И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Получающиеся таяны образом функции называются прпеоедипеппьгми фуикдипгеи Матье первого рода и обозначаются так: 2. Се (г, д), Се „(г, д), 8е,г, дп Зе „,г, д. 8.631 ОЭ 1. Сев,(г, д1 = ~ Адг„"'сЬ 2гг. т"=0 М 35 (2) М 35(3) М 36(4) М 36(5) Наряду с каждым нерподическим решением уравнения 8.60 существует линейно независимое с ккм второе, непериодическое решение. Пеперподпческие решения обозначаются соответственно через (е,„(г, д), (ее„„(г, д), де „, (г, д), 8еьь. (г, д). Аналогично вторые решения уравнения 8.630 1. обозначаются через ('д) Р"-.('д) 6 . ('д) С ("д). 8.651 Замена аргумента г в уравнении 8.60 на + ( —, -1. х) приводит к уравнению мзо(1) 2. Сег„.г (г, д) = ~ А г„++~" сЬ (2г+ 1) г.
т=е 3. Яе, (г, д),Е В~в~~~" вЬ(2г+1)х. -6 ОО 4. Зе .6(г, д)=~ Вг,+г"вЬ(2г+2)г. =6 8.64 Непериодические решения уравнения Матье 8.65 Функции Матье для отрицательноп6 д —, + (а+ 2д сов 2г) у = О. Вен Это уравнение имеет следующие решения: 8.652 1. сееэ(г~ — д)=( — 1) сееь (2 я — г, д) /1 2.
се „(г, — д) =( — 1)" все„, ~ — н — г, д) . 3. веав.1(гэ — д) = ( — 1) севъ.1 С 2 я — г д) . 4. ве„„(г, — д) =(- 1)" ве ., ( — 'я — г, д~ . 5. 1е „(г, — д)=( — 1)"' 1е (2 я — г д) 6. 1ее„,(х, -д) =(-1) зе .,~ — я — г,д) . /1 7. пег„,г (г, — д) = (- 1)" 1ее„„~ — я — г, д) .
м зо(2) М 31(3) М 31(4) М 31(5) М 187 (1) (М 187 (3] М 187(5) г — е спвцилльныв эвикции 8. 8ег„,г,г, — д) =( — 1)" 8е „, ( — ж — г, Р) . М 188 (7) 8.653 Аналогичным образом замена х на ~ г+гв уравнении 8.630 1. при- 2 водит к уравнению ~~эт — Я вЂ” ~а+2дсЬг)у=0. дно имеет ре~певия: 8.66 Представление функции Матье в виде рядов по функциям бесселя 8.661 --(-"' )- 1. се „(г, д)=,„"„Я ( — 1)'Аг, ~У „(2йсогг); М199(1) =;,'"„; ~' ~ (-1) Аг„"~Х,„(2йнвг). М 199 (2) сегьы(~~ т) (гта+н Е ( — 1)'Ая,~.~ "У,„., (2й соз г); алане"+н -о М 199 (3) ~„„(о, ч) ~г„~ц сг8 г ~' ( — 1) "(2т+ 1) Аг„+~ 1г„, (2й гАв г).
(га+Й) аА, е=з М 199 (4) 8.654 1. Се „(г, — д)= ( — 1)" Се (~ 1+г, д) 2. Сег„, (г, — о)=( — 1)" г~8е,„. ~ — яг-)-г, д) 3. 8е,„.,(г, — р)=( — 1)"'~Се „,( —" ~-)-г, д) 4. 8ег„„[г, -д)=( — 1)"+'Яег„„( — "~+г, у) 5. Рег„(г, — д)=( — 1)" Ре „( — ш+г, д~ г~ 6. Рог„„~г, — д)=( — 1)" ~~Бег„„, ~~ 1+г, д) Се .,1 — р)=( — 1)" Р'е,„., ( — +г, Ч) 8. Се„.,(г, — 9) (-1)""бег„., (д ~+г, д) . М 200(1) М 200(11) М 201 (21) М 202 (31) М 200,(4) М 201(14) М 201 24) М 202 (34) з о Функции млтьи аеав+д ( 2 т) зеав+д 2 о) ви(за.~ д1 26 Х,~ Я( — 1)'(2г+1)В2 +~' У„,д(2йсозв): М 199(5) т о еа 2„+1, ~~~~ ( — 1)" Взз.+~~ 'айаг„(2й здя з). М 199 (6) ! г=о де+2 ( 2 ' а г' 4 чеа„,в(2, Ч)ва + $62 Х 2 и ~ ( — 1д','2г+2)ВЯ."~~з~дУ „2(2йсозз); М199(7) г=о > с$62',д', ( — 1)" (2г+2~ВЯ+2~' 7и.„(2йе1нх).
