И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Рв (х) — (1 — хв)8 = — в!пвр. ! 2. Р,'(х)= — З(1 — х') х= — — 'з 81п2вр. 3. Р.,' (х) = 3 (1 — х') = —, (1 — сов Звр). 2 1 4. Р„'(х) = — — (1 — х') (5хв-1) = — — (з!пвр+58!и Звр). 2 8 МО 73 МО 73 МО 73 М073 5, Р (х)=1о(1 — х') х= — (соввр — совЗ~р), 8 6. Р',(х) = — 15(1 — х') = — — (Зз)п ~р — 8)пЗ~р). 15 4 МО 73 МО 73 с(7ункциональные соотношения Рекуррентные формулы см. 8.731.
8.814 Р„(созхвсоввр +81пвр з!в~рисов 6) = = Р„(сов вР ) Р„(сов ~Р ) + 2 ~~'; Р™ (соз «Рв) Р„(сов <Р ) соз н(8( ив=В (втеорома сложенияз). МО 74 1030 3 — 9 спкцнальныи юункции 8.815 Если т У„(~р, О) а Р„(соз <р)+ ~~~~ (а совт0 + Ь з1пт0) Р„(сезар), оп=1 к Е„з(<р, 0)=аеР„,(созц)+ ~~ (а совт0+)1 з1вт0) Р"'„(соз~р), Ю з1п <р сйр У„, (<р, О) Я„, (~р, О) О, Ж в1н<р скрУ„(<р, О) Р„(сов ~р соз ф+ в1о ~р в1пф сов(6 — О)) = МО 75 8.816 (соз ~р+ 1в1п ср соз О)" = Р„(сов ~р) + +2 Я ( — 1)" +, совт0Р (сов~р). М075 т=1 Интегралы от функций Р (х) см.
7Л121., 7Л221. 8.82 — 8.83 Функции Лежандра 8.820 Дифференциальное уравнение — '((1 — зз) — ~+т(у+1)и=О (сравни 8.7001.), в котором параметр т может быть любым числом, имеет следующие два линейно независимых решения: 1. Р„(х) Р( — т, т+ 1; 1;:) . г г' — '~ 2~+ ~ Г ( т + — ) См 111 518 (137) Функции Р„(з) и ~~1® (в) называются функ~(ил.ки Лежандра соответственно 1-го и 2-го рода. Если т но равно целому числу, то в точках з= — 1 ив= со функция Р (г) имеет особенности; если ясе т= я=О, 1, 2, ..., то функция Р,(з) обращается в полипом Лежандра Р„(з)(см. 8.91); прн т — и= — 1, — 2, ... имеем: Р „,(в) =Р„(з).
3. Функпия с, (з), если только т~ О, 1, 2, ..., имеет вточках в= ~с 1 и г= со особенности; зги точки служат для нее точками ветвления. Если же т = и = О, 1, 2,, то функция ~„(з) при ~ з ~ > 1 однозначна и при з = со регулярна. 1031 8 т — 8 8 шлговыв (сэкгичкскик) Функции 4. В правой полуплоскости Р (г)=( + ) Р( — и, — т;1„— ) (Вез>0). 5, Равенствами 8.820 1. и 8.820 4. функция Рт,з) однозначно определяется внутри круга радиуса 2 с центром з точке з=-1 и в правой полуплоскости г.
Для г=х=соз~р решением уравнения 8.820 служит функция б. Р,(х)=Р,(х) =гт ( — т, т+1; 1; э(п' — '," ~; и вообще имеют место равенства 7: Рр(з) =Р ъ,(з) =Р„(з =Р у-1(з), 8. Равенством 8.820 2. функция ~),(г~ при ! з( > 1 однозначно определена в плоскости г, в которой сделан разрез от точки з= — со до точки а=1. С помощью гипергеометрического ряда функцию можно аналитически продолжить внутрь единишого круга На отрозке( — 1<х~+1~деиствнтельной оси функция ~,(х~ определяется равенством 9. (~ (х) = —,(ф,(х+10)+~ (х — гО)). Х 52(53), УВ 11 113 Интегральные представления 8.821 и+ *+1 2Р~д Д ич (1 )м-~-$ А — точка на вепщственной оси справа от точки г=1 'н справа от з, если з действительно); в точке А положено: аги (г — 1) = агд (г + 1) = О и Ц агй (1 — з) / ( п).
