И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 92
Текст из файла (страница 92)
В 231 8. (Л (< (2«)«в" (2в + 1)) Г~ « — 2в — ) 1 2) «Приближение таигенсамиэ 8.452 Для больших значений индекса (аргумент меньше индекса). Пусть я > 0 и ч > О. Положим — = сЬ а. Тогда для больших аначений и справедливы разложения: к «ч ехр(чжа — ча) Г 1 ~1 5 111+ -( -с1Ь а- — сФЬ« а ) + «~.сап~ р'2 л()ка 1), «(,8 24 ') -(- — ~ — с$Ь«а — — с$Ь«а+ — с1Ь«а)+...~. В269(3) Г 9 231 1155 «« 'ч,128 576 3456 — ч 1)к а 2 1 Г 9 «231 «1155 + — ( — ссЬ«а — — с$Ь«а + — ссЬ«а ) +... ~ . В 270 (5) «о (, 128 576 3456 62 та«ииии ии««гр«иов Л 3 1 При — — < агйх < — л, ч действительном н и-)- — > (р( 2 2 2 )6,( <'1, если 1шх>0; )6,(<(зес(агдх)), если 1пкз ~ О. В245 При — —, и < агах < —, ч действител~но~ н и+ — >')т) )6«( < 1, если 1шз<0; )6«( <)еес(агйх)(, если 1шх>0.
В 246 При ч действительном ) Оз ~ < 1 и Ке О, > О, если Ке з . 0; (Оз( < )повес(агйг)~, если Кех <О. В 245 1 Прн и и з действительных и п>ч —— 2 О<)6,(<1. В 231 Из 8.451 7. и 8.451 8. следует, в частности, что прн действительных положительных значениях г и и погрешпоски ()к,( и )И ( меньше модуля первого отброшенного члена.
При значениях ~ агап г (, близких к л, ряды 8.451 1. я 8.451 2 мок ут оказаться непрнгоднымн для вычислении; в частности, погрешность при ~ агах( > я может оказаться больше первого отброшенного члена по модулю). 8.» — 8.» цилиндгичвские Функции и е)гнкции, свяаанныи с ними 979 / ! величина погрешности О ( — ) прп атом меньше ~,)т!) Абсолютная 243/2 ~ — ! . 8 [и > х( ('см. также 8.433); В 276 (1) г г' х х )/2!г — 8(у [е( — 9 ) ~ [Р( — ю )) з (см. также 8.441 3., 8.441 4,). В 276(2~ ~~2(х — л) р ~(2 (х — л))г 1 ~(2 (х — л))г ~ ~ 8 8 [х > я[, В 276 (3) Оценка погрешности в формулах 8.455 до сих пор не получена.
Г( й 1) 8.456 l',(г, +Л)х(г) =— 2 (2й — !))! 2 й! Г т — й -)- ~ ) [[агаг( < я) [см. также 8.479 1.). В 250(5) 8.457 Л(х)+У4+,(х) - — [х >)т(]. В 223 8.46 Цилиндрические функции, индекс которых равен целому числу плюс одна вторая Функция у,(г) 8ь16! г( — ") ~(г = у — а(п(г — —,я) У,, ' + Г2 Г, Г л ! !)»! +2й)! + — У лх (». 2 ) ай))! — гй)! (28)8» 8 »=д ( — ",') -)-сое г — —, и л 1 д ! — ))» (л+2й+ !)! / Х) (2й+ !)! (л — 2» — ))! 28)~»+1~ [я+1 — натуральное число', (сравни 8.451 1.), Ку59(6), Вбб(2) 62» 8,455 Для х дсбствнтельяых и т натуральных (т=я) при л >1 имеют место следующие приближения:  — О, СПЕЦИВЛЬНЫИ ЮУНКЦИИ Ж) 2 В=О "(М вЂ” в(п г+ — и ) 7 (+ ) У и ( — 1)в (в+2в+ 01 (2й+1)! !е- 2А — !)! (2в)ы в) В=О (я+1 — натуральное число'! (сравни 8Л151 1.).