М 199(8) ~ 62 — о 1. (е „(2, д) = — 2" ~ ( — 1)" А~з~ш 1ш [,д„(йе")Лд„(йе '")). '=(-"') = 2' =о М 310 (6) ЯИез„+д (О, о> 2. Ге „„ (2„ д) = " , . Х 2оез„+, ( 2, т) ОЭ х ~~" ( — 1)" АЯ++1 ~?ш [У,. (йе")Л1,. (йе аа)+.7,. д(йе'*)Л~, (йе ~')). М 311(1) 3.
не „,(в„д)= — ~аа)д ' ~» х ав~~(2 ' х 'Я ( — 1)' В~аф~~~ве [У,(йе")ЛГ„д(йе '*) — У„, (йе")Л'„(йе '*)). М 311 3) =о ива ~еде.а(О, Ю 4. аевв (2 д) - — Г д ' , х 2еезв.~ 2 ( 2 и. Ч~ х ~' ( — 1)'дде[уа(йе")Х„„(йе ') — У„а(йе'*)М„(йе ")[ М311(6) Разложенддя функций Ге„и бе„но функциям Л, обозначавдтся соотвот тиенио через Реу„и (деу„, а разло>венин етид функции по функцчям дд,— соответственно через Гейл и бейл. 64 Таблвви ввдегралев 1010 Π— 9 спеПИАльны>1 Фгнкдии 1.
Уеуо„(х, д) = ~~12„'>~~,5' А$2~"~У (2й вЬ г), йх =д ЦвЬх) >1, Вех>0]; (-".')- > ~, '( — 1)' А122в> ФО, (2й СЬ г) ЦСЬг~ > Ц; М 193 (2) М 193 (1) (л 'Опв(с Х>сеоп( 2 О) ),~~ ( — 1)' АЯ"> У, (йх *)Ф„(йх*). О М 300(1> йо=д ЦвЬг~ >1, Нег > О]; М194(4) 2 Я ° ) — 2„+1>,Я~ ', — 1)" А~г ~>1 "Ю2„.1 (2й СЫ г) ,~А(хв+1> и О Ц сЬг~ > 1]; сезв+1 (О, д) ОО2„+1( —, О) а (Л12п+1>)в х 1 М 194 (3) >( "Я ( 1)йА~+1 > (> (йг-~)>О (йе~)+у (йе-п)Л1 фег)] М 301(у) -О 3.
6еу2,2 (х, д) = 2„+1> ~~~ Вф~~'~Ф „(2йвЬх) ЦвЬг~ > 1, Вех > О]; М196(9) - (Ф') ОЬ г ~~~~ ( — 1)" (2г+ 1) ВЯ++11>Х „(2й сЬ г) щ(Оп+1> г=о ЦСЬг~ > 1]; М196(8) гсов+2 (О, Я> Оеав,> ( и ° У) Ь (В12"+1>р Х 1 в» х ~~)' ( — 1)'Вг',.>1~> [У,(йг )К„,1(йе*)-У„>(йе ')Х„(йе*)]. М301(3) и О 4. Сеу„„(х, >у) пв ~"и;2 ' > саЬ х 'Я (2г+ 2) В$~1.2~'У „, (2й ОЬ г) г О Ц вЬ г] > 1, Ве г > О]; М 196 (13) 1011 О.О ФУ!1ВЦИИ ИАТЬБ гл+г ( 2 !7) — —,,2„+21 СЬ 2 Х гО Х,)", ( — 1)'(2г+ 2) Вгг,,'+2~Лггг,г(2й сЫ г) [[сЬ 2 [ > 1[; М 196(12) г О гег +г (О, гггЕ2 +г ( 2 " т) Х 1„2 (Идггг+2)(г 2 гО Х ~~~~~ ( — 1)г ВЫ+2 [У (йе ')Фг,г(йе) — Уг,г(йе 1.(У (йег)[. М 301(9) г О 1.
