И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 96
Текст из файла (страница 96)
служат функции Р„+"(~ г), Я",~ г), Рь", (~ г), ()~", (~ г). 8707 Все же определение двух линейно независимых решений возмо ясно в любом случае, а именно Дифференциальное уравнение 8.700 1 при т .1 /г, ие равном целому числу, имеет следующие решения 1 Ре";~г), ~ее(~г), Рев,(~г), ()+,",(~г) 8.71 Интегральные представления 8.711 и 1 ! ,н-- ее р „- Г („+ / ) д, (~ /-~ Уг' — /)" ' ~ йе /г ) — —, ~агд (г ~ 1) ~ < и| . МО 88 или соответственно при г=х=.сезар 2 Р,+,"(~х), //~" (~ х), Р~тв, (~ х), Я™„1 ~ ~ х), Если т+ р не равно целому числу, то решения 3. Р" (г), Я(г) и соответственно Р~(х), /~,'"(х) линейно независимы Если т + р — целое число, но /г не равно целому числу, то линейно независимымв решевиямя уравнения 8.700 1.
являются функции: 4. Р" (г), Р„"(г) и соответственно Р',"(х), Р„"(х) Если /г= + гн, т=я или т= — п — 1, то линейно независимыми решениями уравнения 8.700 '/ нри л >т являются функция 5 Р„ /г), ~/„(г) и соответственно Р /х), Я„""(х), а при и( ж — функции 6 Р (г), ()„~г) и соответственно Р„(х), Я„.(х). 1915 В 1 — В В ШАРОВЫИ (СФЕРИЧИСПИИ) ФУ~ИПИИ 2. Р'„"(х)= + )( + )" ( ) ~ ~х+]/х~ — 1соз~р~ созввре4р; 0 и — 1) Ф с (с — 1) ... (с — се+1) Г сов т <р йр и (с+ ф'"х' — 1 соыр]'+' 0 )аг8х~< —, аг8(в+Г'хс — 1созЧ>)=аг8х при ~р= — ] (сравни 8.8221.).
СИК1483(15), УВП123 2РГ ()е ( ~) Г („)е ( 1) с (х+ Р * — 1 св Е)" 2~ (Ке(ч + )В) > — 1, ~агд(х ~ 1) < и] (сравни 8.822 2.). МО88 ОФ Ов, е~'" Г(0+1) св)ВВФ 4 О„;х)— Г!е — В-)-1) ~ !с ( р хе 10В 9)+ 0 [Ке (ч+)0) > — 1, Ке)0 > — 1, ~ аг8(х -)- 1) ( < к] (сРавпи 8821 2). МО88и, ВТФ1155(5)и 8.713 11 1 (Ф„'(х) = " " (х' — 1)' Х У 2п (,+-,') ™ -,4-.)! .] < )е ~ ', — сов вп ~ в+- 0 "+В ( — сов е) " (х+све) ~ Ке )0 > — —, Ке (Р+ 9) > — 1, ~ аг8 (х -)- 1)! < ес ~ .
! МО 89 с ОР 2'Г ()0 — с) Г (с+1) ) (с+са е)"+"+ (Кег >-1, )аг8(х ). 1) ~ < и, Ке(в+1) > О, Ке(р,— в) > О], МО 89 — Г! В+ — 1)(хх — 1) СЬ! с+ — 1)еа 3 Р~",'г)= ]/в л Г (г-)-)е+1) Г ()0-ч) ~ „+1 0 ( + ве)Р+х (Кех > — 1, ~ аг8(х -)- 1) ~ < я, Ке(с+)0) > — 1, Ке()0 — ~) > 0] МО 89 (Ке(с+р) > — 1, ю Ф вЂ” 1, — 2, — 3, ..., (агдег -)- 1'~ < я] УВ11 134 и, МО 88 в ! 8.712 ф(г)= ~ (хс — 1) В ~ (1 — ГВ) (х — 1) с+Р й ~Р ~ ~ Г (с+ 1! — ! 1016 в — э. спждилльныв Функции 8.714 о 111 "Г " (-'- 1 )в~ о (сов в сов ф) 2 »+- ( О ( ф < н, Ке)в < -~; (сравни 8,823) М087 Р-» Г (2(в+ 1) яв» ф (' 2~» ~22 2»Г(»+1)Г(т+)в+1)Г((в — т) ) о (1+22 сов ф+вв) (йе(т+Р.) ) — 1; йе()в — т) ) 0].
