И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 93
Текст из файла (страница 93)
приводпп(ие н цилиндрическим фупкпппм — — „(ги') + ()Р— — з) и О, и *= Е» ())г). — — (ги')-(- ~ (руге-1)в — ( ~) ~ и=О, 1 — Уа, ~()) х», в а* — »Уе~ й + ~ (0ух» — ')в — —, ~ и = О, 4»еуе — 1 ч 4»* — 1» й+(рв — —— ,-у — )и=О, и* у гЕ»(()хь й+ и'+(()в+. ", )и=О, » и=гпЕ»фг). 1в+2. г х(/ь и»+ 4х~и 0 и у~'г Е ( х 2 т.1-2 — '». »в+2 й+ —,и'+4(х' — —,)и=О, и Е„(х'). 1, 1 ~ »зь и'+ — и'+ — (1 — — ) и = О, и = Е» (')/х). з 4з~.
з) ЯЭ 237 ЯЭ 237 ЯЭ 238 В 111(5) ВШ(8) В 111 (7) 986 8 — 8. СИБЦИАЛЬНй1Е сРУНКНИИ 8.493 й+ ( — — 228 г) и' — ( —, + — ) и = О, и = хесг 2„(г). ЯЭ 238 /м* газ~ 2. й+( — +2ссдг) и' — ( —,— ~~ ) и=О, и=сохссгЕ„(г). ЯЭ238 8.494 1. и'+ — и' — (1+ — ", ) и = О, и = 2„(12) = С,7„(х)+ СхК„(г). ЯЭ 237 2. й+ — и' — ~ — +( — ) ) и=О, и=К„(21'$/г). ЯЭ238 3. й+и'+ —,~ — -мх) и=О, и=)/ге 22„('~), ЯЭ 238 1 Г"'м-~-1 ~, 2 и+1 „982 /Пах'~ 4.,и +(:-7с) и' — — 12и=0, и=г — е Е, ~ — ) . ЯЭ238 1 — ч р 1 и 5.
й+ — и — — — =О, л 4 и=222 (1~2). 8 2 6. и 4- — "=О, и=)/г2 ( — г~), )/г2 ( — 12'). х 8 7 В 111(8) В 111(10) 9. и' — — и'-с'и=О, 8.495 их'~ 1. й+ — и'+( 2 — —,,) и=О, и Е„(х)/ю). 2. й+ ~ — -1- 21) и' — ( — 4- — ) и = О, и = ег'* 2„(г). ) =' 3. и'+ — и'+ее' и=О, и=2 ()/Аге~ ). 1 -а 4, й+(ее' + —,)и=О, и=~~хЯефехе ). 8 496 1. —,(гх — „,)-гЪ=О, и=-(22(21/з)+22(211/г)). В122(7) 18 8 7 8 8 2, — (х —,)-з и=О, и=х ' ~Е~( — х )+Й~» — Ы ))-. 8 8 В 122 (8) ЯЭ 238 ЯЭ 238 7.
й ~ хи=О, и=ф' 221~ — 22), )/2 21( — 12~) У % 8 8, й-( сх+ — )и*=О-, и=~г2 (1сх). Г У(У+1)~ 2 1 У+— л +1 2 10. й — сххх™и=О, и=)/22 1 1 — з'). ,( В 111 (10) В 108(1) В109(3), В109(4) В109(5), В109(6) о.о-г.о ннлиндвичвснин ехнкции и Фхнкции, связвнныв с ниии 987 3. —,(гзз —,~-гои=О, и=г 4(Я (2г ~)+Я, (242 2)). В122(9) 8.51 — 8.52 Ряды бесселевых функций 8.5И Производящая функняя для бесселевых функций: СО СО ехр 2 1 1 ~) =Уо(г)+ Х !1 +( — !Г !Уо(г) Х У (г)~ з з--а~ (~г~ < ~1~1.