Рей,(г, р)= *"','~ ~ ( — 1)'42',"1К„( 21йэ ) йг=р [[ОЬг~ > 1, Вез > О). М 197(6)г 2. Гейм,„(2, д) = '" '„~, сСЬ г г,' ( — 1)г(2г+ 1) АЯ++,"К,„.,( 2дйаЬО), г=е й~=д [(ОЬя~) 1, Нег)0). М198(9), /л (ги+1) 3. Ое(тг +д(г Ф)= „„,) (ЬО 'Я (2г+1)Вгг+д гХ ( — 2юйсЬа), йВ(1 +И г О М 198(11) 4* хейг г(г У) =,,2„+21 1Ь г ~~~~ (2г+2) Вгг+2~1К 2.2( — 2дй сЬ а]. г О М 198;14), 8.67 Обшая теория Общее решение ураинения 8.60 может быть найдено (если д(д нв есть.
целое число) в виде 8.671 1. р=Аевг ~ сг„ег~д+Ве — 1'* ~~ с,„е 2 д. Коэффициенты сдг определиготси из однородной системы линейных алто браических уравнений 2. сг,+Е,„(с„„+сг„г)=0, г=..., — 2, — 1, О, 1, ', ..., М82(1) где Ч $ (2г — г(д)г — О ' 1012 8 — 9 сшгциальныв юункции Условие совместности этой системы дает уравнение, которому должно удовлетворять р. $ 1 $ О 000.
0 Цт1 ~ 000. О О ~ 1 $00. О 005,1'ВО. МВЗ З) 3. Л(ср) = Это уравнение мопсет быть записано также в виде 4. сЬ ря = 1 — 2Л (01 зсп ( — ~, где Л (0) — значение, которое приз Г я1Га '~ 2 нимает детерминант предыдущей таблицы, если в выра>ссеяиях для положить р= О. М85 (2), ВТФП1101с15) и 5 Если пара а, д) такова, что (сЬ)ся) < 1, то р=ср, 1ш1)=0 и решение 8.671 1 ограничено па деиствительпой оси. 6.
Если ~ сЬ ря~ > 1, то р — действительное или комплексное и реглеиие 8.671 1 не ограничено яа действительной оси 7. При сЬ ря= з- 1 с(с — целое число Одно из решений имеет в э1ом случае период я или 2я (в зависнмосси от тосо, четно и или не четко); второе репнине непериодвчно см 8.61 и 8.64). 8.7 — 8.8 ШЛРОВЬ)Е (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 8.70 Введение 3.700 Шаровые функции являются решением дифференциального уравнения 1.
с1 — зэ) — — 2г — + [т(т+1) — — 1 и =О, сГэ аи г р' ам ~э 1 — ы в котором т и р являются произвольными комплексными постоянными Это уравнение является ча гтным случаем г и п е р г е о и е т р и ч е с к о г о (риманова) уравнения,см. 9Л51) Точки +1, — 1, со являются, вообще говоря. его особыми точками, а именно обыкновенными точками ветвления 11птерес представлясот, с одной стороны, решения уравнения, соответствующие действительным значениям везэзисимои пере нспнои г и лежащие на отрезке ( — 1 < з < -~- Ц, с другой стороны, репыяяя, соогвегствующие любому комплексному значению г.
для которого Вез > 1 Эти последние в плосьости з многозначны, для выделения однозначных ветвей этих фупксспйс проводится разрез вдеть действитолшшй оси от — со до + 1. Далее нас интересуют те репюнпя уравнепвя 8.700 1, для которых т или)с или т и р суть целые числа Особое значение имеет тот случай, когда р=О. 8.701 В соответствии с этим мы будем пользоваться следующими обозначениями Вуьвой х мы будем обозначать любую комплексную величину, чсуквой х мы будем обозначать дейст ви тельную переменную, изме- 1018 8.7 — 8 8 ШАРОВЫЕ !СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ няющуюся яа отрезке [ — 1<х< +1]; мы будем иногда полагать х= сов!р, ГДЕ !)! — ДЕЙС1ВКГЕЛЬНОЕ ЧИСЛО.
