И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 90
Текст из файла (страница 90)
4. у ( —,, хз) = )/ яФ (х). ВТФ Н 143 (1) ВТФ П143(2) ВТФ П 147 (2) ВТФ П 147 (1) 8.36 Пои-функцня1 ф(х) 8360 Определение: 1р (х) = д 1н Г (х). д 8 361 Интегральные представления: (Кег > О). СО 2. 1)(з)= ~ ~е ' —,) — (Вез> О). о НГ183(1), УВ1120 НГ 184 (7), УВ П 21 Р 1Л1 о 1 4. Ср(з)ОО ~ ( „— — ) 118 (Вес ),1). 'о УВП26 УВ П21 СО 5. т(г)= ~ т О1 1)г — С, о СО 6.
1р(х)= ~ Ц1+й) ' — (1-)-й) *) — — С, о ! 7. 1)(а) = 1 сГ-С С гс-1 1 о УВП 37 (Вел ) О). УВ П 37 Ф П 796, УВП 37 8. ър(з)=1вл+ ~ е "~- — — — =-г-~ Й ~~агбар~ < —, о См также 3.244 3., 3.311 6., Зс317 1., 3.457, 3.4582., 3.471 14., 4.253 1. н б., 4.2752., 4.2814., 4.482 5. Интегралы от нси-функции см. 6.46, 6.47. М04 Представление в виде ряда СО ф(х)ОΠ— С- ~ ( — „—, ); / 1 1 о=о СО 1 1 = — С вЂ” — +* Я Й (Х+СС) ФП799(26), Иу26(1) Ф11495 2.
$(х)=)вх- 'Я ( + — 1п(1-)- — ) ~, о=о М04 о.о енлнгсвы интнггалы 1-СО и о-ОО года и годствннныв нм этнкцни 957 о — о. спицилльпыв о уннции Л~ г 1 1 3. 1р(х)=-С+ — (х — 1) — (х-1) ~~ (,— — — ) ~', —. 6 ~, й+1 х+й.) х+х . В=1 и о НГ 54 (12) 8ь363 ОЭ 3. ф (х) — 1р(у) = 'Я ~ — — — ~ (см. также 3.219, 3.231 5, 3.311 7,, г (, у+й х+й 1 «-о 3.68820., 4.253 1,, 4.295 37.). 2у~ 4.
чр(х+ гу) - ф (х- (у) = ~ —" у'+(а+йу ОО 5. 1р Я = — С+ Я ( — — й ) (см. также 3.244 3.). НГ 29 (1) о-о «:(%'-)- 6. ф ~ — / = — С вЂ” 1дд — — с16 — +2 ~ ~сов — )на(в Г р~ я,оя тз Г 2йря . йя ч ч ч ч.) В 1 (у=2, 3, ..., р=1, 2, ..., д-1). М04, ВТФ1 19(29) х со 7.
гр ( — Р) — ф ( — ") = д ~~)~~ ~', ( НГ 59 (3) х=г А=о НГ 99 (3) Представление в виде бесконечного произведения 8,364 4Ю 1 — ! 1. ее( > хЦ (1-~- — (е '+". х+й ./ НГ 65 (12) х 2. ехо( ) — ~~~~~ П ( 1+ у '1 е "+л. Г(х) А.Е ~, х+й,/ о о См также 8.37 Связь с дзета-функцией Римана см. 9.533 2. Связь с гамма-функцией см. 4.325 12., 4.352 1.
Связь с бэта-функцией см. 4.253 1. НГ 65 (11) 1. ф(х+1)= — С+ 'Я (-1)" ~(й)*'-г. о г СЮ 1 я хс 2. ~((х+1)- — „, — 2 снях — 1, — С+,5', [1 — ((2й+1)) хгь. НГ 38(16) з.э энлвговы интиггллы сто и з-го годл и годстввнныв им етнкции 959 Га 154(64) и МОЗ Га 155(68) и НЭ 109 и ЯЭ109и Га 157 и Га 157 и ЯЭ 109 и Ряды пся-функций см.
8.4032., 8А46, 8А47 3. (цилнкдрвческяе функ- ции), 8.761 (произподные от шаровых функций по индексу), 9.153, 9.154 (гикергеометрическая функция), 9.238 (вырожденная гипергеометрическая функция). Интегралы от пси-функций см. 6.46 — 6А7, 8.365 Функциональные соотношения: 1. ф(х+ 1) =ф (х)+ —. 1 ЯЭ 109 и 2. $( — ) — ф( — *) =2[1(х) (сравни 8.370). ч — 1 3. ф(х+ и) = ф(х)+ ~>' —. "+' ' 4.