Ку119(12) 2. ехр(1 — — ) 2=.) 'Я овУо(г)) ( ')' з~У (г,~ В49 з=-з» 1в — ОЗ оз 3. ехр ( -!- 42 зш ~р> =.Уо (г) + 2 '~~ У„„(г) соз 2й и 4- о=о Ю ~ 2! ~~~~~Узз.з(г)з(н(2й+1)(р Ку120(18) ! з-о ОФ ехр(згсогзр) = ф~ — ')„' (2й+1) ззУ, (г)Рд(сезар); В491(1) з-о 4+2 ззУз (г) езоо", МО 27 зо =1+2 'Я~ 4 У„(г)согйзр. о 1 'З'гз Ооз Е йово -е оозго г! е-езз(Е= — Уо(г)+ ~~~~ос У (г)созйР. МО28 1 4 зз о=з 2 МО 27 Ряды ЕУз(г) 8.512 1. Уо (г)+ 2,'2' Узз! 2) = 1.
В 44 хз (в+22) (в+2 — 1)! у / з '~в 2 Р~ вззз(г)из ~ 2 ! з о ОЭ ~~ (ой+ 1) (22 — 1)(! У (, .)У 2 222! гз з-о 2 В 45 4 йи и ези 2з~+1 и~и 2чз+1 ии з'о~ — 4о~ 1) Езо з Езз зз 4зз зз Ез ( зз и АзУ (г) + Аз!)(о г! + АзУ» (г) + А4К„(г), !Де А„Аз, 12, Ао — постоянные, МО 29 вм в.ь дилиндеичискии этнкдии и ачнкции. связвнныи с ними 989 0 Х ~,(") =С(х). вй+ 1 МО127и 8.516 В 47 Ряды Ха„3„(йх) и Хай.~й(йх) 8.517 В 615 (1) В 622 (1) МО 58 8.518 .тй (йх) 1 х :3 = — +— й 2 4 (0<х< Ц, МО 58 [О~,-х < Ц. МО 58 (0<х< Ц.
МО 58 )~ — 1)" 'Ус,(йх) = (0«Ц. МО 58 Ряды Ха,1,()сх) 8.519 Роли Функция К(х) обладает на отрезке (0<х<н) непрерывными произзодныии до х с ограниченной вариацией, то СО 1, ~(х) = — с+ ~~ адов(йх) )О < х < я), и-1 где и 2 УВ11 193 с с 2. 3. '-~~~ (2и+2й)(2и+й — 1)( У + (2вв(п61=(ге(п6) ЯР Х "( ) 21— и-с Х ( ) "( ) 2(1+с) СО с' ~~' lвй (2йв) = . ( ( 1) 1 Х Х» (йх) 1 й 2 4 ь-с ~М;(й )=2,' «-с ~-2~(0)+ — ')и ~ т! и фсу.
в и в а =- — ~ с(и ~ и7" (ив1пср)совии Йр. в — э. спнцилльныи функции 8.521 Прииеры. 1 ,'~' У (йх)= — — + — +2 ~ 2 х У~ — 4 'х' а-~ т 1 [2вя < х < 2(я+ 1) н]. ОР 2. ~ ( — 1)" Уе(йх) = 2 [О < х < н). Ф Ф Ку 124 (12) 3. 'Я ., 1„((2й — 1)х)=-- — ( — я<х<п); КУ124 = — +)/хз — пе — — — п атосов — [и < х < лп1 8 2 х МО 59 Ой 4. ~~», е-мхе(й 3/хе+ уз) = ь-1 ОЭ 1 1 +т1 + г 2 с~ 1у'(2а(я+а)~+х~+уз у (2В(я — х)~+ха+у~) ~! О» = — — — +Х вЂ” В гз р,„, Ы [0<г< 2н), МО59 А=! Ряды ~~~ааХ (йх)вшйх и ~а„Е (йх)совйх СЮ т 1. ~Р У,(йх) сов йх(= — — '-(- ~~~~ 2 у~.а ( ((г)з х С-1 Ю х ОВ 2. ~чР У,(йх) в(в йхт=— 1 Г 1 l — в Э О> [ у'(2я(+ ~х)з — хз 2я( 3 ~) 1 у'(зя( )х)ь х~ 2л1 ~ 1 х+~ где г=)Гхз+уз+зз, а под квадратным корнем понимается то его значе- ние, у которого действктельная часть поло>кительна В формуле 8.521 4. первое равенство имеет место, когда х и у действительны, а Ке з ~ О, последнее же равенство имеет место, когда х, у и в действительны.
