И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 105
Текст из файла (страница 105)
«««е ' 1 >' «' 'е ' ««««>« Ф(г, г, о)= — ] «з«= — ] Г(з) з 1 — зе > Г(г) е е« вЂ” з о д «).556 (Йео>0, либо >г!<1, г~1, Вег>0, лпоо 2 1 ЙР«) Ц. ВТФ1 27 (3,' ") Штрих у знака ~~ означает. что член нлн ч=>н — 1 опущен + (, ),) ]«»( )-«]>( ) — 1 (1 Я~~ ) (и=2 3 4,, ~1пг] < 2я, оные, — 1, — 2, ...]. ВТФ130(9) 9.557 1сш(1 — з)' 'Ф(з, а, о) =1'(1 — о) 1йео < Ц. ВТФ130(12) а с ВТФ 1 ЗГ (13) кч! Связь с гипергеометрической функцией 9.559 Ф(з, 1, п)=о ' Р,(1, и; 1+о; з) (~з~ < Ц. ВТФ 1 30(10) 9.56 Фушсции ф(а) 9.562 5(1 — а) = $ (о). 9.6 ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ БЕРНУЛЛИ, ЧИСЛА ВИЛЕРА, ФУН1(ИИИ т(г), т(ж, а), р(х, ~)),р (х, р,н),Х(ж,у) 9.61 Числа Бернулли со 9.610 Числа В„, являющиеся козффицнентами при — в разложении функции называются числами Бернулли.
Таким образом, функция — является ес — 1 производящей функцией для чисел Бернулли. Ге48(57), Ф11520 9.611 Интегральные представления' 1. Вао=( — 1)" ' 4я ~ * сЬ (сравни 3.411 2.,4.). ФП 721 и о Свойства и функпиональкые соотношения 9.612 Рекуррептная формула (свмволяческая запись): В"=(В+1)"; В'=В,=-1.
Ге 49 (60) Для вычисления следует все степени после развертывания бинома в правок 8 — о. спкциальнык югнкции Предел ьньсе соотношения "Я) 9.561 $ (а) = —,„о (о — 1), ~(а). 2 с ч с" — о 2. В =( — 1)"-Ъ'"1 — „)*. о 3. В „=( — 1)" с ) ~ хо" о1п(1 — о — за*)сЬ'. о См. также 3.523 2., 4.271 3. ВТФ П1 190 (10) ВТФ 111 190 (11) з з числа и НОлинОмы вкРнулля числа эйлвРА части превратить в индексы, т. е. В.=Х С„)В„В.= . Бсе числа Бернулли суть числа рапионалъные. Всякое число В„мо2кет бьггь представлено в форме В.=С.-Х,~,, 1 Ге 49 9.615 Бсе числа Бернулли с нечетным индексом равны нулю, кроме В,= — —,, т.
е. В,=О (я — натуральное число). Ге52, ФП521 2а — 2 1 $ у 2а (Ьь — 1) .. „(2а — 2Гс+2) Взп 2 +2 т 3 а( а. ~2 9.617 В,„=( — 1)" ',, (сравни 9.523) й ~'-М Р 3 (произведение распространяется на все простые числа р). Связь с дзета-функцяез Римана см 9.542 Связь с числами Оллера см 9.635. Таблицу значении чисел 1)ернулли см. 9.71 Ге56(79), ФП 721и 9.618 Неравенство (символическая запись): )(В-Е)")<)В„) (0<8< 11.
Ч 337 9.62 Полипомы Бернулли 9,620 Полиномамя В„(х) Бернулли называют многочлены вида а В„(х) = ~~ ( ) Ваха " Ге 51 (62) или. символически, Ге 52 (68) В„(х) = (В+ х)" . 9.621 Производящая функция: ОЗ вЂ” = ~ В„(х) —, сравни 1.213). Ге 65(89) и 9.622 Представление в виде ряда: 2 — 1)" '2(2а)~ чз соз2аяа Вза (х) = 2-! Ге 71 [0<х< Ц.
где С„есть некоторое целое число, а сумма распространяется на все )2) О, такие, что )2+ 1 — простое число, а )2 является делителем и Ге 64 з — 9 спепиальнык Функции !рункпиональные соотно!пения и свойства. » — ! В .,(п)=в ., +(т+1) ",~ Й~ [и и гл — натуральные числа[ з 1 (см также 0 121) ЬВ„(х1= В„(х+11- В„(х) пх" '. В„'(х) = пВ„, (х). В„(1 — х) = ( — 1)"В» (х).
