И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В 528 8 — 8 СПНЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 8.55 Функции Струве 6.550 О и р е д е л е н и и: В 358(2) В 360(11) В 360 (11) 8.552 Частные случаи: в[ — ) ( 1 ) ( в )в-гт-! [п=1, 2,...). Л[ 2 ) !' 1 ') Г в ~-в-Ьгт+! Е „1а) и Г( 3) [и= 1, 2,...), ВТФП 40(67), В 367 (2) ! в ! -гт+л-- г 1 — т) ВТФ Н 40 (66), В 367 (1) (а)= 4+ 1 2 2 т=е [п=О, 1,...]. 4. Н, ()=( — 1)-г,(а) [п=0,1,...). -[в+-) в+- 5, У ( !)(а)=1 !',а) [п=О, 1,...). ВТФ Н 39 (64) ВТФ Н 39 (65) ВТФ Н 39 (65) ~" в '12т+»+! 1.
Н, (а)= ~~, ( — 1) Г (!и+ — ) Г (в+т+ — ) л л -вв- 1— 2 1в(а)= — !е 2Н„(ае 2)= ( в )гт+в+! Х т — е Г (т+ — ) Г~ ч+т+ — ~ з з 8.551 Интегральные представления. '( — ')" 1. Нв(а)= ! ~ '1 — Р) е1в2!й= ~"Г ("++) ° '( —.)' [ ы! в! ввв! вв [в. > — — '. ) . вввв!в УИГ ( + —,) 2( ) 2 2. 1в(а)= ! ~ ай(гсое!р)(е)й!р)2'йр ='- .-'-,). 8 г — 8 8 цилиндвиявскии юункции и Функции, свяэанныи с ними 997 6. Н~ (г) ==(1 — сов 8). Р'2 У Яг ВТФН39, В364(.'4, 1 7. 8(г)=( — ) ( + —,) — ( — ) (шаг+сов ). 2 В 364 (6) 8.553 Функциональные соотношения: 1 Н (ггата) е18<»+1>»'Н»(г) (и 1 2 3 2. — „(г»Н» (г)) = г'Н, 1(г).
д В 362(5) В 358 3, л [г-»Н,(г))=2 — »я 3 ~Г(т+ в )1 — г "™»+1(г). ~Ь 4 Н, (г)+Н 8(г)=2 * 'Н (г)+и 2( — ) ГГ(т+ —.)1 В 359(5) 5. Н»-ф (г) Н» ~ 1(г) = 2Н»(г) — я ( ~ ) ~1' ('» + — ) ~ В 359 (6) В 359 (10) 8.56 Функции Томсона и их обобщения: Ьег„(г), Ье1»(г), Ьсг,(г), Ье)„(г), Ьег(г), ке1(г) 1. Ьег,(гт+(Ье1»(г)= г»1ге' ). 2.
Ьег„(г) — гЬеь„~г) =У»(ге 4 ). В96(6) 8.562 1. Ьег,(г)+(Ье),(81=)7»" (ге~ ) 2. Ьег„(г) — вЬС(»(г)=Н»н(ге ' ) (см. также 8.567). В 96(7) 8.554 Асимптотические представления: -8г ( + — ') ~ г 1 '"+" ' Н»(и=я. К)+ — ' Х ' ' +~(В~ -"- ) ( $ агу 5 / < я) ВТФ Н 39 (63), В 363 (2) Асимптотическое представление лля Х„'$) см. 8.451 2, 8.555 Дифференциальное уравнение для функций Струве; '( — ') ' ггу'+гу'+(гг — тг) у= = ( ) 998  — В. СПВЦИ4ЛЬНЫВ ЕГНПЦИИ 8.663 1, Ьег, (х) = — Ьег,х); Ье1в (х) = Ье1 (х).