УВ П 97 И-,г+> '~~ ' 4а з!а тя ) 2~(х Оч-г1 (т — нецелое число, причем точка А — конец большой оси эллипса справа от г=1, построенного в плоскости 1 с фокусами в точке ь 1, у которого вторая полуось настолько мала, что точка з лежит вне его Контур начинается от точки А, описывает путь (1 —, — 1+) и возвращается в А; (аг((г(<п и ~ агд(з — 1) ~ — агиз, когда à — ъО на контуре, агя(1+1) = =агп(г — 1) = 0 в точке А; г не лел<ит на вещоствепной оси между — 1 и 1.) УВП 109 При т=и целом 1 3. ~„(з) = —.„, ~ (1 — 1г)" (г — Г) " 'Ш. СмП1517(134), УВП 109 8.822 1 Р (з)= — „~ ~~, — ~ (я+3/з~ — 1соз~р) йр (з+ г' *' — 1 соз ф) Вез > О и агй (я+ У г' — 1 сов ~р) =агиз при ~р= ~ 1, з)' УВ П 105, УВ П 106 1032 З вЂ” 9 СПЕЦИАЛЬНЫЕ Чгтннт(ИИ 2. Д„(х)= ~ „,, [Вес) — 1; если т не является Ар (9+У' хг — $ сЬ |Р) целым числом, то аг8 [(з+ ~/Р— 1) СЬ ~р) прн ~р=О имеет главное значение).
УВ11 1!3 УВ 11 108 — [(хн — 1)" з ягн [ ) (гг ()н+г 1 [Вез > 1). УВ11111 — 112, МО78 8.825 („"г„(в'= — ~ " с1( [(аг8(х — 1)~ < я). УВ11 114-115, МО78 См. также 6.6223., 8.842. 8.826 Тригонометрические ряды: 1. Р„(созгр)= — я ! зш(я+1)~р+ — 81п(я+ 3)~р+ 1 а+1 1 3 (а+1) (а+2) + ( 2 (2н+3)(2а+5) соз(п+ 5) гр+ ° .. 1 [О < (р < и] МО 79 Другие представления функций Лежандра в виде ряда дают нам их выражения через гипергеометрическую функцию, см.
8.820. 8.824 () (х)=2 а! ~ ... ~, — „„=2 ~, „„;Ж; г г г l Частные случаи и частные значения 8.827 1. Я,(х)= — 1п — +~ =Агб)9х. 2. О, (~) = — *, ! +х — 1. 3. 0,(х)=-(Зх -1)1п --х. 1 9 Ф+х 3 4 г — х 2 4. 09 (х) 4 (5хх — Зх) 1п ( — 2 х' + 3 . ( 1+х 5 2 «5 5. (гх(х) =(8(35х — 30х'+3) 1п $ — 8 х +Йх' 6. (~9(х)=(8(63х — 70х +15х)1п~— — — 8 х + 8 х (5' ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 1033 МО 79 МО 79 МО 79 8.831 1. Я„(х)= . [сов тлРч(х) — Рч( — хЦ [ч Ф О, ~ 1, ~ 2, ...). МО 76 2.
Я„(х)= —.Р„(х11н — — УУи т(х) [и=О, 1, 2, ...), где 2 2 (8 — 2А) — Г 1 Х (24+ 0 (8 — а) Р -22-2 (х) = Х т Рх-2 (*) Р 2=8 2=1 3. 1у„г (х) = )у 2(х) = 0 (см. также 8.839). См 111516(131), МО76 4. ,'Я ( — 1) ( —,„—, )Р (совф)=,." Рч(совф) 8=8 [и не равно целому числу; 0.4.ф(л). 5. Я ( 1) ( а а 4) Ра(совф)РВ(~~~2р ~ — о МО 77 — Рч (СОВ ф) Рч (СОВ 2Р) [ч не равно целому числу, — л(ф+$(л — и(ф-ч(и)- МО 77 См.
также 8.521 4. МО 77 МО 77 8 Ч вЂ” 8 8 ШЛРОВЫВ (СФНРИЧНСКИИГ ФРИКЦИИ 8.828 1. Рч(1) = 1. 2. Рч(0)= — Г( 2 )1'( — 2 ) . 8.829 ф, (О) = — (1 — сов тл) Г ( — ) Г ( — — ) . 1 Г и+1 'ч Г 4ук Функциональные соотношения 8.832 1. (г — 1) — „Рч(х) =(т+ 1) [Р +~ (х) — гР„(х)1, 2. (2т+1)гРч(х)=(т+1)Р +г(г)+чР„,(г). (Х 1) И Оч(г)=(и+1) Щч+2 (г) — г~3ч(г)[. д 4. (2т+ 1) х~~ (г) = (т+ 1) ф.~2 (х)+ чф 2 (г). 8.833 1.