еа- ! В„(л!х) = л!" ! ~~~ В„(х+ — ) [»теорема умножения» [. ь-о Ге 51 (65) Ге 65 (90) Ге бб Ге 66 2 3 4 Ге 67 9.625 Разности 9.626 В промежутке (О, 1) полиномы В „(х) — В, и В „1х)-В „, Ге 87 имеют противоположные знаки. 9.627 Частные случаи: 1 1. В,(х)=х — —. 2 ' 2. Вз(х) = х' — х+ — . 6 3. В,(х)»» — —, *+ —,*. а 2 4 В (х)=х»-2тз+хз — ® 5 В (х) = х'- —.
х'+ —. хз — — х 5» 5 1 з 2 З Е Ге 70 9.628 Частные значения: 1. В„(О -В„. 2. В„1)=( — 1)"В„. 9.63 Числа Эйлера Ге 76 г» 9.630 Числа Л», являющиеся коэффициентами при — в разложении функции 1 !» » 0 ! казызааггся числамн Эйлера. Таким образом, Функции -- — является производяюцей функцией для чисел Эйлера. Ч 330 В„(х) - В„ при и нечетном на отрезке [О, 1[ обращаются в нуль только в точках ! =1' О, —, 1, причем з точке х»» — они меняют знак При и четном зти раз- 2 ' 2 ности обращаются в нуль на концах отрезка [О, 1), а внутри этого отрезка сохраняют знак, принимая наиболыпее по абсолютной ьелячине значение 1 в точке х=— 2 1093 кт постояннык 9.631 Рекуррентная формула (символическая запись): (Е+1)-+(Š— 1)"=03 Ео — 1.
Ч 329 Свойства чисел Эйлера Ч 330 9.64 Функции т(х), т(х, а), р(х, ()), )ь(х, 1), а), Х(х,у) 9.640 ОВ 1, т(х)= ВТФ 1П 217 (1) г О+О за+' П Г(о-+г-~-)) ' СО хйане г О)+1) г 0 0 ' о +Ча и Г )В+1) Г (а+г+1) Г (з+т) )з 0 ВТФ 1П 217 (1) 2 т(х, а)= ВТФ П1 217 (2) 3 р(х, ()) = ВТФ П1 217(2) 4. р,(х, (), а) МХд 9 5. Х(х, у)= 9.7 ПОСТОЯННЫЕ 9.71 Числа Бервуллп 1 В = —— ЗО ~ -В,=1, т Ва — — 4т, $ В = —— 2 ' 1 Вв= —— 30 1 В = —, з ° ю 6 9.632 Числа Эйлера суть целые числа.
9.633 Числа Эйлера с нечетным ввдексом равны нулю, знаки же двух соседних чисел с четными индексами противоположны, т. е. Ев,.~ = О, Е4„> О, Е4„., < О. Ч 329 9.634 Коли а, р, у, ... являются делителями числа и — юп, то разность Е „— Е, делится на те из чисел 2а+1, 2()+1, 2у+1, ..., которые являются простыми числами. 9.635 Связь с числами Бернулли (символическая запись): (зв — Э вЂ” Ив — з)п 1 Е~-1 = 2 В =""+')"' Ви Уа Рва Э Ч 341 Таблицу значений чисел Эйлера см. 9.72. 8 — 9 специлльныГ Функнии В19 = в„= В18= В1в В18 = 9.72 Числа Эйлера Е, = 2 702 765, Е, = — 199360981, Е18 = 19391 512 145. Е„= — 2 404 879 675 441 Ев 1 Ев= — 1, Е,=5 Е, = — 51, Х'„= — 50 521, в Евв 370 371 188 237 525 Числа Бернулли и Эйлера с нечетныж индексами 1искл1очая В1) равны нулю 9.73 Постоянные Эйлера и Каталаиа Постоянная Эйлера С=0,5772156649015325...
Постоянная Каталана С= 0,915965594... 66 ' 691 27ЗО ' 7 Ь ' 4617 540 43 867 798 174 611 5ю 854 513 138 2З6 З64091 Ввв = — 27зо— В 855з 103 38 Ь 1 В = — 23 749)4ы 029 Ввв = 870 8 615 841 27Ь 00 э 39 = 44 З22 7 709 321 041 217 510 2 577 867 858 367 31 Наименование функции и номер формул, где дается ее определение Обоэяачепие 8. 141 9.61, 9.71 9.620 8.38 8.39 8.37 8.56 9.73, 8.367 8.25 8.93 8.932 1 ею~и, 4) В„(х) В(х, У) Бх(р.
