А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (DJVU) (1125167), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Коэффициент С определим из граничного условия при г = го.. ш„(го, В, С) = Сптп-'Рп(сов 0)1(С) = Рп(сов В) У(С), откуда тп ш(г,В,С) = „,Р„(совВ)Щ. Функция ш(г, В, С) при п > 0 является решением краевой задачи при С Е [О, +со): СЬтвш = О, г Е(О,го), В Е(О,я), шп(то, В, С) = Рп (сов В)~(С), 0 Е [О, и]. Для функции е(т, В, С) получается начально-краевая задача для не- однородного уравнения колебаний с однородными начальными и гра- ничными условиями: ем = а~йв,ве — и Рп(сов 0), 2 т У (С) т б (О, го), В Е (О,я), С Е (О, +со), и е(г, В,О) = — и Рп(совй)с'(О) = О, пт", и е~(г 0,0) = — „,Рп(совд)~'(0) = О, г Е [О,го], 0 Е [О,и], и'о е„(го, В,С) = О, В Е [О,и], С Е [О, +со).
(2.7) )тву(т, В) = —,!с+с!С~ ' и г) Рс(сов В) (Св = 1,2,..., ! = О, 1,...), ~/т то Решение задачи (2.7) записывается с помощью формул (1.14), (1.15). Собственными функциями являются собственные функции шара, ко- торые при отсутствии зависимости от угла 1о имеют вид (см. гл. 11, в 13) /с — /с-й корень характеристического уравнения (О » (О в (О ' (О /с» 7/+ц2(/с» ) У/чц2(/с» ) = О. 2 Квадрат нормы собственной функции равен 2 га/ 1(1+1) ( 2 (/) 2 ИЛ вЂ” — ( 1 — (,), ! //+ (2(р» ), ь )'у + Учитывая вид неоднородности в уравнении задачи (2.7) Г(г,д,() = — л Рл(совд), тл ул(() отца получим, что в разложении присутствуют только собственные функ(») ции с 1 = п.
Так как Л/Л» (л) /с» то ' (л) (л) уи» с . » в)п — (С вЂ” т) (,вв)=2 в( .в)) ",, вв»()в, то где (л) 1 "' ~-+Ц( — "; ), Гл»(т) = / / Р(г,д,т) го г~зтдс(гс(0= ж,.~('(.) ' ' л а а — .7» / 2 — "т тл+ / ((г Р„(созд)в)пд(10= а о +в/в (л) 2 ~вв(() 7 ) /л+3/5(/с» ) 2»+2 з(г (л) (л) (Р(л))' — ( + 1) /„'»ц,(Р~"~) Таким образом, 2аг~~ и(т,д,() = — Р„(совВ)х и ~/г (л) , [(/с("))2 — п(п+ 1)],/2», (р(л)) ./ го и ответ задачи (2.6) имеет вид г" 2аго и(г,В,С) = „Р„(совВ)С(С) — — оР„(совВ) х иго п~/г (») 1(Р(»)) 3 — п(п -(-1)~ у2 (Р(»)) I го (2.8) где Р„Я„+,Сз(рв ) — -У»+с(з(рв ) =О (Со = 1,2,...). (») р (») (») В случае ДС) = АСз, и = 3 имеем уи(С) = 2А и, вычисляя интеграл, получим „3 и(г, В,С) = — Рз(сов й)С(С)— Згоз 7/2 о» ( )(сов — »в С 1) 1 ( (3)) (3) 4.
Найти колебания газа в сферическом сосуде радиуса го, вызванные гармоническими колебаниями его стенки, начавшимися в момент времени С = О. Скорости частиц стенки направлены по радиусам сосуда, а величина скоростей равна Асовдв1пыС. Решение. Воспользуемся формулой (2.8) решения предыдушей за- (С) дачи, учитывая, что сов В = Рс(совд), и положив и = 1, рв = рв Я) = Ав)вы(. Подсчитаем интеграл с 1 1=) Г~'Ъ""»О-О~ =л о о Поскольку можем записать Аыз, м — апв ш+ арв 1 = в(п (сов м — а/.ц Аыз , ы + аив м — аив 31п С сов ы+ арв Таким образом, решение задачи имеет вид и(т,д,/) =Ас совд81пас/— т ы-а,ц, 2 /Рв 1 шп~/ — арв раув/2(рв) '/' т ш + арв 2 ) рг — 2,/32/ (рв) и(т,д,/) = )пп и(т,д,/) = Атсовдвтшв,/в а парр ,/ — "т р„./3/2(рв ) 3/2 ~,— тт/ — сов д сОБ оса р 2 2Ато со8д х 81П 2(/Цсп Рв)с Сев 2 (Рап + Рв)с Рв /3/2(~Цс) /РРЕ Х 2 2 гг 2 .~3/г~т /+ в~-с (Рв Р„)(Рг 2) 332/2(Р„) ( то / ваап 2Ато/ осг + совд х т ~ Вгн г (Рвп + Рв)ССССБ (Рап РВ)р РВ /3/2(РБ) //Са х~ 2 2 /3/2 (,~.