Символами Р~Р(8), ОР(х) мы будем обозначать те решения уравнения 8.700 1., катер!ее прн ]8( < 1 одноаначны и регулярны я, в частности, однозначно определены при г = х Символами Р~У(з„~", (з) мы будем обогнача гь те решения уравнения 8.700 1., которые прп Вез > 1 однозначны и регулярны; когда эти функции не могут быть нео!раннченно продолжены без нарушения нх однозначности, то пронззодят разрез вдоль действительной осв слева от точки 8=-1, Значения функции Р',(е) н 1,)" (8) на верхней и нн1кяе!1 гран!щах части разреза, лежащей между точками — 1 н + 1, обозначаются соответственно так: Р,"(х н- !О), Я" (х + 10). Буквы и, ш означают натуральные числа нли нуль, Буквы т, )х, если нет никаких оговорок, означают любые комплексные числа.
Верхпни индекс, если он равен нулю, опускают, т. е. полагают Я„(г) = Оу 18). Рм (8) = Ру (з), Р'(г)=Р (г) 0'(з) = (). (8) Две линейно независимые функции 8.702 Р~18) Г(! ) ( — 1) г ( — У, У+1; 1 — р.; ) аг8 — = О, если з действительно и болыпе 1 ~ и г+ 1 8 — 1 ' "'Г( +р+1)Г( — ) 8.703 ф(8) =, ( )(88 — 1)зе "-!'-' х 2"'! ! Г (т+-) МО 80, УВ П 122 (т+)1+2 У+в+1 3 . 1 2 ' 2 ' 2' ее~ агй з = О, когда з Х109 (44), МО 8О ! 1 8.704 РР(з) = —, [ез Р'"(сов!р-(- 10)+ е з Р",(сов!р — 10)]; ВТФ1 143(1) Г 1 — ( ! ) Р( — т, У+1; 1 — )1; 2 ) . ВТГИ1143(61 [агй ('88 — 1) =- О, когда г действительно и больше 1; доиствительно и больше нуля], являющиеся решениями дифференциального уравнения 8.7001., называются шаровыми функ!раями (илн присоединенными фу!1л1)изми 7еэ!сандра) соответственно 1-го н 2-го рода. Опи определены и притом однозначно соответственно в областях )1 — з( < 2 и [х! > 1, из которых исключена часть действительной оси, лежащая между — со н +1; с помощью гипергеометрическях рядов онн могут быть нео!раниченно продолжены на всю 8-плоскость, в которой сделан указанный разрез.
Эти вырая!ения для Р,"(з! и 1),(з] теряют смысл, когда 1 — )8, соответственно т+ —, являются Р 3 целыми отрицательными числами нли равны нулю. МО 80 Когда г — действительное число, лежащее на отрезке [ — 1, +1] ',з = х = соз !р), за линейно независимые решения уравнения принимают функции: 1014 8 е спицигльныв Фътнкпии 1 8 705 //в(г) = — е-Р'" ~ е х Я(х+ вО)+ ей (Ф~ (х — в01 ~; ВТФ1 143(2) ВТФ/ 143(13) При и, = -ь т целом последнее равенство теряет смысл; для этого случая при помощи предельного перехода получается. 8.706 й. /;/, (х) =( — 1 "(1 — х*)г — (/„(х) (сравни 8.7521). ВТФ1 149(7) 2 ()„~(х) =( — 1)'" ( ~+ ) ()„(х).
Г (т+т+0 ВТФ 1 144 (18) Функции ()" (г, при т+р, равном целому отрицательному числу, не определены Г/оэтому из последующих формул с л е д у е т исключить случаи, когда т+р= — 1, — 2, — 3, Линейно независимыми решениями дифференциального уравнения при т+/г чь О, ь 1, *2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