Р ( — г)=е"'Р (г) — — вшт2ИД„(г) [1шх< 01, 2 2. Рч(-х)=е-чшР (г)- — 8[и иф (х) [1шх > О). 2 УВ П99и УВ 1198 УВ 11112и УВ 11112 1034 8 — 9 спвциАльнык Функции МО 77 МО 77 МО 77 МО 77 МО 79 МО 78 8.84 Функции конуса 8.840 Если в дифференциальном уравнении 8.700 1., определяющем шаровые функции, положить 1 т= — —,+й, 2 3. ~~ ( — г) = — е — ™ф~ (е) [1ш в < О]. 4. ()„(- г) = — е "ч'7,(г) [1шв > О].
8.834 1. С~„(х ~ 10) = Я, (х) г —, Р„(х). МО 77 2. 9 (в) = †„, Р„ (в) 1п г — й'„ (е) (см. 8.831 3.), 8.835 Ь (в) — Е), е ~в) = л с 18 тл Р, (е) [в1п ел ~ О]. МО 77 2. Я,(совф) =Я,(сов ф,— лсС6тлР (совф) [в(пел ~ О]. МО 77 3. ф,1 — совф)= — совтлОт(совф)+ — в[птлРе(совф).
8.836 1. Д (г) = —, — [ (вв — 1)" 1п — ] — — Р„(г)1п— 1 ~" г в „е+1ч 1 е+1 а 2иа!вен~ е 1] 2 ь е 1' МО 79 2. Я (х = „~~ в[ (х 1) 1п~ [ 2 п(х)1п1 8.837 1. Р,(х)=Рт(совф)=Р( — т, о+1; 1; в1пз ф ) (сравни 8820 6,). ЫО 76 2. Рт(е)= —, г-~-'Р( — +1, —; т+ —; — )+ гяц~ Г(+О г +1 з г~ ~р+~рл / В ~ ( 2 ' 2 ' 2' ев) лГ( + —,) 2) Г т — ) 2" (, +2 х1 — т о 1 1~ Г(~+1) ( 2 ' 2 ' 2 ' ее) См. также 8.820. Интегралы от функций Лежандра см.
7.1 — 7.2. 8.838 Неравенства: (Рт1совф1 — Р,.~з(совф)) <2С, [~ —. 2 [Яч 1сов ф) — Я,+г(сов ф) ! < Се ~ ° МО 78 [О< ф < л, т > 1, С вЂ” число, не зависящее от значений т и ф]. О нулях функций Лежандра 2-го рода см 8.784, 8.785, 8.786 Разложение функций Лежандра по шаровым функциям см.
8.794, 8.795, 8.796 8.839 Дифференциальное уравнение, приводящее к функции УР„, (х) (см. 8.831 3.): (1 — х') — ",-' — 2х — "-'+ (и+ 1) пРР„, = 2 —" . МО 76 1995 3 7 — 8 З ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКНВ) ЮГНКЦПИ имеют некоторые особенности, заставляющие выделить их в особый класс— функции конуса. Важневжая из этих особенностеи следующая: 8.841 Функции Р ~ (сезар)=1+,, а)пз ~ + ',, а)п' ~ +... 1 +,д 2с 2 2с4с 2 г при <р действительном действительны, причем Р ~ (х) ьи Р , (х). й+ 2 МО 95 8.842 Интегральные представления: Р ( ) '~ '"'"'" ' йЛ (' Р с (соа ~р) — сЬ Ли '1 -а+1" и д У 2(сози — созе) к 4 )/2(соыр-гс4ьи) о о МО 95 СО О сои Ли йи сЬ Ли Ни 2. Я 1 (сезар)= ~(аЬЛи( =— +~ — — ты д г' 2(ойи+соз ~р) с )' 2(ой и — сояф з о о МО 95 Функциональные соотношения (см.
также 8.73) Р 1 ( соа 43) = — [Я 1 (сов ~р) +Я 1 (сов <р)], з 2 з МО 95 8.844 1 Р ~ (совф сов 6-)-а(вфаш 1) сов ~р) = — -+ы 2 =Р ~ (соа)Р)Р 1 (соей)+ й~~ з ( — 1)" 2*и Р" 1 (соэ $) Р" 1 (со, 6) соз иир 2 — -+ы ---3-й 2 Е (4Л'+ 1с) (43Р+39 ... (4Л'+(24 — 1)~) 4-1 ] () < 11 < —, О < ф < и, О < 3Р+ 9 < к ] (сРавни 8.794 1.). МО 95 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