$(п+1)- — С+Х вЂ”,. 1 ь-~ 5. 11т [ф(с+и) — 1пп)=0. а — 1 6. ф(пх)= — '~ ~ф(х+ — )-1-1пп [п=2, 3,4, ...). МО3 в 7. 1р(х — п)=ф(х) — 'Я вЂ”. 1 8. ф (1 — х) = ф (х) + н с16 пз, 9. ф ( —, + г) = ф ( — — г) + и $8 лг. г' 3 10. ф( — — и ~=ф( — +п)+и [и — натуральное число]. 8.366 Частные значения: 1. ф (1) = — С (сравни 8.367 1,). 2. ф ( —,) — С вЂ” 2 1п 2 = — 1,963 510 026 ... Га155и т(2~ ) + ~Х 2а — 1 ь=! 4. ф( — 1= — С вЂ” —,— 31п2.
4/ Га 157 и 5. ф ( — ) = — С+ — — 3 1п 2. ~з я ~,4) 2 6. ф( — ) = — С- — ~ — — — 1пЗ, я /1 З [~З) 2 К 3 2 Га157и /2~ и /1 3 7. ф( — ) = — С+ — 1т, — — — 1пЗ. 2 т З 2 8 ф' (1) = — = 1,644 934067 ... ЯЭ 109 и 9, ф' Я =~2 =4,934802201 ... 960 а — э. Сйнниьльныв Фъ'нхщив 10. ф'( — п)= оэ и-! и! -! ! И. р'(п)= е-',). — „и 12. !(! ~ 2 +и) 2 4 ~~~ (2й — !!! й=! 1п — число натуральное]. ЯЭ 109 ц и 13. !р' ( ! — ) = — „+ 4 Я ь=! 8.367 Эйлерова постоянная: ФП 795, ФП319 ФП801 и Ф П 804 ФП 807 Ф П 807 Д (852.3) МО 10 МО 10 ФП795, ФП802 Д(852.4), МО 10 С= — ф(1)=0,57721566490... ь — ! 2. С = 11ш ~ ","!' — „— 1я п~ . ь=! 3. С= 1!ш ( ~(х) — — 1 . х !+О ! х †!! Интегральные представления: 4.
С= — ~ е '1я1Ф. о 5. С= — ~ 1н(1в — ) й. о 6. С=1~ ~ + о 7. С= — ~ [созт — —,~ —. о о 9. С= — ~ '!ее' —— о 10. С= — ~ ~е ' — — „, ~ —. е 11.С=1[ ~ — ! 1 Ю. о ! 12. С = ~ (1 — е ') — — ) — сК ФП802 о ! Ом. также 8 3615. — 8.3617., 3.3116., ЗА353.
и 4., ЗА762., ЗА811. и 2., 3.95110., 4.2839., 4.3311., 4.4211., 4.4241., 4.553, 4.572, 6.234, 6,2641., 6А68, 13. Лснмптотические равложения: а-1 ! 1 1 С= ~', — „— 1В)о+ — „+ а-1 1 ! — + — — — +.. ° 220Й4 252аа 2асьа 8.37 Функция [1 (ж) Определение. 8.370 [)(х)= —., 1ФЖ)-Ф®1 8.371 Интегральные представления.' НГ 16(13) рг-! 1.
9(х) = 1 — о9 [Вех > О]. ,1 1+-Ф о 2. [)(х)= ) —,г(2 [Вер ) 0'1. Й со 3. 9 С +Л = 1;— ,*,'а [Ве* >О) (сравни 8.371 1.). о См. таниге 3.2411, 3.251 7., 3.522 2. и *, 3.623 2. и з., 4.282 2., 4.3893., 4.532 1. в 3. УВП39 М04 Представление в виде ряда 8.372 НГ 37, НГ 101 (1) 1. 6(х)= „~1,+,, а=- ~ 1 Р(х)=Х ( + 21<*+2 -+11 ' О 1 %\ 21 1 3. [)(х)= — ~~ „+1) +в) — „ а=о НГ 101 (2) НГ 246(7) 8.373 [) (х + 1) = ~~ ( — 1)"" (1 — 2' ") ~ (Ж х" '. а.— 1 [)(х+1)-,— ' — ' +, ' . — ',Я [1-(1-2 ва) в(2Ь+1)[хва. о о НГ 37(5) НГ 38(11) НГ 37 (2) оо 8.374 61"'(х)=( — 1) я( ~~~1 (~,1„г а-о Ва Таблллм аагагралоа 2.3 ОЙЛКРОВЫ ИНТКГРАЛЫ 1-го И 2-го РОДа И РОДСТВЕННЫК ИМ 'ЭУНКПИИ 961 962 в — 9 слвциальнын Функции Функциональные соотношения 8.376 'Я (- 1)е ф Ц~ ) = (2н-)- 1) [) (х).