"/ ° (рв + рв)(рг 2) /32/2(рв) (то /' Таким образом, как это следует из последней формулы, при резонансе в отсутствие поглощения амплитуда растет линейным образом с течением времени. 5 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЕРАВНЕНИЯ КОЛЕВАНИЙ НА ВЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ Начальная задача (задача Коши) для уравнения колебаний на бесконечной прямой Ж~ с постоянными коэффициентами заключается в определении в области Й = Й' х [О, оо) функции и(х,/), удовлетворяющей уравнению колебаний и двум начальным условиям: асс = ага„+ У(х,/), (Хс 2) б П: — М~ Х (О, ОО), Из формулы (2.9) вытекает, что если частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой сферического сосуда (ас = сов, = = арап), то возникает явление резонанса.
Переходя в формуле (2.9) к пределу при ас-+ оса, получим и~ = ~р(х), . 1,,=и*) (3.1) КлассическиМ решением задачи с начальными условиями называется функция и(х, С), непрерывная вместе со своими первыми производными по С в замкнутой области Й, имеющая непрерывные производные второго порядка в открытой области Й, удовлетворяющая в Й уравнению колебаний и при С -+ О начальным условиям. Коли функция р(х) дважды непрерывно дифференцируема, функция ч1(х) непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой Ск1, а функция с'(х, С) непрерывно дифференцируема в области Й, то классическое решение задачи (3.1) существует и единственно.
В случае меньшей гладкости функций р(х), ф(х) и С (х, С) начальная задача (3.1) может иметь обобщенное решение. Учитывая линейность задачи (3.1), можно провести ее редукцию и представить решение и(х, С) в виде суммы решений двух задач: и(х, С) = и1(х, С) + из(х, С), ии — — а и„, (х,С) ЕЙ, и/ = ~р(х), ид! = р(х). Применим преобразование Фурье с ядром е сх* и обозначим через (С(Л, С), Ф(Л) и я(Л) образы Фурье функций и(х, С), р(х) и ф(х) соответственно: (3.2) СС(Л,С) = — / и(С,С)е '"СВИСС, 1 ~/2я,/ Ф(Л) = — с 1р(б)е ы~с~б, 1 ъ'2я я.С где и1(х, С) — решение начальной задачи для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями, из(х, С) — решение начальной задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями. Для решения начальной задачи для уравнения колебаний на бесконечной прямой эффективно использовать метод интегрального преобразования Фурье.
Общая схема применения интегрального преобразования Фурье для решения начальной задачи на бесконечной прямой дана в гл. 1, С 4. Здесь приведены примеры решения задач для уравнения колебаний на бесконечной прямой методом интегрального преобразования Фурье. 1. Рассмотрим начальную задачу для однородного уравнения колебаний на бесконечной прямой: Ф(Л) = — ~ Ф(~)е ывос.
Предположим, что выполнены условия существования интеграла Фурье (это заведомо выполнено для классического решения задачи) и что функция и(х,1) и ее частные призводные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ шоо. Предположим также, что интеграл для 11(Л,1) можно дифференцировать по переменной 1 под знаком интеграла. Умножая уравнение колебаний и начальные условия на +е Ч2л и интегрируя по х от -оо до +со, получим для функции 11(Л,1), зависящей от параметра Л, задачу Коши: У +атЛ 11=0, 1)0, 11(О) = Ф, 11'(О) = Ф, решение которой имеет вид 1 11(Л,1) = Ф(Л) сов аЛС + — Ф(Л) в(паЛ1.
аЛ Воспользовавшись формулой обратного преобразования Фурье (см. гл.1, в 4), возвратимся от изображения 11(Л,1) к оригиналу и(х,1): и(х,г) = — у 11(Л,1)е'"' ИЛ = 1, + -12, л;l а где 1 11 — — — ( Ф(Л) сов аЛ1еы~ НЛ, ~/2к Рассмотрим интеграл 1м Используя выражение для Ф(Л), получим 11 = — е'~1~ ~)соваЛгаЛ у(~) Нс. 246 Используя формулу ЛС ( ваЛ + е-ввы) 1 2 и известное интегральное представление дельта-функции') г Ю(х) = — / е1 'вСЛ, 28 / интеграл в фигурных скобках преобразуем следующим образом: С' 1 — / е111* С)соваЛС1СЛ = -(Ю(х — (+ аС) + Ю(х — ~ — аС)). 2я,/ 2 С помощью последней формулы получим ез(х + аС) + ср(х — аС) 11 —— 2 Перейдем к интегралу 1ю Подставляя в него выражение для Ф(Л), будем иметь „С (2я / Л Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся формулой (3.3) которую несложно получить, вычисляя интеграл в левой части спо- мощью вычетов").