в.в — в.в цнлинден таскин с ъ'нации н еъ нкцин, связАннын с ними 991 СО п~ в 3., ~!' Х (йж)соейх1= — — (С+'1н — 4х~+ —,„Я вЂ” + ~~~ — ~— ! — ! 1=! 1=! СО ОЭ 1 ( Ф~ (2л!+-вв)в — вв 2с! Г ~) ! р'(2х! — вв)в — хв 2л! 1 ! т+! МО 60 В формулах 8.522 х > О, 0<1< 1, 2иш< х(1 — !) < 2(ш-)-1)н, 2лн < х(1+1) < 2(а+1)а, ш+1 и н-)-1 — натуральные числа. 8.523 1 )~ Ув ( х) сое вх! 1 + в-! ! ~ — 1"" — '") вв ФВ 2. 'Я Хв(йх)вшйх1= ~~ в=! в ~-~ ( ~/(2!х ) ! )в вв 2!х3 1=! Оз в — Х 1 ( у (2!х — вх)! — вв 2!!в1 2х !.в ! ' ! а+! ! ! МО 60 МО 60 ~' ( — 1)" Ув (Ы) соа йх1 = — — + '~', 1 + 2 У„~ [(2! 1) и+в,р в + ~)~), .
—. МО60 ~/* — ((2! 1) с — вв)в ' ! ! в ев 2. Я~ ( — 1)"Ув(йх) еш йх! = ~ ф ! — „'~~ — ~-)- в ! 1=1 1=! ОЭ + Х 1 11 )/И2! 1) ) ввр в 21~ ! ! т+! ч — — МО 60 ! та+! — ( )/((2! 1) вв в„)в „в 2!н 1 ' СО 3. ~~~~ ( — 1)" Х (Йх) сое йх1 = — — ()О!+ 1н — ) + ИВ в СО ;~,4, ~),()~П2! — 0 + ) — ° 2! ~ МО 60 ' ° ! м+! р~((2! — 0 с — вв3 — ' 2)л ) ' В формулах 8.523 х>0, 0<!<1,, (2ш — 1)вв<х(1 — 1)<(2ш+1)н, (2в — 1)н< х,1+1) < (2в+1)н, ш и а-натуральные числа.
8.524 а 9. спиниальнык Функнии 3. Я Х (йх)совйх1 = — — ~С+[и — ) — Я + 4хГ У( ! — 1 )' — ' »=1 !О 1 ! 2л ~ ~ '1 у[2!л+„) „* 2!И) ! 1 ,=1 В формулах 8 524 х > О, 1 > 1, 2г!»л < х[1 — 1 < 2 (!и + 1) л, 2их < х (» -1- 1) < < 2(п-1-1 л, т-»-1 и и+1 — натуральные числа. 8.525 ,у;,— ц" у,(йх! Ы= — — '+ 'Я 2 ух» — [(2! — 1) л — !х[» 4=1 ! «»+1 МО61 «» »» 2.' ~', (-1)" У,(йх)вшйх1=,'~~ + —,~~ — + У[(2) — О л — 1х[» х» 2л а-1 ! 1 1-1 ! 1 + 1 у[Ф вЂ” цл+!х[» — ' 2!л Я !1 «» — Х вЂ” МО 61 ! «»+1 у((2! — 1) и — !х[» — х» 2[л 1 »« « 1 Г 1 1 3.
~~~ ( -11)" Ж, (йх) сов йх1 = — — С+ [и — + — 'Я вЂ”вЂ” !» 1 1 1 1 у[[2! — 1) л-- !х)» — х" 1 У[(2! 1) д+1«[» х» 2!и ) 1=1 ! 1 ' 1. МО61 ( 1 1 У[[Л вЂ” 1) — .[» — ' 1=«+! 1. Я К (йх)совйх)= — [ С+)н — ~)+ 4п/ 2х у1 [-!» А 1 «Э ~« пу~ 1 '1 1 1 +,! ! 2 «) 1 Ух»+(2!л !х)» 2!и Я 2 х-! ! Ух»+12!к+1х)» 2!л ) ! 1 ! 1 МОЕ1 В формулах 8.525 х > О, 1 > 1, (2л! — 1) и < х(1 — 1) < [2!и+ 1) и, (2п — 1) и < < х(1+1) <,2п+1)п, т и и — натуральные числа. в « — в» цилиндвичвскик с»гнкции и егнкции, связлнныв с ними 993 СО 2 У ( — 1) Кр(йх)совйИ= — (С+1в — )+ А=! ОО , г зги'+((2! — 1)я- жР иск.с я у~ 1 11 + т( 2 ~ ( у'ие-г((2! — 1)к+и«(е ! ! [х > О, г цейстэительно), (см также 8.66).