Ку59(7), В67(5) 8.462 1. / в(г)= — О'* ~~в +е 1 Г „~в ! "" '( +А!! - 'Чв ( — 0 ' '( +В)!'( г*'ч ) [и+ 1 — натуральное число]. Ку 59(6), В 66 (1) в в х,) ' х~ 2 '""(".4-"м .~.,- в (=..9.:.',~."вн~ ~'2дз ( В! (в — й!! [2в!в В! !и — В)! 12в!в ) '(и+ 1 — натуральное число), Ку 59(7), В 67(4) Ку 58 (4) Ку 58 (5) 2 8А64 Частные случаи: / 2 Функция Ж,,г) в+- ' в ЯЭ 227 ЯЭ 227 8.463 1 у— 1 У 1(г, ( 1) в „в+ ~ 2 У' Гвшв~ — у-." ~ ° г 2. У 1(г = ~/ — сова. / 2 пв / 2 Гв~ав 3. / ( ) = 1/ —, ( —, — в г) . 2 / 2 / .
Сов в'~ 4. У в г) 1/ — ( — в(па — — /! . % Пв 5. )1 (г', 1/ — ~ ( — - 1~~ в(п г - — сов г~ . пв !(~ вв ) в 2 6. У О(г)= ~~~ — в(нг+( —, — 1) совг) . ЖА65 1. Ф 1(г) (-1)" в/ 1(г). 2 у (г) = (-1)" у 1(г). г в Д (809.01) Д (809.21) Д,809.03) Д (809.23) Д (809 05) Д (809.25) вл — в.в цилиндвичискии Фтнкцни и эвикции, связаннын с ними 981 Функции Н" ««(х), / «(гд К «(х) сс — « — « "е«* '~'„( — 1) — „(сравни 8.451 3.). «г (с«+«с — !)! с-о сс-« г-о ! Гег 'Я ( — 1) (с«+ сс! +( — 1)гые г 'Я (с«+сс)! )с 2яг, ! е! (в — «с)! (2г)" г! (а — сс)! (2г)") (сравни 8.451 5.!. Ку 60 и 1 Н«! «(г) 2.
Н'х' «(х) = « 8л167 I « (х) (-+г) сс 8.468 К « (г) = 1/с — е ' 'Я "+ + х 2г «с! (в — «с)! (2г)" 8.469 Частные случаи: / 2 1. Н1(г) = — вг/ — сов г. /2 2. Н «(х) = ~с — в!пг. кг г (сравни 8.4Ы 6.). Ку 60 1~~ е-г *- Г 2г г В 95 (13'т МО 27 5 Н) «(х)= ~ —. 2 6 Н««),(,) $/2 .. х МО 27 МО 27 Н «(х)= )/ 2 е'*.
МО 27 8.47 — 8.48 Функциональные соотно«пения 8.471 Рекурреятные формулы: 1. г2 «(г)+гЯ ««(г)=2тЕ„(х). Ку56(13), В56(1), В79(1), В88(3) 2. Е» «(г) — Е ««(г) 2 — Я„(г). Ку56(12), В56(2), В79(2), В88«4) С о н и и и Н и л ь с е н при построении теории цилиндрических функций определялн эти последние как аналитические функции г, удовлетворяюп«ие рекуррентяым соотно«пениям 8.471. 8.472 Следствия нз рекуррентпых формул: 1.
х — Я„(г)+»Я„(г) = х2» «(х). Ку 56(11), В 56(3), В 79(3); В88(5)'  — В. СПКЦИАЛЬНЫВ ФУНКЦИИ 2. х — „Е,(г) — тЕ (х)= — гЕ ~~(г). Ку56(10), В56(4), В 79(4), В88(6) 3. ~,—,,) (2.Е,(х))= ° Е, „(.). Ку 56(8), В57(5), В89(9) (" ) (-Е ())=(-1 Е, (). н89(10), Ку55(5), В57(6) 5. Е „(з)=( — 1)" Е„(з) [в — натуральное число) (сравни 8.404). 8.473 Частные случаи: 12(х) 12(х) 1В(г). 2 2. й~(г) = —,ФВ(з)-Л'В(г).