Смл Владимиров В.С. Уравнении математической физики. Мл Наука, 1988. 1 Смл Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теории функций комплексной переменной. Мл Наука, 1919. 81п х соз 6х х о при )6) ( 1, — при )6! = 1, О, при (6) > 1, Можно было сразу искать решение задачи (3.1) в виде (3.6). Такой подход к решению задачи носит название метода распространяющихся волн, или метода Даламбера. Рассмотрим его подробней.
Предположим, что существует классическое решение задачи (3.1). Преобразуем однородное уравнение колебаний к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Характеристическое уравнение для однородного уравнения колебаний имеет вид (Сх)з — аз(СС)т = О и распадается на два уравнения: Их — а й = О, Нх+ а сЫ = О. Характеристиками являются два семейства прямых: х — аС = Сс, х+ аС = Сс. Сделаем замену переменных с = х+ аС, и = х — аС.
В переменных с и и однородное уравнение колебаний принимает вид (3.7) Уеп — О где СС(С, тС) = и(х(С, О), у(С, пС)). Общим интегралом уравнения (3.7) является функция Отсюда вытекает, что общим интегралом однородного уравнения ко- лебаний будет функция и(х, у) = Сс(х + аС) + Ях — аС). (3.8) Таким образом, функция (3.8) удовлетворяет уравнению задачи (3.1) и всякое его решение представимо в виде (3.8). Если функции уд(х+ +аС) и Ях — аС) дважды непрерывно дифференцируемы, то формула (3.8) дает классическое решение однородного уравнения колебаний, Функции Сс и ~с определяются из начальных условий задачи (3.1).
Подставляя (3.8) в начальные условия, получим Гс(х) + Л(х) = сР(х), аГ,'(х) — аЦх) = с(с(х), * Е 31 , где штрих означает производную по полному аргументу. Обозначая аргументы функций Гс и Л через ~ и интегрируя второе из равенств, будем иметь лк)+лк) = «), С Л (д — Г К) = — Ю с(~ + С ~ б 3С' 1 Г а где ~е и С вЂ” некоторые постоянные. Складывая и вычитая два последних равенства, получим 1 1 Г С лк) = -»«)+ — ~'~ю~+ —, 2 2а/ 2' Сс 1 1 Г С лк)=- к)- — (иж--, н)й' 2 2а/ 2' и после подстановки Л К) и Л(~) в формулу (3.8) прядем к формуле Даламбера (3.5). Метод распространяющихся воли используется не только для решения задач на неограниченной прямой, но на полу прямой и на отрезке.
В следующем параграфе приведены примеры построения решений начально-краевых задач для уравнения колебаний на полупрямой. 2. Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения колебаний на бесконечной прямой с однородными начальными условиями асс = а и ~+ Г(х,С), (х,С) Е Й, а/ =О, ис! =О. (3 9) Для решения задачи применим преобразование Фурье с ядром е с "с, обозначив через У(Л, С) и Р(Л, С) образы Фурье функций и(х, С) и Г(х,С) соответственно: ЦЛ,С) = — / и(Г,С)е схС с(С, 1 ~/2я 250 г'(Л,С) = — С у(~,С)е схСсС(. 1 ~/2я Сделаем те же предположения, что и в случае задачи 1.
Умножив уравнение колебаний на 1-е '"' и интегрируя по х от — оо до оо, с тЗс получим с учетом начальных условий следующую задачу Коли в пространстве образов: и„+ а'Л'и = Р(Л, С), С > О, и(л, о) = о, и,(л, о) = о. Решение задачи выписывается с помощью импульсной функции есп аЛ(С вЂ” т) аЛ о Подставим в интеграл выражение для Г(Л, т) и используем формулу обратного преобразования Фурье (см. гл. 1, С 4) н(х, С) = — и(Л, С)есхо сСЛ = 1 Г ч~2~г .С С со со Сжх С1ШП аЛ(С вЂ” т) о -ос х — ( а(с — т) а(С вЂ” т) х — ( а(С вЂ” т) <1, я, при 11 есп аЛ(С вЂ” т) / е' ал СС вЂ” при 2' О, при > 1. Подставляя это выражение в фигурные скобки, получим окончатель- ный ответ с о+о(с-т1 1 н(х, С) = — / сСт я, т) сС(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