2. )!ег (х) ие — — Ьегв (х); )ге! (х) аи —" Ьегв (х). Интегральные представления см. 6.261, 6.636, 6.637, 6.772 4., 6.777. В96(8! 8.664 В96(3' В 96 (4) В96(9)и, Д(824,3) В96(10)и, Д(8244! В 163(6) где х 1 25 !з 128г! ~2 Вх )/2 254з Р'2 х л Представление в виде ряда 1. Ьег(х) = '~~ 2 82й) 1 у ( — !)ьх!в'! 2 Ье( (х)= У, !в. ~'" 2~ ~ 1(2й+ 1! Ц ! 3. )гег !х = (1п — — С ! Ьег (х)+ — Ье! (х) + 2 в / х 4 ОР гь + ~~.Д ( ) 4 2!в 1(2Ц 9! ! и! й=! ФВ= ! 4. Ье1(х~= (1п — — С~ Ьех(х) — — Ьег(г)+ 2 '~ . я 4 ОЪ 24+! в л4м" у 1 +х! ° 1 в~! ) „8~~~ Р У, ( х )2!'+44 8.666 -Ьег'(х)+Ье(*„(х) Х а!Г(т+а+! Г( +24+!) ! — е Асимптотическое представление 1.
'Ьег(х)= совр(г) (~агбх~< — ~ . е~~~~! 2. Ье)(х)= ' в(п))(х) ~~аг8х( < — "~ . 3. )сег(х) = ф/ — "х е !-*>сов(1' — х) ~~агбх~ < — л~ . 4. )ге1(х)= ~ — е ~-пв)п()( — х) ~~агбх) < — л ), Гв 5 В 227 (1) В 227 (1) г В 227 (2) В 227(2) в.а — в в пилиндгичискик ч тнкпии и ч тнкпии, связхнныи с ними 999 8.567 Функциональные соотношения: 1. (гег 00+ ю' ве! (в) = К, (в )~ю~ 1 (см. 8.562).
2, хег 'в) — ю' хе1 (в> = Кв(в У 1) Интегралы от функций Томсона см. 6.87. В 96(5), Д,824.1) 8.57 Функции Ломмеля Интегральные представления с х 8.571 вв, ч (в) = 2 ~)уч(в) ~ яхгх (в) а)в гх(в) ~ ввЛгх(в) пв1 х о 1 в~в ~ 1 1 1 8.572, авь „(в) 2" ~ — ~ Г~ — + — )а — 2 ч)Х в 1 х ~ У< (ввшО)(в(п О)в (сов О)"+еоО -, — 0+в-я е В 376 (9) (Ве(ч+)а+1) ) 01. ВТФИ 42(86) 8.573 Частные случаи: 1.
Я„, (х)=вО, (в). 2. Кв „„(.) =, +,0 „(в). В 382(1) В 382 (1) 8.570 Определение функций Ломмеля в„, т(г), Яв,,(в): х +а+ (') Х ((„+1)х — х)( +Зр — чх)...(О,+а +1) — чх) Г1 х=е Г ~ — а — ч+яа+ — ~ р ~ — аа+ —, «-+т+ — ~ ~2 2 2) 'а.2 2 (р ч-ч не равно отрицательному нечетному числу). ВТФ1140(69), В377(2) 2. у„, „(в) =в„,,(в)+ (2 Г (~ )а- ~ ч+ —.) Г ( 2 р+ 2 'ч+ — ~ ( Х Г1 1 Г1 ° ( —,.Π— ) 1~ .<1 — ° ~ —,(я+ ) ~~.09 вш чя ()а .В- ч - положительное нечетное число, ч — нецелое число); ВТФП40(71), В379(2) (1 1 11 /1 1 11 в, у =в, (в)+2 -'Г( —.)а- —.ч+ —,~) Г( — )а+-.
ч+ — ~) х ~2 2 В./ ~3 2 2,/ х ~вап ( —.Оа-ч) я ~Х„(в)-сов ( — ()а-ч)я~ Л~, (в)~ [9 -ь ч — положительное нечетное число, и —,целое число). ВТФ11 41(71), В 379(3) з — з спициАльныи Функции 3, 8 ма„(з)= — Я',„(х). 1 4 8е. ° (')= 28 "(х). ВТФ 11 41 (82) 2. Е (з) = — — [(1+ сов тп) ге ч (з)+ ч (1 — сов тн) а,, ч (з)]. ВТФ 11 42 (83) Связь с гипергеометрической функцией ~"+', / и — ч+3 и+ч+3 ((х — ч+1) ((х+ч+1) х з~ ' 2 ч 2 ' 4 / ' ВТФ 11 40[69), В 378(10) 8.575 Фуккциональные соотношения: 1.