2 3 Н7 "(з) — -'Н" ,"(з) — Н3' " (г) 4. — 1 (г) — 1,(х). ех уЛ'е(х) = -АВ(г). 6. — "Н~У'~(г)- -Н","(з). 8 474 Каждая ва пар функций 1„(г) и 1,(г) (м че О, В- 1, В- 2, ...); 1„(г) и Ф (г); Н~'~(г) и НД~(г), служащих решениями уравнения 8.401, а также пара функций 1„(з) и К (х) представляют собой пары линейно 1. 1„(е " х) = е"'"'т.1, (з). В 90(1) 2. Л1 (е г) = е — ' 'Л'„(г)+ 22 в1п ттп с$3 УВВХ,(г).
В 90(3) 3. Л1 „(в~'х)=е "'"Ф,(х)+22в1пттясовестяl,(г). В 90(4) 4. 1„(е""в г) вв'~ 1„(г). В 95 (17) 5. к„(е'"т г) = в-'""" к„(г) — Вп — '", ™ —" 1„(з) (У не равно целому числу). В 95 (18) Н(1)( ~~~~ ) -~~~~~Н(м( ) 2 -~хВю" ~~~1 ( ) ВВВ хв в!и (1 — В1) УЯ к» .. щ~ вш пъУп Н~х) ) 22е (х) В В4й УЯ Х2В УЯ В 95 (5) независимых функций. Вронскианы этих пар соответственно равны 2 2 41 1 — взп тя, ях ЯВ' ЯВ* Х КУ52(10), Ку52(11), Ку52(12), В90(1), В90(4) 8.475 Функпия 1„(х), Л~ (х), Ны' '(з), 1„(г), К,(з), за исключением 1„(з) при и целом, неоднохиачны; г=О служит для пнх точкой ветвления. Ветви этих фушщий, лежащие по равные стороны от разреза ( — со, О), связаны соотношениями (обхода); 8.476 зм — з.ь цилнндвичвские Ф1унпции и Фтнкпии, связаннын с ними 983 Н„' ' (е 'г)=е — 'Н'„м(г)+2е»ву з .
т у»(г)= з1в»я з1в(1+т)»я Н1г1 1 )»в,тв т»(1 1» мв»л з!в»я В 90 (6) [в1 — целое число). МО 26 8. Н1»" (еуууг1= — Н"»1(г)= -е — "' Н',~1(г). 9. Н1'(е-1вг) = — Н~'»1(г) = — е "Н„'" (г). 10. Н'„"(г) =Н'," ( ). МО 26 8.477 2 1. У»(г Х»+1(г) — У„.ь1(г)Н Гг) = — —,. 1 2. У„(г) К»+1 (г)+ 1»+1(г) Х, (г) = — . См. также 3.864.
Связь с шаровыми функциями см. 8.722 Связь с полиномами С~11) см 8.936 4. Связь с вырожденной гипергеометрической функцией см 9.235. В 91 (12) В 95 (20) , > 2 [У,"-(х)+Н»У(х)), [ х>т> 11 (см. также 6.518, 6.664 4., 8.456). МО 35 2. (у„( ((»1 [~ у — — )<(, — уу * ). ИОуу 1+у 1-. »У Соотношения между цилиндрическими функциями 1-го, 2-го и 3-го рода 8.481 У»(г) .
' = Н»~ (г) — гУР» (г) = 1'" — » 09 — 1"» 1г) соз»" (11 =Н' ~(г)+ 1Ю»(г) : 2 (Н»0(г +Н»~'(г)) (сравни 8.403 1., 8.405). ,у (е) соз»я —,у „(г) О) № (г) =, " = ьу»(г1 — 1Н„(г) = В 89 (1), ЯЭ 228 = юН~~(г) — юу»(г) = — (Н1» ~ (г) — Н1»н (г)) (сравни 8.403 1., 8.405).