М089 » 1 Г(»+9+1) Мп»ф 3 ()„(сов ф) = —,, х (~ 2) СО »Ь2» ю »Ь2» В Х ь(совр+ ~ »1» фсЬ в)"+»+ (сов»Ф — в)о ф сЫ) +»+ о [ йе(т+)2+1)) О, Ке(т-)в+1))0, йер ) — — ~ . М089 в Г (т+(2+1) в1в»1р 4 Рт»(соаф)= — ( + ...х Г(р+ — ) 2) ОЭ х ,1 вЬ2» 2 вЬ2»г ,1 1( (1 в (совф+ввшфсЬО~+»+ 1 (сову — А»1»фсЬ2)"+»+11 о (йе(т+)в-У1) )О, йер -. --1 . М089 1 '~ й/'~ Ь» ~ сЬ~У+ 2 / 2»2 1. Рт»(с)2 а) = ( а)0, йер< — ) МО 87 »»» ("+2) ( а ) О, Ке р ( —, Ке (т+)2) ) — 11 . МО 87 См.
также 3.277 1., 4„5., 7., 3.318, 3.516 3., 3.518 1., 2., 3.5422., 3.663 1., 3.894, 3.988 3., 6.622 3., 6.628 1., 4.— 7., а таклсе 8.742. 8 72 Аеиинтотические ряды для болыннх )'ч~ 8.721 Для действительных вначений р, (т) > 1, ~ ч~ > ~р), ~ащт~ < я, имеем: 1. Р»(сов ф) = Г ((в+.й+ — ) сов ~ ~ч+й+ — ) ф — (2й+1)+ — ) *==Г(с+9+1) Я 2/ У+-)в т'= — 1, — 2, — 3, °; т Ф вЂ” — — — „., —...; При — «р< —.
б 6 1017 8 т — 8 8 шАРОВын (сФвэичкскии) Ф»»нкпии этот ряд сходится и при комплексных значениях т и р; в остальных случаях он представляет собой асимптотическое разложение при [т [ >) ) )8 [, [ т ) )) 1, если т > О, )8 > 0 и 0 < в < ф < я — в 1. МО 92 2 ()Р»(сов ф) = Р яр(т+)8+1) х Г (9+8+ — ) сов ~ (т+8+ — ) ф+ — (28+1)+ — ~ хХ( — 1) 8=0 () + 2 ) Й)Г [ т 8+») (281пф) 8 Гà — ь Г Зь 8+1 2) 6 5 7 я 5 т+)8~-1, — 2 — 3 ...; РФ вЂ”, —, — —, ...; при — «р< — я » 2' 2' 2''"'' 6 6 этот ряд сходится и при комплексных значениях т и р; в осталь- ных случаях он представляет собой асимптотическое разложение прн [т) »[)8[, )т[>) 1, если т>0, р>0, 0< 8<ф<я — ф~ .
ВТФ 1 147 (8), МО 92 я 3, Р~,"(совф) — 2 Г(~-)-)»+О»- ("" '-" 4 ' ' -) ~1+0(1 ) ) ( Р»2маф т» 2 / ~ 0 < в < ф < и — е, ) т ! >) — ~ . МО 92 При т > О, )8 > 0 и т > )8 ив формул 8.721 1. и 8.721 2. следует, что » -"»ам»~=»,'„„'., [( .» —,')» — —,'»»вЂ” ;)»-о( — '). о ъ РЯ„(совф)= ф/ сов ~ (т-)- — ) ф+ — + — 1+ О( .— 8) [ 0 < в < ф < н — в; т >) — ~ . МО 92 1 1 [ (т+ — )сов — ~ Р„(сов ф)= — Р())+ 2 [ 2 — Ув„в(8))+ — Ув+8(8))1 +0(81п — )» 8 'Р Г»в+1 (Ч) где т) =(2т+1)в(п —.
В частности, отсюда следует, что ф 2. )пп т~"Р,,"(сов — ) =У,„(х) (х>0, р>01. »»» МО 93 8.722 Если ф настолько близко к 0 или и, что тф или т(н — ф) невелики по сравнению с 1, то асимптотические формулы 8.721 становятся непригодными; в таком случае при т > О, )8»0, т )> 1 для небольших з н а ч е н и й ф применимо следунпцее асимптотическое представление: 1О18 2 — Э СПКЦИАЛЬНЫП ЖЪГНКЦИИ 8.723 0 поведении функций Р~~(г и ф(г) при боль(пих (т~ в действи- '3 тельных значениях г> — можно судить на основании равенств. 2)/2 1~ )Г„- Г( — — р) (его 1) 2 1 з хР(, р+ —,, -р+ —,;т+ —; — )+ 1 — ег ./ 1 Г(т — в+1) г' 2 ' 1 — ег" / (его 1) 2 ~ т Ф + —, ~ —, + —, ...; а > —, 1в 2~ М094 1 3 5 1 2 Я(с)) а) = ев'"2" ~ и ( +1'+ ), вЫ'ах з. х Р(р+ — — р+ —: '+ —: — ) ,.) )2+т+1 чь(), — 1, — 2, ..., а> — 1п2~ .