зе+з. ч (х) = за+' — [((А+ 1)' — тз] з„,, (з). ВТФ11 4й (73), В 380 (1) 2. за.ч(х)+( ) зе.ч(х)=((А+У вЂ” 1)з» вЂ” пч — 1(з). ВТФ1141(74), В 380(2) 3. г,'„ , (Х) — Я З„,ч (З) = ((и†т - 1) га-1. ~+1 (Х). ВТФ11 41(75), В 380(3) 4. (2 — ") гю ч (х) = ((а+ т — 1) з„1, 1 (х) — (р, — ч — 1) ги-и +1 (з). ВТФ11 41 (76), В 380(4) 5. 2те, ч (з) = ((А+ 'ч — 1) зе 1, ч — 1 (з) + ((» — т — 1) за — и ч+1 (х) ВТФ1141(77), В 380(5) В формулах 8.575 1.— 5. з„, ч(з) могут быть заменены на Яв, ч(з). 8.576 Асимптотическое разложение для 8„, ч(з). В случае, если р -(- т пе есть нечетное положительное число, для 8„, ч (з) справедливо следующее асимптотическое разложение: (1 1 1 ~ (~1 1 1 ~2 2 2,1 ~2 2 2 Р— ' ( — 17® Г ( — — (а+ — ч-(-т11 Г ( — — — (х — — ч+ив) Я Г ~ — — — и+ — ч) Г ( —.— — (х — ч) 7 + О (хв-зэ).
В 385 8.577 Функции Ломмеля удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению. хчге" + не'+(хз — чх) и= хе+1. В 377(1), ВТФ1140(68) 5 зч.ч (з) = 1'~ч+ — ) '$/п2 Нч(х). 6. 8„. (з) = [Н, (з) — Лч (х)] 2"-' М Г ~ + †„, ) . 8.574 Связь с другими специальными функциями: 1 1. у„(з) = — вш(чп) [ге,, (х) — тз1,„, (з)].
В 382 (2) В 382 (2) ВТФ П 42(84) ВТФ И 42 (84) !002 8 — 9 спепиАльные юункцни дзУ 1 дГ ззг з и ~-ч — — — — + — ( — ) Л- +х (х). дзз з дз из ( з 1 В 502(3) 8.58 Функции Аигера и ВЕОера Лч(х) и К»(г) 8.580 Определения: К Функция Ангера Л„г): я 1 С Л (г)= — ~ сов(чΠ— хвшО)зЮ. а В 336 (1'„ВТФ 11 35 (32) 2. Функция Вебера Е,(г): Е,г = — 81я(УΠ— гв$ПО)зЮ. 1 Р В 336'2), ВТФ11 35(32) 8.581 Представления в виде рида: <-"(-'')" + Г (.+1+,) Г (и+1,) '-"( )"" е Г (и+ — '+ — ч) Г (и+ — — ч) ВТФ 11 36 (36), В 337 (3~ 1 ° Л» (х) сов —.
2 я 8 ( — (2) Г(и+1+ —,' ) Г( +1 1ч) чи (2) 2 Х и е Г (и+ — + — ч) Г (и+»- — — » ) ВТФП36(37), В338(4) Оз 2. Е»(г)=вш — ".„" '~ 8.582 Функциональные соотношения: 2Л» (х1 Л»-1 (х) '1»+ ~ (х). ВТФ1136(40), В340(2, 2 2К,',(х) Е» з(х) — Еч+11х). ВТФ1136(41), В340(6) 3.
