И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 103
Текст из файла (страница 103)
9.18 Гннергеомотрнчеснпе функции двух переменных 9.180 Р он () ., ) ч~~~~ ~~ (~~)ю*»Ф)т(Р')Я т» ) о)~»»» » — о — о ВТФ1224(6), АК14(11) Область сходимости )х) < 1, )у) < 1. 2. Р а,б,б' у у',х у)=~ Я "'" - — "ау" ооа ° ъ ~ у э = (т) (у) „,у„у »»=о»=о АК 16 ВТФ1224(7), АК 14(12) Область сходнмостн )х)+) у! < 1. — о — о АК 17 ВТФ1224(8), АК 14(13) Область сходнмостн )х)<1, )у,<1. Ф СО 4. Р(а () ', х, у)= ~~ У () ",(") '" х у». 4 а~ М о х у ~ () (,) ) ~ у »а=.о»=о ВТФ224(9), АК14(14) Область сходнмости АК 18 9.181 Функции Р„уо, Р, Р удонлетворяют следующим системам дифференциальных уравнений в частных производных относительно з.
1068 з — 9 спнцизльныи Функции 1. Система уравнений для г =Рз: дзз дзз х(1 — х) — + у(1 — х) — + дзз дз ду + (у — (а+ р + 1) х] — ' — ру — — а)Ь = О, дзз дзз у(1 — у) —,+х(1 — у) — + + (у — ~а+ ()' + 1) у] — — ]Гх — — ~ф'г = О. 2 Система уравнений для г =Уз: дз.з дзз дз х(1 — х) —,,-худ д +(1' — (а+р+1)х] д,— дз — ])у — — а]Ь =О, ду дзз дзз дз у (1 — у) — —,гу — + (ч' — (а+ 8'+ 1) у] —— дуз дз ду оу дз — ])'х — — а($'г = О д.
ВТФ 1 233 (9) ВТФ 1 234(10) 3 Система уравнений для г= г' ." д*з дзз х(1-х) — +у — + дзз аз оу + [у- (а+ р + 1) х] — — арг = О, дз дзз дзз у(1 — у) —,+х + + (у — (а' + р' + 1) у] — — а']$'г = О ду 4. Система уравнений для г=Рз дзз дзз дзз х (1 — х) — — у* — — 2ху — + дзз дуз дз дд + (у — а+()+ 1) х] —,— (а+р+ 1) у — — а]В=О, дз дз дз, дзз дзз у (1 — у) — — хз — — 2ху — + дуз о з д.з ду дз дз +(у' — (а+])+1)у] — — (а+р+1)х — — о(1г О.
ВТФ1 234(11) ВТФ 1 234 (12), 1. Г,(а, р, р', Д+])', х, у)=(1 — у) "Р(а, ]); ф+3', —.). ВТФ 1238 (1), АК 24 (28) 2. Р,(а, ]1, р', р, ч', х, у) (1 — х)~Г(а, ]Г„у', У ). ВТФ1238(2), АК23 9.182 При некоторых соотношениях между параметрами или аргументами гипергеометрическяе функции двух перемепныт выражаются через ~ опер- ~ ~ ометрические функнии однон перемеиноя или через злементарные функции: 1070 о — э спвцийльныв Фунпции 2.
Г,(а, ]), р', у, у', х, у)= =(1 — х) — "Р'о( а, у — ~, ~', у, у',, 1' ]; ВТФ1240(6) =(1 — р)-«Р'о(а, ]), у' — ])', у, у',, '"„, „", ); ВТФ1240(7) ВТФ(240(8'„АК 32(6) 3. Р,)а, ]), у, у', х, у)= ( — р) «Р (а, а+1 — у', у, а+1 — [); —, — )+ Г(у') Г ф — а) и 1'~ Г(у' — а) Г((1) У й +, — ( — у)Рг', ( 3+1 — у', р, у, р+1 — а; —, — ~. Г(у') Г(а — ()) Г (у' — ))) Г (а) ' ю' юГ' ВТФ(240(Ц), АК 26 (37) 9.184 Интегральные представления: Двойные интегралы зйлерова типа 1 (у) 1. Р,(а, [), ])', У; х, Р)= г(„)г(Р.)г(~ Р р, х лР-1,Р -1 (1 )т-Р-Р— (1 „р)-~,й,,)„ (') и>о, и>о) и+иа1 ! [Ве[) >О, Ве()' > О, Ве(у — ]) — р') >0].
