И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 102
Текст из файла (страница 102)
1 — 1/в 9.137 Рекуррентные формулы Гаусса. 1. у1у-1 — (2у — а — () — 1)в1Р(а, 6; у; в)+ + (у — а) (у — р) вР (а, (); у + 1; а) + у (у — 1) (в — 1) Р (а, )); у — 1; 2. (2а — у — ав+6в)Р(а, 6; у; в)+(у — а)Р(а — 1, (); у; в)+ + а (г — 1) Р (а+ 1, ))", у; 3. (21) — у-'рв+ аг)Р(а, (); у; к)+(у — р)Р(а, )) — 1; у; в)+ +р(в — 1)Р(а, 6+1; у; 4. уР(а, () — 1; у; в) — уР(а — 1, 6; у; в)+(а — ()) вР(а, р; у-~-1; 5.
у(а — р)Р(а, (1; у; в)-а(у — ())Р(а+1, )); у+1; в)+ + р (у — а) Р (а, р + 1; 'у + 1; 6. у(у+1)Р(а, 1); у; в) — у(у+1)Р(а, р; у+1; в)— — а1ЬР(а+ 1, (1+1; у+2; 7. уР(а, 1); у; в) — (у — а)Р(а, ))+1; у+1; в)— — а(1 — в)Р(а+1, 6+1; у+1; 8. уР(а, р; у; в)+(() — у)Р(а+1, р; у+1; в)— — () (1 — г) Р (а+ 1, )) + 1; у+ 1; Га 229 (110) в) = О. в)=0. в)= О. г) = О. в)=0 г) = О.
9135 Р(а, р; а+1)+ —; в)нв~р)=Р~ 2а, 2(); а+()+ —; в1нв — ) 1 . '" Г 1 . 9~ х=в(нв —, действителъно; <х < — 1. М013 в Ф 1 — ф''2 1 з 2 2 2 ~ 1059 э ! Гипквгкомнтгнчвскнк юункцнн 9. у(у — [)з — а)Р(а, Р; у; г) — у(у — а)Р(а — 1, [); у; г)+ + арг (1 — г) Р (а+ 1, [) + 1; у -[- 1; г) = О. 10 у(у — аз — [1) Р (а, 5; у; г) — у (у — [)) Р(а, [) — 1; у; г)-[- + а[)г (1 — з) Р (а+ 1, р -)- 1; у+ 1; г) = О. 11. уР (а, [); у; г) — уР (а, [) + 1; у; г) + агР (а+ 1, 6+ 1; у + 1; г) = О. 12 уР(а, р; у; г) — уР(а+1, [); у; г)!-[)гР(а+1, [)+1; у+1; г)=0. 13 у[а — (у — [))г]Р(а, 5; у; г) — ау(1 — г)Р(а+1, 6; у; г)+ +(у — а)(у — 5) гР(а, [1; у+1; г)=0. 14. у [6 — (у — а)г[Р;а, р; у; г) — [Зу(1 — г)Р(а, [%+ 1; у; з)+ +(у — а)(у-[))гР!а, ф; у+1; г) =О.
15. у (у -+ 1) Р (а, р; у; г) — у (у -)- 1) Р ( а, 6 + 1; у -)- 1; з) -[- + а (у — р) зР ! а+ 1, 6 + 1; у + 2; «) = О. 16 у(у+ 1!Р(а, [); у; г',— у(у+1)Р(а+1, [); у-[-1; г!-)- + Р (У вЂ” а) гР (а+ 1, [) + 1; у + 2; В = О 17 УР(а. [); У: г) — (У-5)Р(а, Р; У+1; г) — [)Р(а, [)+1; У [ 1; з) — О. 18 уР(а, р; у; г) — (у — а)Р(а, [); у+1; г) — аР(а+1, [1; у ) 1; г)=0. МО 13 — 14 9.14 Обобщенный гипергеомгтрнчегкий ряд Ряд (а!)ь(о а)! .. (л,)г гь 1.,Р,(а„„..., а,; [)„[)., ..-. [)„г)=~~ („) „>, ' —,-- — ' — „ ! — о называется обоби!енним еиперееометричеекии рядо»и (см.
также 9.210). МО 14 2,Р,(а, [); у; г) = Р(а, [); у; г). МО 15 Инте! ральпые представления см. 3.2542., 3'.2592., 3.4783. 9.15 Гипергеометрическое дифференциальное уравнение 9.151 Гипергеометрическнй ряд является одним иа решений дифференциального уравнения Иеи СЬ г (1 — г) —,-(- [у — (а + [1+ 1) г) — — а[)и = О, УВ 11 67 называемого еилерееометрическии. Респение типе р геометрического дифференциального уравнении 9.152 1 ипер!еометрическое дпффсрсгщвальвое уравнение 9.151 обладает двумя лннеипо независимымн решениями.