М094 1 См также К776 8,724 Неравенства 1. ~Р„,"(сов~р)~ < ~/ — ( *"+ ) 81п ф 2 ~Яьв( )! 2 2кГ(~+и+1) 22 в г~р ~à —,„Г ( +1) а!в ф 4 )~ь (сов ! 2/~ г( ~ +1) е' т Г(в+В 22 а г~р '(т и (2 — любые действительные числа, удовлетворя2ощие неравенствам т > 1, т — )А+ +1>О, р>'О) МО 91 — 92 8.73 — 8.74 Функциональные соотнопеепия 8.731 ,~е и(,) 1 (г' — 1) — ' = (т — р.+ 1) Р"+, (г) — (т+ 1)гР'„'(г) (сравпи 88321., 8.9142.). ВТФ1161(10), М081 2 (22+ 1) гР,'(г) =(т — )2+ 1)Р"+2 (г)+(т+ )2)Р" 2 (г) (сравпи 8.832 2., 8.914 1.). ВТФ1 160(2), М081 3.
Р,"+2(г)-(-2(р,+1) Р(~ ~ (г) =(т — р)(т+ р+ 1) Р"„(г). М082, ВТФ1160(1) 1019 8 1 — 8 8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ Р",(11«) — Р» 1(я)=(2У+1))lг~ — 1Р",='(г). ВТФ1160(3), М082 Р"»,(г)=р»(г) (сравни 8 820, 8 832 4.!. ВТФ1 140(1), М082 4 5 8.732 еу" ( ) (г" — 1) „', = (У вЂ” )(+ 1) 9,"+1(г) — (У+1) «®(я) (сравни 8.832 3.) МО 82 (2»+ 1) гф (я) = (У вЂ” (я+ 1) Я+1 (г'1 + (У + р.' г()'„' 1 (г) (сравни 8,832 4.). МО 82 ~ф» (г) + 2 (р, + 1) =(~РЯ»' (г) = (» — (()!»+ )8+ 1)9» (я) МО 82 У' — 1 Я 1(г)-1,)8+1(г)хх — (2У+1) У'~' — 11',)„" '(«). М082 и 1 е — ( '()Р»(х-~ 10)=е г ~0Р»(х) Р( — Р~(х)~ . М083 »РР» (х) (1 — хг) " = (»+ 1) хР„'(х) — (ю — р,+1) РР+1 (х) (сравни 8.731 1 ), = — мхР"„(х) + ',~ + р) Р" 1 (х); = — ф/ 1 — хе Р"+' (х) — рхР"„(х), =(» — )8+1)(У+9))~1 — х'Р," '(х)+рхР",(х) М082 (2У + 1) хР» (х) = (» — )ь+ 1) РР+1 (х)+ (» + р) Р,", (х) (сравни 8.731 2 ) МО 82 Р"+8(х)+ 2 (((+ 1) * Р»+' (х)+(ъ — ф(ъ + р+ 1)Р»(х) 0 )/(в (сравни 8.731 3 ) МО 82 Р» 1(х) — Р»+1(х)= (2м+1)('1 — хгР» '(х) (сравни 8.731 4 ) М082 5 Р"„1(х) =Р~(х) (сравни 8.731 5 ) 8.734 (» + (8+ 1) «Я (г) + Р' гг — 1 Я+1 (г) = (У вЂ” )я+ 1) ()8+1 («).
(ч+фф 1(г)+)/г~ — 1ф+' (г) =(д — фее («). Щ ,(г) — гф (г) = — (У вЂ” н + 1) $~ Р- 1(;(Р 1(г) яф (я) — ()О+1 (г) = — (»+ )А) '3/«1 — 1 Щ (г) (ч+(А)(м+)8+1)® 1(г)+(2»+1)М«~ 1ф~ (г)= =( — )8)(У вЂ” )8+1)Я+1 (я) М082 МО 82 МО 82 МО 82 МО 82 8.735 ( +((+1), Р,"(х)+')~1- 'Р»а~1(х) ( — и+1) Р„"+,(х).