ВТФ1230(1), АК28(1) Ф г(у) г(у ) г(()) г (Р ) г (у - Р) г (у †() ) )~ 1 )< ~ ~ „Р-1ео -о (1 „)т-Р-о (1 в)т -Р -1(1 „х „р)-«,~а,)в оо [йер > О, Ве[)' > О, Ве(у — р) > О, йе(у' — р') > О]. ВТФ1230(2), АК28(2) 3, Р'о(а, а', [), р, у; х, р) г(яг) г(()') г( — о ив Р') )с х ~ ~ иР— 1сР'-1 (1 — и — и) — т-Р-Р' — О (1 цх)-«(1 в ) — ),~,1д (и>о, ю>о) и+и~1 [Ве[) > О, Ве[)' > О, Ве(у — р — р') > 0]. ВТФ1230(3), АК28(3) 4. Г,[а, р, у, у'„х(1 — р), у(1 — х)]= 11 Г( ) Г( ') <' "',, (' 1 л СР- (1 — а) - — (1 — и)'-Р- )с Г (а) Г (Р) Г (у -а) Г(у' — Р) ) оо )г (1 лх)« — т — т'+1(1 — цр)Р-т-т'+1(1 — их — су)т+т' «Р 1сКис(а [Веа >О, Ве[) > О, Ве(у — а) > О, Ве(у' — ])) > 0].
ВТФ1230(4) пл ВыРоюдвннхя гипнРгвомвтвнчнскля Фтнкция 1071 Интегралы типа Меллипа — Бэрпса 9.185 Фушсции ЄЄРи Ре представляются с помощью двойных интегралов слодующей формы: Ги, г>=-„-н,— г-" —,'" —,—,~ ( ( ли, пг~ — )г~ — п~ — г~-г)'иж. г( ) (Р)( ) Ч'(е, 1) Р(х, у) Г(а+с-г-е! Г (Р-г. е! Г(Р'+т) Р (а, Р, Р', у; х, у! Рв(а, Р, Р', у, у'; х, у) Ре(а а', Р. Р' у: х, у) Р.(а, Р,у,у';х, у) г(Р )г(т ° (-т) г( +.-!) Г(Р+.) Г(Р+т) г(т) г( ') г(у+. ) Г(у'+т) Г (а+ г] Г (а' + г) Г (Р+ е) Г (Р'+ т) г(а') г(Р ! г(у+-.+2) г(а+ (-г! гФ ге.+т) г(т') г(т+.) г(т -)-т) (а, а', Р, Р' пе долясиы быть целыми отрицательными). ВТФ1232(9) — (13), АК 41(33~ 9.19 Гипергеометрическая фу акция нескольких переменных Рл(а; Рх, ..., Р„; у„..., у„; х„..., 2„)= (а),+...+ „Р~), - (Р ) (Мгиг '(ти)тигггг! жг=з пг~=е ИП 1 385 9.2 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИНЕРГЕОМЕТРИЧЕСКА11 ФУН11ЦИЯ 9.20 Введение 9.201 Вмроэгсдеыыал нгпергеометричесхая груггкг)ия получается в результате предельного перехода по с к (-со в решении дифференциального уравновия Римана 0 со с 1 р( +)2 сс Х 2 —,— ро й ! УВ 11 139 е ! г)ии уи й 4 УВ 11 139 Уравнение 9,202 1.
