И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Р т ( — соа ф соа б — а(в ф епгб сов <р) = — — +3Ь =Р ~ (соаф)Р ~ ( — сов 6)+ — Б * 2 ( — 1)з 2сиР 1 (сю 'Р) Р 1 ( — сои 6) соэ сир — -+ы — — +и 2~~ 3 2 (4Лс+1) (4Лс+ди) ... )4хи+(24 — 1Р) Ь-1 ~0 <ф« — 9, ф+д < и] (сравни 8.796). МО95 где Л вЂ” действительный параметр, то получится дифференциальное уравнение так называемых функций конуса. Функции конуса являются частным случаем жаровых функции. Однако жаровые функции Р .„„( ), Е 1, (*) з~~ -й+'ь 1036 4 в спвпивльныв эвикции 8.85 Функции тора (или кольца) 8.850 ФункЧтвлми тора нааывают решения дифференциального уравнения иаи сЬ Ч ии Г 1 иР 1 — + — — — (ив — — -+ — ) и=0, ЕЧ' вЬ Ч ЕЧ ~, 4 вЬ' Ч.~ являющиеся одними из видов шаровых функций В частности, репюниями уравнения 8.850 1.
служат функции Р (с)2 Ч), ()™ (в)2 Ч). МО 96 2 2 Для функций тора существенны следующие формулы, получающиеся как следствия нз приведенных раньше формул для шаровых функций: 8.851 Интегральные представления: 1 Р™ 2(сйт))= 2 Г а+иа+— 1 '( 2 / (вьчуи в)иааи ф йр 1 Г (и — вз+ — ) 2~и р к Г (м+ —, ) и+т+— 2~ ~ 2 ) (сЬЧ+вЬЧсовф) хя ( — 1)~ ( 2./ Г и+ — ) сов вир и р МО 96 2я 1 '~ 1 Г и — т+— ( +-) и+— 2 ) (сЬ ч+вЬ ч сов ф) а сЬ ии Ет 1 (сЬ т)+вЬ 2) сЬ2) Г( .(- — ') 2 (, 2(сЬЧ)=( — 1) 2 Г (и — иа+ — ) 1и ать— ) '(и > т) 1 и —— (сЬ т) — вЬ т) сй 1) сЬ л22 Ж. „Г (-+-+-.,' =(-1) Г(-+~) МО 96 Р.%2 Функциональные соотношения: абаз 2"'Г ( а+из+ — 1) Р'к 1.
(~ 2(ой 2))=( — 1) х вЬ'" е т 2) и- — Г (а+1) 1 1 ХР(лт+ —, п+т+ 2, и+1; е вч). МО 96 3. Я, (совтрсов0+юптрв(п(роовф)=р, (совтр)9, (сов0~+ ( — 1)22авР" 2 (ам ф) Я~ 2 (сове) сов иир --'+.х 2 — — +ы 2 Х (4ха-)-1) (42а+Ва) . (4ха+(24 — 1РЧ и=! ~0<ф« — " О, ф+О < п1 (сравнн 8794 2 ). МО96 О нулях функций конуса см 8.784. 1037 З Ь ОРТОГОНАЛЬНЫП ПОЛИНОМЫ 11 2. Р 1(с)т т)) = (1 — е-зч) е ( 2) " х и +ц хУ(вь+ —, и+ет+ —; 2 +1 1 -' ). МО98 1 1 8.853 Асимптотическое представление Р 1 (с)1 т)) при больших значениях и.
2 (в-1) Ч Р,(с)т т1) = 1 х й р' и в" ( + 1 ) ~ 2рв( + — ') х[ ..' ьо' ~.— в~ — ', ~.— ';.~-Ь )+в~-в], ие! Г 1е) 2' 2' где 1.(2 — Ц ,„ 1 1 З.(2 — Ц (2 †) ,„, -4 = ' + зв 1.(и ц ~'" + †, 1.2.(е ц 1, а ' '" 1- "("+-')" ("+' -') Г 1и+ Ь+ Ц Г (А+ Ц здесь 1 2 и,= ~~ —,о в1 2 в1 (г — натуральное число). МО 97 8.9 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ 8.90 Введение 8.901 Пусть те(х) — неотрппательная действительная функпия действитель- яо1о перемеппо1о х, в пусть (а, о) — фиксированный проме вуток на оси Х. Поло ьвм далее, что прв и=О, 1, 2, ...