2, (м — (А)хР" (х) — (»+(А)Р„" 1(х)=Р 1 —:т~Р1„'+ (х). МО 83 1020  — В. СНЕЦИАЛВНЫИ ФУНКЦИИ 3. Р», (х) — х Р«» (х) = (и — (г -+ 1) ~/ 1 — х* Р,", 1 (х). 4. х Р«(х) — Р"+1 (х) = (»+ ф ф/ 1 — хв Р'„' 1 (хЪ. 5. (« — )в)(ъ — )1+1)Р«+1(х) = («+(в)(ъ +)1+ 1) Р«1(х)+ +(2«+ 1',]11 — ха Р«'+' (х) МО8З МО 83 МО8З 8.736 1. Р»»н(г1= ( 1+ ) ~ Р'„(г) — — е-«"'в(п)ви()«(г) 1 . » =Г(» -.+1) !» 2. Р»«( — г)=е' Р„"(г) — — в1п[(»+)ъ)л]е — «"'Щ(г) 2 [1шг < 0] 1сравни 8.833 1.). М083 3. Р„''(-г)=е- "'Р'„'(г) — — „в(п [(ъ +)в) и] е — вв()«»(г) 2 [1шг) 0] (сравни 8.833 2.).
М083 4. (~»н(г)=е-г«в*"' '"+" (7«(г). МО 82 Г (»+11+1) 5, 1',)»и( — г)= — е-» 'ф(г) ]1шг < О] (сравни 8.833 3.). М082 6. ()в( — г1= — е™Щ(г) [1шг > О] (сравни 8.833 4.). МО 82 7. ф(г) яа [(»+(в) л] — (7' (г) в1а[(« — )в) и] = не« 'сов )вя Р'"(г). МО 83 М083 МО 84 МО 84 1 8.739 е-«в'1,]»«(сЬ а)= Р ( ~в Р ~1(сгЬа) [ВеъсЬ а) > О]. М083 8 741 » (в) Рв ЕР» (в) 2 в1в 1вл вв "( ) вв к(1 — вв) МО 83 8.737 1.
Р„(х)= — — [соврлР»«(х) — — в1п()вл)Я»1х'~ . Г( р.(-1) Г 2 в Г (»+11-1. 1) ] и 2. Р" ( — х) = сов [(в+)ь) ж] Р„"(х) — — в(а [(«+ )в) я] (1«(х). 2 3. ()»( — х) = -сов [(м+)г) к] (Я(х) — —.въп[(«+(г) д] Р» (х). МО 83, ВТФ1 144 (15) 4. 1И'» 1(х)="~((~+")")Я"(х) — "~'~" 1ви Р" (х) МО 84 ваъ [(» — ф м) " ввъ ((» — 11) я) 8.738 1. Я(всг81р)=ехр [1и ()в — "—,~~ ]/яГ(ъ+)1+1)Х 1 х Ъ/~~в вв '1 21 [о<»<-",]. мовв г 1 2. Р«»(гс181р)= 1; — егр [1я ~»+ — 1] 9 1(сов1р — 10) и ]~ Ъ, 2,) ] Г( — » — [ц — « —— в [0«р< — "~ .
М083 1021 8 1 — 8 8 ШАРОВЫС (СФЗРИЧВСКИЕ) ЮЪ'НКЦИИ 2 Р."(.) -()".(.),. —,'., г~' "+' ~г~:р+1) МО83 8.742 Г(» — р+1) Г Г(»+р+1) ( Г, + 1) )с 'р"Р ( "р) — — "р О (' ''р)).= р 2 в Я ""( р+ 2 ) с (сов с — сов)р)2 Г (» — р+1) 2 . в Г (»+р+ 1) соз»л Р» (сов)р) — — зш тл (,)» (соз )р)~ = Я Гсоз ~(»+ — ')(8 — и)) ст (йер> — —.~ . "г р+ — ') —. — о 2 2,/ ч (сов ч — сов 8)2 МО 88 3 Р'„'(сов <р) сов(»+ р) и — — (.),"(сов 1р) 81н (т+ р) и = г В+-2' 2 / ч (соыр — сов г) ~йеР< 2 ~ . МО 88 2 4 созряР,'(созф — — „зшря(.4(соз)р)= Г (»+р+1) зшво в)пвзг Лв Лв у д Г(» — р+1) Г Г 1 ) ~ (совт~ во)лт сов в)» Г(~+-2'~, )2(ер>-~, О(р~ Интегралы от к)арозчх функций см 7Л1 — 7.21. МО 38 8.75 Частные случаи и частные значения Частные случаи 8.751 1. Р, (ж) = ( — 1) Г(»+ш+1) (1 жв) 2 Г 2. Г(.—.+1) .) Р(т-», т+»+1; и+1; — ~, 2 МО 84 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