В 89 (3), ЯЭ 228 8,478 При т > 0 и х > 0 произведение х[Х'(х +Л~,'(х)), 1 рассматриваемое как функция х, монотонно убывает, если т > —, и монотонно возрастает, если 0 < т < — . 1 2 ' МО 35 8.479 г — э, спкдизльныв Фз'индии 8.483 1 „(г! — е ~',У (г! 1» (г! — ч ~Л„(г! -ч ч — ч ч 1 (г) [ 1)(! (г! В 89!5 Н' !(г! 8.484 1. 2 Н' ! (г) = е"" Нч ' (г). Н~ ! (г! г — ччаН~ !(х).
В 89(7) В 89(7' 8.485 ч (г! — 1» (г! М [т не равно целому числу] (см. также 8,407) екУРРектвые фоРмУлы и из с!уеДствик Длк фУнкЦий 1»(г! х1» —..г) — х1»< ! (г) = 2ч1„(г). л 1» ! (г)+ 1 ь~ (г) = 2 — 1» (г). И г — 1 (г!+т1»(г)=г1„~(х). к зз — 1»(з! — ту ~г)=х1.ь~(з). ~ — ",„,)™(~.1.(г)) =. — 1, (х). [ — ) (х-»1»!г))=г- 1, (х). 1 „(г)=1;,(г) [л-натуральное число]. 2 1 (г)= — — 1,(г)+1 (г). зг1е г)= 1г(х).
в гК», (з) — гК».ь! (г) — 2тК (г). Кч-~ (г)+К„+ю (г) = -2 — Кч(х). 4 в' г — К„~г)+»К»(г)= — зК,, (г). г — Кч(з) — мК»(х, — гК ~, (г). зг (.'. Ь) ( »К (*Н=( — 1)" " "К- () ~ — зг) (г л.ч (зИ = ( — 1) г К +ю (г). К ч(х)=К»(г). Кг (г) = —, Кг (г) + Кч (г) 2 д —,Х ( )= — К (г). В 92(6) и Кч(г)". В 93(1) В 93(2) В 93(3) В 93 (4) В 93 (5) В 93(6) В 93 (8) В 93 (7) В 93(1) В 93(2) 12 В 93(3 13 В 93(4) В 93 (5) В 93(6) В 93(8) 18 В 93(7) <х! ч»жу»(ч! — у ч(г! Л!»(г! — »™Л1»(ч! в г!в чк 3!в чя (сравни 8.405). В 89 (6 в.е — в.е цилиндпичвскнв функции и фпнкции, связдннып с ними 985 8.487 Непрерывность по индексу е): В 76 1 Вш.(»'»(г) =(»'н(х) » -» е 2 )1 ж'"(х)=8'(1 "(х) » е 3.
Вш Х» (х) = Ке (г) (и — целое число(. В 183 В 92 С . 8.401 8.491 1 ЯЭ 237 и= Е»(рхт) ЯЭ 237 и = О, и = х"Е» (рхт). ЯЭ 237 и = )/г Е„,()хт). ЯЭ 237 10. и" + — и'+ — — =О, 1 — », 1 в з 4 з и= в Е»()/х). й+3хувх® — хи=О, и=ххЕ, (ухе). В 111(9) и хеи'+ (2а — 2рп+ 1) ги' + [~Руехи~ + а (а — 23щ и О, и = хе» вЂ” пЕ~(ухг). В 110(3) 12. 8.492 и'-(-(ег' — тз) и =О, и = Е (е*). В 112 (21) В 112 (22) ° е — »е 3 й+ — и=О, и=хЕ„(е ). е) Непрерывность по индексу для фуннпнй Х„(в) п У„(з) следует непосредственно пв представвеппп атпх фунпппй с попощыо рядов. 8.49 Дифферевпвпльтпте'урпввепип.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