Огя решения могут быть неограниченно аналитически продолжаемы на всю г-плоскостгч за исключением, быть может, трех точек: г= О, 1 в со. Вообще !оворя, точки г=-О, 1, ео являются точками ветвления но крайней 67" 1000 8 9 специ»льнык Фхнкдии мере одной из ветвей каждого решеиия гипергеометрического дифференциального уравнения Отношение ю(г) любых двух лияеипо независимых решевии удовлетворяет дифференциальному уравпеиию 2 ю 3 / и "'1г 1 — а»х 1 — а) а(+а1 — а( — 1 иг ~м' .Г г» + (г — 1)» + г(з — 1) где а',=(1 — у)*, а,'=(у — а-5)г, а, *(а — ())~. Если а, (), у действительньц то функция и ~г отображает верхшою ~)тп з ) 0) или пик.ни~ю 1ш г < 0) полуплоскости па криволинейный треугольник, углы прв евро~ивах которого равны ла„паю лаз Вершины етого треугольпика являются образами точек г=О, г=1, г= со.
9.153 Внутри единичного круга (г~ <1 линейио независимые решения и, г', и и,(г) гппергеометрического дкффереяцкальяого уравнения даются следующими формулами: Если у не является целым числом, то и, = Р,а, (); у; г), иг — гФ-тР(а — 'у+ 1, () — у-(-1; 2 — у, г). Если у= 1, то и,=Р(а, )); 1; г), и =Р(а, (); 1; г'1пг+ + ~~ г „,, (ф(а+л)-ф(а)+ф(р+й)-ф(($) — 2ф'й+1)+29(1)) ,(а]» (9)» (см.
9.14 2.). 3. Если у=т+1 (т-число иатуральпое) и в то же время и а и 9 отличиы от положительного числа, меяьшщо или равного т, то и, =Р а, (); т+ 1; г), иг=Р~а, р; т+1; г) 1пг+ + у» (о)» (б)» (й ()г)» (0)) ч~~ (» гд ( т)» -» (1т~й ~ (1 — о)»(1 — Р)» »» » з (см. 9.14 2.), гдв Ь(л)=ф(а+ и)+ф(()+л) — 9(т+1+л~ — ф,я+1) (л+ 1 — число иатуральпое), 4. Пусть у=т+1 (т — число натуральное) и в то же время а или )) равио т'+1, где Оч.т' < т. Тогда, папример, при а=т'+1 мы получим: и,=Р(1+т', )); 1+т; г), иг- — г Р(1+т' — т, () — т; 1 — т; г). В атем случае и является мпегочленом отпосительпо г ', 1061 91 Гнпвггиомктгичвсник Фтнкцни 5. Если у = 1 — т (т †чис натуральное) и в то же время как а, так н () отличны от чисел: О, — 1, — 2, ..., 1 — га, то и, = х Р (а + е, р + т; 1+ ж; з), и» х™Р(а+ т, '()+т; 1+ж; х)1пх+ — У " '"' "" х-" ( .9.142.), > (1 — а — з»)» (1 — р — а»)» » где Ае(я) =ф(а+т+ и)+ ф(р+т+я) — ф(1-(-т+я)-ф(1+и).
Заметим, что ф(о+") — 'Ф(а) = — + — ~+ - .. + (сравни 8.3653.) 1 $ $ и что прн а = — Х, где Х-натуральное число нли нуль и и = а+ 1, 1+2, ..., выражение (а)» (ф(а+ я) — ф(а)) в формулах 9,1532. — 5. следует ааменить выражением ( — 1)" Х) Гн — Л-1)1. 6 Пусть у=1 — и (я» — число натуральное) в в то же время а или р равно целому числу — л»', где ы' — одно из следующих чисел О, 1, „, ж — 1. Пусть, например, а= -ж'.
Тогда и =Р(-т', (); 1 — т; х), и =Р( — т'+т, )В+т; 1+т; х). 7. При у = — (а+ р+ 1) 1 ~,=Р(п, (); ~ (о+р+1); э~, 1 и = Р(а, ();;-(а+()+1); 1-х) являются двумя линейно независимыми решениями гипергеометрического дифференциального уравнения, если только а, )) и у отличны каь от нуля, так и от целых отрицательных чисел. МО 17 — 19 МО 18 Аналитическое продолжение решения, правильного в точке с=О 9.154 Формулы 9.153 делают возможным аналитическое продолжение з область )х() 1, (агд( — г)(< и функции Р(а, р; у; г), определенной внутри круга ( г ~ < 1 гипергеометрическим рядом При этом предполагается, что а — 3 не является целым числом Если же а — р — целое число, наирямер, если () =о~-и (т-число натуральное], то при (х( > 1, (аг3( — х)(<н имеем: 1062 3 — 9 спицилльныи ч>уннции г® т — > ( з' + 8>в и (У вЂ” и) 1 ч> Г 1%4ЬЙ) Г(1 — У+сс+й) Г(»> — Й),— и-ь А >> > Ч> Г (а-»-а-+ Ц Г (1 — т+ о+в>+й) ь> (ь+»>)> и=е где 2 я(п) = 1п( — х) + яс19 я(у — а)+ >(>(и+ 1)+>)>(л+ >л+1)— — >)>(а+ л>+ и) — ф(1 — у+ а+ >и+ и).