МО 62 8.53 Разложение по произведениям цилиндрических функций «Теоремы сложения» 8.530 Пусть г ) О, о ) О, !р > 0 и Л = 'г г»+ о» вЂ” 2го сов ср, т. е. пусть г, о з Й представляют гобой стороны треугольника, у которого угол между сторонами г и д равен ср. Пусть далее 9 О., г я !р — у!ол, протвволе,кащий сторопе 9, так что 1. 0<ер( —, ев«э= —, При выполнении этих условий имеет место «теорема с«озесенвя» для цилиндрических функций: СО 2.
Е«Юч(тВ)ОО ~~~ У (те)Я !И(тГ)Ес»е » — СО [т — произвольное комплексное чигво). В 394 (6) При Е, = У, и целочисленном ч ограничении о < г оказывается вэлишням. МО 31 8.531 Частные случаи: СО 1 Уе (тл) У» (тй) Уе (т! ) + 2 ~л~~ Уе (то) У„'тпгс сов й<Р В 391 (1) 2 Ов ' ! (тЛ) = У»(тй) Из'~!(тг)+ 2 ~ Ув(то) Н~»'~!(тг)соей!р. М031 СО 3. У,(хв1па) Х„'Я+2 ~~~~ Уй( — )сов2йа; СО = 1I — ~' (2й+ — 1) У 1(в)Р»»'сова). М031 и « ~ З Г Х»М 2»+- ! — о 2 8.532 «Теоремой сложения» называют также формулу Оч (исл) ч "ч+и(иси) Х +»(лег! 1. ' „=2»УИ- Г(ч) ,'Е (ч+Ха) "+, '+ Сь(сов!у). [чФ вЂ” 1, — 2, — 3,...; условия для г,о,Л,ср,ттеже, что ивформуле 8.530; при Еч =Уч и ч целом формула 8.532 1 справедлива при любых г, й в ср. В 398(4) СЗ тислиим ею«грело» 994 о — о.
спики ольныв эвикции 8.533 Частные случаи: СО 1. — = 'Я (2Й+ 1'1 У 1(тй) П~~'~1 (тг) Ро (сов ~р). 2)/го 2 2 2. = — ',~ (2й+ 1) 7 1(то) Н' '1,тг) Ро (сов ~р). 2 р'гд о+- о+- ' о=о 8.534 Вырожденная теорема сложения (г-о со): СО емооооо= ф/ —, '~~~ (о(2)о+1)У 1(тй)Ро(сов р); о=о Зг =.'"Г(т) ~~~~~ (в+ И (" (то) '1„+о(тй)Со (север) о-о (т чь 0„ — 1, — 2, ...].
8.535 «Теоремой умпоженияэ навывают формулу ОЪ Х (Лг) Ло~ — 2 ~.д(г) ~ г~ [~1 — Л~о < 1]. о-о При Е„=Х, ояа справедлива для любых оначений Л и г. МО 31 МО 31 В 401 (1) В 401 (2) МО 32 8.536 (2в+2й) (2в+а — ()! ро (2о)( Г г '~го 1. ( ) ~2Г .. Х ра+А (г) — ~ — ) о=о СО О 3..7оо (г) + 2;Я~ Уоо (г) = 1. СО 8537 Х Я, о,С)7о(г)=Я (г+с) Цг)<1(]]. В частности: [и > О].
В 47 (1) В 47(2 В 41(3) В 158 (2) Х ро (г) Х„о (г) = У„(2г). В 41 Х (-1)" 7 — о+оИ)Уо(г)=У,(г+Ф) Цг~ < )(~]. 2. ~~.',' Е~ ~о(()ро(г)=уо(г — г) Цг~ < ((~]. о -с В 159 В 159 (5) 8.54 Корни цилиндрических функций 8.541 Прп любом действительном т функция У„,(г) имеет бесчисленное множество действительных корпеи; прп ч ) — 1 все ее корни действительны. В526, В530 Цилиндрическая функция 2,(г) не имеет кратных корней, за исключением, быть может, начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