имеет следующие два линейно независимых решения: 9.202 Уравнение, которое получается в результате этого предельного перехода, нмгжт вяд. 1072 з — э. спвциьльныи етнкции -+и , ( 1 2. ха е — *Ф(-2+)х — Х, 2)х+1; з~, 1 — в г ( 3. зз е 'Ф~ — — )х — Х, — 2)в+1; з), которые определены для всех аначеннй )х чь -)- —, 1 2 3 МО И1 9.21 Функции Ф(а, у; л) и Ф(а, у; з) 9.210 Ряд о (а-1-() вх а(о+1) (о+2) И у(уь)) 2) у(у+()(у-)-2) У гкпергеоиетрической функцией. Ь х) = ~)'ь(а у' 2). 1. Ф(а, у; з) =1+ —" —,', + также называется вырожденной Другое обозначение: Ф(а, Г((-у) 2 Р(а.
у; х)= г(., 0 Г(у-0 Г (а) Ф,а, у; з)+ з'-т Ф(а — у+1, 2 — у; г). ВТФ1 257 (7) 9.2И Интегральное представление: зх 1 1 2~-тез -н 1. Фьа, у; г)= ] (1 — ()' '" )(1+(У' 'е сй -1 [О < Не а < Не у]. МО И4 2. Ф,'а, у; х)= х' — т ~ е~(о '(з — ))т-е-1сй) 1 В(о, у — о) о Функциональные соотношения 9.212 1.
Ф'а, у; з)=е'Ф(у-а, у; — з). 2. -Ф(а+1, у+1; з)=Ф(а+1, у; з) — Ф(а, у; з). у 3. аФ(а+1, у+1; з) (а-у)Ф(а, у+1; з)+уФ(а, у; з). 4. аФ(а+1, у; з) = =(з.+2а — у)Ф(а, у; з)+(у — а)Ф(а — 1, у; з). 9.213 — „— Ф (а+ 1, у -~- 1; з). еФ а МО И2 МО И2 МО И2 МО 112 [О< Неа < Неу]. МОИ4 а со а 3. Ф(-м, а+1- з)= е*з х е-Ч ~У„(2ф~л8)Ш 1Не(а+м+1) ) О, ]агре~ < — „~ .
МО1(, СО 4. 1хг(а, у; з)*= — ~ е-и(е — г(1+()т-"-~ей [Неа>0]. ВТФ1255(2) 1 Г ~а) е 1074 2 Е СПВПИАЛЬНЫВ ФУНКПИИ Интегральные представления 9.221 л12. в(2) = 1 1 1 1 (1+~) й(1 1)"+ йд' 111, УВГ1 139 22" В(11+ Л+ Р Л+ ~ 1 2/ если интеграл сходится См также 6.631 1., 7 623 3. 1 й '1+ 1)"+ а. МО 118 ~ -"+~) ОР 1 (Ке()2 — Л)) — —, ~аг62! <я) . УВ11143 ви» Г (и — Л) Г ( — и — р+ — ) Г 11 — и+в+ — ) 11 / 1 '1 2/ г( — л+р+ — ) г — л — р+ —,) в г 1. И'ь .(2)= Г 2. гг'ц „(2) = Г 9.223 И ц,„(2) = 2 1путь интегрирования выбирается так, чтобы полюсы функции Г (и — Л) 1 оказались отделенными от полюсов функции Г ~ — и — р + — ) 2) и Г ( — и+)2 1.— ) ).
См также 7 142. 1Ч МО 118 со 9.224 ур 1 (2) =вв+1е 2 ~ (1+1)2ве '1 й = в. 1+в ' 2 е Е1 =2 Яет ~12ве 1й (Ков)0], УВП160 Ф 1. Игц „(х) В' и „'х) = = — х ~ хп~" 2 (12,. (хвп1) вне'р- Л) я+ив,(хвп 1) сов(р- Л) я) пх ~~Ко)2~ — КеЛ < —; х> 0 ~ МО119 которая при 2р,, стремящемся к целому числу, также служит решением уравяепяя 9.220 1.
