) —,"„"(-д) дп Лмр ~р з да Ямр „а~~~ Подставляя найденные значения в формулу (1.2), получим г ть Г ,"ттрн=2 1/[ .~~~от[в,,т)тт„т)а~,,с. (1.3) 321 Учитывая условие ортогональности (1.1), из (1.3) находим У„(В, р) = — ~ ~ Р„(совЯУ„(Вы~р2)[)йв„,, (1,4) 2п+1 Г [ о о ~(В, [р) = ~~~ АГАВ,РО(совВ) + п=о ~ П А А Р[ ~[ В[[А„ПАВ„А Р[) = АП= 1 1„(В, р), (1.5) В=о где У„(В, р) — сферическая гармоника.
Коэффициенты разложения определяются формулами — 2' / 1(В', у[')Р(<1(совВ') соотг'Ый', Ф„,у у о о 2  — 1 / 1(В', [р')Р1 1(сов В') яп [т[р' Йй', ААПАП В У о о 2ке„, (и+ т)[ 2п+ 1 (и — т)[ ' А„ (1.6) ВППА Умножая соотношение Р(В',~') ='~ У,(В', р') в=о на Р„(сов Я и интегрируя по единичной сфере по переменным (В', [р'), получим, учитывая (1.4): 2В У„(В, р) = ~ ~ 1(В',уР)Р„( В) ай', 2п+ 1 4 ,/,/ ' " (1.7) о о сов )У = сов В сов В' + яп В ип В' сов(ОР— ОВ) . 322 Пусть ДВ, 1О) — произвольная функция, интегрируемая с квадратом на единичной сфере; 2 е ьв(52), где Я2 — сфераединичногорадиуса. Она может быть разложена в ряд по сферическим функциям: Поскольку п Уь(В,~Р) =АььРь(совВ)+ ~~1 Рь ~(совВ)(АатсоьттиР+В„ыпт1ь), п~=1 (1.8) подставляя в (1,8) значения коэффициентов А„и В„, определенных формулами (1.6),получим ьь я 1ь(В, р) = / / У(В', р') х (1.9) х ~~~ — Р1 1(совВ)Р( 1(совВ') совт(1ь — ~р') В11'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
