И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Ыногочлены С„"(1 степени л являются козффициентами при а" в разложении в степенной ряд функции (1 — 21а+азГ~ = ~ Сд(1) а". «44 УВ П 127 Танин 'Образом, иногочлены С«(11 служат о б о б дц е.н и е н н о л и н омовв Лежандра. 66» »Ф 3. »=! »Ф 'Я А ! 8.926 4Л+1 Г (24 — 1)!д )»Р О 1 2з)чй 2»»'д (24 — 1) (4+1) [ 4! 1 д» ( ) 2 я — Р»(сов О) = —. — 1. 44+1 г (24 — 1)9 д' 2 ° д» ~ 41 [»» из!аз 8.93 Многочлены С„'"(Ф) (Гегепбаузра) 1044 8 9. СПВЦИАЛЬИЫВ ФУИНПИИ 8.931 Интегральное представление: ( 2а+! С„"(Ф) = =, —, ~ (Г + У г' — 1 сов ф)" 81И88-' ф Йр. о См.
также 3.25211.„3.6632., 3.6644. МО 99 Функциональные соотношения 8.932 Выражения черве гипергеометрнческую функцию: гог ~Л+Н) д г' и 1 — а 1 г"Р~~ — —. —;1 — Л вЂ”; — ~~, мг<л1 ~ г ' 88 ~ ( 1)о / 1 2. С (Ф;=,л+„,ы(л „+1) Г(- ° +Л' —,' "3 ° 8.933 Рекуррентные формулы: 1. (и-~-2)С~+в(Г'=2(Л+и+1)ГС~+,(г)-(2Л+и)СИ(г), 2. ВС„"(г) = 2Л [гС"т' (1)- С'~т (г)). 3. (2Л+ и) С~(г = 2Л (С'„'+' (г) — гС,"ь+', (8)).
4. ВС„"(8),2Л-) и-1) тС 1(Г) — 2Л(1 — 88) С~в(т). 8.934 МО 97 МО 99 МО 99 МО 98 УВ 11 128 УВ1! 128 УВ 11 128 Ф Г (2Л1 Г ( — + о~ УВ Н 127 МО 99 *) Это равоаотнс Служит лнв оародОЛОИая Обобщеаа88х фуакаий ф(8), р история водоао и может быть любым тмоном. г(л+г> г(л+ц 2.
С (сов ф) = ~~~ „,, сов (й-1) ф. й+~ за 3. С~~совфсов0+81афв)пб сов ф)= н о 1 Х С~о (сов ф) С~до (сов О) С» (сов ф) .1 1т ф, 0„ф действительны; Л чь — ~ )отворена сложеиияэ) (см. также 8.794- 8.796). УВ П 136 и 4. )пп Г (Л) Со (сов ф) МО 98 А 8 о Ортогональность см.
8.904, 7.313. 1045 8 2 ОРТОГОНАЛЬНЫВ НОЛИНОМЫ 8.935 Проивводные. — Г(Х+*1 С'+'(О ~,а МО 99 В частности, ( .л 2. " = 2ХС„"+1~ 2). Е1 УВИ 128 Интегралы от мно>очленов С~(х) см. 7.31 — 7.33. 8.936 Свваь с дру1 ими функциями. 1 Г(2Ь+.>Г (2,+, ), С®(2) р(22„1г(а+О '~4 (" 1ф Р~ 1 (2)' МО 98 1 ЮлР„(Ч 2. л лъ (Π— -~ ~лд- (1 — 22) 1 пв12'л (т+ 1 — натуральное числор МО 98, УВ И 127 1 3 Сь(О= Р„((). 1 — ь+- 4. ( 1(гвгпбеша)(гииде1ва) е — '"о ес~е'"= 2 2 =ь 2 ~~ (а+я)( ь г(ц „.к,+,(г) с„( о) сФ (ссе а> МО 99 =$' Г А+$3Ь, гьсл ь(ц л 5 11ю Х С2(( 1/и= —,Н„(О. См.
Така1е 8.932. 8.937 Частные случаи и частные вначения: 1 Сз ( Ф) 61а (а+1) Ф яш е МО 99 МО 98 МО 98 2 С;(сое 1р) = 1. 3 С,(2) = 1. 4. С" (1)=( „). МО 98 8.938 Дифференциальное уравнение, приводящее и мно1 очленам С„(2): у" +, ~ у' — -"(2 + — "-~у=О (сравни 9174). УВ11127 Ряды проиеведений бесселевых функций и многочленов С„(х см. 8.532, 8.534. з-э.
спкцивльныв эвикции 8.940 Определение 1. Поливомы Чебышева 1-го рода: Т (х) =сов(иагссовх) = — ~(х+ ~ у"т~х)" +(х — ю)/1 — хх)"~ =х †( )х в(1 — х)+~ )х (1 — х)" †( )х ,1-х*)в+... На66, На71 2. Полиномы Чебышева 2-го рода: Ма [(в+ 1) агссаз х[ б' (х[= Ю в[в х [(х+[~Ч:хв)"" — (х — [')/1:х')"'1 = Ъу1 — хз =~ +1)*" — ( +1)х" П вЂ” х )+( +~)х" ''(1 — ) — .. На 358 ВТФ 11 184 (3) ВТФ П 184(4) Пх (х) = 1. 8. ЕУ, (х) = 2х.