1) Р (х! Ъе1 (э), )мг (х) С С (х) са И Сьт (х) ссгв (х, 7), сеэ ,э(э, 1) Амплитуда эллиптическая Числа Бернулли Поливомы Герэуллв Бэта фуэицня Пополняя бэта-функцин Функции Томсона Постоя»пал Эйлера Косинус-интеграл Френеля Миогочлепы Гегенбэуэра Функдия Гегепбауэра Периодические функция Матье (функции 11атье 1-го рода) 8.61 Прнсоедэненные (модифицированные) функции Матье 1-го рода 8.63 Гиперболический интегральный косинус 8.22 Интегральный косинус 8.23 Эллиптвческий кооинус 8. 14 8.112 8Л11 Функции параболического цилиндра 9.24 — 9.
25 Дельта амплитудм 8.14 8Л62 Числа Эйлера 9.63, 9.72 Эллиптпческяй интеграл 2-го рода 8Л1 — 8Л2 Полный эллиптический интеграл 2 го рода 8.1'.— 8. 12 Функэия Мак-Роберта 9.4 Функция Вебера 8.58 Пнтегральиан покааательпан функция 8.21 См интеграл вероятности 8.25 Дэета функция Веиерштрасса 8.17 Дэега-функции Рвваэа 9.51 — 9.54 Эллиптический интеграл 1-го рода 8.11 — 8.12 Обобсцеиэый гипергеомегрическип ряд 9Л4 ГипеРгеометРическаа фрикции Гаусса 9.10 — 9. 13 Вырожденная гипергеометрическая функпия 9.21 Сээв(э, 1), Сеав з(э У) с)п (х) с1 (х) сп (и) ))(4) =.- Й )э(т х) В„(), Пи() бпи еы еэ еэ вв в(а, 1) й(Р, эе. д, Яэ: х) ' В„(э) В((.) Вг(с (х) = 1 — Ф (х) ь (и) ь (э) 4 (х, э) ~ )е(а, й) еуч(»с -- ° аэ.
рэ ° - ° ,)е,(а,(),7; )=р(»,В' Ч ) р (а, 7, з) =Ф (а, у, э) ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ СПЕЦИАЛЫ)ЫХ ФУЕПЩИЙ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЕ 1096 цгкдыктыыы хкАЛАткзгь оыкцмлэхЬЫЫХ Езумццмй Ы Мд оЬг)лылцвмык Продолжевие Наимевоваяие фуякции и помер формул, где дается ее определеяие Обоаяачевие Рл (а: ))» ..., (), уы... ..., у„, зь, ..., з„) Рх «з Рз Рз Гипергеометрическая функция нескольких персмеивых Гипергсометричсскис функции двух перемеппых Вторые непериодические регления уравпопия Матье Постоянная Качалова Ипваряапты Р (и)-функции Гудермапиап Вторые непериодические режеиия уранпения Матье Гамма-функция Неполная гамма-фувкция 9Л9 Функция Мейера Функции Токсова Фувкции Гаикевя 1-гои 2-города 8 !92 8.95 8.55 Поляковы Эрмита Фупкцив Струев Фувкдии Бесселя от мнимого аргуменга Неполная бэта-функция Функция Бесселя Функция Ангара Полаый эллиптический ивтеграл 1-го рода Цилиндрические фуякцив миимого аргумента Функции Томсова 8.405, 8 43 8.39 8.402, 8.41 8.58 8.
Г! — 8.12 Фуякция Лобачевского Функция Струве Полияомы Лагерра Иятегральвый логарифм Фувкдии Уиттекера Фуикцви Неймана Полииомы Невмава Эллиптическая фувкция Вейержтрасса П(аровые фупкцив 1-го рода Функции и полиноиы Лежандра В.!6 8.82, 8.83, 8.91 Р" (з), Р'„'(х) Р (з), Р„(х) Р а()уз Дифферевциальяое ураааение Римана (схема) 9.160 !е„(з, 1), Ре„(з, Ч) ... уеу„(з, 4), Ре)се(з, Е)... 1 С бы бз 84х Ве„(з, 7), Се (з, 7) Сеу„(з, 4), Сей„(з, 7) 1 Г (з) у (е, з), Г (е, х) без, а ( ~ оь ' '' ех )) Ьеьт (з) Ьег„(з) Жп (з) 1Рзм (з) Н)1) ( ) Н(м (з) Г вв Н (и) =бь ! (, 2)ь,/ с' яи '~ Нь(и)=бз( — ) Н„(з) н,"(.) 1„(з) 7 (Р,е) у (з) 3 (з) 4Г(4)=К, )Г(4)=4Г К (з) 1се! (з), )сег (з) Ь (з) Ь (х) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