Л вЂ” 1(г)+Л +1(х! 2чг-1Л (г) — 2(ях1-1вш(чя. ВТФП 36(42), В 340(1) 4. К» з (х) + К»+ з (х; = 2чх — 'Еч (х) — 21 их)-' (1- сов чи ь ВТФ 11 36,43), В 340 (5) 4. Функция Р„в, х) представляет собой частное решение дифференциального уравнения: в а — в г килиндгичвскик эвикции и езнккии, связлнныв с ними 1003 8.583 Аскюпотякеские разложения: з †! Г»+1+ — ч Г»+1 — — ч 1 '~ ~' 1 +0()г~ рр)-(-ч ~Р( — 1)" 2г» ~ г а" '+ — о 'С' Я'('-~ Э +чО!$г~ н а) Цагйг~< я). ВТФП37(47), В344,1! 2. Еч(г) ~ — Л!ч (г)— Р— 1 Г(+, ~Г(а+ — „, 1+я'1 ( 1 — ч ~со» !чк! [ \~\ ( 1)»22» ~ / х / -з»+ 0 (~ г !-гз)~ ч (1 — соа чя) х р-! Г».+1+ — ч~! Г !»+1 — ч ! 1 1 ~ 1 [Х ! — "2 ( '" '+О!) ' 1.
Г ~1+ — ч) Г (1 — — ч) у +г 'у'+~1 — —,) у=7'(ч, г), где лля Уч(г) У(ю, г)="— ,з1пчя, 1 а для Е, !г) 7(т, г) = — —, !г+ ч+(г- т) соз чн). В 341(9), ВТФ Н 37(44), ВТФП37(45), В341(10' 8.59 Полииомы Неймана 0»(г) и Шлефли В»(г) 8590 Ояределение полино нов Неймана: (2 В 303 (8) В299(3), ВТФН33(7) 2. О „(г)=( — 1)" О»!2) 3 Ор (г) 1 4. О,'г)»» —, 1 аа (п>Ц. ВТФ Н 33 (7) В 344(2), ВТФ Н 37 (48) Асимктотяческое разложение для У„(г) и Л!ч!г) сй. 8.451. 8.584 Функции Актера и Вебера удовлетворя!от дифференциальному уравнения! вида:  — р спепиАльныв 'Функции 8.592 Проиаводящая функция' — =Хр($)г '-«-2 ~~ У (г)ОВ(х) и=1 ПЫ <]2]]. ВТФП32(Ц, В298(1) 8.593 Интегральное представление: 0„(г)— [и+у вз-«ВЧ]" +[и — ри'+з'] 2" з См также 3.547 6., 8., 3.54Я 1., 2.
8.5Я4 Неравенство. ВТФ П 32(3), В305(1) 1 ]0„,(х)]<2" 'п1 «г] зеу [п > Ц ВТФ П 33 (8), В 300 (8) 8.595 Полипом Неймана О„(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению РВУ РУ 11 ~з ~ и г — -«-Зг — +(г +1 — п )у=в~сова — ) -«-и1вшп — ) рзз рз 2) ~. 2) ВТФПЗЗ(14), ВЗОЗ(1) 8.596 Полиномы Шлефли 8„(х). Так называются функции, определяемые формулами. 1, Бр(г) 0 2.
Ю„;г) =- [220„(г) — 2 ~сохи ~2 Ц ВТФ П 34 (18), В 312 (2) [и>Ц, ВТФ П 34 (19), В 312 (3) (2) (В рр 01 Гз ~2 -Р (. 2.l за=В 3. 8 „(г)=( — 1)Р'Я„,г). [и~ Ц ВТФ П 34(18) В 313(6) 5 0,(г)= —,т —,, ВТФ П 33,7) Вообще, Оз(г) представляет собой многочлен степени и+ 1 относительно х 1. 8.591 Функциональные соотношения. 1. 0,(г)= — 01(г) ВТФПЗЗ(9), ВЗО1(З) 2. 20„'(х)=0„, (г) — 0„„(г) [и>Ц, ВТФПЗЗ(10), В301(2) 3. (и — 1) 0„„,(г)+(и+ Ц О„(г) — 22 1(лз — 1) 0„(г) = =2их1(вгпи — ") [п>Ц. ВТФПЗЗ(11), В301(1) в ~з 4. пгОв з(г) — (и' — 1)0„(г) =(и — 1)20,',(г)+ (вш ВТФ ПЗЗ(12), ВЗОЗ(4) п~2 5. пгО„„(г) — (пз — 1) 0„(г) = — (и-«- 1) гО„'(г)+ п [ вп1 и — ) ВТФПЗЗ(13), ВЗОЗ(5)и 1005 о.о Функции матьн 8.597 Функциональные соотношения: 1.