9. П,(х) = 4хв — 1. 10. Уз (х) = 8хх — 4х 11. У (х) = 16х'- 12хт+ 1. 8.94 Полиномы Чебышева 2'„(х) и П (ж) Фунн[гйональные соотношения 8.941 Рекуррентные формулы: 1. Т„, (х) — 2хТ„(х +Т„(х)=0. 2. П „(х) — 2хУ„(х)+У~, (х>=0. 3. Т„(х) = П„(х) — хУ„, (х). 4. (1 — хв) 0„, (х) = хТ„(х) — Т„, (х). Ортогоиалькость ом. 7.343, 8.904, 8.942 Связь с другими функциями: 1 1 — х~ 1, Т„~х) — Р(и, — п, 1 2.
Т (х)=( — 1)" . и — (1 — хх) 1 3. У„(х) = [ — 1)в (и+ 1) вх х 2 — „~1 — х') У[ — *( +00 л" См. также 8.962 3. 8.943 Частные случаи: 1, Тх(х) = 1. . 2. Т (х)=х. 3. Т;х[= 2хх — 1. 4. Т (х)=4хх — Зх. 5. Т (х)=8И вЂ” 8хв+1. 6. Т, [х) = 16х' — 20х'+ 5х. 8.944 Частные значения; 1. Т„(1) = 1. МО 104 МО 104 ВТФ П 185 (15) 1047 э.э огтогонлльпыи полиномы 8.947 ФУнкпии У'„(х) и )/1хэ Нв т(х) ЯвлЯютсЯ двУмЯ линейно независимыми решениями дифференциального уравнения (1 х г —,— х — +и 9=0.
ю У'э дэ На 69 (58) 8.948 Иэ эсел многочленов степени со старшим коэффициентом, равным 1, наименее уклоняется от нуля иа отрезке 1 — 1, +1) многочлея 2 ""Т„(х). На 03 8.95 Полиномы Ормита Н (ж) 8.950 Определение. 1. Н„(х) =( — 1)" У (е- ) См П1 567 (14) 2 Н (х)=2"х" — 2" г г, ~)х" '+2 э 1 ° З.г "~1Ы' э— ~, 4,/ -2" 1-3 5. (в)* '-)- МО105и 8.951 Интегральное представэение: Н (х)= "(х+;) ( )/2в г э МО 106 и Функциональные соотношения 8.'952 Рекуррентные формулы: 2. Н „(х =2хН„(х) — 2лН„,(х) Ортогональность см. 7.374 1., 8.904.
См П1 569 (22) См Н1 570 (23) 8.953 Свяаь с другими функциями: 1. Н (х) =(-1)" — 'Ф~ — я, —,; хэ). „(ъ)) г т и! 2. Нэв~г(х)=( — 1) 2 ! хФ( — и, 2 ' х ) в (2э+1)~ х 3 МО 106 и МО106и 3. Т „(О)=( — 1)". 5 Н .,(0)=0. 4. Т,(0) 0 6. Н (О;=( — 1)". 8.945 Проиэводящая функция: Ш , -7э(х)+2,Я Тэ(х) ~' МО 1(,4 э-г 1 2, '. „= ХН.()". МО 104 и, ВТФП 186(31) а-о 8946 Нули Поливомы Т„,х) и Н„'х) имеют только деиствительные простые нуля; эсе этв нули лежат в промем<утке ~ — 1, +1. На73 1048 о — о спвпнальныв Функции Связь с многочлепами С„'(х) см.
8.936 5 Связь с полипомами Лагерра см 8.972 2, и 8.972 3 Связь с функциями параболического пвлиндра см. 9.253. 8.954 Неравенства: (х > 01. МО 106 и 8 956 Частные случаи и частные значения: 1 Но(х) = 1. 2 Но(х) = 2х 3. Н (х)=4хо — 2. 4. Н, (х) = 8х' — 12х. 5 Н, (х) 16хо - 48хо + 12 6. Н,„(0)-(-1)" 2" ( -1)П. 7. Н, (О) =О. См П1570(24) Ряды полиномов Эрмита 8.957 Производил(ая функция. Ой 1 ехр( — го+ 2ох) Я вЂ”, Н (х). СМ П1 569 (21) 4Ф 1 1 2 — вЬ 2х= ~ + Но„„(х) о=о МО 106 и ОР о МО106и 4Ю о 1 4. е в(п 2х = Я ( — 1) —.— —,— Н „(х).