»> — > При и=О следует положить ~ =0 ь=е 9.155 Эта формула теряет смысл, когда а, у или а — у+ 1 равно одному из чисел О, — 1, — 2, ... В атом последнем случае имеем 1. Если а — целое отрицательное число или пуль, а у яе равно целому числу, то Г(а, а+ иц у; з) предсгавляет собой многочлен относительно з. 2 Пусть у в целое отрицательное число вли нуль, а а не является целым числом Полол им тогда у= — Х, где ь=О, 1. 2, ...
Гогда Г(а+А+1)Г(а+А+я>+1) 1+>в + „, )„1. )„+ является реп>еняем гипергеометрическо> о уравнения, правильным в точке г= 0 ~о решение раьно правой части формулы 9.154 1., если в ней и в формуле 9.154 2. у заменить через Л 3 Если а — у -)- 1 — целое отрицательное число или нуль, а а и у не представляют собой целых чисел, то можно воспользоваться формулой р(а, а+т; у; з)=(1 — з)" з'* р(у — а — т, у — а; у; з) и применить к ее правой части формулу 9.154 1., если только у — а — л» 0; если же а — у — т < О, то правая часть етого выражения представляет собой многочлен, умноженный на степень 1 — з 4 Если а, р и у суть целые числа, то гипергеометрячегкое дифференциальное уравнение всегда имеет решение, правильное при з = 0 и имею щее вид Л, (з)+ 1п(1 — з) Ла(г), где Лд(з) и Лз>>г) — рациональные функции от г Чтобы получитьэту форму решения, следует к функции Р(а, (), у; з) применить формулы 9.137 1.— 9.1373.
Однако если у= — Х, где )ь+1 — натуральное число, то формулы 9.137 1. и 9.137 2. следует применять не к Р(а, р; у; з), а к функции з"+>Р(а+А+1, р+ 1+1; Л+2, з) Последовательным применеяпем ъка анпъ>х формул мо кно полол>итг >ьные значения параметров привести к дьоике, единице и пула> Далее из формул Р(1, 1; 2; з) = — г '1п(1 — з), Р(0, $); у; з) =Р(а, 0; у; з)=1 получаетск указанная форма решения. МО 19 — 20 ЭЛ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧ ИННИН ЮУИНПИИ 9.165 1. и =( — ) ( — ) Р(у+а+(1, у+а'+($; 1+у — у', ( ) 2 и„=( — ) (:) Р ~у'+а+ф, у'+а'+ф; 1+у' — у; — ') .
4 и„=( — ) ( — > Р ~у'+а+~', у'+а'+(3', 1+у'-у; ( '4).. 9Л66 2. и 1=(':)" (':,( Р(а'+У+Р, а'+У'+9; 1+а' — а;(ь — а — с)) ' 4. и,~ = ( — ) ( — ) Р(а'+у+((', а'+у'+((", 1+а'-а;-ь Д . 9Л67 2. ™Гв=( —,Ь) (,— Ь)'Р~у'+1+а у'+(1'+а'1+у' — у*'(,...,,(, И~ 3.
и,.=(,— ';)"(;=;) Р(у+Р+~'.у+5'+~" 1+у — у'»' „, ц~. 4. и =(=ь ( (:ь) Р(У'+(3+а У'+(У+а",1+У'-У;( — 1( -ь) 9Л68 1. и„=( — '')' ( — '')" Р(~(+а+у,8+а+у; 1+13 — 6', (', '„",' ,.",) 2 и =( — ) (:7Р~Р'+а+у~6'+а'+у11+~( (('( ь1( Д 4 ии =(:)( ( — ') Р.((1'+а+ у', (У+а'+у', 1+Р' Р' (с — ь) (~-е>) УВ 11 68 — 69 в — 9 специлпьныя юкняцин 9Л7 Запись некоторых дифференцнальныь уравпеягггг второг о порядка с помощью схемы Римана 9Л71 Гипергеометряческое уравнение (см. 9.151). О со 1 и=Р О а 0 г 1 — у (1 у — а — (1 УВИ 78 О со 1 1 — нг г 1 и=Р УВ 11 120 1 — — гл О оо 1 О 2 и=Р УВ 11 134 1 — — гп 2 х~ 9.173 Функция Р™„( 1 — —,) удовлетворяет уравнению 1 — гп 2 УВ 11 168 1 — — гл Функция 1 (г) удоваетворяет предельной форме этого уравнения, полу- чающейся при л — к со 9.174 Уравнение, определяющее многочлены С" (х) (см.
о.938). — 1 со 1 2 —,— )с л+2Л вЂ” — й з Π— л 0 УВ11 135 9.175 Уравнение Бесселя (см 8.401) есть предельная форма уравнений О со с 1 —,+ гс 2 1. и=Р УВ П 181 — гс 9Л72 Уравнение Лежандра, определяющее функции Р'„"(х) 1л и и — целые числа) (см 8.700 1.): 1067 о.1 ГнпяРГномнтРичоосниа ютнннии 0 оэ $ 2 О г 2. и=о' Р УВП181и 2 — — 2(с 21с — 1 2 $ — (с — и) 2 1 — — )с+и) и+1 2 О зо 3. и=Р УВ11181 получающаяся прн с — » со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