Для функций мр„ „(2) и И'2 „(21 2 = 0 является точкой ветвления, а 2 =- со — существенно особои точкой Повтому мы будем рассма грнвать эти функции только при (аг62~ ( я. Функции И'ь (2) и И' ь „( — 2) являются ликерно независимыми решениями уравнения 9.220 1 о 2 еыгождкннАя гннкРгконктРичкскАя Фгнкния 1077 е 2а /$ 3 1. Ф(х) =1 — И' 1 1(хо) ==Ф ( —., —; -хо) . уя— ,, Уя (,2' 2' УВН144, МО126 2 П(е)= — .И' 1 ( — )пе), ~/ !а— УВП145 3. Г(а, х)=е Ч'(1 — а„1 — а; х). ВТФ 1 266 (21) ВТФ 1 266 (22) .а 4 у(а, х) =- — Ф(а, а+ 1; — х). 11 237 ~агдг~ < —,; 2р+1 — натуральное число~ .
Зя МО 116 2 Пусть Л вЂ” р — — =1, где 1+1 — натуральное число. Тогда 2 'гг" 1 (х)=( — 1)~х ее у (2р+ 1)(2р+2)...(2р+ Х)Ф( — Е, 2р+1; е) = 1+а+и™Р 1 1 = ( — 1)'х 1 е е Х,1а" (г). МО 116 1 7 (х)= г 1 х"е Ф(2+т, 1+2т; 21х). ВТФ 1 265 (9) 2. 1„(х)= 1 х е "Ф( 2+т, 1+2т; 2х ~ ВТФ ( 265 (10) ВТФ 1 265 (13) 3, К„(х)= у не*(2т)'Ч~(2+т, 1+2т; 2х) *) Пря р=О вослодвяя сумма раева нулю. 1 1 1 И7~ „(е)— ~)га 5„1* х г( — — р — л) г ( — +р — л~ Х ~~ а~ 2 а1 'з" ~$(К+1)+$(2р+)о+1) — ф(р+й — Л) — ) — 1не~+ а=о т~ ог(2р — а)г(а р — л+ — ') 1*) +( — х) ~'~, ( — з) ~ «=о 1078 з — к спкцилльныя эгнкции 9.24 — 9.25 Функкии пара6олического цилиндра Х> (х) 1 р 9.240 Р (х)=21 1 И~1 р 1( — ) =- р 1Ы,( р 1 Е~ \Н, (~ — р З МО120 и называются ~уикиилми парибопичеекоео 1(илиидра Интегральные представления 9.241 1 Р+1 1..Р (з) = = 2 уя Я ** в е з е4 ~ хре — з+з' бх (Ве р ) — 1; при х < 0 аг6 яр = рта! МО 122 СО 2 Рр( )= Г ) 1 'а* (Вор<01 (сравни 3.462 1,) МО 122 (О+) 1 Г (р-(-1) — Г ~ е 1 Р (х)= — „е ' ~ е з ( — 1) "'Ю (!аг6( — 1)(<п! УВ И 157 Г "* 1 (~+)1 2 Р (х)=2з ~ ее (1+1) (1 «) 61 УВ И 161 ~!егрз! < —, (68(1+1)!<и ) УВИ161 Г1 1 [ 3 !агях! < — а; р не есть целое положительное число~ 4 /1 1,(' >Г~ — 1 — р)Г( — 0 4.
Р (з)= — е д ! ' ($/2) г'бг р 2пе з Г( — й ОЭ для всех значений агк з, причем контуры окружают полюсы функции (1 1 ! 1'( — 1), но не окружают полюсы функции Г ( —,1 — — р) ! УВИ 161 ~,3 2 9 2 ВЫРО1КДЕННАИ ГИПЕРГЕОИЕТРИЧЕСКАВ ФУНКЦИЯ 1079 9.243 1 СО 1, Р„(8)=( — 1ис( — ) [ф'й)"+ 81 У ~ ~ ес О ' — '1' еос (8) )/и)д(+ — ОС СО 0 + ~ [83 )Π— Š— " 1)') (г(]/П)е(( — ) 8-"1'-')' (8()/Л)де) 8)П ,) 8)П О 'СО [л — натуральное число]. УВ П 162 1 18СО 2 Р„(г) =( — 1)Я 2О'8(2И) 881 1"е 8" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