о-о МО 106 и СО 5. есов2х=,,'~~ ( — 1)о — „Н, (х). о=о 8.955 Асимптотическое представление: 1. Н,„(х) ( — 11"2" (2л — 1)П е ( сов(Р'чл-1-1х)+0( —,)1 См П1579 1 2. Н (х1=( 1)" 2 о(2~ 1)П р'2и+1 з ~воп($/4л+3х)+О( 1 )1 о См П1 579 1049 е.е огтогоньльныи полиномы 8.958 вТеорема слоя<ения»: ( Х а)' д и< Вв , — = Х Ц ~„†,", В „ ('ь)~ . 2 г<- ~+...т~ =„— < ь=-< МО 106 и 2. Честный случай: 2 Л'„(х+у)= 'Я ~ „) Н„„(х ~ 2) Ы [у)/2) «=о МО 107 и 8.959 Полиномы Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению: См П1 566 (9) вторым решением этого дифференциального уравнения служат функции: 2.
иэ„=( — 1) АхФ~ д — и; 2, х 3. и...=( — 1)" ВФ( — —,-и; —.; х') 1 [А и  — произвольные постоянные). МО 107 8.96 Полииомы Якоби =-' ~ Г+-">("-~) *-' ВТФ И 169(2) 8.961 Функциональные соотношения: Р<и. а) ( — х) = ( — 1)"Р< а <о (х) 2. 2(п+ 1)(я+а+ [) + 1)(2п+ а+ [)) Р+7'(х) = = <2п+а +6+1)[(2п+а-+[))<2п <-а+[1-<-2)х+ае — [)т) Р~~'а'<х)— — 2(п+ а)(п+ [)! (2п + а + 6+ 2) Р'„"' <в<(х). ВТФ И 169(11) 3. '2п+а+5)(1 — хе) — Р«®' "'<х) = =п[(а-[)) — (2п+а+[))х1Р<а а)(х)+ +2(п+.а'(и+ 6< Р'„'" ['(х). ВТФ П 170(15) <г" < ц, ю < < Г <э.+<а+а+6+1) <~.~ ~, С+~> <<з'~ ~ е ( .< 2~~ Г(в+а+я+1) [т=1, 2, ..., и). ВТФП170(17) ВТФ И 169(13) 8.960 Определение.
Р„'"' ю(х) = <:,(1 — х)- (1+ х)-а — „[(1 — х)"+ (1+ х)а<-~1; ВТФ И 169 (10ь КГ 83 и 8 — э снвниьльнын Функции 5. (и+ — а-<- — ()+ 1) <1 — х) Р< +' "'(х) = е х = (и+а-<- 1) Р«"'я(х)- <и+ 1)Р<„'4В) х). 6. ( и + — а + — р+ 1 ~ (1 + х! Р~,"' +~ ! (х) = = и+ 9-+ 1) Р<а' с! (х) + (и+ 1) Р~ф<! (х) <. (1 — х) Р~!!+!'™ь(х)-<-!1+х< Я е+<!(х)=2РГ'а!(х). ВТФ П 173('2) ВТФ 11 173 <33) ВТФ 11 173(34) 8.
(2п+ а+ <))Р" 'е'(х) = (п-<-а+ 6)Р„' ' г!<х)-(я+ 6) Р!"'~<'(х). ВТФ П 173(35) 9. <2п+ а +. 6) Р'„' " '~ (х ! = (п+ а+ ()) Р'"" а' (х) + (п -(-'а) Р'"' <е! (ю), ВТФ П 173(36) ВТФ и 173(37) 8.962 Свяаь с другими функциями: < — 1)" г< +<+9)Р~„+а+6+1 „, 1+6, <+*~, п<Г<1+ < КГ 83 и, ВТФ 11 170 (16) Г <и+1+а) Г = и< Г<< а) Р(,я+а+()+1' и' 1+а' 2 ) ' 1 — ж~ ВТФ П 170(16 ="" '"'( — "') '~-- —.— ™+ '=')' ВТФ П 170 (16) Г(а+~+)<) ( ' ~) Р ( и и а, 1, л-!!" $) ВТФ П 170(16) 2 Р„(х~ = Ра ' ~ (х). КГ83 и, ВТФП 179(3) Г <а+лт) Г ~т+ —,) (ч- - в- -) 4.
С'„'(х) =, Р„~ т (х). МО 108 и, ВТФ П 174(4) Г <2ъ ) Г ( а+ т+ —,) 8.963 Проиаводящая функция: ~~~ Раке'(х)з"=2"+"Л т<1 — я+В~ <1+с+В) а. .е л г ! — 2 .!.* !(*!< !!. ВтФ!! !72(29! 8.964 Полиномы Якоби яредставля!от единственное целое рациональное ре!пение дифференциального (гинергеометряяеского! уравнения. (1 — х~) у + 1() — а — (а+<)+ 2) х] у'+п(я+а+<)+ 1) у =О. ВТФ П 169 (14) 1051 в.в огтогонвльпын полипомы 8,965 Асимптотическое представление: : Цв+ — (а+В+!)1 — (, + — ) ~ в Р'„~' в' (сов О) 2 в в + 0(п-2) г кв (в!в 2 О) (ссм 2 О) [1ша=1ш[1=0, 0 < 9 <и]. ВТФП 198(10) и лежат в интервале,— 1, 1!. 8.97 Поляномы Лагерра 8.970 Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