Я„, (г1+ Я„„(г) = 40„(г). В 313 (7) Другие функциональные соотношения можно получить из 8.591, подставляя вместо 0„(г) его выражение через Ю„(г) иа 8.596 2. 8.6 ФУНКЦИИ МАТЬЕ 8.60 'Уравнение Матье — „, +(а — 2йосоз2г)у=о, йг= 9. М 18(1) 8.61 Периодические фувкции Матье отличные от тоясдествепного нуля. Если й отлично от нуля, то не существует никаких других линейно независимых периодических решений. Периодические решепия уравнения Матье называются периодическими функциями Матье, или функциями Матье первого рода, илн кросса функциями Матье. 8.611 Уравнение Матье имеет четыре ряда различных периодических решений: 1. Сезн(ге я) =,~ ЯАгс сов2сг.
м зо (1) о СО 2. Свг„+1(г, д) = .~, 'Агг++С~'СОВ(2Г+1)*. -о 00 3. вег„+1(г, д)= ~к~~ Вг,+1 зш(2г+1)г. м зо(з) с о М 30(2) 4. зез„+зсг, д)= ~ В~г~+дгюв(п(2г+2) г. М 30 (4) 5. Коэффициенты А и В аависят от д; собственные значения а, принадлежащие функциям се „, се „зе, ве,„„, обозначаются так: ааю а,„., Ьа, Ь 8.612 Решении уравнения Матье нормируются так, чтобы ги МО 65 8.613 1. 11ш се, (х) = = . 1 во рй 2. 1(ш се„(х) = сов пх ]и чь 01, о о 3.
11ш ю„(х) = в( и пх. о о М065 8.610 Уравнение Матье 8.60, вообще говоря, не имеет периодических решений. Если й — действительное число, то существует бесконечное множество собственных значений а, которым соответствуют периодический решения у(г) = у(2н+г), 8 †спкциьльпык Функции 8.62 Реиурреятиые соотношения для козффициевтов м(й»» ° »й»»+й!»»»й~~ » !!» !!»»йй! Ай»» Ай»+!» .!»й т!» Вл» ! й 8.621 3. (а — 4гй) А~~„! — д(АД+а+ Ай„— ~г) = О [г>21. 8.622 2. [а — (2г+.1)а[Ай++~'! — д(Ай',.'!йю+Азйг й~»)=») [г>1[. 8.623 1. (а — 1+д)В!!й"+" — дВТ+ '=О. 2. [ — (2г+1)й[В!ййФй! — д(ВЯ~О+В!йй,"!йй!) =О [ 1).
8.624 М 37 (4) 2. (а — 4г')Вй»~~~ — д 'Вйг+~йм — Вгг"~а~~) = О [г ~ 2[. М 37(4) 8.62Ь Из равенств 8.612, 8.613 и 8.621 — 8.624 можно определить козффициеиты А и В, если только а известно Пусть, например, требуется определить козффициенты Айй»о дляфувкции се (й, д). Иа рекуррептпых формул получают как следствие соотношение М 37!2) М37(2) М37 (3) М 37(З) 0 0 0 0 а — 2д а — 4 Π— д О 0 0 0 0 <7 а — 16 — д а-64 — д 0 8.63 Функции Матье с чисто миимым аргументом 8.630 Замепив в уравнении 8.60 г через йг, мы придем в дифференциальному уравнению 1.
„— й + ( — а+ 2д сЪ 2в) у = О. При данном д из уравяепия 8.625 1. можно определить собствеииые числа 2. а = а, а„а, ... Ц а, ~ < ! а! ~ < ~ а, )<...]. Положив, далее, а=а,, из рекурреятпых формул 8.621 можно определить козффициенты Ай,"~ с точностью до козффици опт а прои орциопальиости. Этот последний определяется из формулы О 3. 2 [АД"~]й+ ч~~ ~[А!й'„"»[й = 1, М 34(2) »=! вытекающей иа условий нормирования. 6.6 о'пнкпии матьв Решениа этого уравнения можно найти, заменив в функциях се„(г, д) и ве„(г, д) аргумент г через ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