инте1рал ь ~ х"те(х) 112 существует и, кроме того, что интеграл ь ~ те(х) ттх а положителен В таком случае существует последовательность ь)ногочленов р (х), р (х),..., р„(х),..., однозначно определяемых следующими условиями Г (в+ —,') в 1 Х (и„,„+ и„— О 1 — О 1) Š— 2 Ов+тее; в+А-- А-- 2 2 1038 е — е спкцилльнык эд ннции 1. р„(х) есть многочлек степени и, п. ичем коэффициент при х" в этом многочлене полошитедден 2. Многочлены р,(х), р (х), ... орта гональны и нормированы, т. е. ь (О при пФт, ~ р„(х) р (х)ид(х)Ых= ~ а Говорят, что многочлены р„(х) образуют систему ортвеональних е интервале (а, Ь) полиномов с весом до(х), 8.902 Если д„— коэффициент при х" в многочлене р„(х), то Ч;Д д ъ д д Чя Ри д(~)Рп(У) Рп(е)Рпъ(У) ь-о (формула Кристоффеля-Дарбу). ВТФП 159(10) 2.
'~~ [р„(х))™ — (р„(х) р„'+, (х) — р„'(х) р,(х)). ВТФ11 159(11) Чя д е-о 8.903 Между любыми тремя последовательными ортогональными полино- мами существует зависимость р„(х)=(А„х-(-В„) ра д(х) — С„р„е(х) (п=2, 3, 4, ...). В этой формуле А„, В„, ф— постоянные, причем МО 102 в е о вз 8.904 Примеры нормированных систем ортогональных полиномов, Сравни 7.221 1., 7.313, 7.343, 7.374 1., 7.391 1., 7.414 3. 8.8 ОРтогоппЛЬНЫН ПОЛИНОМЫ 1069 8.91 Полиномы Лежандра 8.910 0 п р е д е л е н и е.
Полиггоггы Лспоандра Р„(г) суть многочлены, удовлетворяющие уравнению 8.700 1., в котором р = О, т = и, т. е. уравнению г Йоп Ив 1. ,'1 — хг) — — 2х — +п(и+1)и=О. а го г)г Это уравнение имеет решение, представляющее собой многочлеп, в том и только в том случае, когда и есть число целое.
Таким образом, поли- номы Лежандра представляют собой частный вид шаровых функций. Полнномы Лелгапдра степени и имеют вид 2. Рв (г) = — „, — „„(гг — 1)". 8.911 Развернутая запись полиномов Лежандра: (х) Чг ( — 1)" (2 — 2Ю в-го в( 2п .~4 4! (а — 4)! (и — 2В)! о о (2л)! ~' „в(в 1) „8 п(а — 1)(а — 2)(п — 3) в г ) а (и!)в ~ 2 (2в — 1) 2 4(2п — 1)(2и — 3) г"Р ( — —, —,"; — — и; —,) . Х 13, А (9001), МО 69 (2а — 1)(! ~ 2а (2а+1) г+ 2а! ~ 2! 2в (2в — 2) (2и+1) (2в+3) г 4! хг —...
~, =! — 1)" „," Р~ — я, и+ —; —; хг !. „(2п — 1)И / 1 1 А(9002), МО69 (2п+1)И г 2а (2а+3) 2п (2в — 2) (2а+3) (2п+3) ) 3! й г (соыр) = „,, ~ сов ягр+ —, сов(п — 2) <р+ (2в — 1)0 Г 1 а 1 3 л(и — 1) + 1.2 ( — 0 (2 — 3) 'о'(" 4) 'Р+ 1.3 Ь п(а — 1](в — 2) +1 2 3(2в — 1)(2 — 3)(2а 3) сов(п — 6) <р —... ~ . УВ1192 5, Ро (сов <р) = ( 1) . ' (В!по 1р —, вш <рсоа гр+, „( — 1)(! (.,„(2в) „(2а+ 1)(! г .
8„<ьр .,„, 6 пг х(сов 'Р) ( 1) вв ! Ов Р (в 'г 3~ 81п Р сов 'Р+ 7. Р„(г) = ~~~~~ ((1 — г)" +( — 1) (1+ г)и!. УВ 11 128 и о  — 9. спвщкАЛьньтя оьььнкпни 8.912 Частные случаи: 5. Р, (х) = — (35х — 30хг+ 3) = — (35 сов 4ьр-+ 20 сов 2ьр+ 9). ЯЭ 206 ЕВ 6. Р,,х) = — (63хг — 70хх+ 15х) = ~ (66 сов 5ф -)- 35 сов Зф+ 30 сов ьр).
В 1 ЯЭ 206 8.913 Интегральное представление: УВП108 8.914 Рекуррентные формулы: 1. (и+ 1]Р„(г) — (2п + 11 гРи (г)+ пР, (г) =0 См 490(37), УВ 1198 2. (г~-1) — "=п(гри,г) Ри ь(г)) = 2 (Ри ь г) -Р,(г)). йРи ь ьь (и+ 1) УВИ99 8.915 МО 70 МО 72 (суммирование обрывается на первом члене с отрицательным индексом]. 3. ~ (2п-4й — 3) Р„в,,(г) = гР,',(г)-пР„(г) См111 491(42), УВ 11 128 (суммирование обрывается на нервом члене с отрицательным индексом). 'Я) 4.