е-е 8.377 Х [)(2"х)=ф(2ех)-ф(х) — пЪъ2. й ! НГ 19 НГ 20(10) 8.38 Бета-функция (а6леров интеграл 1-го рода): В(ш, у) Представление в виде интеграла 1. В(х, р)хх ~ Р1(1 — 1)" гете); ю 1 = 2 ~ 1".1х 1(1 — Р)в 1ен [Ке х > О, Ве у > О]. е 2. В(х, у)=2 ~ жввх г1рсовее 1<рйр [Вех > О, Веу > О]. Ку10 е сс СО 3. В 1*, у) = ) , „ х 2 ~ р ,„ й 1н * ) О, Я у ) О!.
е ФП 774(1) ФП 775 1 -1 М07 61 + 1- + В(х~ у) ) (1 ) 1)хчю ~ ~ (1 ) 1)х~в а БХ[1](15) 6. В(х, р)=2 —,„, ~ [(1+1)х '(1-1) + а +(1+1)е 1(1 — г)* 1] 111 е) Вхо равенство служит определением функции В(х, у). 8.375 Представление в виде конечной суммы: ('=,') 1. [) ~ — ) = — — 'У сов ~р~ и р 12х+1) л Г 1в ~2-2сов (2х+ 1) и'~ ~а1 Ч 2в$а — е е в [9=2, 3, . „р 1, 2, 3, ...] (см.
также 8.3625.— 7.). НГ23(9) х — 1 2. [)(а)=( — 1)""1а2+",~,* Π— Э. С11ЕЦКАЛЬНЫЕ <РУНКЦИИ Представление в виде ряда 1 В ) — — — 1) В ~1 ( а)(х+а) УВП36 1 — (1 — 2 оо) Ь (2»-[- 1) + ~) 2»+1 [~х(~ 2). НГ39(17) 3. В (з' 2) ~ 2"», +» (см.
также 8.384 и 8.3 )9). 1 ~ (2»+1)!! 1 о — о УВ П36 8.383 Представление в виде бесконечного произведения." »(х+т+») В(х, у)= 11»)( +») о о 8 384 Функциональные соотношения для бэта-функции: [х, у~О, — 1, — 2, ...1. М02 Ф 11779 2.
В (х, у) В (х-(- у, х) = В (у, з) В (у+ г, х). ОО 3. ~' В (х, у -(- й) = В (х — 1, у). »=о УВ1139 Связь с пои-функцией см. 4.2331 8.39 Неполная бэта-1рункцпя В„(то, 9) В (р, д)ах ~ Р 1(1 — 1)О 11И= — ОР1(р, 1 — д; р-1-1; Х). о ИП1373 п,(р, о) х(р. 9)= и( ИПП429 4.
В(х, х)=21 охВ( —, х)(см. также 8.3809. и 8.3823.). Ф11784 5. В(х, х)В (х+ —, х+ — )— УВП38 1 (и+ т — 1) (а+ пь — 1 ) [т и я — натуральные числа) 8 — о. спкпиАльНЮИ Функции Ф. 1„(х) =е 3 .г„(е0 х) ~ — к<а ах<Я . ~ — < до~к~ . В 92 3 3 2.,Х' (х) = е* Х„(е 3 х) В 92 При т целом 3.
7„(х) = 3 ".7„((х). ° ' 8.407 Ку 46(1) л Ж~ (х) = 2 о Во (13) В 92(8) 2. 31„(Х) = — Е 3 Н'оо ((Х) Дифференциальное уравнение, опредекяклкео вти функции, см. 8.494. 8.41 Интегральные представлении с3ькцн" (х~ и Л„(х) л 7 (х)= — ~ е — о+оома 8,10; 1 — л — сов(ИО-хвшО) 89 1 Г (л — натуральное число1. УВ 11172 ,г (х)= — ~ сов 2ИОсов(хвшО) 810= — ~ сов 2ю0 сов(хе(о 0) 8В 1 Р 2 à — к~ к ) о о 1к — целое число). В 30(7) Х „.,(х)лл — $ вш(2к+1)0вйг(хв1ИО)М= о л 3 2 = — ~ яп(2к+1)Овш(хв(ИО) ~(0 1к — целое число(. В 30(6) Х„13)=2 ~ в1пх Осев(хсовО)М с-> р т+ — ')Г ~йет) — -1 Ъ'В 11 178 С-.*)" 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