~ , '(2п — 4й+ 1) (й (2п — 2й+ 1) — 2]Р„(г) = = гВРи (г) — и (п — 1) Р„(г), УВ И 129 А-В ~ав= „, т<п1, А(9036) 1. Р„(х) = 1. 2. Рт(х) = х= сов ф. 3. РВ (х) — 2 (Зх — 1) = — (3 сов 2ф+ 1). 1 В 1 4. Р, (х) = — (5хх — Зх) = — (5 сов Зф+ 3 сов ьр). 1 1 В1в ь' и+ — ~ь Р„(сов ьр) = — 1 ьй'. р'в (сои ф — сог ь) См. также 3.611 3., 3.661 3., 4. Функциональные соотнопьения "Я (2й+1)~ (*)~ )=( +1) Вь — х А=о 2.,Я (2п — 4й- 1) Р„,„, (г) = Р„'(г) (теорема сложения) ~о ЯЭ 206 ЯЭ 206 ЯЭ 206 ЯЭ 206 1041 2.9 ОВТОГОПАПЬНЫК ПОЛИНОМЫ г.916 Р (соз ~р ела»ФР и. и епгъе) 12» — 1)1! /1 1 л 2»п! ~2 — ' 2- ° МО 69 2.
Р„(соз~р)=Р(и+1, — и; 1; в(пв т ). МО 69 в ) 3. Рл(соыр' — ( — 1) Р~и+1, -и, 1,сова — ). 1 1 1 4. Рл(соз~р) сов"<рР~ — — и, — — — и; 1; — 28а~р). Х23 5. Р»1соз~р) созе" ~~ Р( — и, — и; 1; — 282 2 ). Х23,Х29, УВП109и См. также 8 911 1., 8.911 2., 8.911 3. Связь с другими функциями см. 8.936 3., 8.836, О.962 2. Интегралы от аолвпомов Лежандра см. 7.22-7.25. О коркяз поаиномов Лежандра см.
8.785. 8.917 Неравенства: 1. При х>1 Р (и'<Р,х)п Р~(х)< ...< Р (х)« 2. ПРи х > — 1 Рв(х)+Рг(х)+, ° +Р»(х, >О. 4. У ~а Згп ~Р 1Рп(СОЗ 1Р)1~~1. 5. ) Р„(соз~р))<1. УВ П 103 МО 71 МО 71 УВИВ 8.92 Ряды иолииомов Лежандра е» = — Р ~а 4й 1 2» (2п — 2) ... (2» — 26+2) *'"=2— „)., «(г +,~л + )(г„+1)(г„+„'р' (,п+г«( В 2«(г). МО 72 В ~«2л(2л — 2) ... (2л — 26+2) 2»+2 г ( + х г )12п+5) (2п+5) ... (2л+2«+3) а«вг «г МО 7' вп 3.
= — '5'„(4)г+1)~~ ««, ~ Р, (и) Цх((1, ( — 1)(! аа1). «-з МО72, Ла 385($5) 66 табплпи ллтеграпвв 6.921 Производившая функция: С» — = Я 2 Рп(г) ~~1! С вйн')г -1- ~~г~-1~~; У1- в -т-г «-о См П1 489 (31), УВ П 81 1 = У вЂ” НР«(21 (~1() пьах)г+ У ге — 1)). М076 1043 з.з ОРтогонАяьнык полиномы 4Ф вЂ” 1 Г (24 — 1))1 )з 26 1. У~ ~г»(24 1), [ 4( [ Р»» д(созО)=1 — —. А (9062,21 А (9062.4) — е 2$6— 1. ~~~~ — Р„,созО) =)и . = — )пв1ь —, — (и 1+ здп —, «=! А (9063.2) А (9063.1, 6 1 1+5)а —, 2 «-)-1 « .
з — Р (совО) =)п — 1. »ш «=! 8927 ~~~ сов[)д+ — „)Щ(сезар)= [О<[)< ~р<п); , *0 [О < др < () < н). МО 72 8.928 à — 1у'(4«+1) [(2дд — 1)П)»Р (созО) = 444 — 1. 'Я 2'" Гв0*»" а» А (9064 1) «1 Ряды произведений функций Бесселя н полиномоа Лежандра см. 8.5114., 8.5313., 8.5331., 8.5432., 8.534. 8.930 ()предедение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
